Teoria Moderna de Portafolios
Ana Lorena Jiménez Preciado
27/3/2021
La Teoría Moderna de Portafolios, es una teoría de inversión que se basa en la idea de que los inversionistas aversos al riesgo pueden construir portafolios.
Los portafolios se utilizan para optimizar o maximizar el rendimiento esperado en función de un determinado nivel de riesgo de mercado, enfatizando que el riesgo es una parte inherente que proporciona una mayor recompensa.
Cabe destacar que es una de las teorías económicas más importantes e influyentes en el area financiera.
Si bien existe literatura previa, la propuesta formal se le atribuye a Harry Markowitz [1].
Supuestos de la Teoría Moderna de Portafolios
1.- Asume que los inversionistas son aversos al riesgo, lo que significa que dadas dos portafolios que ofrecen el mismo rendimiento esperado, los inversionistas preferirán el menos riesgoso.
2.- Por lo tanto, un inversionista asumirá un mayor riesgo solo si es compensado por una mayor rendimiento esperado.
3.- Por el contrario, un inversionista que quiere rendimientos esperados más altos debe aceptar más riesgo.
4.- La compensación será la misma para todos los inversionistas, pero la decisión final se basa en el nivel de aversión (perfil de riesgo) que tiene el inversionista.
Correlación de los instrumentos
1.- Un inversionista puede reducir el riesgo de su portafolio simplemente manteniendo combinaciones de instrumentos que no están positivamente correlacionados.
2.- Si todos los pares de activos tienen correlación 0 entonces no hay correlación entre los activos).
3.- El riesgo-rendimiento del portafolio es la suma de las fracciones que se tienen de los activos al cuadrado (rendimientos) y el riesgo (desviación estándar) es la raíz cuadrada de esta suma.
Rendimiento del portafolio
El rendimiento esperado del portafolio es el promedio ponderado del rendimiento esperado de los activos individuales.
Dependiendo del peso de un activo individual, el activo tendrá un impacto mayor o menor en el rendimiento del portafolio.
\[E(r_p)=\sum_{i=1}^{n}X_iE_i\]
- \(E(r_p)\): valor esperado del portafolio
- \(X_i\): proporción o peso del activo \(i\)
- \(E_i\): valor esperado del activo \(i\)
El rendimiento actual del portafolio se expresa como:
\[R_p=\sum_{i=1}^{n}X_iR_i\]
- \(R_p\): rendimiento actual del portafolio
- \(X_i\): proporción o peso del activo \(i\)
- \(R_i\):Rendimiento actual del activo \(i\)
Riesgo (desviación estándar)
La desviación estándar es la medición de la incertidumbre asociada con el activo, es un medida de la dispersión de un conjunto de datos a partir de su media.
\[\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n}}\]
Cuanto más dispersos estén los datos, mayor es la desviación.
Riesgo del portafolio
\[\sigma _p=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}X_i X_j\rho _{ij}\sigma _i \sigma _j}\]
- \(X_i X_j\): proporciones de cada activo
- \(\rho _{ij}\): correlación entre \(i\) y \(j\)
- \(\sigma _i \sigma _j\): desviación estándar de cada activo
Diversificación del portafolio
La diversificación en varios instrumentos disminuye la exposición al riesgo y disminuye la volatilidad del portafolio.
Pero incluso con una gran cantidad de activos, no es posible eliminar todo el riesgo (riesgo sistemático).
Para diversificar, tenemos que darle diferentes pesos a cada activo del portafolio.
Covarianza
Para determinar que tan riesgo es el portafolio se utiliza la covarianza de los instrumentos financieros -la principal contribución de Markowitz-
- La covarianza mide la dirección de un grupo de acciones.
- Dos acciones presentan una alta covarianza cuando sus precios, por la razón que sea, tienden a moverse juntos.
- Por el contrario, una baja covarianza describe dos acciones que se mueven en direcciones opuestas.
- Según Markowitz, el riesgo de un portafolio no es la varianza de las acciones individuales sino la covarianza de todo el portafolio.
La covarianza es igual al producto del coeficiente de correlación y las desviaciones estándar de las tasas de rendimiento de los instrumentos.
\[C_{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}\]
Riesgo sistemático y no sistemático
Considera un portafolio con un solo activo, si hay un cambio en el entorno macroeconómico,el activo subirá o bajará de precio.
Cuando todo el riesgo se coloca en un activo, el riesgo es exclusivamente en ese instrumento.
Con una estrategia de diversificación, el riesgo no sistemático disminuirá a medida que el riesgo se distribuye entre varias clases de activos.
Figura 1. Riesgo Sistemático y No Sistemático
Fuente: elaboración propia.
Frontera Eficiente
La frontera eficiente resuelve la cuestión de cómo identificar el mejor nivel de diversificación.
La frontera eficiente es una curva que representa la relación entre rendimiento y riesgo, para un conjunto de portafolios.
Para que una cartera o portafolio esté en la frontera eficiente, el portafolio debe maximizar el rendimiento para un nivel de riesgo dado.
Construcción de un portafolio biotecnológico
La Biotecnología se define como un área multidisciplinaria, que emplea la biología, química y procesos varios, con gran uso en agricultura, farmacia, ciencia de los alimentos, ciencias forestales y medicina [2].
Para el presente análisis, se consideran 5 empresas americanas biotecnológicas, enfocadas en el sector farmacéutico:
| Nombre de la Empresa | Ticker |
|---|---|
| AstraZeneca | AZN |
| Bionano Genomics | BNGO |
| Moderna | MRNA |
| Novavax | NVAX |
| Pfizer | PFE |
Comportamiento de la acción de AstraZeneca
AstraZeneca es una empresa farmacéutica que pertenece al sector de biotecnología, es de origen británico-suizo. Desde 2019 ha presentando una tendencia alcista a excepción de la caída que presentó en marzo de 2020 tras la declaración oficial de la pandemia ocasionada por el COVID-19 de acuerdo a la Organización Mundial de la Salud (OMS).
El precio máximo alcanzado por AstraZeneca fue de 61.10 dólares el 17 de julio de 2020, posterior a ello, el precio de su activo ha descendido, destacando la noticia referente a la efectividad de la vacuna de esta compañía: 76% de la vacuna contra la enfermedad sintomática por coronavirus y un 100% de eficacia contra la enfermedad grave o crítica o la necesidad de hospitalización [3].
Figura 2. Precio de Cierre de AstraZeneca: enero 2019 - marzo 2021
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Comportamiento de la acción de Bionano Genomics
Bionano es una empresa que se especializa en estudios de ADN genómico y otras variaciones estructurales de biomoléculas. En 2020, Bionano tenía una cotización por debajo de un dólar, sin embargo, tras el desarrollo de sus chips patentados y el software de reactivos generado en el desarrollo de las vacunas, provocó que la acción de Bionano alcanzara su máximo precio el 16 de marzo de 2021, colocándose en $15.57usd.
Figura 3. Precio de Cierre de Bionano: enero 2019 - marzo 2021
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Comportamiento de la acción de Moderna
Moderna es una empresa estadounidense de biotecnología, especializada en el descubrimiento y desarrollo de fármacos y tecnologías que permitan la obtención de nuevas vacunas basadas en ADN.
Tras la aprobación de su vacuna (que ha demostrado ser una de las más efectivas a nivel mundial), la acción de Moderna ha tomado una tendencia ascendente, alcanzando su punto más alto el 08 de febrero de 2021 con un precio de 185 dólares. Previo al 2020, las acciones de Moderna cotizaban por debajo de los $50usd.
Figura 4. Precio de Cierre de Moderna: enero 2019 - marzo 2021
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Comportamiento de la acción de Novavax
Novavax, Inc. es una empresa estadounidense de desarrollo de vacunas con sede en Gaithersburg, Maryland. Su vacuna de COVID-19 ha demostrado una efectividad del 96% en la prevención de casos causados por el coronavirus.
Previo a la aprobación y lanzamiento de su vacuna, las acciones de Novavax se colocaban por debajo de los 10 dólares. Conforme fueron presentando sus avances, en julio de 2020 alcanzó los 173 dólares y el 8 de febrero alcanzó su máximo en los $319usd.
Figura 5. Precio de Cierre de Novavax: enero 2019 - marzo 2021
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Comportamiento de la acción de Pfizer
Pfizer es una corporación farmacéutica multinacional estadounidense.Las vacunas de esta empresa, junto con las de Moderna, han demostrado ser las más efectivas y, en el caso de Pfizer, la que ha tenido una mayor distribución, siendo la más aplicada en Estados Undios.
Previo a la autorización de su vacuna, las acciones de Pfizer presentan una tendencia a la baja, llegando a su menor precio el 23 de marzo de 2020 con 27 dólares, posteriormente, la recuperación tuvo algunos tropiezos, incluso se percibe una tendencia natura, misma que se rompe a finales de 2020 con la noticia de la distribución y llega a su punto máximo el 08 de diciembre con una cotización de $42.55usd.
Figura 6. Precio de Cierre de Pfizer: enero 2019 - marzo 2021
Fuente: elaboración propia con salida de R.
En todos los casos se observa una caida pronunciada a mediados de febrero de 2021, esto atiende a las declaraciones del presidente de la Reserva Federal, Jerome Powell, tras el anunció del aumento de la de interés de referencia para el final del año y las presiones inflacionarias de la economía estadounidense conforme se reincorpore la fuerza laboral tras la campaña de vacunación.
Lo anterior provocó movimiento de capitales hacia instrumentos de deuda, generando cambios significativos en el aumento de la tasa de bonos de 10 años y un caída del más del 30% en empresas tecnológicas, entre ellas, las que están en el sector farmacéutico y desarrollo tecnológico.
[1] 2.901693[1] 1Aplicación del Portafolio Tecnológico
A continuación, se presenta la matriz de correlación de las empresas biotecnológicas. A pesar de que todos los activos seleccionados pertenecen al mismo sector, la matriz de correlación (Figura 7) muestra valores cercanos a 0, cumpliendo con los principios de diversificación de Markowitz.
La única excepción son AstraZeneca y Pfizer, presentando una correlación positiva del 45%, esto quiere decir que ambas emiosoras por lo general van en la misma dirección mas no con la misma fuerza (debido a que su coeficiente de correlación, a pesar de ser positivo, no es tan alto).
Figura 7. Matriz de correlación entre biotecnológicas
Fuente: elaboración propia con salida de R.
A continuación, se obtienen los rendimientos logarítmicos diarios de las empresas y se anualizan (a 252 días considerando el calendario bursátil).
Para determinar los pesos óptimos, se realizan 10 mil simulaciones de portafolios, cada simulación con combinaciones de pesos distintos. Posteriormente, se calcula el riesgo de todas las acciones utilizando la matriz de covarianza.
Finalmente, utilizando los pesos simulados, se toman los rendimientos y el riesgo anualizado multiplicados por los pesos del portafolio, de tal forma, que se determinan los siguientes portafolios.
Portafolio de mínima varianza
Se le denomina portafolio de mínima varianza a aquel portafolio que presenta una combinación de instrumentos con el mínimo riesgo posible dado un determinado nivel de rendimiento.
Otra forma de decirlo es, dado cierto nivel de rendimiento, no hay un portafolio que pueda presentar un riesgo menor.
Las métricas (pesos), rendimiento, riesgo y Sharpe Ratio del portafolio de mínima varianza son los siguientes:
Figura 8. Portafolio de Mínima Varianza
Fuente: elaboración propia con salida de R.
El portafolio de mínima varianza presenta un rendimiento anual de 12.23% con un riesgo de 24.86%. En este caso, el riesgo sobrepasa el rendimiento generado, por lo que no representaría una buena opción de selección.
Para lograr esta relación riesgo-rendimiento, se tiene que invertir el 45% en AstraZeneca, 3.6% en Bionano, 2.4% en Moderna y 46% en Pfizer. La sumatoria de los pesos representa el 100% del capital disponible que tiene el inversionista.
Su Sharpe Ratio es de .49, sin embargo, para que esta métrica tenga sentido, se debe comparar con otro portafolio para verificar cual tienen un mejor ratio o desempeño en función de su riesgo y rendimiento.
Mejor portafolio de Sharpe
Se le denomina portafolio de Sharpe a aquel portafolio que presenta el máximo ratio de Sharpe. Dicho portafolio es una combinación de instrumentos que permite maximizar el rendimiento dado un cierto nivel de riesgo.
La característica del mejor portafolio de Sharpe es que su elección permite obtener un portafolio de mayor rendimiento sin que el riesgo exceda el rendimiento generado.
Las métricas (pesos), rendimiento, riesgo y Sharpe Ratio del mejor portafolio de Sharpe son los siguientes:
Figura 9. Portafolio de Sharpe
Fuente: elaboración propia con salida de R.
En el caso del mejor portafolio de Sharpe, se obtiene un rendimiento sobresaliente de 130% asociado a un riesgo de 70% y un Sharpe 1.86, superando más de 3 veces el desempeño del portafolio de mínima varianza en términos de este ratio.
La diversificación del portafolio de Sharpe para obtener dicho rendimiento es ponderando 2.3% en AstraZeneca, 5.1% en Bionano, 72.74% en Moderna, 17.17% y solo 2.5% en Pfizer.
Frontera eficiente
En la figura 10, se presenta la frontera eficiente del portafolio. En el eje de las abscisas está el riesgo y en el eje de las ordenas el rendimiento generado por cada uno de los 10 mil portafolios, cada uno con los mismos activos, pero con pesos distintos.
Todos los portafolios que están sobre la curvatura o tangencia se le denomina frontera eficiente y representa todos los portafolios óptimos que se pueden generar a partir de las distintas combinaciones de los pesos.
Los portafolios que están por debajo de la frontera son menos eficientes, pues representan un nivel de riesgo más alto a cambio de rendimientos menores (incluso pueden llegar a ser negativos) o bien, rendimientos altos a cambio de un riesgo excesivo.
Con rojo están señalados los portafolios de mínima varianza y el de Sharpe. En el caso del de mínima varianza, siempre debe coincidir con estar en el cambio de la tangencia o en el punto de inflexión de la frontera ya que esto representa el menor riesgo dado un nivel de rendimiento.
El portafolio de Sharpe siempre se debe posicionar por encima del de mínima varianza, pues asume un mayor riesgo a cambio de proporcionar un mayor rendimiento.
Figura 10. Frontera Eficiente
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Reflexión final
A partir de los resultados obtenidos, se considera optar por el portafolio de Sharpe. El motivo es por el alto rendimiento que representa (más de 100% en término anuales). Sin embargo, el portafolio biotecnológico también es altamente riesgoso por lo que no se descartan los portafolios que están sobre la frontera pero que, reducen su Sharpe Ratio.
La postura de asumir este alto nivel de riesgo esta asociado a que las campañas de vacunación tendrán continuidad al menos en todo 2021, además de los refuerzos que posteriormente se tendrán que realizar a la población, por lo que el crecimiento de las empresas biotecnológicas aún no ha llegado a su máxima capacidad.
Referencias
[1] Markowitz, Harry (1952), Portfolio Selection, The Journal of Finance, 7(1), pp. 77-91. Disponible en: https://www.math.ust.hk/~maykwok/courses/ma362/07F/markowitz_JF.pdf
[2] Centro de Biotecnología (2021). Disponible en: https://www.centrobiotecnologia.cl/comunidad/que-es-la-biotecnologia/
[3] CNN (25 de Marzo, 2021). Disponible en: https://cnnespanol.cnn.com/2021/03/25/vacuna-astrazeneca-covid-19-efectividad-trax/