1. (1.0) A continuación, se presentan las antigüedades en años de una población trabajadores de una fábrica armadora de computadoras:
Tabla de Datos
a) Utilizando el M.A.S, con reemplazo o sin reemplazo, ¿De acuerdo a lo que usted considere? Tome de esta población CON N:60 una muestra de n = 10.
En este punto se debia agregar una columna en donde se generaran números aleatorios, luego se escogía una muestra de tamaño 10.
b) cálcule los estadísticos muéstrales como media aritmética Muestral y error Estándar Muestral
Luego de tener la muestra, se debia hallar la media muestral y sus desviación estandar.
c) Concluya e interprete.
Realizar un breve análisis de la media muestral y su respectiva distancia expresada en la desviación estandar, tal como lo haciamos en los problemas desarrollados en clases.
NOTA: Cabe resaltar que estos resultados eran diferentes debido a que la muestra fue escogida aleatoriamente.
2. (1.0) Se desea tomar una muestra aleatoria de tamaño n = 200 de la población estudiantil de la FES-C, que vamos a suponer asciende a N = 12000 estudiantes, con el objeto de conocer su opinión respecto al nuevo Reglamento de Exámenes Profesionales. ¿De los dos muestreos recomendaría (M.A.S) O (M.A.E) y por qué?
Solución
El tipo de muestreo para estudiar la población de 12000 con un tamaño de muestra de 200, donde se desa conocer opinión respecto al nuevo Reglamento de Exámenes Profesionales, es el M.A.S debido a que todos los 12000 individuos tienen la misma probabilidad de ser escogidos en la muestra.
3. (1.0) La duración de cierto tipo de batería esta normalmente distribuida con media de 8 horas y desviación estándar de 1 hora. Si hay cuatro baterías en una caja, halle un valor para el cual la probabilidad de que la duración de las baterías sea mayor que este valor alcance una medida de 0,05?
Solución
Datos:
\(\mu = 8\)
\(n= 4\)
\(\sigma=1\)
\(\bar{x}=0,05\)
Como la desviación poblacional es conocida, por tal motivo no se debe tener en cuenta el tamaño de la muestra, entonces se utiliza la variable aleatoria de la distribución normal \(Z\); la probabilidad deseada es:
\(P(Z>0,05)\)
\[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{s }{\sqrt{n}}}\] \[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{s }{\sqrt{n}}}=\frac{0,05- 8 }{\frac{1 }{\sqrt{4}}}\] \[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\frac{7,95}{\frac{1 }{2}}\] \[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{s }{\sqrt{n}}}=\frac{-7,95}{0,5}\] \[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{s }{\sqrt{n}}}=-15,9\]
Luego de saber el valor de la variable aleatoria, se procede a buscar en la aplicación la probabilidad pedida:
4. (1.0) Sea ha encontrado que los ingresos de un centro comercial tienen un promedio de 12,4 millones de pesos por día con desviación estándar de 2,9. Para una muestra aleatoria de 40 clientes, encuentre la probabilidad de que el ingreso promedio este entre 11,5 y 13,1 millones de pesos.
Solución
Como la desviación poblacional es conocida, se utiliza la variable aleatoria Z sin tener en cuenta el tamaño de la muestra, la probabilidad buscada es: \[P(11,5 < Z < 13,1)\]
Datos:
\(\mu = 12,4\)
\(n= 40\)
\(\sigma=2,9\)
\(\bar{x}=11,5-13,1\)
En primer lugar se desea buscar la probabilidad de:
\(P(Z>11,5)\)
\[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\] \[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{11,5- 12,4 }{\frac{2,9 }{\sqrt{40}}}\] \[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{-0,9}{\frac{2,9}{6,32}}\] \[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{-0,9}{0,458}\] \[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=-1,96\] Luego de saber el valor de la variable aleatoria Z=-1.96, se procede a buscar en la aplicación la probabilidad:
Seguidamente se busca la probabilidad de:
\[P(Z>13,1)\]
\[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\] \[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{13,1- 12,4 }{\frac{2,9}{\sqrt{40}}}\] \[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{0,7}{\frac{2,9}{6,32}}\] \[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{0,7}{0,458}\] \[Z=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=1,58\] Luego de saber el valor de la variable aleatoria Z=1,58, se procede a buscar en la aplicación la probabilidad:
Por último se tiene:
\[P(11,5 < Z < 13,1)\] \[P(11,5 < Z < 13,1) = P(Z > 11,5) - P(Z> 13,1)\] \[P(11,5 < Z < 13,1)= 0,975 - 0,057\] \[P(11,5 < Z < 13,1) = 0,918\] La probabilidad de que en una muestra aleatoria de 40 clientes, del ingreso promedio este entre 11,5 y 13,1 millones de pesos es de 92%
5. (1.0) Una muestra aleatoria de 10 autos de un determinado modelo, evidencia que cada uno de ellos consume las siguientes cantidades en kilómetros por litro
18,6 18,4 19,2 20,5 20,8 19,4 18,9 12,1 10,5 13,6
Determine la probabilidad de que el consumo de gasolina medio muestral de los automóviles sea menor que 17,6 kilómetros por litro, suponiendo que la distribución de la población es normal con media 17 SUGERENCIA: La desviacion estandar se debe sacar en Excel.(DESVEST.M) ##### Solución
Como primera iniciativa se debe sacar la desviación estandar para poder calcular la probabilidad.
Para hallar la desviación estandar se debe calcular primero la varianza con la siguiente formula: \[S^{2}= \frac{\sum_{i=1}^{n} = (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n-1}\] Donde \(\bar{x}\) es la media de los datos y se extrae de la siguiente manera:
\[\bar{x}= \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} }{n}\] \[\bar{x}= \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} }{n}= \frac{18,6 +18,4+19,2+20,5+20,8+19,4+18,9+12,1+10,5+13,6}{10}\] \[\bar{x}= \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} }{n}= 17,2\] Luego se aplica la formula de la varianza:
\[S^{2}= \frac{\sum_{i=1}^{n} = (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n-1}=\frac{(18,6-17,2)^{2} + (18,4-17,2)^{2} + (19,2-17,2)^{2} + (20,5-17,2)^{2} + (20,8-17,2)^{2} + (19,4-17,2)^{2}+(18,9-17,2)^{2}+(12,1-17,2)^{2}+(10,5-17,2)^{2}+(13,6-17,2)^{2}}{10-1} \] \[S^{2}= \frac{\sum_{i=1}^{n} = (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n-1}= 13,64\] Por último la desviación estandar es la raiz cuadrada de la varianza:
\[S=\sqrt{13,64}= 3,69\] El valor anterior lo podian calcular directamente en excel con el comando DESVEST
Luego de obtener el resultado de la desviación estandar se procede a calcular la probabilidad pedida con los siguientes datos:
Datos:
\(\mu = 17\)
\(n= 10\)
\(S=3,69\)
\(\bar{x}=17,6\)
Como la desviación poblacional es desconocida, se debe tener en cuenta el tamaño de la muestra para escoger la distribución, como es menor a 30 se dice que la variable correcta para calcular la probabilidad es la T-student
\[t=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{s}{\sqrt{n}}}\]
\[t=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{17,6 - 17 }{\frac{3,69}{\sqrt{10}}}\] \[t=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{0,6 }{1,16}\] \[t=\frac{\bar{x}- \mu }{\frac{s}{\sqrt{n}}} = 0,517\] La probabilidad en la aplicación es:
La probabilidad de que el consumo medio de gasolina por litro de los 6 automoviles sea menor a 17,6 km es del 69%