USO DE LA CADENA DE MARKOV PARA PREVER LA RESERVA DE VENTAS

Preguntas

1. Explique según el contexto del caso si la transición entre las etapas de cada oportunidad podría modelarse usando una cadena de Markov de orden 1.

Sea Xn el estado en el cual se encuentra la oportunidad en el n-esimo mes

Propiedad de Markov: se logra evidenciar en el caso harvard de la compañia We Sell Everything in Software’ (WSES) Inc. que a medida que la oportunidad de venta avanza por las etapas establecidas antes de firmar el contrato, se actualiza su estado en el sistema global de gestion de ventas. Teniendo en cuenta esto se puede llegar a conocer el estado al que pasara la misma en el siguiente mes, sin necesidad de conocer las etapas previas a la actual por las que avanzo la oportunidad en el proceso de ventas, es decir, que la distribucion de probabilidad del estado futuro solo depende del estado presente del proceso.
Estacionariedad Temporal: Dado del contexto del caso de la compañía We Sell Everything in Sofware’ (WSES) Inc es posible establecer que las probabilidades de avanzar en el proceso para las oportunidades de venta dependen únicamente del estado en el que se encuentra y no del mes en el que se analiza, debido a que la empresa cuenta con un procedimiento estándar para manejarlas, es decir, los estados por los que puede pasar la oportunidad de venta no varían según el periodo de tiempo. En consecuencia, la probabilidad de avanzar a una etapa para una oportunidad de venta es la misma es la misma en cualquier mes.
Estacionariedad espacial:De acuerdo con la naturaleza de la compañía We Sell Everything in Sofware’ (WSES) Inc se puede inferir que el comportamiento de la probabilidad de los clientes es diferente y depende de que tan atractiva es la oportunidad de venta para la empresa, puesto que los ingresos generados por cada uno de los clientes es diferente y se puede llegar a la conclusión de que WSES se inclinara por dar prioridad a los procesos que a largo plazo generen una mayor utilidad y con los cuales se llegue a una fidelización con la organización. Cabe aclarar que WSES no pretende dejar de lado a los clientes que generen menores ingresos.
Orden de la Cadena: Si bien el caso de la compañía We Sell Everything in Sofware’ (WSES) Inc se puede modelar como una cadena de markov de tiempo discreto de primer orden la posibilidad de conocer el estado actual y el estado previo a este genera una mayor precisión en la estimación de las ventas al final del periodo, debido a que hay un mayor ajuste en las probabilidades de transición.

2. Para cada uno de los datos obtenidos en cada mes

Construya la matriz de frecuencias y realice estadística descriptiva.

str(DatosNoviembre)

## 'data.frame':    56210 obs. of  2 variables:
##  $ Cliente  : num  1 1 1 NA 2 2 2 2 NA 3 ...
##  $ Secuencia: chr  "A" "L" "L" NA ...

head(DatosNoviembre)

##   Cliente Secuencia
## 1       1         A
## 2       1         L
## 3       1         L
## 4      NA      <NA>
## 5       2         A
## 6       2         A

str(DatosDiciembre)

## 'data.frame':    56697 obs. of  2 variables:
##  $ Cliente  : num  1 1 1 1 1 1 NA 2 2 2 ...
##  $ Secuencia: chr  "A" "B" "B" "C" ...

head(DatosDiciembre)# primeros registros

##   Cliente Secuencia
## 1       1         A
## 2       1         B
## 3       1         B
## 4       1         C
## 5       1         L
## 6       1         L

str(DatosEnero)

## 'data.frame':    56454 obs. of  2 variables:
##  $ Cliente  : num  1 1 1 1 1 1 1 1 NA 2 ...
##  $ Secuencia: chr  "A" "A" "A" "B" ...

head(DatosEnero)

##   Cliente Secuencia
## 1       1         A
## 2       1         A
## 3       1         A
## 4       1         B
## 5       1         B
## 6       1         C

A continuación se presentan las matrices de frecuencias observadas de los meses de noviembre, diciembre y enero.

#Matriz de Datos Noviembre
DatosNoviembre<-DatosNoviembre[,c("Secuencia")]
MatrizNoviembre <- createSequenceMatrix(DatosNoviembre)
MatrizNoviembre

##      A    B    C    L    W
## A 9949 5889    0 4111    0
## B    0 3978 4487 1402    0
## C    0    0 1905 2936 1551
## L    0    0    0    1    0
## W    0    0    0    0    1

#Matriz de Datos Diciembre
DatosDiciembre <- DatosDiciembre[,c("Secuencia")]
MatrizDiciembre <- createSequenceMatrix(DatosDiciembre)
MatrizDiciembre

##       A    B    C    L    W
## A 10100 6107    0 3893    0
## B     0 4013 4498 1609    0
## C     0    0 1977 2928 1570
## L     0    0    0    1    0
## W     0    0    0    0    1

#Matriz de Datos Enero
DatosEnero<-DatosEnero[,c("Secuencia")]
MatrizEnero <- createSequenceMatrix(DatosEnero)
MatrizEnero

##      A    B    C    L    W
## A 9912 6065    0 3935    0
## B    0 4023 4563 1502    0
## C    0    0 1890 3016 1547
## L    0    0    0    1    0
## W    0    0    0    0    1

Estadistica Descriptiva

# ESTADISTICA DESCRIPTIVA

#Datos Noviembre
DataFrameGrafN <- data.frame(partida=DatosNoviembre,llegada=lead(DatosNoviembre))%>%drop_na()
view(DataFrameGrafN)
ggplot(DataFrameGrafN,aes(x=partida,fill=llegada))+geom_bar(position = "fill")+labs(title = "Grafico de Barras Noviembre", subtitle = "Trancisiones CMTD", x="Estado de partida")

Para el mes de noviembre tal y como se puede observar en el gráfico de barras si se está en el estado A o B no hay probabilidad de pasar al estado W, mientras que en el estado C hay una probabilidad de pasar a W de 0.25, por otro lado, dado que los estados L y W son absorbentes tienen una probabilidad de 1 de permanecer en ellos mismos. Adicionalmente, todos los estados a excepción de W (A, B, C, L) pueden pasar a L con una probabilidad aproximada de 0.20, 0.125, 0.45 y 1.0 respectivamente. Finalmente, los estados A, B, C tienen una mayor probabilidad de pasar a A (0.05), C (0.45 aprox.) y C (0.45 aprox.) y una menor probabilidad de llegar a L (0.20 aprox.), L (0.125 aprox.) y W (0.25 aprox.) respectivamente.

barplot(table(DatosNoviembre),col=palette("Pastel1"))

TablaFrecuenciasNoviembre <- table(DatosNoviembre)
TablaFrecuenciasNoviembre

## DatosNoviembre
##     A     B     C     L     W 
## 19949  9867  6392  8450  1552

Adicional al gráfico de barras se tienen el grafico y la tabla de frecuencias, estos que muestran el número de oportunidades de venta que estuvieron en cada uno de los estados para el mes de noviembre. De esto se puede concluir que para este mes la mayoría de las oportunidades de venta estuvieron en el estado A (19949), mientras que la minoría se ganaron (estado W=1552) y 8450 se perdieron.

#Datos Diciembre

DataFrameGrafDic <- data.frame(partida=DatosDiciembre,llegada=lead(DatosDiciembre))%>%drop_na()
view(DataFrameGrafDic)
ggplot(DataFrameGrafDic,aes(x=partida,fill=llegada))+geom_bar(position = "fill")+labs(title = "Grafico de Barras Diciembre", subtitle = "Trancisiones CMTD", x="Estado de partida")

En cuanto al mes de diciembre se puede apreciar que el gráfico de barras es muy similar al del mes de noviembre, por lo que en este caso se pueden sacar prácticamente las mismas conclusiones que se sacaron del gráfico de dicho mes, sin embargo, hay que tener en cuenta que las probabilidades cambian, aunque no lo hagan de una manera altamente perceptible, es decir, las diferencias entre las probabilidades de los dos meses para cada uno de los casos son muy pequeñas y algunas veces pueden llegar a ser 0.

barplot(table(DatosDiciembre),col=palette("Pastel2"))

TablaFrecuenciasDiciembre <- table(DatosDiciembre)
TablaFrecuenciasDiciembre

## DatosDiciembre
##     A     B     C     L     W 
## 20100 10120  6475  8431  1571

Adicional al gráfico de barras se tienen el grafico y la tabla de frecuencias, estos que muestran el número de oportunidades de venta que estuvieron en cada uno de los estados para el mes de diciembre. De esto se puede concluir que para este mes la mayoría de las oportunidades de venta estuvieron en el estado A (20100), mientras que la minoría se ganaron (estado W=1571) y 8431 se perdieron

#Datos Enero
DataFrameGrafEnero<- data.frame(partida=DatosEnero,llegada=lead(DatosEnero))%>%drop_na()
view(DataFrameGrafEnero)
ggplot(DataFrameGrafEnero,aes(x=partida,fill=llegada))+geom_bar(position = "fill")+labs(title = "Grafico de Barras Enero", subtitle = "Trancisiones CMTD", x="Estado de partida")

El grafico de barras del mes de enero es muy similar al de los meses de noviembre y diciembre, por lo que no vale la pena sacar un análisis adicional, basta con ver las conclusiones mostradas en los gráficos de los dos meses anteriores.

barplot(table(DatosEnero),col=palette("Tableau 10"))

TablaFrecuenciasEnero <- table(DatosEnero)
TablaFrecuenciasEnero

## DatosEnero
##     A     B     C     L     W 
## 19912 10088  6453  8454  1548

Adicional al gráfico de barras se tienen el grafico y la tabla de frecuencias, estos que muestran el número de oportunidades de venta que estuvieron en cada uno de los estados para el mes de diciembre. De esto se puede concluir que para este mes la mayoría de las oportunidades de venta estuvieron en el estado A (19912), mientras que la minoría se ganaron (estado W=1548) y 8454 se perdieron.

Estime una cadena de Markov de orden 1.

A continuación se presentan las matrices de transición estimada de los meses de noviembre, diciembre y enero.

#Matriz de transiciones estimadas Noviembre
ObjetoMatrizEstimada <- markovchainFit(DatosNoviembre,method ="mle")
matrizEstimadaNoviembre <- ObjetoMatrizEstimada$estimate
matrizEstimadaNoviembre

## MLE Fit 
##  A  5 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states: 
##  A, B, C, L, W 
##  The transition matrix  (by rows)  is defined as follows: 
##           A         B         C         L         W
## A 0.4987217 0.2952028 0.0000000 0.2060755 0.0000000
## B 0.0000000 0.4031621 0.4547482 0.1420898 0.0000000
## C 0.0000000 0.0000000 0.2980288 0.4593242 0.2426471
## L 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.0000000
## W 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000

#Matriz de transiciones estimadas Diciembre

ObjetoMatrizEstimadaD <- markovchainFit(DatosDiciembre,method ="mle")
matrizEstimadaDiciembre <- ObjetoMatrizEstimadaD$estimate
matrizEstimadaDiciembre

## MLE Fit 
##  A  5 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states: 
##  A, B, C, L, W 
##  The transition matrix  (by rows)  is defined as follows: 
##           A         B         C         L        W
## A 0.5024876 0.3038308 0.0000000 0.1936816 0.000000
## B 0.0000000 0.3965415 0.4444664 0.1589921 0.000000
## C 0.0000000 0.0000000 0.3053282 0.4522008 0.242471
## L 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.000000
## W 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.000000

#Matriz de transiciones estimadas Enero

ObjetoMatrizEstimadaE <- markovchainFit(DatosEnero,method ="mle")
matrizEstimadaEnero <- ObjetoMatrizEstimadaE$estimate
matrizEstimadaEnero

## MLE Fit 
##  A  5 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states: 
##  A, B, C, L, W 
##  The transition matrix  (by rows)  is defined as follows: 
##           A         B         C         L         W
## A 0.4977903 0.3045902 0.0000000 0.1976195 0.0000000
## B 0.0000000 0.3987906 0.4523196 0.1488898 0.0000000
## C 0.0000000 0.0000000 0.2928870 0.4673795 0.2397335
## L 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.0000000
## W 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000

Realice el gráfico de estados.

A continuación se presentan los graficos de estados para los meses de noviembre, diciembre y enero respectivamente.

Gráfico de estados Noviembre

plot(matrizEstimadaNoviembre)

summary(matrizEstimadaNoviembre)

## MLE Fit  Markov chain that is composed by: 
## Closed classes: 
## L 
## W 
## Recurrent classes: 
## {L},{W}
## Transient classes: 
## {A},{B},{C}
## The Markov chain is not irreducible 
## The absorbing states are: L W

Teniendo en cuenta lo anteriormente expuesto, es posible concluir que al ser una cadena finita reducible, con estados tanto recurrentes como transitorios, no puede ser definida como una cadena de Markov ergodica. De igual manera, se pueden identificar dos estados absorbentes en L y W.

Gráfico de estados Diciembre

plot(matrizEstimadaDiciembre)

summary(matrizEstimadaDiciembre)

## MLE Fit  Markov chain that is composed by: 
## Closed classes: 
## L 
## W 
## Recurrent classes: 
## {L},{W}
## Transient classes: 
## {A},{B},{C}
## The Markov chain is not irreducible 
## The absorbing states are: L W

Gráfico de estados Enero

plot(matrizEstimadaEnero)

summary(matrizEstimadaEnero)

## MLE Fit  Markov chain that is composed by: 
## Closed classes: 
## L 
## W 
## Recurrent classes: 
## {L},{W}
## Transient classes: 
## {A},{B},{C}
## The Markov chain is not irreducible 
## The absorbing states are: L W

Pruebe el supuesto de Markov usando una prueba chi cuadrado.

#Datos Texto
DatosSinNANoviembre <- na.omit(Grupo_1_Datos_noviembre)
DatosTextoNoviembre<- as.character(DatosSinNANoviembre$Secuencia)
#Datos Noviembre
verifyMarkovProperty(DatosTextoNoviembre)

## Testing markovianity property on given data sequence
## Chi - square statistic is: 12.82915 
## Degrees of freedom are: 20 
## And corresponding p-value is: 0.8845936

Teniendo en cuenta que:

H0: Las observaciones del mes de noviembre cumplen con la Propiedad de Markov.

H1: Las Observaciones del mes de noviembre no cumplen con la Propiedad de Markov.

A un nivel de significancia del 5% y con un P-value de 0.8845, no se rechaza Ho, por tanto se puede concluir que las observaciones correspondientes al mes de noviembre cumplen con la propiedad de Markov.

#Datos Texto
DatosSinNADic <- na.omit(Grupo_1_Datos_diciembre)
DatosTextoDiciembre <- as.character(DatosSinNADic$Secuencia)
#Datos Diciembre
verifyMarkovProperty(DatosTextoDiciembre)

## Testing markovianity property on given data sequence
## Chi - square statistic is: 9.622056 
## Degrees of freedom are: 20 
## And corresponding p-value is: 0.9745189

Teniendo en cuenta que:

H0: Las observaciones del mes de diciembre cumplen con la Propiedad de Markov.

H1: Las Observaciones del mes de diciembre no cumplen con la Propiedad de Markov.

A un nivel de significancia del 5% y con un P-value de 0.9745, no se rechaza Ho, por tanto se puede concluir que las observaciones correspondientes al mes de diciembre cumplen con la propiedad de Markov.

#Datos Texto
DatosSinNAEnero <- na.omit(Grupo_1_Datos_Enero)
DatosTextoEnero<- as.character(DatosSinNAEnero$Secuencia)
#Datos Enero
verifyMarkovProperty(DatosTextoEnero)

## Testing markovianity property on given data sequence
## Chi - square statistic is: 7.193864 
## Degrees of freedom are: 20 
## And corresponding p-value is: 0.9959991

Teniendo en cuenta que:

H0: Las observaciones del mes de enero cumplen con la Propiedad de Markov.

H1: Las Observaciones del mes de enero no cumplen con la Propiedad de Markov.

A un nivel de significancia del 5% y con un P-value de 0.9959, no se rechaza Ho, por tanto se puede concluir que las observaciones correspondientes al mes de enero cumplen con la propiedad de Markov.

3. Use une prueba de homogeneidad entre las cadenas de Markov de cada mes para analizar si es posible crear una única cadena de Markov.

CadenadeMeses <- list(DatosNoviembre,DatosDiciembre,DatosEnero)
verifyHomogeneity(CadenadeMeses)

## Warning in verifyHomogeneity(CadenadeMeses): The accuracy of the statistical
## inference functions has been questioned. It will be thoroughly investigated in
## future versions of the package.

## Testing homogeneity of DTMC underlying input list 
## ChiSq statistic is 29.18102 d.o.f are 48 corresponding p-value is 0.9854071

## $statistic
## [1] 29.18102
## 
## $dof
## [1] 48
## 
## $pvalue
## [1] 0.9854071

Teniendo en cuenta que:

H0: \(p_{ij} (t)=p_{ij}∀ t\)

H1: \(p_{ij} (t)≠p_{ij}∀ t\)

A un nivel de significancia del 5% y con un p-value de 0.9854, no se rechaza H0 y por tanto se concluye que las cadenas son homogeneas, es decir, la probabilidad de que una oportunidad de venta pase de una etapa a otra no depende del mes sino unicamente del estado en el que se encuentre.

4. Construya la matriz agregada con todos los meses.

A continuacion se presentan la matriz agregada de frecuencias observadas y la matriz estimada de transiciones.

#Cargar Datos
view(MatrizAgregada)
MatrizAgregada <- as.data.frame(MatrizAgregada)

#Matriz Agregada de frecuencias 
MatrizAgregada<-MatrizAgregada[,c("Secuencia")]
MatrizAgregadaTotal <- createSequenceMatrix(MatrizAgregada)
MatrizAgregadaTotal

##       A     B     C     L    W
## A 29961 18061     0 11939    0
## B     0 12014 13548  4513    0
## C     0     0  5772  8880 4668
## L     0     0     0     1    0
## W     0     0     0     0    1

#Matriz estimada
ObjetoMatrizEstimadaAgregadaTotal<- markovchainFit(MatrizAgregada,method ="mle")
MatrizEstimadaAgregadaTotal <- ObjetoMatrizEstimadaAgregadaTotal$estimate
MatrizEstimadaAgregadaTotal

## MLE Fit 
##  A  5 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states: 
##  A, B, C, L, W 
##  The transition matrix  (by rows)  is defined as follows: 
##           A         B         C         L         W
## A 0.4996748 0.3012125 0.0000000 0.1991128 0.0000000
## B 0.0000000 0.3994680 0.4504738 0.1500582 0.0000000
## C 0.0000000 0.0000000 0.2987578 0.4596273 0.2416149
## L 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.0000000
## W 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000

5. Responda y analice las siguientes preguntas

¿Cuál es la probabilidad de que una oportunidad pase dos transiciones en la etapa A, después pase inmediatamente a la etapa B y de ahí se demore 5 transiciones en ser ganada?

#Matriz de un paso
UnPaso <- MatrizEstimadaAgregadaTotal
AB <- UnPaso[1,2]
AB

## [1] 0.3012125

#Matriz en 2 pasos
DosPasos <- MatrizEstimadaAgregadaTotal^2
AA <- DosPasos[1,1]
AA

## [1] 0.2496749

#Matriz en 5 pasos
CincoPasos <- MatrizEstimadaAgregadaTotal^5
BW <- CincoPasos[2,5]
BW

## [1] 0.2438196

ProbabilidadTotal <- (AB*AA*BW)
ProbabilidadTotal

## [1] 0.0183365

La probabilidad de que una oportunidad pase dos transiciones en la etapa A, después pase inmediatamente a la etapa B y de ahí se demore 5 transiciones en ser ganada es 0.0183.

Realice un gráfico que muestre cómo cambia la probabilidad anterior si se calcula desde tres a diez etapas, \(p_{𝐴−𝑊on}^3\), \(p_{𝐴−Won}^4\), … , \(p_{𝐴−Won}^{10}\). Analice los resultados.

DiezPasos <- MatrizEstimadaAgregadaTotal^10
AW10<-DiezPasos[1,5]
NuevePasos <- MatrizEstimadaAgregadaTotal^9
AW9<-NuevePasos[1,5]
OchoPasos <- MatrizEstimadaAgregadaTotal^8
AW8<-OchoPasos[1,5]
SietePasos <-MatrizEstimadaAgregadaTotal^7
AW7<-SietePasos[1,5]
SeisPasos <- MatrizEstimadaAgregadaTotal^6
AW6<-SeisPasos[1,5]
AW5<-CincoPasos[1,5]
CuatroPasos <- MatrizEstimadaAgregadaTotal^4
AW4<-CuatroPasos[1,5]
tresPasos <- MatrizEstimadaAgregadaTotal^3
AW3<-tresPasos[1,5]
AW2<-DosPasos[1,5]
AW1<-UnPaso[1,5]

VectorAW<- c(AW3,AW4,AW5,AW6,AW7,AW8,AW9,AW10)
VectorAW

## [1] 0.03278432 0.07205668 0.10375045 0.12528299 0.13857878 0.14631365 0.15063782
## [8] 0.15298892

ejex <- c(3,4,5,6,7,8,9,10)

plot(VectorAW, main="Comparación de A-W en n Pasos", xlab="Pasos", ylab="Probabilidades", x=ejex, col= palette("Dark2"))

Como puede apreciarse en la Gráfica de comparación la probabilidad de que una oportunidad de venta que inicie en la etapa A y culmine de manera exitosa el proceso, se aumenta a medida que se incrementa el numero de pasos, es decir, la probabilidad de pasar de A a W en 10 pasos es mayor a la probabilidad de hacer esta transición en tres pasos. Además, las probabilidades tienden a estabilizarse a mayor numero de pasos puesto que cada vez la diferencia entre una y otra es menor.

¿Cuál es la probabilidad de que una oportunidad en la etapa A termine siendo ganada después de tres etapas?

Siendo Xn el estado en el cual se encuentra la oportunidad en el n-esimo mes, entonces, nos piden: \(P(X_4=W/X_1=A) = p_{AW}^3\)

#Probabilidad de AW en tres pasos 
tresPasos

## MLE Fit^3 
##  A  5 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states: 
##  A, B, C, L, W 
##  The transition matrix  (by rows)  is defined as follows: 
##           A          B          C         L          W
## A 0.1247563 0.18339431 0.16254112 0.4965240 0.03278432
## B 0.0000000 0.06374498 0.16585322 0.5855649 0.18483691
## C 0.0000000 0.00000000 0.02666598 0.6379692 0.33536486
## L 0.0000000 0.00000000 0.00000000 1.0000000 0.00000000
## W 0.0000000 0.00000000 0.00000000 0.0000000 1.00000000

ProbabilidadAW <- AW3
ProbabilidadAW

## [1] 0.03278432

Teniendo en cuenta lo anterior, la probabilidad de que una oportunidad de venta pase de estar en la etapa A a culminarse de manera exitosa, en tres meses es de 0.0327.

En el largo plazo, ¿qué porcentaje de las oportunidades que arrancan en A llegan a la etapa C para terminar siendo perdidas?

steadyStates(MatrizEstimadaAgregadaTotal)

##      A B C L W
## [1,] 0 0 0 0 1
## [2,] 0 0 0 1 0

MatrizEstimadaAgregadaTotal^50000

## MLE Fit^50000 
##  A  5 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states: 
##  A, B, C, L, W 
##  The transition matrix  (by rows)  is defined as follows: 
##   A B C         L         W
## A 0 0 0 0.8444000 0.1556000
## B 0 0 0 0.7415426 0.2584574
## C 0 0 0 0.6554473 0.3445527
## L 0 0 0 1.0000000 0.0000000
## W 0 0 0 0.0000000 1.0000000

MatrizEstimadaAgregadaTotal^40001

## MLE Fit^40001 
##  A  5 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states: 
##  A, B, C, L, W 
##  The transition matrix  (by rows)  is defined as follows: 
##   A B C         L         W
## A 0 0 0 0.8444000 0.1556000
## B 0 0 0 0.7415426 0.2584574
## C 0 0 0 0.6554473 0.3445527
## L 0 0 0 1.0000000 0.0000000
## W 0 0 0 0.0000000 1.0000000

MatrizEstimadaAgregadaTotal^1077

## MLE Fit^1077 
##  A  5 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states: 
##  A, B, C, L, W 
##  The transition matrix  (by rows)  is defined as follows: 
##   A B C         L         W
## A 0 0 0 0.8444000 0.1556000
## B 0 0 0 0.7415426 0.2584574
## C 0 0 0 0.6554473 0.3445527
## L 0 0 0 1.0000000 0.0000000
## W 0 0 0 0.0000000 1.0000000

Dado que el proceso de venta analizado cuenta con dos estados absorbentes (L y W) no existen probabilidades de estado estable, pues se conoce que a largo plazo el proceso estocástico terminará en alguno de sus estados absorbentes. Por tanto, en este caso, solo resulta de interés saber cuál es la probabilidad, en el largo plazo, de ser absorbido por el estado L estando en la etapa A. En este orden de ideas, el porcentaje de oportunidades de venta que se encuentran en la etapa A y al largo plazo, son rechazadas o retiradas es de 84.44%.

6. Obtenga las probabilidades de absorción y tiempos esperados de absorción.

Para el caso de We Sell Everything in Software’ (WSES) Inc., se calculan a continuación las probabilidades de absorción de la cadena y asimismo los tiempos esperados de absorción. En primera medida, al tener una cadena de Markov compuesta tanto por estados absorbentes como estados transitorios, se determina la matriz estimada de transiciones en su forma canónica, lo que nos permite identificar las submatrices que la componen, es decir, las submatrices A (transiciones entre estados transitorios y absorbentes), B (transiciones entre estados transitorios) y la matriz identidad (transiciones entre estados absorbentes).

MatrizCanonica <- matrix(c(1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0.1991128,0,0.4996748,0.3012125,0,0.1500582,0,0,0.3994680,0.4504738,0.4596273,0.2416149,0,0,0.2987578),byrow = TRUE,ncol = 5,nrow =5,)
Estados <- c("L","W","A","B","C")
Canonica <- new("markovchain",states=Estados,transitionMatrix=MatrizCanonica)
Canonica

## Unnamed Markov chain 
##  A  5 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states: 
##  L, W, A, B, C 
##  The transition matrix  (by rows)  is defined as follows: 
##           L         W         A         B         C
## L 1.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## W 0.0000000 1.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## A 0.1991128 0.0000000 0.4996748 0.3012125 0.0000000
## B 0.1500582 0.0000000 0.0000000 0.3994680 0.4504738
## C 0.4596273 0.2416149 0.0000000 0.0000000 0.2987578

MatrizIdentidad<- matrix(c(1,0,0,0,1,0,0,0,1), byrow = TRUE, ncol=3,nrow=3)
MatrizIdentidad

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1

MatrizB <- matrix(c(0.4996748,0.3012125,0,0,0.3994680,0.4504738,0,0,0.2987578), byrow = TRUE, ncol=3,nrow=3)
MatrizB

##           [,1]      [,2]      [,3]
## [1,] 0.4996748 0.3012125 0.0000000
## [2,] 0.0000000 0.3994680 0.4504738
## [3,] 0.0000000 0.0000000 0.2987578

MatrizA <- matrix(c(0.1991128,0,0,0.1500582,0,0,0.4596273,0.2416149,0), byrow = TRUE, ncol=3,nrow=3)
MatrizA

##           [,1]      [,2] [,3]
## [1,] 0.1991128 0.0000000    0
## [2,] 0.1500582 0.0000000    0
## [3,] 0.4596273 0.2416149    0

Una vez determinada la matriz en su forma canónica, se halla la matriz fundamental, la cuál se denota con la letra “M” y se obtiene al realizar el siguiente cálculo: \(M=(I-B)^{-1}\)

#Matriz fundamental (Inversa)
MatrizM <- solve(MatrizIdentidad-MatrizB)
MatrizM

##        [,1]    [,2]      [,3]
## [1,] 1.9987 1.00250 0.6440001
## [2,] 0.0000 1.66519 1.0697082
## [3,] 0.0000 0.00000 1.4260408

A partir de la matriz fundamental, se pueden calcular las probabilidades de absorción al multiplicarla por la submatriz A de la forma canónica, de esta manera se obtiene la matriz “G”.

MatrizG <- (MatrizM%*%MatrizA)
MatrizG

##           [,1]      [,2] [,3]
## [1,] 0.8444002 0.1556000    0
## [2,] 0.7415426 0.2584574    0
## [3,] 0.6554473 0.3445527    0

Como puede apreciarse, la matriz G resultante es una matriz 3x3, sin embargo, el análisis se obtiene a partir de las primeras 2 columnas, es decir, se percibe la matriz como una de dimensiones 3x2 en donde las columnas 1 y 2 hacen referencia a los estados L y W respectivamente, y por su parte, las filas 1, 2 y 3 hacen referencia a las etapas A, B y C del proceso de ventas respectivamente. Así, es posible concluir que, en general, hay una mayor probabilidad de perder una oportunidad de venta para la empresa, independientemente de la etapa en la que ésta se encuentre. Explícitamente, con una probabilidad del 84%, es más probable que un cliente retire o se pierda una oportunidad de venta si esta se encuentra en la etapa A, con una probabilidad del 74% se perderá si la oportunidad se encuentra en la etapa B y se perderá con una probabilidad de 66% si se encuentra en la etapa C. Podemos apreciar igualmente, que la probabilidad de que una oportunidad de venta culmine exitosamente el proceso y se proceda a la firma del contrato con la empresa, aumenta a medida que la oportunidad va avanzando de etapa, concluyendo finalmente con una probabilidad del 34% que es posible que se firme un contrato si una oportunidad se encuentra en la etapa C del proceso. concluyendo finalmente con una probabilidad del 34% que es posible firmar un contrato para una oportunidad que se encuentra en la etapa C del proceso. Por su parte, el cálculo de los tiempos esperados de absorción (T), se obtiene a partir de la siguiente fórmula \(T=M*1\), en donde el término “1” hace referencia a un vector columna compuesto por el número 1.

VectorColumna <- matrix(c(1,0,0,1,0,0,1,0,0),byrow = TRUE,ncol=3,nrow=3)
VectorColumna

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    1    0    0
## [3,]    1    0    0

MatrizT <- MatrizM%*%VectorColumna
MatrizT

##          [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3.645200    0    0
## [2,] 2.734898    0    0
## [3,] 1.426041    0    0

Así, obtenemos una Matriz 3x3, que nuevamente para lograr un análisis pertinente, se percibe una matriz 3x1 en donde la primera y única columna a considerar hace referencia a algún estado absorbente (L o W) y las filas 1, 2 y 3 hacen referencia a las etapas A, B y C del proceso de venta. Con ello, es posible concluir que si una oportunidad se encuentra en la etapa A, hará en promedio 3,6 transiciones antes de ser definida como una oportunidad perdida o ganada. Dicha cantidad de transiciones promedio es igual a 2,7 si la oportunidad se encuentra en la etapa B y es de 1,4 transiciones promedio si la oportunidad se encuentra en la etapa C del proceso.

7. En este mes existe 1.1Bn de oportunidades en A, 1.8Bn en B y 1.6Bn en C.¿Cuál sería supronóstico de ventas?

Teniendo en cuenta que la compañía realiza un pronostico trimestral y debido a que la variable Xn esta definida para un mes, se construyo la matriz de tres pasos y con base en esta se procedio a realizar el pronostico de ventas para el final del próximo trimestre.

A <- matrix(c(1.1,1.8,1.6,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),byrow = TRUE,ncol = 5, nrow = 5)
A

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  1.1  1.8  1.6    0    0
## [2,]  0.0  0.0  0.0    0    0
## [3,]  0.0  0.0  0.0    0    0
## [4,]  0.0  0.0  0.0    0    0
## [5,]  0.0  0.0  0.0    0    0

Matriztrespasos <- MatrizEstimadaAgregadaTotal^3
Matriztrespasos

## MLE Fit^3 
##  A  5 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states: 
##  A, B, C, L, W 
##  The transition matrix  (by rows)  is defined as follows: 
##           A          B          C         L          W
## A 0.1247563 0.18339431 0.16254112 0.4965240 0.03278432
## B 0.0000000 0.06374498 0.16585322 0.5855649 0.18483691
## C 0.0000000 0.00000000 0.02666598 0.6379692 0.33536486
## L 0.0000000 0.00000000 0.00000000 1.0000000 0.00000000
## W 0.0000000 0.00000000 0.00000000 0.0000000 1.00000000

Pronosticos <- (A*Matriztrespasos)
Pronosticos

##              A         B         C        L        W
## [1,] 0.1372319 0.3164747 0.5199966 2.620944 0.905353
## [2,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.000000 0.000000
## [3,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.000000 0.000000
## [4,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.000000 0.000000
## [5,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.000000 0.000000

Teniendo en cuenta lo anterior se puede concluir que para el proximo trimestre el pronostico de oportunidades de ventas en la etapa A sera de 0.137 Bn, en la etapa B sera de 0.316 Bn, en la etapa C de 0.519 Bn, ademas, se tendrian 2.620 Bn de oportunidades de venta Perdidas o retiradas por el cliente y 0.905 Bn de oportunidades que finalizan satisfactoriamente el proceso y proceden a la firma del contrato con el cliente.

USO DE LA CADENA DE MARKOV PARA PREVER LA RESERVA DE VENTAS

Maria Camila Corredor Bernal, Lizeth Daniela Ortiz Perdomo, Nicol Daniela Peña Bermudez

21/3/2021