Foi extraída amostra de tamanho 100 do banco de dados fornecido e seleciona-se as notas de matemática para realizar teste de aderência à distribuição normal.
A tabela 1 a seguir expõe a distribuição de frequências das notas conforme as classes de proficiências propostas pelo INEP:
| Proficiência | n |
|---|---|
| [0,125) | 1 |
| [125,150) | 7 |
| [150,175) | 10 |
| [175,200) | 16 |
| [200,225) | 25 |
| [225,250) | 19 |
| [250,275) | 11 |
| [275,300) | 4 |
| [300,325) | 6 |
| [350,375) | 1 |
| Fonte: INEP - SAEB |
A tabela 2 a seguir explicita o cálculo realizado para se obter a estatística de teste para o teste de aderência qui-quadrado, teste adequado para se testar aderência quando os dados estão agrupados em classes.
| Proficiência | n | p | ls | Z | P(X<x) | p* | ei | (n-ei)^2/ei |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [0,125) | 1 | 0.01 | 125 | -1.99 | 0.02 | 0.02 | 2.33 | 0.76 |
| [125,150) | 7 | 0.07 | 150 | -1.46 | 0.07 | 0.05 | 4.93 | 0.87 |
| [150,175) | 10 | 0.10 | 175 | -0.92 | 0.18 | 0.11 | 10.54 | 0.03 |
| [175,200) | 16 | 0.16 | 200 | -0.39 | 0.35 | 0.17 | 17.05 | 0.06 |
| [200,225) | 25 | 0.25 | 225 | 0.14 | 0.56 | 0.21 | 20.88 | 0.81 |
| [225,250) | 19 | 0.19 | 250 | 0.68 | 0.75 | 0.19 | 19.37 | 0.01 |
| [250,275) | 11 | 0.11 | 275 | 1.21 | 0.89 | 0.14 | 13.61 | 0.50 |
| [275,300) | 4 | 0.04 | 300 | 1.74 | 0.96 | 0.07 | 7.24 | 1.45 |
| [300,325) | 6 | 0.06 | 325 | 2.28 | 0.99 | 0.03 | 2.92 | 3.26 |
| [350,375) | 1 | 0.01 | 375 | 3.35 | 1.00 | 0.01 | 1.14 | 0.02 |
| Fonte: INEP - SAEB |
A estatística de teste é a soma da última coluna da tabela, que corresponde a 7.76. Sob a hipótese de normalidade, o valor de \(\chi^2\) com 95% de nível de confiança e 7 graus de liberdade, pois foram estimados dois parâmetros, é de 14.07. Além disso, calcula-se o p-valor em 0.354, indicando a aceitação da distribuição normal como uma boa aproximação para a distribuição das notas de matemática.
A seguir são expostos resultados de testes de normalidade para amostras de tamanho 30 das notas de matemática e de língua portuguesa. Foi utilizada a função gofTest do pacote goftest, com os devidos argumentos para a utilização dos métodos Lilliefors, Anderson-Darling e Shapiro-Wilk.
| Disciplina | Teste | Estatística | p-valor |
|---|---|---|---|
| Matemática | Kolmogorov (Lilliefors) | 0.174 | 0.021 |
| Matemática | Anderson-Darling | 1.073 | 0.007 |
| Matemática | Shapiro-Wilk | 0.903 | 0.010 |
| L. Portuguesa | Kolmogorov (Lilliefors) | 0.126 | 0.264 |
| L. Portuguesa | Anderson-Darling | 0.438 | 0.276 |
| L. Portuguesa | Shapiro-Wilk | 0.959 | 0.293 |
| Fonte: INEP - SAEB |
Em análise descritiva inicial da amostra, suspeitava-se que as notas de Matemática e Língua Portuguesa poderiam ser aproximadas por uma distribuição normal. A tabela 3 de fato sugere isto em relação a Língua Portuguesa, visto que nenhum dos testes apontou diferenças significativas entre as distribuições.
No entanto, todos os testes de normalidade apontam que a hipótese inicial de normalidade não se mantém para as notas em Matemática - pelo menos para esta amostra.