Pruebas de hipótesis (en R)

Conceptos de la prueba de hipótesis

Dr. rer. nat. Humberto LLinás Solano

Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad del Norte (Barranquilla, Colombia)

hllinas@uninorte.edu.co

22/07/25

Abstract

Este manual fue generado por R Markdown. La teoría mencionada puede revisarse en el capítulo 3 de mis notas de clase que aparecen en el siguiente documento: 1.2. Estadística inferencial. Al final de esta guía, usted encontrará una serie de: (a) ejercicios, y (b) enlaces y materiales relacionados con la temática que se explica aquí. Usted encontrará otros documentos de posible interés en el siguiente enlace: https://rpubs.com/hllinas/toc.

1 Hipótesis estadísticas

Hipótesis estadística: Afirmación sobre uno o más parámetros de una o más poblaciones.
Hipótesis nula y alternativa
1. Hipótesis nula $H_0$: La hipótesis que se debe comprobar. Inicialmente se asume como verdadera.
2. Hipótesis alternativa $H_1$: Se establece como el “complemento” de $H_0$.
Tipos de pruebas de hipótesis. Si $\theta$ es el parámetro de interés:
1. $H_0: \theta \leq k$ vs $H_1: \theta > k$, prueba de hipótesis (unilateral o de una cola) a la derecha.
2. $H_0: \theta \geq k$ vs $H_1: \theta < k$, prueba de hipótesis (unilateral o de una cola) a la izquierda.
3. $H_0: \theta = k$ vs $H_1: \theta \ne k$, prueba de hipótesis (bilateral o de dos colas).
Comentarios:
1. $H_0$ siempre se refiere a un valor específico del parámetro $\theta$ (como, por ejemplo, $\mu$) y no al estadístico correspondiente (como $\overline{X}$).
2. $H_0$ siempre debe contener un signo igual respecto al valor especificado del parámetro. Por ejemplo, la hipótesis nula debe escribirse así: \[H_0:\mu=36,\quad H_0:\mu\leq 36 \quad \mbox{o}\quad H_0:\mu\geq 36\]
3. $H_1$ nunca debe contener un signo igual respecto al valor especificado de parámetro de población. Por ejemplo, la hipótesis alternativa debe escribirse así: \[H_1:\mu\ne 36,\quad H_1:\mu<36\quad \mbox{o} \quad H_1:\mu>36\]

2 Errores de tipo I y de tipo II

Como se indica en el cuadro 3.1, hay dos tipos de errores: I y II.

3 Estadístico de prueba

Un ESTADÍSTICO DE PRUEBA es un estadístico (es decir, una función que sólo depende de la información muestral) que se utiliza para determinar si se rechaza, o no, la hipótesis nula.
La distribución de un estadístico de prueba depende de unas condiciones o supuestos que deben cumplirse. Haciendo click en este documento, usted encontrará las tablas de supuestos correspondientes.

4 Región crítica

La REGIÓN CRÍTICA es el conjunto de todos los valores del estadístico de prueba para los cuales la hipótesis nula será rechazada.
En la sección 9 se presentan documentos, dentro los cuales se muestra la forma de la región crítica para diferentes pruebas.
Comentario: La hipótesis nula será rechazada si y sólo si el valor observado o calculado del estadístico de prueba se ubica en la región de rechazo.

5 P-valor (o valor P)

A). Definición:

El $P$-valor es el mínimo nivel de significancia bajo la cual $H_0$ es rechazada.

B). Regla de decisión (al nivel $\alpha$):

Se rechaza $H_0$ cuando $P\mbox{-valor} \; \leq \; \alpha$.
No se rechaza $H_0$ cuando $P\mbox{-valor} \; > \; \alpha$.

C). Fórmula para hallarlo:

El $P$-valor se calcula de la siguiente manera:

\[\text{$P$-valor} \;= \; \begin{cases} P(X\leq x), & \text{para una prueba de una cola a la izquierda}, \\ & \\ P(X\geq x), & \text{para una prueba de una cola a la derecha}, \\ &\\ 2\,P(X\geq |x|),& \text{para una prueba de dos colas}. \end{cases} \]

Aquí: $X$ representa uno de los estadísticos de prueba: $Z$, $t$, $F$ o $\chi^2$. Además, $x$ es el llamado valor de prueba, el cual es un posible valor de $X$.

El código para escribir la expresión anterior es:

$$\text{$P$-valor} \;= \;
 \begin{cases}
   P(X\leq x), & \text{para una prueba de una cola a la izquierda}, \\
   & \\
   P(X\geq x), & \text{para una prueba de una cola a la derecha},  \\
   &\\
   2\,P(X\geq |x|),& \text{para una prueba de dos colas}.
 \end{cases} $$

6 “Aceptar“ vs “Rechazar”

Comentarios acerca de los términos “aceptar“ y “rechazar”:

Al “aceptar“ una hipótesis nula, no estamos asegurando necesariamente que haya mucho en su favor.
Una afirmación más precisa, aunque más pedante, sobre la situación puede ser “los datos disponibles no proporcionan suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula, dado que queremos fijar en ® la probabilidad de rechazar una hipótesis nula que es cierta”.
Nosotros seguiremos usando “aceptar“ como una manera eficiente de expresar la idea anterior.

7 Algunos contrastes

Haciendo click en los siguientes documentos, podemos encontrar pruebas de hipótesis para algunos parámetros poblacionales. Dentro de cada uno de ellos se explica la teoría correspondiente y se presentan ejemplos de aplicación.

8 Ejercicios

Crear un nuevo documento R Markdown, realizando los ejercicios que se indican abajo.

Decida si cada una de las siguientes afirmaciones es realmente una hipotésis estadística. Explique cada una de sus respuestas.
1. $H: s^2 \leq 0.60$
2. $H: \sigma_1 / \sigma_2 > 1$
3. $H: \overline{X}_1-\overline{X}_2=4$
4. $H: \sigma > 10$
5. $H: \overline{x}=3$
6. $H: \lambda \leqslant 0,01$, donde $\lambda$ es el parámetro de una distribución exponencial empleada para un modelo de duración de componentes.
Dados los siguientes pares de afirmación, indique cuál no cumple con nuestras reglas para establecer hipótesis. Explique. Tome en cuenta que los subíndices 1 y 2 distinguen cantidades para dos poblaciones o muestras diferentes.
1. $H_0: \mu=12$, $H_1: \mu=15$
2. $H_0: \sigma_1/\sigma_2=1$, $H_1: \sigma_1 / \sigma_2 \neq 1$
3. $H_0: p_1-p_2=-0,3$, $H_1:p_1-p_2 < -0.3$
4. $H_0: \mu=10$, $H_1: \mu > 10$
5. $H_0: \sigma=2$, $H_1: \sigma \leq 2$
6. $H_0: p \neq 0.43$, $H_1: p=0,43$
7. $H_0: \mu_1-\mu_2=30$, $H_1: \mu_1-\mu_2 > 30$
8. $H_0: S^2_1=S^2_2$, $H_1: S^2_1 \neq S^2_2$
Un empresario se interesa en la eficacia de un curso de capacitación para lograr que más empleados de sus empresas sean eficientes.
1. ¿Qué hipótesis nula prueba si comete un error del tipo I al concluir de manera errónea que el curso de capacitación no es efectivo?
2. ¿Qué hipótesis nula prueba si comete un error del tipo II al concluir de forma errónea que el curso de capacitación es efectivo?
Suponga que realizamos una prueba de hipótesis con un nivel de significancia igual a 0.05. Determine si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas:
1. La probabilidad de cometer un error de tipo I es 0.95.
2. La probabilidad de rechazar H0 es 0.05.
3. La probabilidad de cometer un error de tipo I es 0.05.
Considere cada una de las situaciones siguientes. Luego, para cada decisión establezca si es correcta y, si se aplica, indique el tipo de error. Suponga que $H_0$: “el tiempo de vida de la batería A no excede el de la batería B”.
1. Cambiar a A cuando B tenga la misma duración o una mayor.
2. Conservar B cuando A dure más.
3. Conservar B cuando dure al menos lo mismo.
4. Cambiar a A cuando dure al menos lo mismo.
Cuando dejamos de rechazar $H_0$, ¿por qué no aceptamos automáticamente $H_0$? Explique.

9 Enlaces y materiales de ayuda

LLinás, H., Estadística inferencial. Barranquilla: Editorial Universidad del Norte, 2006.
Geogebra: https://www.geogebra.org