Duda punto (4b)

Simule y grafique solo \(Z_t\) para 30 pasos en el tiempo con \(\omega = \pi\) y \(\sigma = 1\). (Para la simulación coloque la semilla del generador de números aleatorios igual a su número de cedula)

\[Z_t = A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t)\]

\(A\) y \(B\) son 2 variables independientes \(N(0, \sigma^2)\) y \(\omega\) es una constante.

PREGUNTA: ¿CÓMO SERÍA LA GRÁFICA DE \(Z_t\) teniendo en cuenta que son 30 PASOS EN EL TIEMPO?

Si el tiempo se discretiza (uniendo con líneas rectas)

En este caso, se siguen las instrucciones al pie de la letra, sin embargo, no se obtiene una onda, ya que se está discretizando el tiempo. \(t = {1, 2, 3, ..., 30}\).

## Warning: package 'latex2exp' was built under R version 4.0.3

Si el tiempo NO se discretiza

En este caso, si obtenemos una ecuación de una onda como lo sugiere la ecuación que gobierna la realización, pero acá t NO ES \({1, 2, 3, ...}\) si no que acá se considera el intervalo \([0, 30]\) de forma real.

CÓDIGOS

Gráfica 1

library(latex2exp)

# Parámetros
omega <- pi
sigma <- 1

# Variables aleatorias 
set.seed(1000)
A <- rnorm(n = 1, mean = 0, sd = sigma)
B <- rnorm(n = 1, mean = 0, sd = sigma)

# Proceso
t <- seq(from = 1, to = 30, by = 1)
Z_t <- A * sin(omega * t) + B * cos(omega * t)

# Gráfico
plot(t, Z_t, pch=19, col="red", ylim = c(-2,2),
     xlab = "t",
     ylab = TeX("$Z_t$"),
     main = "Simulación de una realización del proceso",
     type = "l")

Gráfica 2

library(latex2exp)

# Parámetros
omega <- pi
sigma <- 1

# Variables aleatorias 
set.seed(1000)
A <- rnorm(n = 1, mean = 0, sd = sigma)
B <- rnorm(n = 1, mean = 0, sd = sigma)

# Proceso
t <- seq(from = 1, to = 30, by = 0.01)
Z_t <- A * sin(omega * t) + B * cos(omega * t)

# Gráfico
plot(t, Z_t, pch=19, col="red", ylim = c(-2,2),
     xlab = "t",
     ylab = TeX("$Z_t$"),
     main = "Simulación de una realización del proceso",
     type = "l")