"Видимо, вопрос технического превосходства будет определяющим моментом в истории мира." Ю.Семенов, Семнадцать мгновений весны

library(binom)
library(Bolstad)
library(pwr)
library(ggplot2)

Нобелевская премия по экономике за 2012 год еще раз подтвердила важность и практическую ценность теории игр как универсального инструмента математического анализа оптимального поведения в условиях рыночных отношений. Алгоритм Гейла-Шэпли описывает ситуацию, в которой игроки делают отложенный выбор и при этом сохраняют общее равновесие игры, не нарушая сложившийся баланс. Остается надеется, что сформулированный авторами метод позволит в будущем разрешить множество нерешенных на данный момент острых и противоречивых ситуаций в мире, к числу которых безусловно относится проблема ПРО. Предваряя любопытство читателя, связанное с интригой затронутого вопроса, автор заранее просит не возлагать на него крайне непосильную и в высшей степени неблагодарную работу по поиску и исправлению чьих-либо ошибок. Читателю также не стоит обольщаться на тот счет, что автор будет предаваться глубоким размышлениям и всесторониим оценкам в поиске истины там, где ее в принципе найти нельзя ибо политика это искусство возможного, а математика, как известно, принадлежит к точным дисциплинам и оперирует числами, а не настроениями и капризами сильных мира сего. В одном читатель может быть уверен - он получит то, что ищет. Впрочем, автор не уверен, что читатель ищет там, где надо. Итак, в путь, и да поможет нам ... Джон Нэш.

Мы начнем с азов теории вероятностей, которых, впрочем, с лихвой хватит для того, чтобы понять в какую бездну невежества можно опуститься, если верить всем на слово, не проверяя сказанное числом. Но в начале, немного исторических фактов. Дело в том, что первый, пусть и примитивный по современным меркам, опыт противоракетной обороны получили англичане во время второй мировой войны, подвергаясь обстрелам немецких Фау-1 и Фау-2. Хотя немцы к концу войны не успели довести систему управления (наведения) своих баллистических ракет до требуемой точности попадания, варварские обстрелы Лондона навели англичан на мысль о том, что бороться с ракетами только на конечном участке траектории - крайне неэффективно. Выяснилось, что гораздо проще уничтожать ракеты Фау-2 до того, как они взлетят, т.е. на старте. Кроме того, в полете ракету Фау-1 также можно вывести из строя, если удастся перехватить. Вот и получается, что первая эшелонированная система ПРО была создана в Англии в середине 40-х годов прошлого века, а не в США в начале 21-го века, как некоторые наивно полагают. Правда, эта система просуществовала недолго и была несовершенной: немцы хорошо маскировали свои стартовые площадки, а английские летчики редко успевали перехватить ФАУ-1 в полете, не говоря о том, что Фау-2 на конечном участке летели со скоростью 5 км/сек - были неуязвимы для ПВО.

Итак, по условиям задачи, на историческом примере обстрела Лондона немецкими Фау-2 известно, что траектория полета баллистической ракеты имеет три фазы: начальную, промежуточную и завершающую. Предположим, что вероятность перехвата и уничтожения ракеты на каждом из участков равна \(50%: P_1=P_2=P_3=0.5\), хотя в действительности даже у Фау-2 \(P_3=0.001\). Вопрос: какова вероятность перехвата и уничтожения ракеты хотя бы на одном из участков? Ответ: \(P=1-(1-0.5)^3=0.875\). Этого вполне хватило бы для перехвата ФАУ-2, если бы не одно обстоятельство: таких перехватов на тысячи пусков ФАУ-2 были единицы. Иными словами, реальная вероятность перехвата ракеты в полете составляла десятые доли процента – \(0.1%\). В этом случае, даже если оставить без изменения вероятность вскрытия и уничтожения ракеты на старте \(P_1=0.5\), имеем уже другой результат: \(P=1-(1-0.5)(1-0.001)(1-0.001)=0.499\). С такой вероятностью перехвата система ПРО никому не нужна.

Теперь вернемся к системе ПРО США по состоянию на 2012 год (оценки современного состояния ПРО США можно найти здесь https://rpubs.com/alex-lev/480326, сопоставив динамику развития и технического совершенства системы). Что мы имеем: все те же три участка траектории полета МБР. Но вероятность перехвата на первом участке, если верить Пентагону, равна 90%. Давайте проверим. Имеем: 28 испытаний, в которых 23 оказались успешными. Получаем: P1=23/28=0.82 или 82%. Врут американцы? Не торопитесь с выводами, как это делают некоторые, кто уже десять лет из МБР делает БРПЛ и втирает очки другим. Для проверки существует пропорциональный тест выборки - проверка гипотезы о значении вероятности. Воспользуемся тестом, в котором будут проверены две гипотезы: \(H_0:P=0.9\) и \(H_1:P\neq0.9\).

По результатам теста имеем:  нулевая гипотеза \(H_0:P=0.9\) остается в силе.

Test of p = 0,9 vs p not = 0,9

Sample   X   N  Sample p         95% CI         Z-Value  P-Value
1       23  28  0,821429  (0,679569; 0,963289)    -1,39    0,166

В качестве альтернативы для проверки нулевой гипотезы можно использовать биномиальный тест:

binom.test(x = 23,n = 28,p = 0.9,alternative = "two.sided",conf.level = 0.95)
## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  23 and 28
## number of successes = 23, number of trials = 28, p-value = 0.1944
## alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.9
## 95 percent confidence interval:
##  0.6310667 0.9393571
## sample estimates:
## probability of success 
##              0.8214286

Иными словами, выборка из 28-и испытаний Aegis SM-3 позволяет Пентагону утверждать с необходимой надежностью, что вероятность перехвата на начальном участке полета будет в пределах 95% доверительного интервала \(0.63\le P\le0.93\). Заметим, что автор преднамеренно ушел от обсуждения результатов последних испытаний, полагая некорректным проводить выше названный тест из расчета 56 успешных перехватов в 71 испытании: каждая из трех систем (THAAD, Aegis, PATRIOT) должна оцениваться по этому тесту самостоятельно.

Пропорциональный тест выборки  из 18-ти испытаний «изделия», в которых было 11 успешных, желающие могут провести самостоятельно, предварительно выпив валерьянки. Держитесь за стул крепче, любители айпэдов и айфонов! Впрочем, перехватывать «болванки», летающие с такой вероятностью, могли бы и английские летчики на спитфайерах.

Test of p = 0,9 vs p not = 0,9

Sample   X   N  Sample p         95% CI         Z-Value  P-Value
1       11  18  0,611111  (0,385903; 0,836320)    -4,09    0,000

Нулевая гипотеза отклоняется, а все громкие заявления о надежности «изделия» и достаточности проведенных испытаний подвергаются тщательной проверке: с такой нижней границей 95% доверительного интервала (0.39) надо вкалывать с  утра до вечера и без выходных, честно  отрабатывая бюджетные затраты на удовлетворение собственного любопытства. Ох, и дурят же нашего брата.

Причем эта оценка получена при допущении о нормальном законе распределения. На самом деле мы имеем дело с биномиальным законом распределения, при котором нижняя граница окажется более скромной - 6/18=0.33.

binom.test(x = 11,n = 18,p = 0.9,alternative = "two.sided",conf.level = 0.95)
## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  11 and 18
## number of successes = 11, number of trials = 18, p-value = 0.001172
## alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.9
## 95 percent confidence interval:
##  0.3574512 0.8270141
## sample estimates:
## probability of success 
##              0.6111111

 

Существует еще один проверенный способ охладить пыл любителей научной фантастики - критерий Хи-квадрат. Воспользуемся этим универсальным критерием для ответа на простой вопрос: есть ли разница между результатами испытаний "изделия" и игрой в орлянку (орел-решка)?

Проверим нулевую гипотезу о равенстве (близости) распределений этих двух случайных процессов. Поясним наши рассуждения. Если количество успешных испытаний равно 11, а неудачных - 7, то при равновероятном исходе оба события должны наступить 9 раз. Итак, имеем расчетное для нашей задачи значение критерия: \((11-9)(11-9)/9 + (7-9)(7-9)/9=8/9\), что заведомо ниже предельного значения 3.84. Иными словами, угадать результаты испытаний можно, подбрасывая монету: 50%/50%.

Теперь, поставим вопрос в практической плоскости: какова вероятность при 20 пусках получить не менее 15 (75%) успешных, если вероятность при каждом пуске имеет значение 0,61? Используя биномиальный закон распределения, получим 0,14. А если бы мы взяли нижнюю границу доверительного интервала? Грустно, девицы!

sum(dbinom(x = 15:20,size = 20,prob = 0.61))
## [1] 0.1452854

Во избежание шквала обвинений в предвзятости приведенных сравнительных оценок, автор предлагает читателю ознакомиться с оценкой мощности выборки при проведении испытаний, о которой всегда следует помнить, невзирая на личности конструкторов и параметры систем. Мощность выборки показывает нам, с какой вероятностью мы можем обнаружить разницу между нулевой и альтернативной гипотезами в результате проведенных испытаний.

Итак, вопрос: сколько нужно провести испытаний для проверки надежности системы Aegis SM3 по верхней границе 95% доверительного интервала - 0.96 при уровне мощности выборки 90%? Ответ: 40, хотя 28 вполне достаточно на уровне мощности 85%.

Сколько нужно провести испытаний для проверки надежности «изделия» по верхней границе 95% доверительного интервала - 0.84 при уровне мощности выборки 90%? Ответ: 35. Даже на уровне мощности чуть выше 80% необходимо 25 испытаний.

Заметим, что для «изделия» мы взяли значение верхней границы надежности 0.84. Но если взять 0.9 (чего только не сделаешь, чтобы выдать желаемое за действительное), то получим - 18. Вот оно «поле чудес в стране дураков». Все хорошо, прекрасная маркиза. Следуя этой лукавой логике, можно было провести и 12 испытаний на уровне мощности 80%. Жаль, не получилось.

Отсюда напрашивается вывод: кто хочет быть уверенным в гарантированной надежности системы, проводит столько испытаний, сколько необходимо согласно приведенному тесту. Кроме того, в ходе испытаний непрерывно улучшает систему, используя методологию «6 сигм» (six sigma improvement techniques). Тогда и пироболты срабатывать будут не через раз, и ступени разделятся будут как положено. Возвращаясь к результатам последних испытаний ПРО, попробуем определить, сколько необходимо провести испытаний для проверки нулевой и альтернативной гипотез: истинное значение вероятности перехвата \(P=0.9\) и \(P\lt0.9\) при условии, что значение пропорции выборки составляет 56/71=0,788?

Test for One Proportion

Testing p = 0,9 (versus < 0,9)
Alpha = 0,05

              Sample  Target
Comparison p    Size   Power  Actual Power
        0,79      86    0,90      0,901991
        0,79     112    0,95      0,950180

Ответ: 86 испытаний на уровне мощности 90% и 112 испытаний на уровни мощности 95%. Хотя полученные оценки сделаны при допущении о равноценности трех систем, что является весьма грубым преувеличением, тем не менее они не дают поводов Пентагону почивать на лаврах.

Зададим полную группу попарно несовместных событий, связанную с прорывом эшелонированной системы ПРО: \(А_0\) - неуспешный старт (сход с траектории) МБР, \(А_1\) - уничтожение МБР на активном участке, \(А_2\) - уничтожение МБР на пассивном участке, \(А_3\) - уничтожение ГЧ МБР на конечном участке, \(А_4\) - прорыв ГЧ МБР через ПРО. Отказы МБР и ее систем на всех трех участках траектории будем считать маловероятными, хотя это достаточно сильное допущение.

Имеем \(Р(А_0) + Р(А_1) + Р(А_2) + Р(А_3) + Р(А_4) = 1\). Будем считать в качестве заданных значений \(Р(А_0)=0.05\) (в надежде, что изделие будет взлетать штатно в 95% испытаний), для упрощения примем \(Р_1=Р_2=Р_3=0.9\) - вероятности попадания противоракет на каждом из участков. Обратите внимание, что это условные вероятности. Например, для попадания противоракеты на первом участке МБР должна взлететь, на втором - МБР должна взлететь и не быть сбитой на первом, на третьем - взлететь и не быть сбитой на двух предыдущих участках, и наконец - для полного прорыва МБР должна взлететь и пройти через все три участка (эшелона ПРО) целой и невредимой.

Итак, на первом участке имеем: \(Р(А_1)=Р_1(1-Р(A_0)=(0.9)(0.95)=0.855\). Сумма вероятностей двух событий \(Р(А_0)+Р(А_1)=0.05+0.855=0.905\), вычитаемая из полной суммы вероятностей всех событий \(\sum{P(A_i)}=1\) дает нам оценку шансов МБР взлететь и прорваться через первый эшелон ПРО на следующие два участка - \(0.195\). Не так уж и много, учитывая, что мы подняли надежность старта изделия с 61% до 95% - можно сказать на треть продлили ресурс и выполнили наказ "не сомневаться в надежности изделия". Для второго участка имеем \(Р(А_2)=Р_2(1-Р_0)(1-Р_1)=(0.9)(0.95)(0.1)=0.0855\). Если мы сложим вероятности трех событий \(А_О\), \(А_1\), \(А_2\) и вычтем из полной суммы вероятностей всех событий, то получим шансы МБР взлететь и прорваться через два эшелона ПРО: \(1- Р(А_0) - Р(А_1) - Р(А_2) = 0.0095\). Откровенно говоря, шансы мизерные, но не будем унывать - мы еще не дошли до самого интересного.

На третьем, завершающем участке нас ждет небольшой сюрприз. Дело в том, что теперь нам необходимо рассмотреть два случая: моноблочная ГЧ и РГЧ. Это две большие разницы, как говорят в Одессе. Одно дело поражать один блок, другое дело - десять, которые еще и маневрируют на гиперзвуковой скорости, если верить тому, что говорят. Мы поверим, и для первого случая оставим принятое вначале значение - \(Р_3=0.9\), а для второго случая будем считать, что попасть в маневрирующий блок можно с вероятностью 50% (бросаем монету) - \(P_3=0.5\). Теперь для второго случая нам необходимо вычислить вероятность попадания во все десять блоков десятью противоракетами. Воспользуемся графическим способом.

dbinom(x=10,size = 10,prob = 0.5)
## [1] 0.0009765625

Имеем для второго случая \(Р_3=0,0009766\). С такой вероятность попадания можно не десять, а все сто противоракет использовать. Одним словом, Змей Горыныч да и только.

Вычислим вероятность для события \(А_3\) в двух случаях: \(Р_3=0.9\) и \(Р_3=0.0009766\). Первый случай (моноблок): \(Р(А_3)=(0.9)(0.95)(0.1)(0.1)=0.00855\). Второй случай (РГЧ): \(Р(А_3)=0.000009277\).

Сложим все вероятности и вычтем из полной суммы: \(Р(А_4)=1-Р(А_0)-Р(А_1)-Р(А_2)-Р(А_3)\). Получим шансы МБР взлететь и прорваться через три эшелона ПРО. Для первого случая имеем

\(Р(А_4)=1-0.05-0.855-0.0855-0.00855=0.00095\). Для второго случая: \(Р(А_4)=0.00949\). Во втором случае шансы увеличились на порядок, что на первый взгляд может порадовать.

Из всех наших вычислений и рассуждений напрашивается банальный вывод: что толку маневрировать на гиперзвуковой скорости, если шансы показать весь этот аттракцион на завершающем участке ничтожно малы. Именно на первом участке решается вопрос ребром: есть шансы на прорыв или нет. Следовательно, необходимо искать способы нейтрализации системы ПРО в первую очередь на активном участке, а потом уже хвалиться гиперзвуковыми маневрирующими РГЧ. К сожалению, зрители этих аттракционов теории вероятностей не изучали.

После краткого экскурса в историю второй мировой войны и теорию вероятностей можно переходить к конечной цели наших изысканий в области ПРО – теории игр, с которой начался наш разговор.

Для этого сформулируем условия игры: определим игроков, наборы стратегий (ходов) и выигрыши. Итак, что мы имеем. Ограничимся двумя игроками (№1 – США/US и №2 – РФ/RU), цели которых в игре противостояния (мягко сказано) в области ПРО на сегодняшний день без преувеличения концентрировано отражают:  с одной стороны, стремление США достичь военно-технического превосходства над РФ, укрепить пошатнувшееся единство союзников по НАТО и продемонстрировать другим (Китаю, Ирану, КНДР ….) бесперспективность баллистических ракет, как инструмента политического давления на США и их союзников. Цели другой стороны не менее амбициозны – вернуть утраченный за 20 лет баланс сил, напомнить о былом могуществе, сохранить любой ценой статус независимого и полноправного партнера. При этом не будем забывать, что за этой игрой внимательно наблюдает весь мир, в котором уже появились новые игроки, желающие принять участие в игре. 

Будем считать, что у каждой из сторон, участвующих в игре, есть набор из двух стратегий: первая - развивать и совершенствовать ПРО (BMD), вторая - развивать и совершенствовать средства преодоления и нейтрализации ПРО (MARV). Выбор игрока №1 (US) очевиден – развивать ПРО для достижения названных выше целей, при этом считая свой потенциал триады СЯС вполне достаточным для сохранения баланса сил в игре. Выбор  игрока №2 (RU) также очевиден – совершенствовать средства преодоления и нейтрализации ПРО. Но почему именно эти стратегии оказались доминирующими в игре? Рассмотрим развернутую и нормальную формы нашей игры.

Развернутая форма игры

Выигрыши игроков при каждом из возможных ходов, связанных с выбором стратегии, для простоты будем выражать целыми числами: 1, 2, 3, 4. Если на выбор игроком №1 стратегии ПРО игрок №2 ответит аналогичной стратегией, результат очевиден: у игрока№1 на лицо явное преимущество в технологиях и программах развития ПРО, в то время как у игрока №2 этого нет или по крайне мере явно не хватает. В этом случае выигрыш игрока №1 равен 2, а игрока №2 – 1. Но если игрок №2 в ответ на ход игрока №1, связанный с развитием  ПРО, ответит развитием средств преодоления и нейтрализации ПРО (маневрирующие РГЧ, Искандер, новая тяжелая МБР, то ситуация резко изменится. В этом случае, игрок №1 получит выигрыш равный 4: его затраты на ПРО будут с лихвой окуплены, оправданы перед налогоплательщиками и предвосхитят развитие МБР со стороны маргиналов. Игрок №2 также получит максимальный выигрыш, равный  4: затраты на создание и развитие средств преодоления ПРО значительно меньше затрат на создание новых технологий и сокращение технологического отставания в области ПРО. Кроме того, для потенциальных маргиналов, развивающих программы создания МБР,  это послужит предостережением – ребята, даже не пытайтесь на нас оказывать давление.

Теперь рассмотрим ход игрока №1, связанный с выбором стратегии, связанной с развитием средств преодоления ПРО. Теоретически такой ход исключить нельзя, но потенциал СЯС и наличие резервных систем управления и связи игрока №1 таковы, что не оставляют шансов для реальной угрозы со стороны игрока №2 и потенциальных маргиналов, в особенности. Следовательно, при этом ходе выигрыш игрока №1 в случае, если игрок №2 выберет такой же ход, связанный с развитием средств преодоления ПРО, составит 2. Выигрыш игрока №2 также будет равен 2. Имеем ничью по этим ходам. И наконец, при выборе игроком №1 хода по развитию средств преодоления ПРО, а игроком №2 – хода, связанного с развитием ПРО (ситуация из области научной фантастики) имеем выигрыш игрока №1 равный 1, а для игрока №2 – 2. В этом случае, преимущество будет на стороне игрока №2. Анализ игры по методу мини-макса выделяет в качестве предпочтений для игрока №1 стратегию развития ПРО, а для игрока №2 – стратегию преодоления и нейтрализации ПРО. Таким образом, имеем игру, в которой каждая из сторон придерживается доминирующей стратегии, в результате чего достигается равновесие игры согласно теореме Джона Нэша.

В этом случае, отход игроками от выбранных стратегий в любую сторону приводит к ухудшению их положения. Во всяком случае, на ближайшие 10 лет, можно гарантировать что, это равновесие будет сохраняться. Почему? Программа США по развитию системы ПРО на всех трех участках рассчитана на 10 лет. По тем результатам испытаний, которые проведены в США на сегодняшний день (без учета развития средств преодоления и нейтрализации ПРО) вероятность перехвата МБР хотя бы на одном из участков траектории составляет величину \(P=1 - (1-0.9)(1-0.6)(1-0.8)=0.992\). Вполне приемлемо для гарантированной защиты от одиночных пусков МБР со стороны маргиналов. На этот же срок упреждения рассчитаны и программы средств преодоления и нейтрализации ПРО у РФ. Выдвинутая США инициатива сократить в одностороннем порядке свой ядерный арсенал наглядно подтверждает справедливость выводов, сделанных на основании построенной игровой модели: американцы могут позволить себе сделать подобный широкий жест, а мы - нет. Для нас это невыгодно, и более того, бессмысленно, помятуя о ядерных программах Северной Кореи и Ирана. А если вспомнить о ракетно-ядерном поясе вдоль наших границ (Иран, Индия, Пакистан, Китай, КНДР), то США нас просто толкают на безумную авантюру разоружения, от которой выиграют только американцы.

Как изменится ситуация в игре, какие новые стратегии и игроки могут в ней появится через 10 – 15 лет – загадка (ответ на совершенствование ПРО США выразился в создании РФ гиперзвуковых средств преодоления (Авангард) и нейтрализации (Кинжал) рубежей перехвата). Одно можно утверждать с большой долей достоверности, учитывая все наши предыдущие рассуждения и исторический опыт программы СОИ – научно-технический прогресс остановить нельзя, следовательно, нельзя исключить появления новых материалов и прорывных технологий, оригинальных конструкторских и инженерно-технических решений и их экономически обоснованного воплощения в перспективные системы. Например, программа ДАРПА по созданию твердотельного транзисторного усилителя, работающего на частоте 1ТГц, уже принесла свои плоды, и позволит, в конечном счете, ускорить долгожданное для Пентагона появление нового поколения бортовых систем радиолокационного обнаружения, связи, высокопроизводительных вычислительных систем.

Выигрыш получат обе стороны, соблюдая достигнутое равновесие, но сумеют ли стороны правильно им воспользоваться? Опыт конфликтов низкой интенсивности последних двух десятилетий (Афганистан, Ирак, Ливия, Сирия, Карабах …) показывает, что участники таких конфликтов мало обращают внимания на наличие СЯС и ПРО у одной из сторон, зато очень внимательно относятся к ВТО и БЛА. Например, израилитяне сбивают в среднем 3 из 5 НУРС, запущенных из сектора Газа, но это в большей степени служит моральным стимулом для подъема духа армии и населения, чем для отрезвления противника, который получает в ответ авиационный удары в качестве возмездия за обстрелы.

Александр ЛЕВАКОВ