Cálculo I

Funções

O assunto de um curso de cálculo I não é aprendizagem de limites, derivadas e integrais, mas sim o estudo de funções; onde a utilização de limites, derivadas e integrais são ferramentas para manipulação dee funções. Sendo estas funções, funções de números reais de uma variável.

\[ f: D\,\, \subset \,\, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \]

Portanto $x$ é um elementos de $d$ onde a função transfora $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$:

\[ f \rightarrow f(x) \]

Uma função é caracterizada pela relação de uma variável no domínio a um único valor no contradomínio por meio de uma operação dada. Assim, declarado o domínio de uma função $\mathbb{R}$ a estes valores estão associados valores determinados pela função em $\mathbb{R}^2$ - havendo um único parâmetro $y = f(x)$ variando e portanto uma curva. Assim para cada valor de x haverá um único valor de y. Assi, se $y$ depende de $x$, de mode que $x$ determina um único valor para $y$; então $y$ é função de $x$.

As funções podem ser representadas por:

tabelas
gráficos
fórmulas
enunciados

No século XVIII Euler criou a notação algébrica de funções utilizando letras como representação. $f(x) \rightarrow y$.

Para identificar a diferença entre funções imagine uma amostra de uma escola emque são coletados os dados de altuta e peso dos alunos, nesse cenário podem haver alunos com pesos distintos e mesma altura, bem como mesmo peso e diferentes alturas, estes fenômenos são as distribuições de fenômenos reais, diferentes de uma função. Se utilizassemos uma função de peso em função de altura $f(altura) \rightarrow peso$ haveria apenas um peso para cada altura. Assim, enquanto em uma amostra podemos ter o mesmo desfecho para diferentes variáveis explicativas, em uma função, apenas o $x$ é livre para varias, sendo o valor de $y$ determinado por $x$. E portanto:

\[ \sqrt{x^2} = |x| \]

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)(sqrt(x^2)), geom="line", size=1.5, size=1.5, aes(colour="x^2-4/x-2")) +
  ylim(-20, 20) + labs(colour = "Fórmula", title = "Gráfico", subtitle = TeX("$\\sqrt{x^2}") ) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
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Anatomia da função

$X$ é o dóminio de $f$.
$Y$ é a imagem $f$.
E $f$ é a operação matemática sobre $x$ para obter $y$.
Quando o domínio $D$ de $f$ não é declarado, este domínio então é denominado domínio natural da função.

Redefinição do domínio por meio de operações algébricas

Muitas funções possuem pontos do domínio que impedem a obtenção do valor de $y$ justamente porque o valor de $x$ na função produz uma indeterminação. como por exemplo: \[ f(x)\frac{x^2-4}{x-2} \,\,\,|\,\,\,\ x \neq 2\]

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)((x^2-4)/x-2), geom="line", size=1.5, aes(colour="x^2-4/x-2")) +
  ylim(-20, 20) + labs(colour = "Fórmula", title = "Gráfico", subtitle = TeX("$\\frac{x^2-4}{x-2}") ) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
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    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

Esta função se torna indefinida para $x = 2$, assim a mudança algébrica da função, quando possível, torna viável o cálculo da mesma para $x = 2$ e mantém as mesmas características da função original: \[ f(x)\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x-2\]

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)(x-2), geom="line", size=1.5, aes(colour="x-2")) +
  ylim(-2, 5) + labs(colour = "Operação", title = "Gráfico", subtitle = TeX("$\ x-2") ) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
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Dito de outro modo, a redefinição algébrica altera o domínio, eliminando a descontinuidade da função, garantindo a obtenção dos mesmos resultados da função original.

Funções definidas por partes:

\[ \begin{cases} 0, \\ x < -1 \sqrt{1-x^2]}, -1 < x < 1\\ x, x \geq 1 \end{cases} \]

Operações Aritimeticas sobre Funções

Dadas duas funções $f$ e $g$ estas podem ser somadas, substraídas, multiplicadas ou divididades naturalmente: \[f + g = (f+g)(x) = f(x)+g(x)\] \[f - g = (f-g)(x) = f(x)-g(x)\] \[f * g = (fog)(x) = f(x) * g(x)\] \[f + g = (f+g)(x) = f(x)+g(x)\]

Composição de Funções

A composição de funções se dá pela substituição d variável independentente por uma função: \[ f(x)=x^2 \,\, e \,\, g(x) = x+1= f(g(x)) = (g(x))^2 = (x+1)^2= (fog)(x)=f(g(x))=(g(x))^2 = (x+1)^2 \]

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)(x+1)^2, geom="line", size=1.5, aes(colour="(x+1)^2")) +
  ylim(-2, 5) + labs(colour = "Operaçãoões", title = "Gráfico", subtitle = TeX("$\ (x+1)^2") )+
  geom_point(aes(x=0, y=0), colour="blue") +
  geom_point(aes(x=1, y=0), colour="red") +
  geom_point(aes(x=-1, y=0), colour="red") +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
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\[ f(x)=x^2+3 \,\, e \,\, g(x)=\sqrt{x} = f(g(x)) = [(g(x))^2 = (x+1)^2]g(x)]^2+3 = (\sqrt{x})^2+3 = x+3 \]

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)(x+3), geom="line", size=1.5, aes(colour="x+3")) +
  ylim(-2, 5) + labs(colour = "Operações", title = "Gráfico", subtitle = "Translações" ) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
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Função como Composição

Dado h(x)=(x+1)^2, para calcular a função podemos decompô-la: \[ g(x) = x+1 \,\, e h(x)= x^2 \\ h(x)=(x+1)^2 = [g(x)]^2= f(g(x)) \]

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)((x+1)^2), geom="line", size=1.5, aes(colour="x^2-4/x-2")) +
  ylim(-20, 20) + labs(colour = "Fórmula", title = "Gráfico", subtitle = TeX("$\ (x+1)^2") ) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
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Translação

Trata geométricamente da soma ou subtração de uma constante $c$ em um $f(x)$. A soma desloca o gráfico $c$ unidades para cima, enquanto que a subtração desloca o gráfico em $c$ unidades para baixo. Por outro lado, se comarmos $c$ a $x$, o gráfico se desloca para esquerda e se subtraírmos $c$ de $x$ o gráfico se desloca para a direita.

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)x^2, geom="line", size=1.5, aes(colour="x^2")) +
  stat_function(fun=function(x)(x^2)+1, geom="line", size=1.5, aes(colour="(x^2)+1")) +
  stat_function(fun=function(x)(x^2)-1, geom="line", size=1.5, aes(colour="(x^2)-1")) +
  stat_function(fun=function(x)(x-1)^2, geom="line", size=1.5, aes(colour="(x-1)^2")) +
  stat_function(fun=function(x)(x+1)^2, geom="line", size=1.5, aes(colour="(x+1)^2")) +
  ylim(-2, 5) + labs(colour = "Operações", title = "Gráfico", subtitle = "Translações" )+
  geom_point(aes(x=0, y=0), colour="blue") +
  geom_point(aes(x=1, y=0), colour="red") +
  geom_point(aes(x=-1, y=0), colour="red") +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
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Alongamento e Composição

Assim como a soma e subtração outras operações matemáticas transformam a curva de um gráfico. Ao multiplicarmos uma constante $c$ por $f(x)$ obten-se o efeito de alongar o gráfico ao longo do eixo das ordenadas para $x > 1$, se $0 < c < 1$ a operação comprime o gráfico em Y. Já se $c > 1$ o gráfico é comprimido no eixo das abscissas e no cado de $0 < c < 1$ o gráfico é alongado no mesmo aixo.

Famílias de Funções

Família $y= x^n$

Trata-se da família de funções onde $n$ como expoente é constante e a base $x$ é a variável - conhecida como função potência. Nessa família quando $n$ é par a função possui gráfico em forma de parábola, quandop $n$ é impar, o gráfico é simétrico; porém, crescente para $x$ positivo e decrescente para $x$ negativo; sendo ainda sia forma achatada para valores de $x$ entre $[-1, 1]$, crescendo rapidamente no restante do domínio.

Família $y= x^{-n}$

Tais funções assumem a forma de função inversa $\frac{1}{x^n}$ formando hipérboles, onde o gráfico se torna mais vertical à medida que se aproxima do eixo das ordenadas.

Proporções Inversas $y=\frac{c}{x}$

$Y$ é a inversa proporcional de $x$ se uma constante $c$: \[ y = \frac{c}{x} \,\,\,=>\,\,\, xy = c\] Onde temos o produto de grandezas inversamente proporcionais iguais à constante $c$. Quando $x$ é multiplicado por $2$, $y$ é multiplicado por $\frac{1}{2}$, assim como, multiplicando $x$ por $3$, $y$ é multiplicado por $\frac{1}{3}$.

Funções Potência com Expoente não Inteiro

\[ f(x)= x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}\] Se $n=2$, $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x}, [0, \infty]$.
Se $n=3$, $x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}, [-\infty, \infty]$.

Família de Polinômios

Caracterizados pela soma finita de termos$cx^n$, representados palo produto de uma contante e uma função potência de $n$ inteiro e positivo:

\[ 2x+1 \,\,\,\, 3x^2+5x-\sqrt{2}\] \[ (x^2-4)^3 = (x^2)^3 -3(x^2)^2 + 3(x^2)(x^2)-(4^3) \\ = x^6-12x^4+48x^2-64 \]

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)((x^6-12*x^4+48*x^2-64)), geom="line", size=1.5, aes(colour="x^2-4/x-2")) +
  ylim(-20, 20) + labs(colour = "Fórmula", title = "Gráfico", subtitle = TeX("$\ x^6-12*x^4+48*x^2-64") ) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
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Família de Funões Racionais

são funções constituidas pela rezão de dois polinômios:

\[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \,\,\, | \,\,\, Q(x) \neq 0 \\ \\ \therefore f(x)=\frac{x^2+2x}{x^2-1} \,\,\,|\,\,\, x \neq 1 \,\,e\,\, x \neq -1 \] Tais funções são descontínuas quando o denominador $=0$, por isso para alguns valores que resultar em denominador igual a zerp as $f(x)$ não estão definidas; podendo começar e terminar graficamente formando auum série de assíntotas verticais tanto horizontal como verticalmente.

Família de Funções Algébricas

Funções algébricas são aquelas constituídas de polinômios constituídos de um número finito/enumerável de operações algébricas como soma, subtração, divisão e radiciação. \[ f(x) = \sqrt{x^2-1} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 3\sqrt[3]{x}(2+x)\] Justamente por essa constituição variável do arranjo de polinômios e operações que impossibilita a definiçõ de formas típicas dos gráficos dessa família de funções.

Família $=-A sen Bx $ e $ y=A cos Bx$

$f(x)=A sen Bx$ e $g(x)=A cos(Bx-c)$, tais funções alomgam, comprimem, transladam e refletem funções trigonometricas.

Família $=-A sen(Bx-c) $ e $ y=A cos(Bx-c) $

\[ A sen [c(x-\frac{c}{b})] \\ A cos [c(x-\frac{c}{b})] \] Tais operações transladam o gráfico para esquerda ou direita dependendo do sinal de $\frac{c}{b}$. Se $\frac{c}{b} > 0$ o gráfico é transladado para a direita no valor correspondente a $\frac{c}{b}$; se $\frac{c}{b}<0$ o gráfico é transladado para a esquerda no valor correspondente a $\frac{c}{b}$.

Família das Funções Inversas

Uma função inversa desfaz a transformação de uma $f(x)$ anterior; portanto, enquanto uma função vai de $x \rightarrow y$, sendo $y = f(x)$, a inversa segue o caminho oposto $y \rightarrow x$, omde $x = f(y)$, sendo uma das ideias fundamentais na matemática. Assim, \[ y = f(x)=x^3+1\] onde a inversa de $f(x)$é \[ x=\sqrt[3]{y-1} = g(y)\] Busca-se identificar a relação engtre $f(x)$ e $g(x)$ quando $y=f(x)$ possa ser como $x=g(y)$, tal propriedade garante que quando tais funções forem compostas, elas se anulam: \[ g(f(x)) = \sqrt[3]{f(x)-1} = \sqrt[3]{(x^3-1)-1} = x\] \[ f(g(y)) = [g(y)]^3+1= (\sqrt[3]{y-1})^3+1 = y\] As funções inversas são denotadas como:

\[f^{-1}(x)\] Assim: \[f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y-1}\] \[ equações\, de\, cancelamento \begin{cases} f^{-1}(x) = x, para \,cada \, x \, no \, D \,de \,f \\ f^{-1}(y) = y, para \,cada \, y \, no \, D \,de \,f^{-1} \\ \end{cases} \]

Mudança de Variável Independente

No exemplo anterior sobre funções inversas, temos $x$ como variável independente de $f$ e $y$ como variável independente de $f^{-1}$. Muitas vezes $x$ se torna variável independente tanto para $f$ como para $f^{-1}$, e $y$ variável dependente para ambas funções; o que permite esboçar o gráfico simétrico das funções tendo então: \[\begin{cases} f^{-1}(x) = x, para \,cada \, x \, no \, D \,de \,f \\ f^{-1}(x) = x, para \,cada \, y \, no \, D \,de \,f^{-1} \\ \end{cases}\] \[\begin{cases} a) \, f(x) = 2x, \rightarrow f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x \\ b) \, f(x) = x^3, \rightarrow f^{-1}(x) = x^{\frac{1}{3}} \end{cases}\] Solução: \[ a) \, f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x) = \frac{1}{2}(2x) \\ f(f^{-1}(x)) = f(\frac{1}{2}x = 2(\frac{1}{2}x) = x \\ b) \, f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(x^3) = (x^3)^{\frac{1}{3}} =x\\ f(f^{-1}(x)) = f(x^{\frac{1}{3}}) = (x^{\frac{1}{3}})^3=x \]

Encontrando a inversa

Para encontrar a funçào inversa devem ser cumpridos os seguintes passos:
1) Escreva $f(x)$ $\rightarrow y=f(x)$,
2) Procure resolver a equação colocando $x$ em função de $y$,
3) A resultante será $x=f^{-1}(y)$ que fornece a inversa tendo $y$ como variável independente.
4) Se $y$ puder ser admitida como variável independente da inversa, isso fornece a incersa. Ex.: \[ f(x)=\sqrt{3x-2} \rightarrow y^2=3x-2 \rightarrow y^2+2=3x \rightarrow \frac{y^2+2}{3}=x \rightarrow \frac{1}{3}(y^2+2)=x \\ \therefore f^{-1}=\frac{1}{3}(x^2+2) \] No entanto, algumas funções não possuem inversa; enquanto que outras possuem, porém sua equação $y=f(x)$ não pode ser solucionada de modo explícito com $x$ em função de $y$; o que exige o estabelecimento de medidas para garantir a existência da inversa. Quando uma funçãop ossui inversa, esta deve associar saídas distintas para entradas distintas. Assim, $f(x)=x^2$, não pode ter inversa porque associa uma mesma saída para os valores negativos e positivos: \[f(2)=4 \,\,\,\, f(-2)=4\] Logo, $f^{-1}(4) = (2) \,\,ou\,\, (-2)$ o que diverge do conceito de função que exige apenas uma saída para cada valor de $x$. \[f(x)= x^2 \rightarrow x = \pm\sqrt{y}\] O que não fornece uma funçào clara de $x$ em relação a $y$. O tipo de função que associa saídas distintas para entradas distintas é chamada de função injetoira ou invertível $\therefore injetora = invertível$; portanto $f(x_1) \neq f(x_2) \,\, se \,\, x_1 \neq x_2$ O teste da função injetora pode ser realizado graficamente por meio de uma linha horizontel, em que $f(x)$ somente é injetora se a linha horizontal interceptar o gráfico apenas uma vez. Dessa forma conclui-se que funcões crescentes e decrescentes são inbvertíveis, pois, um gráfico que cresce ou decresce continuamente sem oscilações é invertível (pois passam no teste da reta horizontal).

library(ggplot2)

Outro detalhe relevante é que o gráfico de uma $f^{-1}$ é exatamente o reflexo de $f$: \[2^x \, e \, \frac{1}{2}x \,\,\,|\,\,\, x^3 \, e \, x^{\frac{1}{3}} \,\,\,|\,\,\, \frac{1}{3}(x^2+2) e \sqrt{3x-2}\] Quando uma função $h$ é obtida por meio da restrição sobre o domínio de $f$ assumimos que $h$ é uma restrição de $f$, logo: $h(x) = x^3 | x> 0$ é uma restrição de $f(x)=x^3$, onde então $g(x)$ é uma restrição de $x^3$ no intervalo $[0, \infty]$ que constitui o domínio de $f$. Como foi visto antes, as vezes é possível alterar o domínio da função pelo rearranjo algébrico de $f(x)$, ; assim, também é possível obter a função invertível pela restrição do domínio. Logo, se $x^2$ não é invertível, as seguintes restriçòes podem ser adequadas: \[ f_1(x) = x^2 | x \geqslant 0 \\ f_2(x) = x^2 | x \leqslant 0 \] A união de $f_1$ e $f_2$ nos dá a parábola de $x^2$ e cada uma das $f(x)$ é interpretada como invertível e reflexão da outra, permitindo obter: \[ f_1^{-1}(x) = \sqrt{x} \,\,\, e \,\,\, f_2^{-1}(x) = -\sqrt{x} \]

Família das Trigonométricas Inversas

Estamos habitiados com funçòes trigonométricas como seno, cosseno, secante e tangente, porém damos menor atençào às inversas trigonométrcas como arcsen, arctg, arcsec e arcsen. As primeiras são funçòes que vão de um ângulo para um valor geral enquando as segundas a partir de um valor conhecido nos fornecem um ângulo. As principais funções trigonométricas, no entento, falham no teste da reta horizontal, dada sua repetição periódica. Para contornar tal limitação, restringimos seus domínios ao intervalo que constitui o segmento de apenas um ciclo, garantindo a obtenção da inversa pela restrição do domínio. Assim, as periódicas (seno, cosseno, secante e tangente) quando limitadas em seu domínio fornecem as inversas: arcsen, arccos, arcsec e arctg. Assim, tais inversas existem nos seguintes domínios específicos: \[ arcsen: sen(x); -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2} \\ arccos: cos(x); 0 \leqslant x \leqslant \pi \\ arctg: tg(x); -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2} \\ arcsex: cos(x); 0 \leqslant x \leqslant \pi \,\,\, para \,\, x\neq \frac{\pi}{2} \]

Cálculo de Trigonométricas Inversas

No cálculo trigonométrico um desafio é determinar o ângulo sob o qual apenas conhecemos o seno. Ex.: $sen(x)=\frac{1}{2}$, de forma geral, havendo um valor $y$ no intervalo $-1 \leqslant x \leqslant 1$, a incógnita apresentada na equação: \[ sen(x) = y\] O $x$ da função se repete periódicamente, permitindo infinitas soluções para $x$, afim de superar tal situação é a adotada a função: $x = arcsen(y)\,\,\,$, restringindo a funçào ao intervalo $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, que corresponde à variaçào da inversa do seno.

Família das Exponenciais $x^n$

Expoentes racionais: Para expoentes inteiros temos $x^3 = x*x*x* (napa n fatores)$ e $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$, $x^0=1$, $x^{\frac{n}{q}} = \sqrt[q]{x^n} = (\sqrt[q]{x})^n$ e $x^{\frac{-n}{q}} = \frac{1}{x^{\frac{n}{q}}}$. Caso $x$ seja negativo, isso requer o uso de números imaginários tais como $(-2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{-2}$, o que faz com que se acote $x>0$. Potências irracionasis são: \[ 5^{\pi}, \,\, 2^{\sqrt{3}}, \pi^{-\sqrt{3}}\]
E por fim, \[ x^n*x^m=x^{n+m};\,\,\,\,\, \frac{x^n}{x^m}=x^{n-m};\,\,\,\,\, (x^n)^m=x^{n*m}\] Funções exponenciais como $f(x)=b^x$ sendo $b>0$ são descritas como exponenciais na base $b$, com base constante variando o expoente. \[f(x) = 2^x \,\,\,\,\,\,\,\, f(x) =\left( \frac{3}{4} \right)^n\] Logo, não são exponenciais as funções: \[f(x) = x^3 \,\,\,\,\,\,\,\, f(x) =(x)^{\frac{3}{4}}\]

Exponencial Natural $e=2.718282$

A exponencial natural $e = 2.718282$ é um número irracional de uso especial de cálculo. O valor de $b=e$ é a única base na qual a reta tangente possui inclinação tangente à curva $y=b^x$ igual ao valor da coordenada $y$ no ponto $x$. Assim, a tangente em $y=e^x$ em $(0, 1)$ tem inclinação igual a 1.

Família de Logarítmos

Logarítmos são expoentes, quando $b>0 \,\,\, e \,\,\, \neq 1$ para um valor $>0$de x na função: \[ \log_{b}(x)\] Esta expressão denota o expoente ao qual $b$ deve ser elevado para obter $x$ e possui como enunciado: logarítimo dex na base b \[ \log_{3}(9)=2 \\ \log_{2}(16)=4 \\ \log_{10}(1/1000)=-3 \\ \log_{b}(1)=02 \\ \log_{x}(x)=1 \\ \] Pode-se observar que a função logarítmica é a inversada função exponencial: \[y=b^x \, pode \, ser \, reescrita \, como\, y=\log_{b}(x)\] Assim uma expressão é reflexão da outra e portanto inversa, se $b>0$ e $b \neq 1$. A função exponencial mais importante em aplicações é o logarítmo natural ou logarítmo neperiano; que tem como base o número de euler (2.718282): \[e^x\] Este logarítmo também é denotado por $ln$. \[ ln(1) = 0 \\ ln(e) = 1 \\ ln(\frac{1}{e}) = -1 \\ ln(e^2) = 2 \]

Cancelamentos

\[ \log_{b}(b^x)=x \\ b^{log_{b}(x)} = x \,\,\,|\,\,\, x>0 \\ \ln(e^x)=x \\ e^{ln(x)} = x \,\,\,|\,\,\, x>0 \]

Resolução de exponencias e logarítmos

Se $b > 0$ e $b \neq 0$, $a>0$, $c>0$ e $r$ um número real, então: \[ a) \log_{b}(ac)= \log_{b}(a) + \log_{b}(c) \\ b) \log_{b}(a/c)= \log_{b}(a) - \log_{b}(c) \\ c) \log_{b}(a^r)= r*\log_{b}(a)\\ d) \log_{b}(1/c)= - \log_{b}(c) \\ \] Cientes dessas propriedades é possível expandir um logarítmo en somas, diferenças, múltiplos de logarítimos; assim como é possível condensar somas, diderenças e múltiplos de logarítimos em um único logarítmo.

\[ \log\frac{xy^5}{\sqrt{z}} = \log xy^5 + \log \sqrt{z} = \log x + \log y^5 - \log \sqrt{z} \\ = \log x + 5\log y - \log z^{\frac{1}{2}} = \log x + 5\log y - \frac{1}{2}\log z \]
\[ 5\log 2 + \log 3 - log 8 = \log 32 + \log 3 - log 8 = log \frac{32*3}{8}= log 12\]
\[ \frac{1}{3} \ln x - ln(x^2-1) + 2ln (x+3) = \ln x^{\frac{1}{3}} - ln(x^2-1) + ln (x+3)^2 = ln \frac{\sqrt[3]{x}(x+3)^2}{x^2-1}\]

A inversibilidade entre funções exponenciais e logarítmicas é útil para resolução de equacões envolvendo exponenciais e logarítmos:

$y = e^x \rightarrow x= ln(y)$, se $y>0$ e $x$ um número real.

Se $b>0 \,\, e \,\, \neq 1 \,\, \therefore \,\,y=b^x$ equivale a $x=\log_{b}(y)$ se $y>0$ e $x$ um número real. Assim podemos reescrever a primeira forma como a segunda:

\[\log_{b}(x)=k \rightarrow x= b^k \\ b^x=k \rightarrow \log_{b}(k) \]

Obs.:

Uma manipulação algébrica importante é a resolução de $b^x=k$ adicionando um logarítmo de ambos os lados da equação, podendo ser tanto $log$ como $ln$.

$\log x = \sqrt{2} \rightarrow x=10^{\sqrt{2}} \approx 25,95$
$ln (x+1) = 5 \rightarrow x+1=e^5 \,\, ou \,\, x=e^5-1 \approx 147,41$
$5^x=7 \rightarrow x*ln(5)=ln(7) \,\, ou \,\, x = \frac{ln(7)}{ln(5)} \approx 1,21$

PRÁTICA: Dada uma fonte de potência $P$ com saída $P = 75e^{-t/125}$, resolver $t$ de modo que a saída não decaia abaixo de $P = 7$:

\[ P = 75e^{-t/125} \\ 7 = 75e^{-t/125} = \frac{7}{75} = e^{-t/125} = ln(\frac{7}{75}) = ln(e^{-t/125}) \\ ln(\frac{7}{75}) = -t/125 \rightarrow t = ln(\frac{7}{75})*(-125) \rightarrow t \approx 296, 4 \] Álgebra
02)
\[e^x - e^{-x} = 1 \rightarrow 2*(\frac{e^x - e^{-x}}{2}) = 2(1)\] \[e^x - e^{-x} = 2 \rightarrow e^x - \frac{1}{e^x} = 2\] \[e^x*(e^x - e^{-x}) = 2*e^x \rightarrow e^{2x} - 1 = 2e^x \rightarrow (e^x)^2-2e^x-1=0\] Se $e^x$ = u: \[u^2-2u-1 = 0 \rightarrow {Báskara}\] \[\therefore e^x = 1\pm\sqrt{2} \\ ln(e^x) = ln(1+\sqrt{2} ) \,\,\,\, {pois \,e^x \, só \, admite \, valores \, positivos}\\ x = ln(1+\sqrt{2}) \approx 0,881 \]

Mudança de base de logarítmos

Dado $\log_{b}(x) = \frac{ln(x)}{ln(b)}$, onde $y = \log_{b}(x)=$ de onde se obtém $b^y=x \rightarrow yln(b) = ln(x)$, assim: \[ \log_{2}(5) = \frac{5}{2} \approx 2,321928\]

Aplicações logarítmicas; os logarítimos podem ser utlilizados para normalizar dados. Informações obtidas de mensurações de fenomenos reais podem apresentar grandes amplitudes, gerando problemas de controle, mensuração e ativação de limiars. Afim de contornar tais questões o uso de logarítmos é de grande ajuda, pois dada uma função: \[ y = log_{}(x)\] O aumento de $x$ por um fator de $10$ aumenta em $1$ unidade o valor de y. \[ log_{}(10x) = log_{}(10)+log_{}(x) = 1+y \]
O que trás os valores mensurados para uma escala mais tratável; alguns xemplos de escalar qie utilizam a transformação logarítmica são: decibéis (dB), a escala Richter e a escala pH.

Conceito de Demonstração

A ideia de demonstração em matemática consiste em provar a validade de uma proposição; assim, demonstrar consiste em convencer sobre a aplicalidade de um método ou função. Assim, quando somos apresentados a uma dada função, ela já está definida e pouco conhecemos sobre sua constituição, a demostração fornece a compreenção dos princípios ou teoremas que a fundamentam, apresentando de forma matemático/conceitual a conjunção de formulações que resultaram na fórmula final. Para fins de justificação do conceito de demonstração, será desenvolvida a demonstração da fórmula de Báskara de modo a apresentar a validade da mesma.

library(latex2exp)

\[{x-(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})}*{x-(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})}\]

Primeiro é preciso demonstrar que todo polinômio de segundo grau pode ser reescrito como o produto de uma constante e dois monômios de primeiro grau:
\[ \\ 1)\, ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2) \] \[ Soma\,e\,produto = \begin{cases} a(x^2-xx+x_2 + x_1x_2) \\ a(x^2- x(x+x_2) + x_1x_2) \end{cases}\begin{cases} ax^2 = a \\ -a(x_1+x_2) = b \\ a(x_1+x_2) = c \end{cases}\begin{cases} x_1x_2 = -\frac{b}{a} (a) \\ x_2 = -\frac{b}{a}-x_1 (b) \end{cases} \] Assim (b) em (a): \[ x_1x_2 = -\frac{b}{a} \rightarrow x_1(-\frac{b}{a}-x_1) = \frac{c}{a}\]

Aplicação:
\[ x^2-3x+2=0 = (x-x_1)(x-x_2) \\ \therefore (x-x_0)^2+d = 0 \\ x-x_0= \sqrt{-d} \\ x= x_0 \pm\sqrt{-d} \\ x^2-3x+2=0 \\= (x-x_0)^2+d \\ x^2 - 2x_0x + x_0^2 + d=0 \\ \begin{cases} 2x_0 = 3 \rightarrow x_0 = +\frac{3}{2} \\ 1 = a \rightarrow a=1 \\ x^2+d = 2 \rightarrow d= 2-x_0^2 \\ \end{cases} \begin{cases} d= 2-x_0^2 \\ \therefore d= 2-\frac{9}{4} \end{cases} \begin{cases} = -\frac{1}{4} \end{cases} \]

\[(x-\frac{3}{2})^2+(-\frac{1}{4}) \\ x= \frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}} \rightarrow x=\frac{3}{2}\pm \frac{1}{1} \\ x'= 1; x'' = 2 \\ b = -2x_0a\\ c= ax_0^2+d \]

\[ x^2-3x+2=0 = (x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4} \\ x^2-3x+2=0 = (x-x_0)^2 \\ x^2-3x+e-e+2 = 0 = x^2-2x_0x+x_0^2 \\ onde\,\,\,x^2-3x+e = \,quadrado \, perfeito \\ 2x_0 = -3 \\ e = x_0^2 \\ 3x = 2x_0 \rightarrow x_0 = \frac{3}{2} \\ \therefore e = \frac{9}{4} \]

\[\therefore (x-\frac{3}{2})^2-e+2 \rightarrow (x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}+2 = (x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}+2\]

Ou:

\[ \\ 2)\, ax^2+bx+c \\= a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{a}{c}) \\= a(x-x_0)^2+d \\= a(x^2+\frac{b}{a}+e-e+\frac{c}{a})\]

\[ a(x^2+\frac{b}{a}+e-e+\frac{c}{a}) \Rightarrow quadrado \, perfeito\]

\[x^2+\frac{b}{a}+e=(x-x_0)^2 \\= -2x_0=\frac{b}{a} \\ \Rightarrow x_0 \\= -\frac{b}{2a} \\ e = x_0^2 = -\frac{b^2}{4a^2}\]

\[a\Big\{ \Big( x+\frac{b}{2a} \Big)^2-\frac{b^2}{4a^2} +\frac{c}{a} \Big\}\] \[a\Big( x+\frac{b}{2a} \Big)^2-\frac{b^2}{4a^2} +c \] \[a\Big( x+\frac{b}{2a} \Big)^2-\frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a} \] \[a\Big( x+\frac{b}{2a} \Big)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \] \[x+\frac{b}{2a} = \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \] \[x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \] \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Métodos de Completar Quadrados

Dado $ax^2+bx+c=0$ é possível reescrever como :

\[a(x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}) = x(x-x_0)+d \\ \] \[a(x^2+\frac{b}{a}+e-e+\frac{c}{a}) \,\, onde \,\, (x^2+\frac{b}{a}+e) \,é \,um\,quadrado\,perfeito \\ = x^2+\frac{b}{a}+e = (x-x_0)^2+d, \,\,onde \,\, \\ e = x_0^2 \\ -2x_0 = \frac{b}{a} \rightarrow x_0 = -\frac{b}{2a} = \,\, vértice \\ \therefore e = (x_0)^2 \rightarrow e = (\frac{-b}{2a})^2 \]

Portanto, consolidadas estas bases, a demonstração formal pode ser dada por:

\[ a((x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}) \\ a(x+\frac{b}{2a})^2 - a(\frac{b^2}{4a^2})+a(\frac{c}{a}) \\ a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a}+c \\ a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a} \\ a(x+\frac{b}{2a})^2 +\frac{4ac}{4a} = \frac{b^2}{4a}\\ a(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a} - \frac{4ac}{4a} \\ x+\frac{b}{2a} = \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a}} \\ x = -\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a}} \\ x = -\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a}} \\ x = -\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, onde \,\, \frac{-b}{2a} = \, vértice\]

Portanto, se $\frac{-b}{2a}$ é o vértice e dados x’ e x’’, estes quando são somados e subtraídos em relação ao vértice são simétricos. Ex.: $$$$

Limites

Embora mais a frente seja demonstrado que por meio do uso de derivadas a obtenção de limites se torna mais direta e menos trabalhosa, nesse momento é preciso desenvolver detalhadamente a técnica e o conceito de limites; uma vez que esse conceito é fundamental para o cálculo.

O uso de limites consiste no uso de tecnicas de desenvolvimento de funções até então não definidas. Uma vez obtida a compreensão da eliminações de indeterminações é possível dar o próximo passo que consiste em estudar funções e seu comportamento localmente (num ponto dado). Os limites permitem superar as indeterminações de funções mas não fornecem mecanismos para determinar crescimento ou decrescimento, máximos e mínimos ou pontos de inflexão. Dado isso o estudo das derivadas surge como o estudos das ferramentas que tornam possíveis estas tarefas através das funcões. Antes de tudo a disciplina ce cálculo consiste no estudo de funções.

As derivadas são na verdade limites dados a partir da função; não o limite da função, mas o limite associado à inclinação da reta tangente.

Quando falamos de derivadas, precisamos antes de mais nada saber o que são funções contínuas, pois é sobre estas que as derivadas são aplicadas:

1 - Polinômios e racionais, nos seus domínios são funções contínuas.
2 - Comomposições de funções contínuas são funções contínuas.
3 - A função inverse de uma função contínua é contínua.
4 - O quociente de duas funções cóntínuas é contínuo (denominador diferente de zero).
5 - A soma de duas contínuas é conínua (o limite da soma é a soma dos limites).
6 - O produto de duas funções contínuas é contínuo.
7 - Funções trigonométricas e suas inversão são contínuas.
8 - Exponenciais e logarítimos são funções contínuas em seus domínios.

Os limites descrevem o comportamento de uma função quando o $x$ se aproxima de um determinado valor $a$. Assim o valor de $f(x)$ tende cada vez mais para um valor limite $L$ à medida que $x$ se aproxima desse dado numero $a$. Isso costuma ser descrito como o limite $L$ de $f(x)$ quando $x$ tende a $a$. Quando não é possivel encontrar $L$ dizemos que o limite de $f(x)$ não existe quando $x$ tende à $a$.

Enquanto ferramenta de cálculo o uso de limites visa responder a questões como taxas de variação, ou seja, o quando um valor $y$ varia em função da variação de uma unidade de $x$. Por exemplo, podemos estar interessados na função demanda relacionada à inflação. Podemos buscar entender o quanto a demanda por carros varia em função do aumento de 1% no seu valor; dessa forma buscariamos entender a variação de demanda em função da oscilação do preço do bem.

São exemplos de taxa de variação:
Na epidemiologia o número de infecções ao longo do tempo (um fenômeno tipicamente exponencial).
Na economia a variação do preço em relação ao tempo.
Na física a variação da temperatura em relação à altitude.
Na engenharia a variação na distãncia em relação ao tempo.

Talvez você possa se perguntar se medimos a taxa de variação através dos limites, por que não utilizamos a taxa de viação média? A resposta é porquê nem sempre a variação dos fenômenos segue uma relação linear, antes uma variável qualquer pode oscilar em diferentes pontos do domínio. Então a justificativa para o uso de limies passa pela ideia de velocidade variável, variação da temperatura, etc. Tais fenômenos não são constantes e apresentam valores distintos para os diferentes valores do domínio. É isso que torna relevante a compreensão da utilização do uso de limites dentro do “cálculo diferencial”, justamente quando estamos interessados em compreender a taxa de variação num dado ponto.

Pense que a dureza de um metal varia de acordo com a temperatura ao que o mesmo é submetido durante a confecção de um dado instrumento, conhecer essa variação permite saber o ponto exato em que o metal atinge a maleabilidade e dureza requerida para o correto uso daquele instrumento. Como é possível perceber, o conceito de limites nos remete diretamente ao concceito de variação instantânea, ou a ideia do valor de $y$ em função de um valor específico de $x$.

Como veremos por meio dos limites e das derivadas, a ideia de valor instantâneo, limite e derivada nos conduz ao importante conceito de reta tangente, que reproduz a inclinação ou a taxa de variação num dado instante; desse modo a reta tangente nada mais é do que a interpretação geométrica do conceito de limites, e por consequência, como veremos adiante, do conceito de derivadas.

Para uma intuição mais firme do conceito de limites, vamos recorrer à ideia de variação média. Considere o conceito de velodade média: \[ velocidade média = \frac{variação\, na\, posição}{intervalo \, de \, tempo} \] Essa demonstração nos diz que um um veículo que percorreu 60km em meia hora possui uma velocidade média de 120km/h. \[ \frac {60} {1/2} = 120\] No entando não é possível afirmar que o veículo percorreu todo o trajedo a una velocidade constante. O mais provável é que tenham sido aplicas velocidades maiores e menores, inclusive até mesmo momentos de inércia com velocidade igual a zero. Para descrever a variação utilizamos a ideia de velocidade instantânea, que é a variação da posição em um inervalo de tempo muito próximo de zero, mas diferente de zero; pois do contrário teríamos um indeterminação. Para este fim recorremos ao uso de intervalos de tempo suficientemente pequenos, pois nesse caso o “encurtamento do tempo” nos dá uma velocidade média suficientemente pequena que é muito próxima da velocidade instantânea.

Aqui cabe um adendo; como é possível perceber, a ideia de velocidade instantânea passa pela ideia de velocidade num ponto, que equivale a um tempo de valor zero, porém como o zero no lugar de denominador gera uma indeterminação, recorremos ao princípio de limites, que é a melhor aproximação para este propósito. Isso pode ser melhor explicado através ideia fundamental do uso de modelos na ciência.

Utilizar modelos na ciência deriva do fato de que os problemas reais são muito complexos, e por vezes tal complexidades tornam tais problemas insolúveis dada a complexidade das relações a eles associadas. Então um problema real e complexo, dificilmente garante uma solução exata; para solucionar tal limitação desenvolvemos modelos dos problemas reais, que nada mais são do que simplificações dos modelos reais; garantindo que sejam reproduzidas as características que mais nos interessam no problema específico. Pois bem uma vez que tenhamos desenvolvido modelos simplificados de problemas reais, com tal modelo, podemos ter total controle sobre as variáveis que influenciam o mesmo, e desssa forma podemos desenvolver soluções exatas para estes.

Ora, uma vez que a complexidade da realidade inviabiliza a obtenção de soluções exatas a partir de problemas reais, a ideia de modelo passa por desenvolver um modelo que garanta uma solução exata, onde a solução exata do modelo seja uma solução bastante aproximada do problema real.

Visto dessa forma a intuição por trás do limite é a mesma, não é possível calcular a velocidade num instante zero, dado que não existem feramentas para isso; no entanto o conceito de limites nos fornece uma velocidade média num intervalo tão pequeno que se aproxima de zero; e dessa forma a solução exata do limite enquanto modelo se apresenta como uma boa solução aproximada do problema real que é a velocidade instantãnea.

Uma descrição mais conceitual desse fenômeno nos diz que a variação média dada pelo limite converge para a variação instantânea e que a variação instantânea é de fato o LIMITE da variação média quando o intervalo de tempo tende a zero. E por fim, a variação instantânea ou limite é o equivalente à inclinação da reta tangente; onde, a inclinação da reta tangente corresponde ao coeficiente angular da reta; ou seja, enquanto o coeficiente linear nos fornece um valor constante que representa um valor inerente ao fenômeno analisado, o coeficiente angular descreve justamente a influencia de $x$ sobre $y$.

Técnica de limites

A principal utilização dos limites se dá quando possuímos um função indefinida para um dado valor de $x$. Como exemplo, considere a seguinte função: \[ f(x) \frac{sex(x)} {x} \,\,\,| \,\,\, f(0) \] Para este caso a função não está definida, pois a expressão dada seria: \[ f(0) \frac{sex(0)} {0} = \frac {0} {0}\] Para contornar esse problema, podemos calcular o limite da função para valores próximos de zero, e buscar evidenciar a tendência da função naquele ponto. para tal podemos calcular os limites laterais de zero à esquerda e a direita de zero:

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{sen(0)}{0} \] Este limite é identificado como limite fundamentaç do cálculo, pois dele derivam os demais limites.

\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{sen(0)}{0} \] Vale lembrar que em Calculo o uso de valores trigonométricos é sempre dado em radianos e nunca em graus. O uso de graus é uma proxy para radianos,

##     Lim-  sen(x)/x  Lim+  sen(x)/x
## 1 -1.000 0.8414710 1.000 0.8414710
## 2 -0.500 0.9588511 0.500 0.9588511
## 3 -0.100 0.9983342 0.100 0.9983342
## 4 -0.050 0.9995834 0.050 0.9995834
## 5 -0.010 0.9999833 0.010 0.9999833
## 6 -0.005 0.9999958 0.005 0.9999958
## 7 -0.001 0.9999998 0.001 0.9999998

Nessa caso a evidência numérica e gráfica revelam a tendencia e portanto o limite, mesmo para a $f(x)$ indefinida no ponto $x=0$. O que nos fornece a compreensão de que: \[ \lim_{x \to 0^-}f(x) = 1 \] O que nos dá a definição formal de limite como \[ \lim_{x \to c}f(x) = L \]

Demonstração do Teorema dos limites

Dado um $\varepsilon$ é preciso produzir um $\triangle$ para o limite $L*K$; um delta que garante os likites de $f(x)$ e $g(x)$. Um $\triangle$ suficientemente pequeno, mas suficientemente grande [ara chegar em $L$ e em $k$: $|f(x)-L| \leq \varepsilon$ e $|g(x)-K| \leq \varepsilon$. $\therefore$ É preciso provar que $|f(x)*g(x)-L*K| \leq \varepsilon$, onde também [e preciso garantir que o produto seja $\leq \varepsilon$. Se $x \in (x_0-\triangle,x_0+\triangle)$ para $x\neq 0$, então isso prova $|f(x)*g(x)-L*K| < \varepsilon$, onde a distância entre $x$ e $x_0$ é $ < $.

\[|f(x)*g(x)-L*K| < \varepsilon \\ x \in (x-\delta, x+\delta) | x \neq x_0 \\ f(x)g(x)-f(x)k+f(x)k-LK \\ f(x)(g(x)-K)+K(f(x)-L) \,\,\,| \\ onde\, (g(x)-K) < \varepsilon \,\, e\,\, (f(x)-l) < \varepsilon\\ |f(x)(g(x)-K)+K(f(x)-L)| \\ \cdots |a+b| \leq |a|+|b| \\ \therefore |f(x)(g(x)-K)+K(f(x)-L)| \leq |f(x)(g(x)-K)|+ |K(f(x)-L)| \\ \cdots |a+b| = |a|*+*|b| \\ \therefore |f(x)|*|(g(x)-K)|+|K|*|(f(x)-L)| \\ f(x) \leq |L|+\varepsilon \] Então o valor de $f(x)$ será $\leq |L|+\varepsilon$, onde $k$ e $L$ são valores dados. Assim $\varepsilon$ diminui o valor da expressão. Portanto,dadi um limite $\varepsilon$ é possível encontrar valores que vão para o limite.

Assim a definição formal de limites é dada por:

\[\forall \varepsilon > 0, \exists \varepsilon > 0: \\ x_0-\delta <0< x_0+\delta \\ \rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon \\ \lim_{x_0^-}f(x)=L\\ \lim_{x_0^+}f(x)=L \]

Definindo limite de forma mais clara

No exemplo dado os limites tanto a direita como à esquerda fe $f(x)$ para $x = 0$ tendem para 1, no entando nem sempre isso é verdade, nos casos em que os limites laterais divergem, rejeitamos a hipótese de que$f(x)$ possui limite no ponto dado e admitimos que a função não poosssui limite naquele ponto.

Como visto para que exista o limite em um dado ponto indeterminado, se faz necessário que ambos os limites laterais venham convergir para o mesmo limite - ou seja, que que o valor de f(x) converge para L, tanto para valores maiores como menores. De outro modo o limite não existe, o que não invalida o uso de limites, pois muitas vezes pode ser de interesse conhecer tais limites laterais e o comportamento da função de um dos lados do ponto dado. Pois a f(x) pode terder a L apenas por um dos lados, sem tender pelo outro, ou a f(x) pode estar definida apenas de um lado de c.

Também

\[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}\] \[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)\mathbf{{\color{red}g(x)}}-f(x_0)\mathbf{{\color{red}g(x)}}+\mathbf{{\color{blue}f(x_0)}}g(x)-\mathbf{{\color{blue}f(x_0)}}g(x_0)}{x-x_0} \]

\[\lim_{x \to 0} \frac{\mathbf{{\color{red}g(x)}}(f(x)-f(x_0)) + \mathbf{{\color{blue}f(x_0)}}(g(x)-g(x_0))}{x-x_0}\]

Limites Infinitos

Para algumas funções o limite de f(x) pode tender para o infinito; ou seja, quanto mais nos aproximamos de c o valor de L assume um valor cada vez maior formando uma assíntota vertical, indicando uma função que cresce de forma muito rápoda. Se uma dada função possui um numerador fixo e um denominador decrescente a medida que nos aproximamos de c, essa função tenderá a crescer, a exemplo de funções como:

\[ \lim_{x \to c}f(x) = \frac {1} {x-2} \] \[ \lim_{x \to c}f(x) = \frac {1} {x^2} \] \[ \lim_{x \to c}f(x) \ln(x) \] A expressão: \[\lim_{x \to c^-} = -\infty\] significa que dado $\epsilon > 0, \,\, \exists \,\, \delta > 0$ tal que se $c-\delta < x < c$ temos $f(x) > \epsilon$

e quando: \[\lim_{x \to c^+} = -\infty\]

dado $\epsilon > 0, \,\, \exists \,\, \delta > 0$ tal que se $c < x < c+\delta$ temos $f(x) > \epsilon$

A combinacão de limites que tendem para $0$ e para $/infty$ podem apresentar diferentes resultados, tanto para $0$ como para $\infty$

\[f(x)=x \\ g(x) =\frac{1}{x^2} \\ \lim_{x \ to 0} f(x)g(x) = \lim_{x \ to 0} x * \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} = +\infty\]

\[f(x)=x^2 \\ g(x) =\frac{1}{x} \\ \lim_{x \ to 0} f(x)g(x) = \lim_{x \ to 0} x^2 * \frac{1}{x} = x = 0 \] Também o produto de uma função que tende para $infty$ por outra função que tende para $0$ pode apresentar um limite local

\[f(x)=2x \\ g(x) =\frac{1}{x} \\ \lim_{x \ to 0} f(x)g(x) = \lim_{x \ to 0} 2x*\frac{1}{x} = 2*\frac{x}{x} = 2*1 = 2 \]

Leis dos Limites

A lei da soma nos diz que o limite da soma é igual à soma dos limites: \[ \lim_{x \to c} \, (f(x)+g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} \, g(x) \] O mesmo vale para a operação de subtração.

Lei do produto por uma constante: o limite do produto de uma constante por uma função é igual ao produto de uma constante pelo limite da função: \[ \lim_{x \to c} \,k*f(x) = k*\lim_{x \to c} f(x)\] Lei do produto dos limites: o limite do produto de duas funções é igual ao produto do limite de duas funções: \[ \lim_{x \to c} \, (f(x)*g(x)) = (\lim_{x \to c} f(x)) * (\lim_{x \to c} \, g(x)) \] A lei do quociente, se p $\lim_{x \to c} \, g(x) \neq 0$ então existirá $\lim_{x \to c}f(x) = \frac {f(x)} {g(x)}$ e o limite do quociente de duas funções seré igual ao quociente dos limites das funções: \[\lim_{x \to c} \, \frac {f(x)} {g(x)} = \frac {\lim_{x \to c} f(x)} {\lim_{x \to c} g(x)}\] Ex.: \[f(x) = x^2+1 \,\, e \,\, g(x) = x^2+4 \\ \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{5}{8} \, | g(x) \neq 0 \\ \\ f(x) = x^2-4 \,\, e \,\, g(x) = x-2 \\ h(x) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2-4}{x-2} \, | x_0 = 2 \,\, anula \,\, o \,\, denominador \\ h \rightarrow D(h)= \big\{\mathbb{R} \neq 2\big\} \\ \therefore \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 = 4 \] Assim, se $x+2$ possui limite, logo, $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$ possui limite.

E claro, a lei das potências e raízes, onde o limite da potencia de uma função é igual à potencia do limite de umna função, \[ \lim_{x \to c} [f(x)]^n = (\lim_{x \to c} f(x))^n\] e claro, o limite da raiz de uma função é igual a rais do limite da função: \[ \lim_{x \to c} \sqrt{f(x)} = \sqrt{\lim_{x \to c} f(x)}\]

….

\[a)\, \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \rightarrow \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

\[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \rightarrow existe \, pois \\ \Big\{ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\Big\}(x-x_0) \rightarrow \Big\{ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} (x-x_0)\Big\}\] \[\Big\{f(x)-f(0\Big\} = \lim_{x \to 0}\Big\{ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} (x-x_0)\Big\} = \] \[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}*\lim_{x \to 0}(x-x_0) \rightarrow f'(x)*0 = 0\] \[b)\, \lim_{x \to 0} f(x) = f(x_0) ???\] \[\lim_{x \to 0}\Big\{ f(x)-f(x_0)+f(x_0)\Big\}, \, sendo\, [+f(x_0)]\, uma\, constante \] \[\lim_{x \to 0} \Big\{ f(x) - f(x_0)\Big\}+\lim_{x \to 0} f(x_0) \rightarrow f(x) = 0 = f(x_0)\]

Limites e Continuidade

A ideia de continuidade descreve funções cujos gráficos não possuem quebras, numéricamente significa dizer que a função está definida em todos os pontos do domínio. A maioria dos fenômenos que nos dispomos a analizar são contínuos (velocidade, temperatura, preços, juros, pressão, etc.). E o conceito de continuidade é fundamental para os passos seguintes relacionados ao estudos das taxas de variação. Quando uma função é contínua no seu domínio a mesma pode ser denotada da seguinte forma:

\[\lim_{x \to c} \,f(x) = f(c)\] Segnificando que ela esta definida ou é calculável naquele ponto c. Assim a função contínua cumpre os seguintes requisitos: I) $f(x)$ está fefinida;
II) existe o $\lim_{x \to c} f(x)$;
III) $\lim_{x \to c^-} f(x)$ e $\lim_{x \to c^+} f(x)$ são iguais.

\[f(x)=\sqrt{\frac{x^2+1}{x-2}} \\ D_f = \big\{x \in \mathbb{R} : x > 2\big\}, (2, \infty), ]2, \infty[\]

\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} \\ D_f = \big\{x \in \mathbb{R} : x \neq 1\big\}\]

Onde: \[\lim_{x \to 1} f(x) = 2\] A definição de continuidade é dada por: Seja $f:A c \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $p \ in A$, onde $f$ é contínua em $p$ se, dada um $\epsilon > 0$ tal que se o $|x - p| < \delta$ temos $|f(x)-f(p)| < \epsilon$. Assim, dado um $\epsilon$ é preciso possuir um intervalo do domínio ao redor de $p$, onde $-\delta < x-p < \delta$, ou seja $p-\delta < x < p+\delta$ e portanto $x \in ]p-\delta, p+\delta[$. Essa definiçào leva à conclusão de que para $|f(x)-f(p)| < $ obtém-se $f(x) \in ]f(p)-\epsilon,f(p)+\epsilon[$ sempre com $ x D_f$. Dassa forma qualquer $\epsilon$ arbitrário suficientemente próximo de $x$, contrói um intervalo em torno de $p$ em que o limite deve estar contid e é por isso que a ideia de continuidade não admite slatos, pois estes fariam com que $f(p)$ caisse em um ponto fora do intervalo construído (Gráfico 1).

## [1] "Gráfico: 1 Gráfico de Limites"

Demonstração:
1) \[f(x) = k, k \in \mathbb{R}\] Dado $\epsilon > 0$ tome $\delta > 0$ qualquer, se $|x-p| < \delta$ ytemos $|f(x)-f(p)| = k - k = 0 < \epsilon$, o que informa que a função $f(x) = k$ é contínua em todos os pontos do seu domínio.

\[f(x)= ax+b, a \neq 0\] Dado $\epsilon > 0$, tome $\delta$. Note que esta funcão, para um dado intervalo ao redor de $x$, fornece um intervalo ao redor de $p$ que é multiplo de $a$. Se o intervalo ao redor de $p$ for $2\epsilon$ o intervalo ao redir de $x$ precisará ser $\frac{2\epsilon}{|a|}$, o mesmo valendo para uma restrição $\frac{\epsilon}{|a|}$.

\[|f(x) - f(p)| = |ax+b - (ap+b)| = |a(x-p)| = |a|*|x-p| \] Se $|x-o| < \delta = \frac{\epsilon}{|a|}$ temos $|f(x)-f(p)| < \frac{|a|\epsilon}{|a|} = \epsilon$

Seja $f: A \in \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $p \in A$, se para todo $\epsilon > 0$, existe um intervalo aberto $I$, com $p \in I$ tal que $|f(x)-f(p)| < \epsilon$, para todo $x \in I$, então $f$ é contínua em $p$. Note que nesse caso $p$ não é necessáriamente o centro do intervalo.

Ex.:$x^3$ é contíniua em $p=1$

\[|f(x) - f(p)| < \epsilon \iff |x^3-1| < \epsilon\] \[|f(x) - f(p)| < \epsilon \iff -\epsilon<|x^3-1| < \epsilon\] \[|f(x) - f(p)| < \epsilon \iff 1-\epsilon<|x^3| < 1+\epsilon\] \[|f(x) - f(p)| < \epsilon \iff 1-\epsilon<|x^3| < 1+\epsilon\] \[|f(x) - f(p)| < \epsilon \iff \sqrt[3]{1-\epsilon<|x^3| < 1+\epsilon}\] \[|f(x) - f(p)| < \epsilon \iff \sqrt[3]{1-\epsilon}<x<\sqrt[3]{1+\epsilon}\] Portanto, é preciso pegar o intervalo: $I = ]\sqrt[3]{1-\epsilon},\sqrt[3]{1+\epsilon}[$

Sejam $f, g$ funcões contínuas em $p$. Temos que tanto o produto como a soma dessas finções são contínuos.

$f+g$ é contínua em $p$.
$f*g$ é contínua em $p$.

Portanto, polinômios enquanto somas e produtos de funções contínuas, também o são funções contínuas.

Para a soma de funções contínuas: \[|(f+g)(x)-(f+g)(p)| \\ |f(x)+g(x)-f(p)+g(p)| \\ |f(x)-f(p)+g(x)-g(p)|\] e considerando que $|a+b| \le |a| + |b|$

\[\le |f(x)-f(p)| + |g(x)-g(p)| < \epsilon\] pois, \[|f(x)-f(p)| < \frac{\epsilon}{2} \\ |g(x)-g(p)|< \frac{\epsilon}{2}\]

Para o produto de duas funções contínuas:

Caso 1: $f(p)=g(p)=0$, dedo $> $, é possivel tomar $\epsilon_1 = \epsilon$ e $\epsilon_2 = 1$ e definir $\delta = minimo(\delta_1, \delta_2)$. Se $|x-p| < \delta$, tem-se $|(f*g)(x)-(f*g)(p)| = |(fx)*f(x)-f(p)*g(p)| \\ = |f(x)g(x)| = |f(x)|*|f(p)| = |f(x)-f(p)|*|g(x)-g(p)|$

E assim:

Limites e Descontinuidade

Quando é dada uma $f(x)$ e existir $\lim_{x \to c}$ e este for diferente de $f(c)$, esta situação representa uma descontinuidade. Nesse caso $f(c)$ está definida, mas difere do limite naquele ponto. Nesse caso são destacados dois tipos de descontinuidade.
A primeira é a descontinuidade leve onde toda a linha do gráfico segue uma mesma tendencia e apenas o valor do $\lim_{x \to 0}f(c)$ no ponto $c$ destoa; também denominada descontinuidade removível - pois podemos ignorar $f(c)$ e assumir a continuidade dada pelos limites laterais comoa regra posta.
Porém também há o tipo de descontinuidade de salto, que se dá quando os limiltes laterais $\lim_{x \to 0^-}f(x)$ e $\lim_{x \to 0^+}f(x)$ existem e são distindos e ainda $f(c)$ está definida e pode inclusive estar contida em um dos limites laterais.

\[ \frac{1}{\sqrt{x}}, \,\,\, \frac{1}{x}, \,\,\, \frac{1}{x^2}\]

Se $f(x) = |x|$, esta função é contínua en todos os pontos mas não é diferenciável em ZERO, \[\therefore \nexists \lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\]

Construção de Funções Contínuas

A ideia de contrução de funções contínuas passa pela lei dos limites e o porquê disso fica mais claro com o seguinte teorema: Teorema: Leis básicas de continuidade. Se $f$ e $g$ forem contínuas em $x = c$, então as funções seguintes também são seguintes em $c$:

$f + g$ e $f - g$
$k*f$, para toda constanbte $k$
$f*g$
$f/g$ se $g(c) \neq 0$

O que pode ser demonstrado:

\[ \lim_{x \to c} \, (f(x)+g(x)) = f(c) + g(c) \] De modo que ambas $f$ e $g$ são contínuas em $x = c$, a definição nos diz que: \[ \lim_{x \to c} \, f(x) = f(c) \,\, e \,\, \lim_{x \to c} \, g(x) = g(c)\] E assim, a lei da soma dos limites conduz à seguinte solução: \[ \lim_{x \to c} \, (f(x)+g(x)) = \lim_{x \to c} \, f(x) + \lim_{x \to c} \, g(x)= f(c) + g(c) \] Válido para soma de quantos limites quaisquer desde que todos sejam contínuos em $x=c$. A partir da presente demonstração, é possível concluir que também são verdadeiros os tópicos ‘b’, ‘c’ e ‘d’ do teorema.

Ainda em relação às funções contínuas; dados dois polinômios $P$ e $Q$, por serem polinômios ambos são contínuas na reta dos $ $, bem como $P/Q$ é contínua em todo seu domínio para todos $x=c$ onde $Q(c) \neq0$, demonstrado pela função $f(x) = x^m$ que é contínua para qualquer inteiro $m$., logo como a lei da continuidade diz que $f(x)=x^m$ é continua pois ela na verdade equivale a $f(x)=ax^m$ para toda constante $a$, segue que é uma função contínua o seguinte polinômio: $P(x)= a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ....+ a_1x+a_0$. Já pela lei da continuidade ‘d’ $P/Q$ é contínua em $x=c$ somente se $Q(c) \neq0$. Assim, $g(x) = \frac {x+3} {x^2 -1}$ é contínia com $x \neq\pm 1$

Fato notável

Sejam $f,g$ tais que $f$ é contínua em $L \in \mathbb{R}$ e $\lim_{x \to p}g(x)=L$. Então a imagem de $g(x)$ se torna domínio de $f(x)$:

\[ \lim_{x \to p} (fog)(x)= \lim_{x \to p} f(g(x)) = f(\lim_{x \to p}g(x)) = f(L) \]

Cálulo de Limites por meio de Funções de Continuidade

Quando uma função é contínua, facilmente podemos calcular o limite por substituição:

\[ \lim_{x \to 3} x^{-2} = 3{-2} = \frac{1} {9}\]

Álgebra de Limites

Embora o cálculo por substituição seja uma ferramenta prática e direta, existem funções onde $\lim_{x \to 3}f(x)$ não estão definidos em $f(x)$, impedindo o uso de substituição. A solução adotada nesse caso é a reescrita da $f(x)$ por meio de álgebra; ou seja, a transformação algébrica da mesma. Essa abordagem consiste em encontrar uma maneira de canclar um fator comum no numerador e denominador, eliminando a indeterminação. A função abaixo não está definida para $x=4$: \[ \lim_{x \to 4} \frac{x^2-16} {x-4} \] Nesse caso, algebricamente a solução dada é a fatoração do numerador, eliminando a indeterminação:

\[ \frac{x^2-16} {x-4} = \frac {(x+4)(x-4)} {x-4} = x+4 \,\,\,\, |\,\,\, x\neq4 \] Essa abordagem com $f(x)$ é aderente à função contínua $y=x+4$ para qualquer numero real $\neq 4$, assim: \[ \lim_{x \to 4} \frac{x^2-16} {x-4} = \lim_{x \to 4} (x+4) = 8\] Portanto, quando precisamos cancular o limite de funções indeterminadas em um $x=c$, a resoluçãode tais limites exige maior esforço algébrico. Fica demonstrado portanto que o cálculo de limite exige a reescrita algébrica de funções $f(x)$ de forma a eliminar a indeterminação.

Ex.: Transformação algébrica, cancelamento e substituição: \[\lim_{x \to 3} \frac{x^2-4x+3} {x^2+x-12} = \frac {(x-3)(x-1)} {(x-3)(X+4)} = = \frac {x-1} {x+4} = \lim_{x \to 3} \frac{x-1} {x+4} = \frac {2} {7} \]

\[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tg(x)} {sec(x)} = \frac{(sen(x))(\frac{1}{cos(x)})}{\frac{1}{cos(x)}} = sen(x) = sen(\frac{\pi}{2}) = 1\] \[\therefore \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tg(x)} {sec(x)} = 1\]

Multiplicar pelo conjugado

\[\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2} {x-4} = (\frac{\sqrt{x}-2} {x-4})*(\frac{\sqrt{x}+2} {\sqrt{x}+2}) =\frac{x-4} {(x-4)(\sqrt{x}-2)}=\frac{1} {(\sqrt{x}-2)}=\frac{1} {4} \]
\[\lim_{x \to \infty} \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\infty - \infty)\] Ambas as parcelas tendem a um valor arbitrariamente grande, no entando infinitoinda que $\infty$ represente um comportamento de x, $\infty$ não é um número real. Assim, $\infty - \infty$ é uma indeterminação e não é possível calcular a diferença entre duas parcelas arbitrariamente grande. Nossa intruição nos faz pensar que a primeira parcela pareça maior dada a transformação: \[(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x})^2 = x+1-x = 1\] No entanto, essa relacão não é tão direta, a saída para o cálculo do limite é multiplicar e dividir pelo conjugado, transformando o produto em quociente: \[\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}) = \frac{(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x})^2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \\ = \frac{x+1-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}= \frac{1}{\infty+\infty}=0\]

\[\lim_{x \to 5} \frac{h-5} {\sqrt{h+4}-3}= (\frac{h-5} {\sqrt{h+4}-3})* (\frac{\sqrt{h+4}+3} {\sqrt{xh+4}+3})= (\frac{(h-5)(\sqrt{h+4}+3)} {((\sqrt{h+4}-3))\sqrt{h+4}+3})=(\frac{(h-5)(\sqrt{h+4}+3)} {(\sqrt{h+4})^2-9})= \] \[ =(\frac{(h-5)(\sqrt{x+4}+3)} {h-5})=\sqrt{x+4}+3=\sqrt{9}+3=6 \]

\[\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}*(x^2+1) \,\,\,\,\,\,\, (0*\infty)\] Se transformarmos o produto em quociente teremos uma indeterminação $\frac{\infty}{\infty}$:

\[\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}*(x^2+1) = \lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{\sqrt{x}} = \frac{\infty}{\infty} \,\,\,\, = (indeterminação)\] Por sua vez: \[\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{\sqrt{x}} = \frac{x^2}{\sqrt{x}} * \lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{\sqrt{x}}*0\] \[\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{\sqrt{x}}*\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty}\frac{x^2\sqrt{x}}{x} = x\sqrt{x} = \infty\]

Transformação e cancelamento

\[\lim_{x \to 1}(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1})=\frac{x+1}{x^2-1}-\frac{2}{x^2-1}=\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}==\frac{1}{x-1}=\frac{1}{1-1}=\frac{1}{2} \] Obs.: \[ \frac{x+1}{x^2-1}-\frac{2}{x^2-1} = \frac{x+1-2}{x^2-1} = \frac{x-1}{x^2-1}\]

\[\lim_{x\to2}\frac{x^2-1}{x^2-x-2} = \lim_{x\to2}\frac{2^2-1}{2^2-2-2} = \frac{0}{0} = (Indeterminação)\] \[\lim_{x\to2}\frac{x^2-1}{x^2-x-2} = \lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} = \lim_{x\to2}\frac{(x+2)}{(x+1)} = = \frac{2+2}{2+1} = \frac{4}{3}\]

\[\lim_{x\to\infty}x^2-5x+6\] Nesse exemplo temos $x^2$ e $-5x$, uma parcela tendendo para $+\infty$ e outra tendendo para $-\infty$ e é preciso definir quem “ganha”. Como $x$ é arbitrariamente grande e não é possível saber o quão grande é, se faz necessário aplicar alguma transfiormacão que torne a relação entre as parcelas mais claras e fornecam o limite correto: \[\lim_{x\to\infty}x^2-5x+6 = \lim_{x\to\infty}x^2(1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}) = \lim_{x\to\infty}x^2(1-0+0) = +\infty \]

\[\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^4-1} \neq (\infty-\infty)\] É possível notar que como $x\to\infty$ as parcelas $+1$ e $-1$ se tornam irrelevantes e o limite praticamente se torna uma função de $f(x)\sqrt{x^2}-\sqrt{x^4} = x-x^2$ \[\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^4-1} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-x^4+2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^4-1}} \frac{\approx\infty}{\approx\infty} = (indeterminação)\] \[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-x^4+2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^4-1}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^4(\frac{1}{x^2}-1+\frac{2}{x^4})}{(\sqrt{|x^4|(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4})}\sqrt{|x^4|(1-\frac{1}{x^4})})} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^4(\frac{1}{x^2}-1+\frac{2}{x^4})}{x^2(\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}}\sqrt{1-\frac{1}{x^4}})} \\ = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2(\frac{1}{x^2}-1+\frac{2}{x^4})}{(\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}}1+\sqrt{1-\frac{1}{x^4}})} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2(0-1+0)}{(\sqrt{0+0}+\sqrt{1-0})} = \frac{\infty*(-1)}{1} = -\infty\] #### Obs: Como a intenção foi evidenciar $x^4$ no numerador e denominador, aplicou-se a seguinte operacão na primeira parcela do denominador: \[\sqrt{x^2+1} \Longrightarrow \]

Infinita mas não indeterminada

\[\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-4}{2x^2-4x+4} \neq \frac{\infty}{\infty}\] \[\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2(1+\frac{4}{3x^4)}}{2x^2(1-\frac{4x}{2x^2} +\frac{4}{2x^2})} = \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2(1+0)}{2x^2(1-0 +0)} = \frac{3x^2}{2x^2} = \frac{3}{2}\]

\[\lim_{x \to 2}\frac{x^2-x+5}{x-2} \] \[2^2-2+5=7 \,\,\,\,e\,\,\,\, 2-2 = 0 \,\,\,\, |\,\,\,\, = \frac{7}{0}\] \[\lim_{x \to 2^-}\frac{x^2-x+5}{x-2} = -\infty \,\,\,\,|\,\,\,\,\lim_{x \to 2^+}\frac{x^2-x+5}{x-2} = \infty \,\,\, \therefore \nexists \lim_{x \to 2^-}\frac{x^2-x+5}{x-2} \\\] Nesse caso o limite bilatral não existe, mas a função possui limites laterais infinitos com diferentes sinais:

\[\\\] 3.

\[\lim_{x\to\infty}\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x} \,\, onde \,\, \left( \lim_{x\to\infty}\sqrt[3]{x+1}=\infty \,\,-\,\, \lim_{x\to\infty}\sqrt[3]{x} = \infty\right) \neq (\infty-\infty)\] A solução pode ser a transformar a diferenca em quociente, para isso aplicamos inicialmente a trsnaformação algébrica onde tornamos $(x+1=a)$ e $(x)=b$ e aplicamos a seguinte regra: \[a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 \Longrightarrow h(x)=f(x)g(x)\] \[(\sqrt[3]{x+1})^3-(\sqrt[3]{x})^3 = h(x)\] \[(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x})=f(x)\] \[(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{(x+1)x}+\sqrt[3]{x^2}) = g(x)\]

Então: \[(\sqrt[3]{x+1})^3-(\sqrt[3]{x})^3 = (\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}) *g(x)\] \[(x+1-x) = (\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}) *g(x) \Longrightarrow 1 = (\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}) *g(x)\] \[\frac{1}{g(x)}=\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x} \Longrightarrow \frac{1}{(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{(x+1)x}+\sqrt[3]{x^2})}=\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}\] \[\lim_{x\to\infty} \frac{1}{(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{(x+1)x}+\sqrt[3]{x^2})}=\lim_{x\to\infty} \frac{1}{(\infty+\infty+\infty)}=0\]

Constante simbólica e denominador igual a zero

Ex.: Expandor o numerador, e simplificar eliminando o denominador zero. \[ \lim_{h \to 0}\frac{(h+a)^2-a^2}{h} = \frac{(h^2+2ah+h^2)-a^2}{h}=\frac{h^2+2ah}{h}=\frac{h(h+2a)}{h}=h+2a=2a \]

Resumo:

Quando uma $f(x)$ é contínua am $x=c$ o limite pode ser obtido por substituição.
Dizemos que uma função é indeterminada quando temos"" \[\frac{0}{0}, \,\,\,\,\, \frac{\infty}{\infty}, \,\,\,\,\,\infty*0,\,\,\,\,\,\infty-\infty\]
Quando a $f(x)$ for indeterminada para $x=c$ procede-se com a transformação algébrica de expressão de modo que a nova expressãp esteja definida em $x=c$, para então realizar o cálculo por substituição.
Ex.: $f(x) = 2x^4-x^3-5x^2-5x+10$ \[\lim_{h \to 0} = 10, \,\,\, onde \,\,\, x \approx 0\\ \lim_{h \to 1} = 11, \,\,\, onde \,\,\, x \approx 1\]

Limites Laterais

\[ f(x)=|x| \begin{cases} x se x \geq 0 \\ -x se x < 0 \end{cases}\]

\[ \lim_{h \to 0^-}|x| = \lim_{h \to 0^-}x = 0 \] \[ \lim_{h \to 0^+}|x| = \lim_{h \to 0^+}x = 0\] \[ \therefore \lim_{h \to x^+}|x| = \lim_{h \to 0^-} x = 0 \]

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)abs(x), geom="line", size=1.5, aes(colour="|x|")) +
  ylim(-2, 5) + labs(colour = "", title = "Gráfico", subtitle = "f(x) Descontínua no ponto 0 | m(x) = 1: x > 0 | m(x) = -1: x < 0" ) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

Assim para o limite de $m(x)$ onde $x \to0^+=1$ e $x \to0^-=-1$ não existe limite para $m(x)$, pois não é diferenciável nesse ponto; uma vez que a diferenciação corresponde à reta tangente no ponto, que corresponde à derivada e nesse caso não existe a reta tangente.

Limites Trigonométricos

A prática de cálculo de limites como apresentada até aqui é bastante útil, mas não pode ser aplicada a funções transcendentes como as trigonométricas. Pra isso utiliza-se o teorema do confronto.

Teorema do confronto ou Lema da Comparação

Se uma função $f$ estiver entre outras duas funções, uma infelior $l$ e outra superior $u$, constituindo um imite $I$, assume-se que $l(x)\leq f(x)\leq(x)$ para todo $x \in I$. Nesa tituação $f(x)$ pode não apenas estar entre as linhas das duas funções , mas pode ser restringida (apertada) por ambas, como ilustrado abaixo:

E nesse caso temos que: \[ \lim_{x \to c}l(x) =\lim_{x \to c}u(x)=L \] Nesse caso a $f(x)$ não necessariamente precisa esta definida em $x=c$, mas no ponto em que os limites de $l(x)$ e $u(x)$ se aproximam, o limite de $f(x)$ tende a estes mesmos limites.

Demonstração: Prove que $\lim_{x \to 0}x*sen(\frac{1}{x}) =0$. Não é possível obter o protudo dessa expressão porque não existe $\lim_{x \to 0}sen(\frac{1}{x})$, porém dada a natureza matemática do seno, é de conhecimento que oseno varia entre 1 e -1. Assim, $|sen(\frac{1}{x})| \leq 1$ e o produto de $|sen(\frac{1}{x})| * |x| = |x*sen(\frac{1}{x})| \leq |x|$, resulta em: \[-|x| \leq x*sen(\frac{1}{x}) \leq |x|\] Assim: \[\lim_{x \to 0}|x|=0 e \lim_{x \to 0}(-|x|)=-\lim_{x \to 0}|x|=0\] conclui-se que: $\lim_{x \to 0}x*sen(\frac{1}{x}) =0$

Limites trigonométricos importantes

Os limites abaixo são indeterminações em $\theta = 0$, não podendo ser provado por substituição. \[ \lim_{\theta \to 0}\frac{sen \theta}{\theta}=1 \,\,\, e \,\,\, \lim_{\theta \to 0}\frac{1 - cos(\theta)}{\theta} = 0\] Para contornar tal limitação algébrica utilizamos o teorema do confronto, utilizando funções que comprimam a função original e tendam para o mesmo limite. Geométricamente, como ilustrado abaixo, utilizamos funções que cercam $\frac{sin\theta}{\theta}$ em $\theta=0$.

Cálculo de limite por mudança de variável

Ex.: A tabela de valores de limites diz que $\lim_{h \to \theta}\frac{sen(4h)}{h}$ é igual a 4, no entanto a ivestgação numérica exige a reescrita do limite, utilizando o exemplo anterior em termos de $\frac{sen \theta}{\theta}$, fazendo com que $\theta = 4h$, e portanto: \[ \frac{sen \theta}{\theta} = 4(\frac{sen \, 4h}{4h}) =4(\frac{sen \, \theta}{\theta}) = 4\frac{sen \, \theta}{\theta} \] Dessa forma, se $\theta \to 0$ (tende a zero) se $h \to 0$ uma vez que $\theta$ é múltiplo de $h$. Essa correspondência permite realizar a troca do limite $h \to 0$ para o limite $\theta \to 0$ e assim chegar em: \[ \lim_{h \to 0} \frac{sen(4h)}{h} = \lim_{h \to 0} 4\frac{sen(\theta)}{\theta} = 4(\lim_{h \to 0} 4\frac{sen(\theta)}{\theta}) =(4)(1) = 4\] Ex.: Encontrar o seguinte limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{tg(3x)}{tg(2x)} \] Utilizando as correspondências trigonométricas: \[ \lim_{x \to 0} \frac{tg(3x)}{tg(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{sen(3x)}{cos(2x)}*\frac{cos(2x)}{sen(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{sen(3x)}{cos(2x)}*\frac{cos(2x)}{sen(3x)}*\frac{x}{x} \] \[ \lim_{x \to 0} \frac{3}{2}*(\frac{sen(3x)}{3x})*(\frac{2x}{sen(2x)})*\frac{cos(2x)}{cos(3x)}=\frac{3}{2}*1*1*\frac {1}{1} = \frac{3}{2}\]

Limites no Infinito

Embora os exemplos tenham demonstrado o cálculo de limites que resultam da aproximação de um numero real, o cálculo de limites de algumas funções resulta de x tendendo para infinito.

Outra forma de se referir a tais limites é $x \rightarrow \infty$, indicando que x cresce sem cota, ou $x \rightarrow -\infty$ onde x decresce sem cota. Assim:

$\lim_{x \to \infty}f(x) = L$ se $f(x)$ seaproxima cada vez mais de $L$ com $x \rightarrow \infty$.
$\lim_{x \to -\infty}f(x) = L$ se $f(x)$ seaproxima cada vez mais de $L$ com $x \rightarrow -\infty$.

Nesse caso $y = L$ forma uma assíntota horizontal. Ex.: \[ \lim_{x \to \infty}g(x)=5.5 \,\,\,e\,\,\, \lim_{x \to -\infty}g(x)=1.5\] Geometricamente:

E seguinte fenômeno também é possível: \[ \lim_{x \to \infty}f(x)=\infty \,\,\,e\,\,\, \lim_{x \to -\infty}f(x)=\infty\] Também quando $f(x)$ assume valores significativamente grandes com $x \rightarrow \infty$ ou $-\infty$, a exemplo de: \[ \lim_{x \to \infty}e^x = \infty \,\,\, ou \,\,\, \lim_{x \to -\infty}e^x = \infty\]

Outro fenômeno a ser destacado é a função seno para x tendendo para infinito, nesse caso não há um limite no infinido pois a função oscila entre 1 e -1. \[ \lim_{x \to \infty}sen(x) \,\,\, e \,\,\, \lim_{x \to -\infty}sen(x) \]

Limites no infinito de potências $f(x)=x^n$ podem ser determinados quando $x^n$ e $n > 0$ onde então $f(x)$ cresce sem cota com $x\rightarrow \infty$ \[\lim_{x \to \infty} x^n = \infty \,\,\, e \,\,\, \lim_{x \to \infty} x^{-n} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n}=0\] Bastante curioso de ser observado é o comportamento de $x\rightarrow -\infty$, nesse caso para $x<0$ e $n$ um número natural par, $f(x)$ se torna positivo e significativamente grande; porém, quando $x\rightarrow -\infty$ para $x<0$ e $n$ um número natural inpar, $f(x)$ se torna negativo e significativamente grande. Assim: Dado um n > 0: \[\lim_{x \to \infty} x^n = \infty \,\,\, e \,\,\, \lim_{x \to \infty} x^n = lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^n} = 0\] Se n for um número inteiro positivo, então: \[\lim_{x \to \infty} x^n =\begin{cases} \infty \,\,se\,\, n\,\, for\,\, par\\ -\infty\,\, se\,\, n\,\, por\,\, inpar \end{cases} \]

n par $\lim_{x \to \infty} x^n = \lim_{x \to -\infty} x^n = \infty$
n ímpar $\lim_{x \to \infty} x^n = \infty \,\, \ e \,\,\, lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty$
n par $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$

Teorema do Valor Intermediário

Soma de Limites

Se \[\lim_{x \to p} f(x) = L_1 \,\,e \,\, \lim_{x \to p} g(x) = L_2\] então,
\[\lim_{x \to p} f(x) + g(x)= L_1+ L_2 \,\, e \,\, \lim_{x \to p} f(x) + g(x)= L_1 * L_2\]

Fato notável

Quando um limite existe e outro não a soma e produto se tornam impossíveis; no entanto quando ambos limites não existem em alguns casos é possivel obter o limite da soma de duas funções que não possuem limite:

Primeiro caso sem limite: \[\lim_{x \to 0} f(x) \frac{-|x|}{x} = \begin{cases} se x>0, f(x) \to -1 \\ se x< 0, f(x) \to 1 \end{cases}\]

Segundo caso sem limite: \[\lim_{x \to 0} g(x) \frac{|x|}{x} = \begin{cases} se x>0, f(x) \to 1 \\ se x< 0, f(x) \to -1 \end{cases} \]

\[\therefore lim_{x \to -1} f(x)+g(x) = 0\]

Exemplos de Limites

Se $\lim_{x \to -1} \frac{x^3+1}{x^2+4x+3}$

\[\lim_{x \to -1} \frac{x^3+1}{x^2+4x+3}\]

É possível encontrar uma segunda $f$ que chegue na mesma imagem sem a mesma restrição no domínio:

\[\lim_{x \to -1} \frac{x^2-x+1}{x+3}\] Temos que $f(x) = g(x)\,\, \forall\,\, x \,\, \in ]-2,0[,\,\, x \,\,\neq\,\, -1$ e assim: $\lim_{x \to -1}f(x) = \lim_{x \to -1}g(x)=g(-1)=3/2$

\[\lim_{x \to \infty}\frac{x^5+x-3}{2x^5+x^4+7} = \lim_{x \to \infty}\frac{x^5(1+\frac{1}{x^4}-\frac{3}{x^5})}{x^5(2+\frac{1}{x}+\frac{7}{x^5})}\lim_{x \to \infty}\frac{x^5(1+0-0)}{x^5(2+0+0)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}\]

\[\lim_{x\to-\infty} \sqrt{x^2+9}+ (x+3), \,\, onde \,\, \lim_{x\to-\infty} \sqrt{x^2+9} \to +\infty \,\,e\,\, \lim_{x\to-\infty} (x+3)\to-\infty\] \[\lim_{x\to-\infty} \frac{x^2+9-(x+3)^2}{\sqrt{x^2+9}-(x+3)} = \frac{-6x}{-(|x|(\sqrt{1+\frac{9}{x^2}}-(1+3)))} = \frac{6x}{x(\sqrt{1+\frac{9}{x^2}}+(1+3))}, (x\to-\infty,\, e\,por\, isso, -(|x|(\sqrt{1+\frac{9}{x^2}}-(1+3))) \Longrightarrow -x(\sqrt{1+\frac{9}{x^2}}+(1+3))\] \[\lim_{x\to-\infty} \frac{6x}{\sqrt{1+0}+(1+0))} = \lim_{x\to-\infty} \frac{6}{2} = 3 \]

\[\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x^4+x^2}}{x},\,\, \lim_{x\to0} \frac{|x|\sqrt{x^2+1}}{x} = \lim_{x\to0} \frac{|x|}{x}*\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} = \nexists \lim_{x\to0} \frac{|x|}{x}\,e\, \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} = 1\] Pois:

\[\lim_{x\to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1 \,\,e\,\, \lim_{x\to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1 \] Demonstrando que não existe o limite de $\lim_{x\to0} \frac{|x|}{x}$, e portanto não existe o produto da primeira parcela (sem limite) pelo limite $1$ da segunda parcela, pois $\nexists$ o protudo de um não limite por um limite.

A Reta

Uma reta é dada por um ponto $p$ e seu $coeficiênte \, de \, variação$, ou por dois $pontos$.

\[1)\, m = \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = x+2\, onde\, x \to 2 \therefore m = 2\]

\[y-y_0 = m(x-x_0) ... y-4=4(x-2) => x= -x+\frac{1}{2} \]

\[ax^2+bx+c = a(x-x_0)^2+d, onde \\ ax^2 = a \\ 2x_0ax = b \\ ax_0^2+d = c\] \[2)\, x^2-3x+2 = (x-\frac{3}{2})-\frac{1}{4} \\ onde \, (x^2-3x+e) = quadrado \, perfeito \, (x-x_0)^2\] \[x^2-3x+e+e-2 e\, x_0 \\= \frac{3}{2} e=-\frac{9}{4} \\ \therefore (x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{2}+2 \\ = (x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}\]

\[(x-x_0)^2+(y-y_0) = r^2 | c =(x_0, y_0) \\ x^2-2x_0x+x_0^2+y^2-2y_0y+u_0^2=r^2\]

… \[x^2-2x+y^2+3y = 6 \\ x^2-2x = -2x_0 \\ -2=12x_0 \rightarrow x_0=1 \\ x^2-2x+1-1 \rightarrow (x-1)^2-1\] \[y^2+3y+\Big( \frac{3}{2}\Big)^2-\Big( \frac{3}{2}\Big)^2 \rightarrow 3 = -2y_0= -\frac{3}{2}\] \[y^2+3y+\frac{9}{4}-\frac{9}{4} = \Big(y+\frac{3}{2}\Big)^2-\frac{9}{4}\] \[(x+1)^2-1+\Big(y+\frac{3}{2}\Big)-\frac{9}{4} = 6 \]

\[(x+1)^2+\Big(y+-\frac{3}{2}\Big) = 6+1+\frac{9}{4} \\ (x+1)^2+\Big(y+-\frac{3}{2}\Big) = \frac{37}{4}\] \[c= \Big( 1, -\frac{3}{2} \Big), \,e\, r=\sqrt{\frac{37}{2}}\]

Derivadas

Derivadas somente são possíveis em espaços de continuidade de funções. A derivada é um limite dado por uma função, também pode ser visto como o limite que fornece a taxa média de variação média. Assim; $\,f:D->R$ é a taxa de variação media f em $[x_1. x_2]$ que se traduz na funcão:

\[ m= \frac{ f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = tang \, \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\]

A ideia de limite consiste em fixar um dos parametros de x e variar o segundo a ponto de encontrar um intervalo mínimo tal que esse nos forneça uma variação mínima onde $x_1$ é diferente de $x_0$. Note que falar de limite implica em fixar f(x) e $x_1$ e variar $x_0$ o que nos fornece a ideia de taxa instantãnea e por consequência de derivada.

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{ \Delta x}{\Delta y} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\]

Falar de derivadas é falar de reta tangente. Quando uma curva B possui um equação y=f(x) e desejamos encontrar a reta tangente a B em um ponto P(a,f(a)), se tomarmos um ponto próximo Q(x ,f(x)), sendo x diferente de 0, e calcularmos ainclinação da secante PQ.

\[ M_{pq} = \frac{f(x) - f(a)} {x - a} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\] Para encontrarmos a derivada no ponto P, fazemos com que Q se desloque ao londo da curva até chegar num ponto vizinho a P muito próximo (fazer Q tender x tender a a ), fazendo com tenhamos não mais uma secante, mas sim uma tangente à curva. Essa reta tangente tem estão inclinação m na posição limite entre x e a. Nesse momento dizemos que essa nova reta tangente à curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) é dada por:

\[ m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - f(a)} {x - a} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4) \] desde que este limite exista. Assim, f(x) somente é diferenciável se o limite naquele ponto existir, onde este limite é denominado como derivada de f(x) em $x_0$, denotado por: \[ \frac{df}{dx}x_0 \,ou\, f'(x) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\] Geometricamente:

Para uma intuição mais clara de derivada a função de segudo grau mais famosa e elementar é util nessa compreensão. Tomemos a equação da reta tangente à parábola $y = X^2$. Para tanto considere o ponto P(1, 1). Esta restrição nos informa que $ a = 1 $ e $f(x)=x^2$, o que nos conduz à inclinação assim dada:

\[ m = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)} {x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)} {x - 1} \] \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)} {x - 1}\] \[ \lim_{x \to 1} (x+1) = 1 + 1 = 2\] Que nos dá a inclinação da reta $m=2$. Assim, considerando o ponto P(1,1), temos a reta dada por:

\[ y-1 =2(x -1) => y-1 = 2x -2 => y = 2x -2 +1 \] \[ y = 2x -1 \]

A derivada na origem entre dois limites laterais distintos não existe

\[f(x) = \begin{cases} x+1, &x \geq 0 \\ 1 - 2x, & x<0 \end{cases}\]

f(x) não é diferenciável em $x_0$ demonstrada pela exprressão:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(x)} {x - 0} \begin{cases} \lim_{x \to 0^+} \frac{(x+1) - 1} {x} = \frac{0} {0} \\ \lim_{x \to 0^-} \frac{(1 - 2x) - 1} {x} = \frac{0} {0} \end{cases} \] Onde o valor 1 à direita a a aplicação da f(x) para zero $x+1$ assim $0 + 1 = 1.$

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{x} {x} = \lim_{x \to 0^+} (1) = 1 \]

\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{-2x} {x} = \lim_{x \to 0^+} (-2) = -2 \] O que prova que a função é contínua mas não diferenciável; ou seja, toda f(x) diferenciável é contínua, mas nem toda contínua é derivável. \[ f´(x) -> D: (-\infty, 0)U(0, \infty) -> \mathbb{R} \]

\[ f`(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -2, & x<0 \end{cases} \]

O limite do produto de uma constante por uma função é igual o produto de uma constante pelo limite da função

Se $g(x) = c.f(x)$ então $g`(x) = c.f`(x)$, demonstrado por:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{c.f(x) - c.f(x_0)} {x - x_0} = \lim_{x \to 0} \frac{c(f(x) - f(x_0))} {x - x_0} = c.\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(x_0)} {x - x_0} \] em que o limite do produto de uma constante por uma função é igual uma constante vezeso limite da função. Ex: $3x^3=3*3x^{3-1}=9x^2$.

Regras de Derivação

\[g(x) := c.f(x) \\ \therefore f(x)=3x \rightarrow f'(x) = 3 \\ f(x) = 5x^3 \rightarrow f'(x) = 15x^2\] Portanto, a derivada de um polinômio de 3º grau é sempre um polinômio d 2º grau. \[ \therefore f(x) = x^n \rightarrow f'(x) = nx^{n-1}\]

Derivada de uma constante

A derivada de uma constante é sempre igual a zero.

\[f(x)- f(x_0) =0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\] \[\frac{df}{dx}(x_0) = \lim_{x \to x_0} = \frac{f(x) - f(x_0)} {x - x_0} = \{ \lim_{x \to x_0} = \frac{0} {x - x_0}\} = 0\]

\[\therefore y'= 0 \] \[y = \pi \therefore y'= 0 \] \[ y'= \frac{df}{dx} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\]

Derivadas de expoentes

Quando derivamos uma equação com expoente, o expoente desce multiplicando a incógnita e é subtrado 1 do expoente

Demonstrado por: \[ = \lim_{x \to x_0} = \frac{f(x^3) - f(x_0^3)} {x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x^2+x_0x+x_0^2)(x-x_0)} {x - x_0} = x^2+x_0x+x_0^2 = 3x_0^2 \] Onde a divisão de polinômios é dada por:

\[\therefore 2x^3 = 6x^{2} \,\,\, Dom \, f(x)-> \mathbb{R}\] \[ x^n = nx^{n-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)\]

Derivada e continuidade

Relação entre derivada e continuidade. Dado um ponto de uma função derivável, este ponto é um ponto de continuidade; no entando, o inverso nem sempre é verdadeiro. Como exemplo pode-se citar a função módulo. $f(x) = |x|$

ggplot(data.frame(x=c(-25,25)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)(abs(x)), geom="line", size=1.5, size=1.5, aes(colour="|x|")) +
  ylim(-20, 20) + labs(colour = "Fórmula", title = "Gráfico", subtitle = TeX("|x|") ) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

$f(x)=|x|$ é contínua para todo $x_0 \in \mathbb{R}$, no entanto, ela não é diferenciável no ponto $x_0 = 0$:

\[ \exists \lim_{x \to 0} = \frac{f(x) - f(0)} {x - 0} \,\,\,\,\,\,\,\, | x_0 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(7) \] Teorema: se $f(x)$ for diferenciável em $x_0$ entãoserá contínua nesse ponto. Assim se (7) existe, então:

\[ \lim_{x \to x_0}(fx) = f(x_0) \] Demonstração: \[ \lim_{x \to x_0}(fx) = f(x)-f(x_0)\] Para calcular o limite dividimos por $f(x)-f(x_0)$: \[ \lim_{x \to 0} = \frac{f(x) - f(0)} {x - 0}\] E por isso multiplicamos encima e embaixo por $x-x_0$: \[ \lim_{x \to 0} = \frac{f(x) - f(0)} {x - 0} * \frac{x - x_0} {x - x_0}\] Para efeitos de limites, o $x$ está muito próximo mas é difeente de $x_0$ \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)} {x - 0} * \frac{x - x_0} {x - x_0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)} {x - 0} * \lim_{x \to 0}\frac{x - x_0} {x - x_0} = f'(x_0)*0 = 0 | \therefore = 0\] $f(x) = f(x_0)$, pois: $\lim_{x \to 0} f(x) - f(x_0) + f(x_0) = f(x_0)$ e $f(x_0) = K$, ou seja, uma constante.

Aproximação de Funções pela Reta Tangente em um Ponto

A derivada pode ser definida pelas seguintes expressões equivalentes: \[f`(p) = \lim_{x \to p} \frac{f(x_0)-f(p)}{x_0-p}\] \[f`(p) = \lim_{h \to 0} \frac{f(p+h)-f(p)}{h}\] E o contexto da dericada é o cenário descrito na figura, onde $P_1$ é o valor de $f(x_0 + \bigtriangleup x)$ e a diferenca entre $g(x)$ e $s(x)$ é definida como $E(x)$, ou seja a função contínua de erro. \[y=f(p)+f`(p)(x_0-p) \\ E(x)=f(x_0)-f(p)-f`(p)(x_0-p)\] \[\lim_{h \to p} E(x) = E(p) = 0\] Então, quanto mais perto de $x$, melhor é a medidade de $E(x)$ e: \[\lim_{x \to p} \frac{E(x+0)}{x_0-p} = \lim_{x \to p} \frac{f(x_0)-f(p)-f`(p)(x_0-p)}{x_0-p} \\ \lim_{x \to p} \frac{f(x_0)-f(p)}{x_0-p}-f`(p) = 0\]

Dada qualquer reta indexada por m que não a tangente ao ponto onde $m$ é a diferençaentre da equqcão no ponto e a equação da reta indexada:

\[Em(x) = f(x_0)-f(p) - m(x-p)\] \[\lim_{x \to p} Em(x) = 0 \\ E(x)=f(x_0)-f(p)-m(x_0-p)\] \[\lim_{x \to p} \frac{Em(x)}{x-p} = ... = \lim{x \to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}-m = f`(p)-m \] Assim, $m$ precisaria ser exatamente igual a $f`(p)$ para que o $Em(x)$ fosse igual a $E(x) = 0$, e portanto a retatangente é a melhor linha que minimiza o erro mais rapidamente e portanto com maior poder de aproximação.

Regras de Derivacão

Uma função $f$ é derivável (ou diferenciável) em $p$ apenas se existir uma funcão Rô $\rho \,\, \mathbb{R} \in \mathbb{R}$ contínua em $p$ tal que

\[f(x) = f(p)+\rho(x)(x-p)\] Nesse caso $f`(p) = \rho(p)$

Demonstracão $f$ é derivável em $\Rightarrow f`(p) = \lim_{x\to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$

\[\rho(x) = \begin{cases} \frac{f(x)-f(p)}{x,p}, se\, x \neq p \\ L = f`(p), se \, x = p \end{cases} (contínua \, e \,definida \,em \,todos \,os \,pontos)\] Se existe $\rho \, \mathbb{R} \in \mathbb{R}$ contínua em $p$ tal que $f(x)=f(p)+\rho(x)(x-p)$ então se $x \neq p$

\[\rho(x) = \frac{f(x)-f(p)}{x-p}\] Assim, $f$ é derivável em $p$ e $f`(p) = \rho(p)$, note que $f`(p)$ não é $\rho(p)$; $\rho(p)$ é apenas uma função que vale o mesmo que $f`(x)$ no ponto $p$.

Exemplo: \[f(x)=x^2, \,p=3 \\ f(x) = f(3)+\rho(x)(x-p) \\ x^2 = 9 + (\,\,\,\,\,\,)(x-3) 90\\ x^2 = 9 + (x+3)(x-3), \forall x \neq 3 \] \[\therefore \rho(x) = x+3 (é \, contínua\, e \, derivável \, em \, p=3) \\ f`(3) = \rho(3) = 3 = 2x^{2-1}\]

Regra da Soma

Sejam $f, g$ deriváveis no ponto $p$. Então $f+g$ são deriváveis em p.

\[(f+g)(p) = f`(p)+g`(p)\] Dessa forma, $f$ é derivável em $p \, \exists \rho_1 \,\, \mathbb{R} \in \mathbb{R}$ contínua em $p$, tal que $f(x)=f(p)+\rho_1(x)(x-p)$ e $g$ é derivável em $p \, \exists \rho_2 \,\, \mathbb{R} \in \mathbb{R}$ contínua em $p$, tal que $g(x)=g(p)+\rho_2(x)(x-p)$

Note que a soma das derivadas é igual a soma das derivadas: \[\frac{d(f + g)}{dx}(x_0) = \frac{df}{dx} + \frac{dg}{dx}(x_0) \\ então \\ \lim_{x \to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p} = \lim_{x \to p} \rho(x)= \rho(p)\]

Regra do Produto (regra de Leibniz)

A regrada do produto é dada por,

\[f(x)*g(x) = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) \\ \rightarrow f(x) = x^2 = xx = 1*x_0+x_0*1 = 2xx_0\] \[f(x) = x^3 = x*x^2 \\ \rightarrow f'(x) = 1*x_0^2+x*2x_0 = x_0^2+2x_0^2 = 3x_0^2\]

Sejam $f, g$ deriváveis no ponto $p$. Então e $f*g$ são deriváveis em p. \[(f*g)(p) = f`(p)+g(p)+f(p)+g`(p)\] Note que $f(x)=X^2$ pode ser reescrita como $f(x) = x*x$; assim, \[ f`(x) = x`*x + x*x` = 1*x+x*1 = 2x \] Da mesma forma, $f(x)=X^3$ pode ser reescrita como $f(x) = x*x^2$; onde, \[ f`(x) = x`*x + x*x` = 1*x^2+x*2x = 3x^2 \] \[\frac{d(f \,\omicron \, g)}{dx}(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0)*g(x_0)+f(x_0)* \frac{dg}{dx}(x_0)\]

Dessa forma a regra de Leibniz por meio da regra da derivada e da continuidade nos dá:

\[ (f \,\omicron \, g)'(x_0) = f'(x_0)*g(x_0)+f(x_0)*g'(x_0) \]

Resta provar a existencia de:

\[ \lim_{x \to 0} = \frac{f'(x_0)*g(x_0)+f(x_0)*g'(x_0)} {x - 0} \] Assim, \[ \lim_{x \to 0} \frac{f'(x_0)*g(x_0)+f(x_0)*g'(x_0)+f(x_0)*g(x)-f(x_0)*g(x)} {x - 0} \]

\[ \lim_{x \to 0} \frac{(f(x) - f(x_0)) * g(x) + f(x_0) * (g(x) - g(x_0))} {x - 0} \] \[ \lim_{x \to 0} \frac{(f(x) - f(x_0)) * g(x) } {x - 0} + \lim_{x \to 0} \frac{ f(x_0) * (g(x) - g(x_0))} {x - 0} \]

Assim temos um limite vezes uma constante somado a uma outra constante vezes um outro limite, onde $g(x) = g(x_0) = C$ e $f(x) = f(x_0) = C$, onde:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{(f(x) - f(x_0))} {x - 0} * g(x) + \lim_{x \to 0} f(x_0) * \frac{ (g(x) - g(x_0))} {x - 0} \] \[ g(x) * \lim_{x \to 0} \frac{(f(x) - f(x_0))} {x - 0} + f(x_0) * \lim_{x \to 0} \frac{ (g(x) - g(x_0))} {x - 0} \] \[ = f'(x_0)*g(x) + f(x_0) * g'(x_0)\]

Este fato pode ser demonstrado pelas regras de continuidade e diferenciabilidade:

\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - (fx_0)} {x - x_0} = ? \lim_{x \to 0} f(x) - f(x_0),\] Onde a primeira expreção é a definição de diferenciabilidade e a segunda de continuidade, e é preciso demonstrar que a primeira implica na segunda. Onde $f(x) - (fx_0) \to 0$ e portanto $\lim_{x \to 0} f(x) - f(x_0) \to 0$, assim como $x - x_0$. Nesse contexto tanto $x$ como $x_0$ pertencem ao domínio e permitem falcular $f(x)$ e $f(x_0)$.

\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - (fx_0)} {x - x_0} * (x-x_0)\] Para efeitos de limite não se tem uma multiplicação e divisão por zero, porque $x$ e $x_0$ são diferentes. \[ \therefore \lim_{x \to x_0} \Big\{ \frac{f(x) - (fx_0)} {x - x_0} * (x-x_0) \Big\} = \Big\{\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - (fx_0)} {x - x_0}\Big\} * \Big\{\lim_{x \to x_0} (x-x_0)\Big\} = f'(x) * 0 \] Em que se tem um produto de duas funções em qua a primeira possui limite e é a derivada, e o segundo é um polinômio que também possui limite.

Fica provado que \[ \lim_{x \to x_0} f(x) - f(x_0) = 0\] b.

Rest a demonstrar que uma coisa implica em outra: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

Para isso:

\[\lim_{x \to x_0} \big\{ f(x) - f(x_0) + f(x_0)\big\} \] \[\lim_{x \to x_0} \Big( f(x) - f(x_0) \Big) + \lim_{x \to x_0}f(x_0\]

\[ = 0 + C := 0 + f(x_0)\]

\[ \therefore f(x) = f(x_0)\]

Regra do Quociente

Regra da Cadeia

Dados $f(x)=x^2+1$ e $g(x)=\frac{x-1}{x+1}$ e $h(x):=g(x)f(x)$, temos

\[h(x) = g(x^2+1) = \frac{x^2+1-1}{x^2+1+1} = \frac{x^2}{x^2+2}\] Note que a composição de $f(x)$ com $g(x)$ em $h(x)$ elimina a indeterminação para ${x\neq-1}$ em $g(x)$

\[h'(x) = \frac{(x^2+2)*2x-x^2*(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^3 * 2x - 2x^3}{(x^2+2)^2} = \frac{4x}{(x^2+2)^2}\]

\[h'(x) = \frac{2}{(f(x)+1)^2}*2x = \frac{4x}{(x^2+1+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+2)^2}, onde \] \[ \frac{2}{(f(x)+1)^2} = g' (f(x))\]

Assim, para $g(x)=x$, $f(x)=2x \to h(x)=g(f(x))$

\[\frac{dh}{dx}(x_0)=2*\frac{dg}{dy}*(f(x_0)) = f'(x_0)*g'(f(x_0)), onde \] \[y = f(x) \]

Integrais

Propriedades

\[ \int_a^b c dx = c(b-a), \, sendo\, b-a \, o\, eixo \, x\]
\[ \int_a^b[f(x)+g(x)]dx = \int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx\]
\[ \int_a^bcf(x)dx = c*\int_a^bf(x)dx,\, onde \\ \Sigma_1^kf(x_i^*)*\Delta_x,\, onde, \Delta_x = \frac{b-a}{k}, \, e \\ \int_a^bf(x)dx = \lim_{x \to \infty} S_{(\mathbb{R})}^*\]
\[ \int_a^b f(x)-g(x) = \int_a^bf(x)dx-\int_a^b g(x)dx\]
\[ f(x) \ge 0 \, em \, [a,b] \rightarrow \int_a^b f(x)dx \ge 0\]
\[ f(x) \ge g(x) \,em\, [a,b] \rightarrow \int_a^bf(x)dx \ge \int_a^bg(x)dx\]
\[ m \le f(x) \le M,\, em \, [a,b] \Rightarrow m(b-a) \le \int_a^bf(x)dx \le M(b-a)\]
\[ \int_b^af(x)dx=-\int_a^bf(x)dx \Rightarrow \int_0^1 2 = 2(-1)\int_0^1 = 2 = - \int_1^0 2dx\]
\[ \int_a^bf(x)df=\int_a^cf(x)dx+\int_c^b f(x)dx\] No caso que que se deseja integrar em duas partes de $a$ até $c$ e de $c$ até $b$.
\[ \int_a^a f(x)dx = 0\]

Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)

Primitiva ou Antiderivada

Primitivar uma integral é operação reversa de derivacão.
Se uma função qualquer $F(x)$ tem por característica sem um produto do tipo $F(x)=f'(x).f(x)$, sua primitiva sera como: \[F(x) = \frac{g^2(x)}{2}+K\]

Temos $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ contínua, então f é integrável no intervalo dado. A função $g(s):= \int_a^s f(x)dx$ é diferenciavel em ]a, b[, e $g'(s)=f(s)$. Então $g$ é chamada de antiderivada ou primitiva de $f$. Note que $s$ percorre a mesma escala/eixo de $x$. \[g(s):= \int_a^s f(x)dx \\ g'(s)=f(s)\] Dem.:

\[g'(s)=\lim_{x \to 0} \frac{g(s+h)-g(s)}{h} = \lim_{x \to 0} \frac{\int_a^{s+h}f(x)dx-\int_a^{s}f(x)dx}{h} = \lim_{x \to 0} \frac{\int_s^{s+h}f(x)dx}{h}\]

Como uma $f$ em intervalo fechado possui pontos de máximo e mínimo globais em $[s, s+h]$, onde $u \to f(u) \Rightarrow mínimo$ e $v \to f(v) \Rightarrow máximo$. Se $x \in [s, s+h] \Rightarrow f(u) \le f(x) \le f(v)$, então pela propriedade 7: \[f(u)g \le \int_s^{s+h} f(x)dx \le f(v)h, \, h > 0\] \[f(u)g \ge \int_s^{s+h} f(x)dx \ge f(v)h, \, h < 0\] Assim, a medida que: \[h \to 0 \Rightarrow u,v \to s \therefore f(u), f(v) \to f(s)\] Portanto a função é diferenciável e possui limite $g'(s) = f(s)$.

Integrais diretas ou Imediatas

A ideia é saber quem derivando fornece o f do integrando. Exemplo, a derivada de $x$ é $1dx$ e portanto a integral abaixo resulta em $x + K$, onde $K$ é uma constante, e não temos certeza da primitiva que ferou o integrando, e existem infinitos valores que resultem na mesma derivada como $(x+1)‘=x, (x+)’=x, (x+10000)’=x, $. \[\int 1dx = x+K \\ \int dx = x+K \\ \int du = u+K\] \[\int kdx =kx+K \\ \int 3dx = 3x+K \\ \int -5dx = -5x+K\] \[\int x^ndx = \frac{x^{x+1}}{n+1}+K \\ \int x^{1/3}dx = \frac{x^{2+1}}{2+1}+K = \frac{x^{3}}{3}+K \\ \int \sqrt[4]{x^7}dx = \int x^{\frac{7}{4}} = \frac{x^{\frac{7}{4}+1}}{\frac{7}{4}+1} = \frac{x^{\frac{11}{4}}}{\frac{11}{4}} = \frac{4}{11}x^{\frac{11}{4}} = \frac{4}{11}\sqrt[4]{x^{11}} \\ \int x^{1/3} = \frac{x^{1/3+1/1}}{1/3+1/1} = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}x^{4/3}+K\]

Uma propriedade importante é a da integral $\int x^{-1}dx$

\[\int x^{-1}dx = \int \frac{1}{x}dx = ln(x)dx+K \\ \int x^{-1}dx = \int \frac{1}{x}dx = ln(x)dx +K \\ \int x^{-1}dx = \int \frac{1}{x}dx = ln(x)dx +K \]

Outra proprieade importante é:

\[\int e^xdx = e^x+K \\ \int e^udx = e^u+K \]

Além disso:

\[Se\, \big( 2^x\big)' = 2^xln(2) \\ \Rightarrow \int a^xdx = \frac{a^x}{ln(a)}+K \\ \int 2^xdx = \frac{2^x}{ln(2)}+K \\ \int5^xdx = \frac{5^x}{ln(5)}+K\]

E por fim as propriedades trigonométricas imediatas

\[\int sen(x)dx = -cos(x)+K \\ \int sen(u)du = -cos(u)+K \\ \int cos(x)dx = sen(x)+K \\ \int sec^2(x)dx = tg(x)+K \\ \int sec(x)tg(x)dx = sec(x)+K \\ \int cossec^2(x)dx = -cotg(x)+K \\ \int cossec(x)cotag(x)dx = -cossec(x)+K \\\]

Trigonométricas Inversas:

\[\int \frac{1}{1+x^2}dx = \int \frac{1}{x^2+1}dx = tg^{-1}x+K = arctg(x)+K \\ \int \frac{1}{1+u^2}du = \int \frac{1}{u^2+1}du = tg^{-1}u+K = arctg(u)+K \] \[ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = arcsen(x)+K = sen^{-1}x+K \\ \int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} = arccos(x)+K = cos^{-1}x+K\]

Corolário do cálculo de integrais a partir do TFC

Define a técnica para calcular $\int_a^b f(x)dx$ se $f(x)$ for contínua no intervalo $f:[a, b] \to \mathbb{R}$ e seja F(x)a antiderivada para $f$, ou seja: \[F'(x)= f(x)\] Então, \[\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)\]

Ex.: \[f(x) = 2 \Rightarrow \frac{x^2}{2} \Rightarrow \int_1^2 xdx \Rightarrow \frac{x_b^2}{2}-\frac{x_a^2}{2} = \frac{2^2}{2}-\frac{1^2}{2} = \frac{4}{2}-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\] Dem.: \[g(s) := \int_a^x f(t)dt; \,\, g'(x) = f(x) \\ F'(x) = g'(x) = f(x)+K, \, diferindo \,por \,uma \,constante K\] \[F(b) = g()b+K \\ F(a) = g(a)+ K = 0 \\ F(b)-F(a) = g(b)\] A partir desse momento, passa-se a utilizar a função $F(x)$ cuja derivada é a equação dada $f(x)$, ou seja, a passa-se a utilizar métodos para ifentificar $F(x)$, sem recorrer à definicão de integral.

\[ f: [a,b] \to \mathbb{R}, g(x) \int_a^x f(t)dt \, e \, g'(x)=f(x)\] Onde $g$ é diferenciavel e se $F(x)$ satisfaz $F'(x) = f(x) \, em \, [a,b]$, $\int_a^b f(x)dx = F(a)-F(b) \, e \, g'(x)= F'(x)=f(x)$. \[\Rightarrow h(x):= F(x)-g(x) \\ h'(x) = 0 \Rightarrow K \\ F = g + K\] Assim, $F$ e $g$ são antiderivadas ou primitivas de $f$ \[F(b)-F(a) = (g(b)+k) - (g(a)+k) \\ =g(b)-g(a) \\ \int_a^b f(x)dx\] Ex.: \[\int_0^{\Pi} \cos t dt \\ F(x)=sex x \\ F'(x)=cos x \\ \Rightarrow sen(\Pi)-sen(0) = 0-0 = 0\]

Isso por que a reflexão do gráfico entre $\Pi/2$ e $\Pi$ conta negativamente, resultando portando em $0$.

\[\int_0^{\Pi/2}cos\, t \,dt = sen\frac{\Pi}{2}-sen(0) = 1 \\ \int_{\Pi/2}^{\Pi}cos\, t \,dt = sen \Pi-sen\frac{\Pi}{2} = -1 \]

ggplot(data.frame(x=c(0,pi)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)(cos(x)), geom="line", size=1.5, aes(colour="cos x")) +
  ylim(-1.1, 1.1) + labs(colour = "Fórmula", title = "Gráfico", subtitle =  TeX("$\\cos x") ) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

Propriedades Fundamentais

Relação Linear da integração

\[\int_a^b c*f(t)dt = c\int_a^bf(t)dt \\ \int_a^b(f \circ g)(t)dt = \int_a^bf(t)dt+\int_a^bg(t)dt\] \[ g(x):= \int_0^x cos(t)dt = sen(x)-sen(0) = sen(x) \\ h(x):= \int_{\pi/2}^x cos(t)dt = sen(x)-sen(\Pi/2) = sen(x) -1 \\ \neq K\] E por diferirem por uma constante, ambas funções são iguais, sendo a segunda translada em uma unidade verticalmente.

ggplot(data.frame(x=c(0,pi)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)(sin(x)), geom="line", size=1.5, aes(colour="sen x")) +
  stat_function(fun=function(x)(sin(x)-1), geom="line", size=1.5, aes(colour="sen x-1")) +
  ylim(-1.1, 1.1) + labs(colour = "Fórmula", title = "Gráfico", subtitle =   ) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

Integração por substituição

Regra da Cadeia

\[\Big[ F\Big( g(x)\Big) \Big]' = F'\Big(g(x)\Big)g'(x)\]
### Regra da Cadeia

\[\int F'(g(x))g'(x) = \Big[ F\Big( g(x)\Big) \Big] + K\] É feita uma substituição, por exemplo, tracando $g(x)$ por $u$, o que torna $g'(u)$ em $du$: \[g(x) = u \\ g'(x)=du \\ F'(u) = função \\ du = derivada\] O que demonstra que a integral $F’(g(x))g’(x) $ é o produto de dois termos que são uma função $F'(g(x))$ e sua respectiva derivada $g'(x)$.

Em termos algébricos o método de substituição faz com que onde temos: \[\int f'(x)g(x)dx\] Façamos a seguite substituição:

\[u = f(x) \\ du = f'(x)\] e então:

\[\int f'(x)f(x)dx = \int u*du = \frac{u^2}{2} + K = \frac{f^2(x)}{2}+K\] Ao mudar da variável $f(x)$ para $u$, $du$ e $dx$ fazem a ligação para que a notação funcione em termos de uma variável ou outra. Perceba que:

\[\int sen(x)cos(x)dx \\ \Rightarrow u = sen(x) \, e \, du = cos(x)dx \\ \int sen(x)cos(x)dx = \int udu = \frac{u^2}{u}+K = \frac{sen^2(x)}{cos(x)}+K\]

quando a integral for definida:

\[\int_1^e\frac{ln(x)}{x}dx \\ \Rightarrow u = ln(x) \, e\, du=\frac{1}{x}dx \\ \int_1^e\frac{ln(x)}{x}dx = \int udu = \frac{u^2}{u}+K = \frac{ln^2(x)}{2}+K \\ \Rightarrow \Big( \frac{ln^2(x)}{2} \Big) \Bigg|_1^e = \frac{ln^2(e)}{2}-\frac{ln^2(1)}{2} = \frac{1}{2}\]

ggplot(data.frame(x=c(0,pi)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)(log(x)/x), geom="line", size=1.5, aes(colour="ln(x)/x")) +
  ylim(-1.1, 1.1) + labs(colour = "Fórmula", title = "Gráfico", subtitle =   ) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

Ex. 1:

\[\int 6x^2(2x^3-1)^{99} \\ \Rightarrow (2x^3-1)'= 6x^2 \\ \therefore u = 2x^3+1 \,;\, \frac{du}{dx} = 6x^2 \rightarrow du = 6x^2dx\\ \int u^{99}du = \frac{u^{99+1}}{99+1}+k = \frac{u^{100}}{100}+k = \frac{(2x^3-1)^{100}}{100}+k \]

Ex. 2:

\[\int sen^2(x)cos(x)dx \\ \Rightarrow sen'= cos \\ \therefore u = sen(x) \,;\, \frac{du}{dx} = cos(x) \rightarrow du = cos(x)dx\\ \int sen^2(x)cos(x) = \int u^2du \rightarrow \frac{u^3}{3}+k = \frac{(sen(x))^3}{3}+k= \frac{sen^3(x)}{3}+k\]

\[\int \frac{1}{2x-5}dx \Rightarrow u = 2x-5 \Rightarrow \int \frac{1}{u}d\mathbf{{\color{red}?}} \\ \Rightarrow u = 2x-5 \Rightarrow \frac{du}{dx} = \frac{2}{1} \Rightarrow 2dx = du \Rightarrow dx = \frac{du}{2} \\ \Rightarrow \int \frac{1}{u}\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\frac{1}{u}du = \frac{1}{2}ln(u) = \frac{1}{2}ln(2x-5)+K\]

\[\int 20x^4e^{x^5}dx \rightarrow u = x^5 \rightarrow \int 20x^4e^ud\mathbf{{\color{red}?}} \\ \Rightarrow u = x^5 \rightarrow\frac{du}{dx}=5x^4 \rightarrow 5x^4dx = du*1 \rightarrow dx = \frac{du}{5x^4} \\ \Rightarrow \int 20x^4e^u\frac{du}{5x^4} \rightarrow \int 20e^u\frac{du}{5} = \frac{20}{5}\int e^udu = 4e^u = 4e^{x^5}+K\]

\[\int x^3 \sqrt{x^2+1}dx \rightarrow u = x^2+1 \rightarrow \int x^3 \sqrt{u}d \mathbf{{\color{red}?}} \\ \Rightarrow u = x^2+1 \rightarrow \frac{du}{dx}=2x \rightarrow 2xdx=du \rightarrow dx=\frac{du}{2x} \\ \Rightarrow \int x^3 \sqrt{u}\frac{du}{2x} \rightarrow \int x^2 \sqrt{u}du \\ u = x^2+1 \rightarrow u-1 = x^2 \Rightarrow \int(u-1)\sqrt{u}du = \int (u\sqrt{u}-\sqrt{u})du = \int (u*u^{\frac{1}{2}}-u^{\frac{1}{2}})du \\ \Rightarrow (u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}})du = \frac{u^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-\frac{u^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{5}\sqrt{u^5}-\frac{2}{3}\sqrt{u^3} = \frac{2}{5}\sqrt{(x^2+1)^5}-\frac{2}{3}\sqrt{(x^2+1)^3}\]

\[\int e^{x-10}dx \\ \Rightarrow u = x-10 \,;\,du = 1dx\\ \int e^u du = e^u+K = e^{x-10}+K\]

\[\int (x^2-10)^77xdx \\ \Rightarrow u = x^2-10 \,;\,du = 2xdx = dx = \frac{du}{2x} \\ \it u^77x\frac{du}{2x} = \frac{7}{2} \int u^7du = \frac{7}{2}\frac{u^8}{8}+K=\frac{7u^8}{16}=\frac{7(x^2-10)^8}{16}+K\]

\[\int \frac{2x}{1+x^2}dx \\ \Rightarrow d = 1+x^2 \rightarrow du = 2x \\ \Rightarrow \int \frac{2x}{1+x^2}dx = \int \frac{du}{u}dx = ln|u|+K \\ \int \frac{2x}{1+x^2} = ln|1+x^2|+K\]

\[\int cos(x+7)dx \\ \Rightarrow u = x+7 \,;\, du = 1dx \\ \int cos(u)du = sen(u)du = sen(x+7)+K\]

\[\int tg(x+2)dx \rightarrow \int \frac{sen(x+2)}{cos(x+2)}dx \\ \Rightarrow u = cos(x+2) \,;\, du = -sen(x+2)dx \\ \Rightarrow \int \frac{sen(x+2)}{cos(x+2)} = \int \frac{-du}{u} = -ln|u|+K = -ln|x+2|+K\]

\[\int \frac{dx}{(3x-5)^8} \\ \Rightarrow u = 3x-5 \,;\, dx = \frac{du}{3} \\ \int \frac{\frac{du}{3}}{u^8} = \int \frac{du}{3}\frac{1}{u^8} \rightarrow \frac{1}{3}\int \frac{du}{u^8} = \frac{1}{3}\int u^{-8}du \\ \rightarrow \frac{1}{3}\frac{u^{-7}}{-7}+K = \frac{1}{3}\frac{(3x-5)^{-7}}{-7}+K = \frac{u^{-7}}{-21}+K = \frac{1}{-21(3x-5)^7}\]

\[\int_0^12x\sqrt{x^2+3}dx \\ \Rightarrow u = x^2+3 \, e \, du = 2xdx \\ \Rightarrow x = 0 \rightarrow u = 3 \, e \, x = 1 \rightarrow u = 4\\ \int_3^4 \sqrt{u}du = \int_3^4 u^{\frac{1}{2}}du \\ \int_0^12x\sqrt{x^2+3}dx = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\Bigg|_3^4 = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}-3^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(8-3\sqrt{3}) \]

\[\int\frac{2x+5}{x^2+5x-3}dx \\ \Rightarrow u = x^2+5x-3 \, e \, du = (2x+5)dx \\ \int \frac{2x+5}{x^2+5x-3}dx = \int\frac{du}{u} = lm|u|+K \\ \Rightarrow ln|x^2+5x-3|+K\]

\[\int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx \\ \Rightarrow x = sen(u), \, u = arcsen(x), \, dx = cos(u)du \\ \Rightarrow x= 0 \rightarrow sen(u) = 0 \rightarrow u = 0 \\ \Rightarrow x= 1 \rightarrow sen(u) = 1 \rightarrow u = \frac{\pi}{2} \\ \int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-sen^2(u)}cos(u)du = \\ \int_0^{\pi/2} cos(u)cos(u)du = \int_0^{\pi/2} cos^2(u)du = \int_0^{\pi/2} \frac{1+cos2u}{2}du \\ \Big( \frac{u}{2} + \frac{sen2u}{4} \Big) \Bigg|_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}+0-(0+0) = \frac{\pi}{4}\]

Integral da Circunferência

Demonstração de que a área de um circulo de raio $r$ é $\pi r^2$. Equacão da circunferência $x^3+y^2=r^2$.

Integracão \[f(x) = \sqrt{r^2-x^2} \\ x \le x \le r \\ A = 4\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx\] Então, \[x = rsen\theta, \, dx = rcos\theta d\theta \\ x = x \rightarrow rsen\theta = 0 \rightarrow \theta = 0 \\ x = r \rightarrow rsen\theta = r \rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} \\\]

\[\therefore A = 4\int_0^{\pi/2} \sqrt{r^2-(rsen\theta)^2}rcos\theta d\theta \\ A = 4\int_0^{\pi/2} r^2cos^2\theta d\theta = 4r^2\frac{1+cos2\theta}{2}d\theta \\ A = 4r^2\Bigg( \frac{\theta}{2}+\frac{sen2\theta}{4} \Bigg) \Bigg|_0^{\pi/2} = 4r^2\Bigg(\frac{\pi}{4}+\frac{sen\pi}{4} - 0 - \frac{sen0}{4} \Bigg) = 4r^2\frac{\pi}{4} = \pi r^2\]

Regra de Leibniz oi Integracão por Partes

A derivada do produto é obtida por:

\[(f \circ g)' = f'g+fg' \] Como a primitiva de uma derivada é a própria função

\[\int (fg)'dx=f.g+K\] Mudando os termos de lado temos:

\[f*g+K = \int f'gdx+\int g'fdx \\ \int f'gdx = f*g- \int g'fdx+K\]

Isso nos fornece soluções como

\[\int 2x ln(x)dx \Rightarrow 2x = derivada \, e \, ln(x) = g(c) \\ \Rightarrow \int 2x ln(x)dx = 2x = x^2ln(x) - \int x^2\frac{1}{x}dx+K \\ = \int 2x ln(x)dx = x^2ln(x)- \int xdx +K \\ = \int 2x ln(x)dx = x^2ln(x) - \frac{x^2}{2}+K\]

Resumidamente:

\[ h = (f \circ g) = f'(t)g(t)+f(t)g'(t) \\ \int_a^b f'(t)dt = f(b)-f(a) \\ \int_a^b g'(t)dt = g(b)-g(a) \\ \int_a^b (f \circ g)'(t)dt = (f \circ g)(b)-(f \circ g)(a) \\ h'=\int_a^b f'(t)g(t)dt + \int_a^b f(t)g'(t)dt\] Ex.:

\[\int_0^{\Pi/2} x*cos(x)dx \Rightarrow (f \circ g)\\ f(x) = x \Rightarrow f'(x)=1\\ g'(x)=cos x \Rightarrow g(x) = sen(x) \]

\[= x*sen(x) \Bigg|_0^{\Pi/2} - \int_0^{\pi/2} 1*sen(x)dx\] \[= x*sen(x) \Bigg|_0^{\Pi/2} + cos(x) \Bigg|_0^{\Pi/2} \\ = \frac{\pi}{2}sen\Big(\frac{\pi}{2}\Big)-0*sen(0)+cos\Big(\frac{\pi}{2}\Big)-cos(0) \\ = \frac{\pi}{2}-1\] Note que: \[z(x) = s*sen(x)+cos(x) \\ z'(x)=1*sen(x)+x*cos(x)+(-sen(x)) = x*cos(x) \]

\[\therefore \int_a^b fg' dx= \Big( f \circ g \Big) \Bigg|_0^b - \int_a^b f'g dx\]

Ex.: \[\int_0^{\pi} sen^2(x)dx \\f(x) = sen(x) \Rightarrow f'(x) = cos(x) \\g'(x) = sen(x) \Rightarrow g(x) = -cos(x) \\ \int_0^{\pi} sen^2(x)dx \Rightarrow f*g \Bigg|_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \Rightarrow sen(x)cos(x)\Bigg|_0^{\pi} + \int_0^{\pi} cos^2(x) \\ =-sen(x)cos(x)\Bigg|_0^{\pi} + \int_0^{\pi} [1-sen^2(x)]dx \\ =-sen(x)cos(x)\Bigg|_0^{\pi} + \int_0^{\pi} 1dx - \int_0^{\pi} sen^2(x)dx \\ 2\int_0^{\pi}sen^2(x)dx=-sen(x)cos(x)\Bigg|_0^{\pi} + x\Bigg|_0^{\pi} \\ \int_0^{\pi}sen^2(x)dx =\frac{1}{2}\Big[ x-sen(x)cos(x) \Big]\Bigg|_0^{\pi} \\= \frac{1}{2}\Big[ \pi -sen(\pi) cos(\pi)-0+sen(0)cos(0) \Big] \\= \frac{1}{2}\pi = \frac{\pi}{2}\]

Definição \[\int udv = uv - \int vdu \\ \Rightarrow \int_0^{\pi} x sen(x)dx = \int_0^{\pi}u dv = uv \Bigg|_0^{\pi} - \int_0^{\pi}v du \\ = -x cos(x) \Bigg|_0^{\pi} -\int_0^{\pi}cos(x)dx \\ = -\pi cos(\pi)-(-0cos0)+sen(x)\Bigg|_0^{\pi} = \pi\]

Ex.: \[ \int 6(x)cos(x)dx \\ \Rightarrow u = 6(x) \,;\, du = 6dx \,;\,dv = cos(x)dx \, (dx\, acompanha \, a \, derivada) \,;\, v = sen(x)+K\\ \Rightarrow \int 6(x)cos(x)dx = \int 6(x)sex(x) - \int sen(x)6dx \\ 6(x)sen(x)-6(-cos(x))+K =6(x)sen(x)+cos(x)+K \]

\[ \int xe^xdx \\ u = x \,;\, du = 1dx\,;\, v= e^x\,;\, dv = e^x \\ \Rightarrow \int xe^xdx = xe^x-\int e^x1dx = xe^x-e^x + K\]
\[\int x sen(5x)dx \\ \Rightarrow \int sen(5x)dx = \int sen(u)\frac{du}{5}=\frac{1}{5} \int sen(u)du = -\frac{cox(u)}{5} = -\frac{cos(5x)}{5}\\ u = x \,;\, du = 1dx \,;\, v= \frac{-cos(5x)}{5} \,;\, dv = sen(5x)dx \\ \int x sen(5x)dx = -x\frac{cos(5x)}{5}+\int\frac{-cos(5x)}{5}dx = -\frac{x}{5}cos(5x)+\frac{sen(5x)}{25}+K\\ (cos(5x))'= -sen(5x)*5 \rightarrow \frac{-sen(5x)}{5} = -\frac{1}{5}sen(5x) \rightarrow \frac{-\frac{1}{5}sen(5x)}{5} = -\frac{1}{25}sen(5x)\]

\[\int_1^e ln(x)dx \\ \int_1^e ln(x)dx = \int_1^e 1*ln(x)dx \\ u = ln(x), \, du = \frac{1}{x}dx \\ dv = 1dx, \, v = x \\ \int_1^e ln(x)dx = \int_1^e udv = uv\Bigg|_1^e-\int_1^e vdu =(x ln(x)) \Bigg|_1^e - \int_1^e x\frac{1}{x}dx\\ =e ln(e)-1ln(1)-x\Bigg|_1^e = e-e+1=1\]

\[\int xe^xdx \\ u = x), \, du = dx \\ dv = e^xdx, \, v = e^x \\ \int xe^xdx = \int udv = uv -\int vdu \\ =xe^x - \int e^xdx = xe^x-e^x+K\]

Integracão por partes duas vezes

\[\int x^2e^xdx \\ u = x^2\,;\, du = 2xdx\,;\, v= e^x\,;\, dv = e^xdx \\ \int x^2e^xdx = x^2e^x-\int e^x2x \\ \Rightarrow x^2e^x-\int 2xdxe^x \\ u = 2x\,;\, du = 2dx\,;\, v= e^x\,;\, dv = e^xdx \\ 2xe^x-\int e^x2xdx \Rightarrow 4x-\int (e^x)^2 = 4x-2e^x \\ \Rightarrow x^2e^x-(2xe^x-2e^x+K) = x^2e^x-2xe^x+2e^x+K = e^x(x^2-2x+2)+K\]

\[\int ln(x)dx \\ \Rightarrow u = ln(x )\,;\, du \frac{1}{x}dx \,;\, v = x \,;\, dv = dx \\ \int ln(x)dx = ln(x)x-\int x\frac{1}{x}dx \rightarrow xln(x)-\int dx = xln(x)-x+K\] c)

\[\int arctg(x)dx \\ u = acrtg(x) \,;\, du = \frac{1}{1+x^2}dx \,;\, v= x \,;\, dv = dx\\ \int arctg(x) = arctg(x)x-\int x \frac{1}{1+x^2}dx = x*arctg(x)-\int\frac{x}{1+x^2}dx \\ \Rightarrow x*arctg(x)-\int \frac{x}{u}dx \\ u = 1+x^2 \,;\, dx =\frac{du}{2x}\\ \int \frac{x}{u}\frac{du}{2x} = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du = \frac{1}{2}ln(u)= x*arctg(x)-\frac{1}{2}ln(1+x^2)\] d)

\[\int x^2 sex(x) dx \\ \Rightarrow u = x^2\,;\, du = 2x\,;\, v= -cos(x)\,;\, dv = sen(x)dx\\ \int x^2 sex(x) = x^2(-cos(x))-\int (-cos(x))2xdx = \int x^2 sex(x) = -x^2cos(x)+2\int (cos(x))2xdx \\ \Rightarrow u = x\,;\, du = dx\,;\, v= sen(x)\,;\, dv = cos(x)dx\\ \int (cos(x))xdx = xsen(x)-\int sen(x)dx = xsen(x)-(-cos(x)dx) = xsen(x)+cos(x)dx \\ \int x^2 sex(x) = -x^2cos(x)+2(xsen(x)+cos(x))+K\]

Integracõ de Frações Parciais

Esta abordagem visa simplificar o cálculo de integrais de funcões racionais através da somade funções polinomiais. O uso de polinômios se reduz às quatro operacões básicas, assim, transformar uma função complexa em um polinômio facilita os cálculos subsequentes, dados as propriedades distributivas e de simplificacão.

Ex.:

\[\int \frac{3x-1}{x^2-4x+3}\] Onde o grau do numerador é menor que do denominador. 1º fatora-se o denominador

\[x^2+4x+3 = 0 \rightarrow x=1,\, x=3 \\ = (x-1)(x-3)\] 2º Decompor o quociente em dias frações parciais;

\[\frac{3x-1}{x^2-4x+3} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-3} \\\] 3º Determinar A e B:

\[\frac{3x-1}{x^2-4x+3} = \frac{A(x-3)+B(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{(A+B)x-3A-B}{(x-1)(x-3)}\]

4º Construção de um sistema linea, onde $3x-1 = (A+B)x-3A-B$ e então $(A+B)x$ precisa ser igual a $3x$ e $3A-B$ precisa ser igual a $-1$:

\[a+b = 3 \\ -3A-B=-1\] 5º Resolvendo o Sistema:

\[A = -1, \, B=4\] 6º Realiza-se as substituições

\[\int \frac{3x-1}{x^2-4x+3}dx = \int \Bigg( \frac{-1}{x-1}+\frac{4}{x-3} \Bigg)dx \\ (-1)\int \frac{1}{x-1}dx + 4\int \frac{1}{x-3}dx \\ = (-1)ln|x-1| + 4ln|x-3|+K \\ = ln\frac{(x-3)^4}{|x-1|}+K\]

Observacão:

\[\int \frac{a}{x+b}dx = aln|x+b|+K\] \[\int \frac{a}{cx+b}dx = \frac{a}{c}ln|cx+b|+K\]

Cálculo II

Polinômio de Taylor, uma intuição

Em cálculo I aprende-se calcular a reta tangente como a melhor aproximacão de $f(x)$ em pontos próximos de $x_0$, com um certo erro $e$ a medida que nos distanciamos de $x_0$

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)x^2, geom="line", size=1.5, aes(colour="x^2")) +
  stat_function(fun=function(x)(2*x)-1.1, geom="line", size=1.5, aes(colour="Derivada no ponto A em x=1")) +
  
  ylim(-2, 5) + labs(colour = "Operações", title = "Gráfico", subtitle = "Translações" )+
  geom_point(aes(x=0, y=0), colour="blue") +
  geom_point(aes(x=1, y=0), colour="red") +
  geom_point(aes(x=-1, y=0), colour="red") +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

A reta tangente $T(x)$ é dada por:

\[T(x) = y-y_0 = m(x-x_0) = y-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0) \] Assim, $T(x_0) = f(x_0)$, mas em pontos com $x$ em regiões diferentes, é preciso calcular o erro $E(x) = f(x)-T(x)$, que é dado pela distância entre a curva e a reta tangente, e portanto:

\[\lim_{x\to x_0} E(x) = 0\]

E além disso:

\[\lim_{x\to x_0} \frac{E(x)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-[f(x)+f'(x_0)(x-x_0)]}{x-x_0} \\ = \lim_{x\to x_0} \Bigg[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-\frac{f'(x)(x-x_0)}{x-x_0} \Bigg] \Rightarrow \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) \\ \therefore = \lim_{x\to x_0} \Bigg[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-\frac{f'(x)(x-x_0)}{x-x_0} \Bigg] = 0\]

Então tem-se o seguinte corolário: Quando $x\to x_0$ o erro vai (tende) para zero mais rapidamente que o intervalo $x-x_0$.

\[\lim_{x\to x_0} \frac{E(x)}{x-x_0} = 0 \] Seja $S(x) = f(x_0)+m(x-x0)$:

\[\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-S(x)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-m(x-x_0)}{x-x_0} \\ \lim_{x\to x_0} \Bigg[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-m \Bigg] = 0 \Leftrightarrow m = f'(x_0)\]

Ex.: Aproximar o valor de $\sqrt{9.03}$ por meio de $T(x)$.

\[f(x)=\sqrt{x} \\ x_0=9 \\f(x_0)=3 \\ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{6}\]

Para $T(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.

\[T(x) = 3+\frac{1}{6}(x-9) \\ f(x) \approx T(x) \\ \sqrt{9.03} \approx 3+\frac{1}{6}(9.03-9) \\ = 3+\frac{1}{6}0.03 = 3+0.005 = 3.005\]

Mas e os algarismos significativos? Esta resposta é dadapela estimativa do erro $E(x)$ por meio de um teorema “parente” do Teorema do Valor Médio. Se $f$ for derivável em um intervalo $I$ contendo $x$ e $x_0$, enão existe um $\overline{x}$ entre $x$ e $x_0$ tal que:

\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\overline{x})}{2}(x-x_0)^2 \\ f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) = T(x) \\ \frac{f''(\overline{x})}{2}(x-x_0)^2 = E(x)\\ \therefore f(x) = T(x)+E(x)\] Nesse exemplo:

\[\sqrt{9.03} = 3.005+\frac{f''(\overline{x})}{2}(9.03-9)^2\] Para algum $\overline{x} \in [x, x_0]$.

\[|f(x)-T(x)| = |E(x)| \\ |\sqrt{9.03}-3.005| = |\frac{f''(\overline{x})}{2}(0.003)^2| \\ f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} = f''(x) = -\frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{x^3}}\]

\[|E(x)| = \Bigg| \frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{x^3}}\frac{1}{2}(0.003)^2 \Bigg|\] Fornecendo o erro máximo pelo máximo da função: \[|E(x)| = \Bigg| \frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{x^3}}\frac{1}{2}3^210^{-4} \Bigg|\] Portanto: \[9 < \overline{x} < 9.03 \\ \therefore 9^3 < \overline{x}^3 < (9.03)^3 \\ \sqrt{9^3} < \sqrt{\overline{x}^3} < \sqrt{(9.03)^3} \\ \Rightarrow \frac{1}{3^3} > \frac{1}{\sqrt{\overline{x}^3}} > \frac{1}{\sqrt{9.03^3}}\] Portanto $\overline{x}$ é menor que $\frac{1}{3^3}$, pois $ > $.

\[|E(x)| < \frac{1}{}8\frac{1}{3^3}3^210^{-4} = \frac{1}{24}10^{-4}\] E como $\frac{1}{24}$ é menor que $\frac{1}{10}$, então:

\[\frac{1}{24}10^{-4} < \frac{1}{10}10^{-4}\] E como $\frac{1}{10}10^{-4} = 10^{-5}$ é possível afirmar que \[\sqrt{9.03} \approx 3.005\] Com um erro inferior a $10^{-5}$: \[ < 10^{-5}\] Erro este obtido pelo polinômio de Taylor de ordem um $f'(x)$.

\[T(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\]

Polinômio de Taylor de ordem dois

Para tanto é preciso que a função $f$ seja derivável até segunda ordem (P_2) no intervalo aberto $I$, onde $x_0 \in I$

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)x^2, geom="line", size=1.5, aes(colour="x^2")) +
  stat_function(fun=function(x)(x+0.12)^2, geom="line", size=1.5, aes(colour="Derivada de segunda ordem")) +
  stat_function(fun=function(x)(2*x)-1.1, geom="line", size=1.5, aes(colour="Derivada de primeira ordem")) +
  
  ylim(-2, 5) + labs(colour = "Operações", title = "Gráfico", subtitle = "Translações" )+
  geom_point(aes(x=0, y=0), colour="blue") +
  geom_point(aes(x=1, y=0), colour="red") +
  geom_point(aes(x=-1, y=0), colour="red") +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

Onde

\[P_2 = A + B(x-x_0)+C(x-x_0)^2\] Supondo \[P(x_0) = f(x_0) \\ P'(x_0) = f'(x_ 0) \\ P''(x_0) = f''(x_0)\] \[P'(x) = B+2C(x-x_0)\] \[P''(x) = 2C\] Conclui-se:
\[P(x_0) = A \rightarrow = f(x_0) \\ P'(x_0) = B \rightarrow = f'(x_0) \\ P''(x_0) = 2C \rightarrow = \frac{f''(x_0)}{2} \\ \therefore P(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2\] Então:

\[E_2(x)= f(x)-P(x) \\ \lim_{x \to x_0} \frac{E_2(x)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2}{x-x_0} \\ \lim_{x \to x_0} \Bigg[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - \frac{f'(x_0)(x-x_0)}{x-x_0} -\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2(x-x_0)} \Bigg] \\ f'(x_0) - f'(x_0) -\lim_{x \to x_0} \frac{f''(x_0)(x-x_0)}{2} \\ = f'(x_0) - f'(x_0) - 0 \]

Por isso:

\[-\lim_{x \to x_0} \frac{E_2(x)}{(x-x_0)^2} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2}{(x-x_0)^2} \\ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2} - \lim_{x \to x_0} \frac{-\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2}{(x-x_0)^2} \\ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2} - \lim_{x \to x_0} -\frac{1}{2}f''(x_0) \\ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)-f(x_0)}{(x-x_0)^2} -\frac{f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2} - \lim_{x \to x_0} -\frac{1}{2}f''(x_0) \\ \lim_{x \to x_0} \frac{0}{0} -\frac{0}{0} - \lim_{x \to x_0} -\frac{1}{2}f''(x_0) \\\]

Com L’Hospital \[\lim_{x \to x_0} \Bigg[ \frac{f'(x)-f'(x_ 0)}{2(x-x_0)} \Bigg]-\frac{1}{2}f''(x_0) \\ \lim_{x \to x_0} \Bigg[ \frac{1}{2} \frac{f'(x)-f'(x_ 0)}{(x-x_0)} \Bigg]-\frac{1}{2}f''(x_0) \\ \lim_{x \to x_0} \frac{1}{2} f''(x_0)-\frac{1}{2}f''(x_0) = 0\\\]

\[\therefore \lim_{x \to x_0} \frac{E_2(x)}{(x-x_0)^2} = 0\] E portanto, o erro vai para zero mais rapidamente que a diferenca ao quadrado quando $x \to x_0$; demonstrado pelo polinômio de Taylor de ordem doisde $f$ em torno de $x_0$.

\[P(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2\] Ex.: Encontrar o polinômio de Taylor de ordem dois de $f(x0) = ln(x)$ em torno de $x_0 = 1$

\[f(x) = ln(x) \to x_0 = 1 \Rightarrow ln(1) = 0 \\ f'(x) = \frac{1}{x} \to x_0 = 1 \Rightarrow \frac{1}{1} = 1 \\ f''(x) = -\frac{1}{x^2} \to x_0 = 1 \Rightarrow \frac{1}{1^2} = -1\\\] \[P(x0) = 0 + 1(x-1) -\frac{1(x-1)^2}{2} = 0 + 1(x-1) -\frac{1}{2}(x-1)^2 \\ \Rightarrow P(x) = x-1 -\frac{1}{2}(x-1)^2\] Encontrar um aproximacão para um Ln qualquer como $ln(1.2)$

\[ln(1.2) \approx P(1.2) \\ = (1.2-1) - \frac{1}{2}(1.2-1)^2 \\ = (1.2-1) - \frac{1}{2}(0.2)^2 = \\ = 0.2 - \frac{1}{2}(0.04)\\ = 0.2 - 0.02 = 0.18\]

Falta saber a precisão do resultado com o resto de Lagrange:
Se f for derivável até a ordem 3 no intervalo $I$ e se o $x\, e\, x_0 \in I$, então: \[f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\frac{f'''(\overline{x})}{3!}(x-x_0)^3\] Para algum $\overline{x}$ no intervalo $]x, x_0[$, onde: \[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 = P_2(x)\\ \frac{f'''(\overline{x})}{3!}(x-x_0)^3 = E_2(x)\]

Voltando ao cálculo:

\[E_2(1.2) = f'''(x) = 2x^{-3}, \, pois \\ f(x) = ln(x) \\ f'(x) = \frac{1}{x} \\ f''(x) = -\frac{1}{x^2} = -x^{-2}\\ f'''(x) = 2x^-3 \frac{2}{\overline{x}^3}\\ \Rightarrow = \frac{2}{\overline{x}^3}\frac{1}{3!}(0.2)^3, \, para \, 1 < \overline{x} < 2 \\ \frac{1}{3} \frac{1}{(\overline{x})^3}2^3(10^{-1})^3 \\ \frac{8}{3} \frac{1}{(\overline{x})^3}(10^{-1})^3\]

\[1 < \overline{x} < 1.2 \\ 1^3 < (\overline{x})^3 < (1.2)^3 \\ \frac{1}{1} > \frac{1}{(\overline{x})^3} > \frac{1}{1.128} \\ 1 > \frac{1}{(\overline{x})^3} > \frac{1}{1.128} \\ \therefore \frac{1}{(\overline{x})^3} < 1\]

Assim:

\[\frac{8}{3} \frac{1}{(\overline{x})^3}(10^{-1})^3 = \frac{8}{3}(1)(10^{-1})^3 \Rightarrow \frac{8}{3}(10^{-1})^3 < 10^{-2} \\ E_2(1.2) < 10^{-2}\]

Polinômio de Taylor de ordem três

Assim, o polinômio de Taylor de ordem $n$ é definido pelo uso do fatorial que resulta do grau da derivada, pois:

\[f(x) = (x-x_0)^4 \\ f'(x) = 4(x-x_0)^3 \\ f''(x) = 12(x-x_0)^2 \\ f'''(x) = 24(x-x_0)^1 \\ f''''(x) = 24 = 4! \\\]

Polinômio de Taylor de ordem n

Portanto:

\[P_n(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+\frac{1}{3!}f'''(x-x_0)^3+...+\frac{1}{n!}f^{n}(x-x_0)^n\] \[E_n(x) = f(x)-P_n(x) \\ \lim_{x \to x_0} \frac{e_n(x)}{(x-x_0)^n}=0\] Teorema: Se $f$ for derivável até a ordem $n+1$ no intervalo $I$ e se $x \, e\, x_0 \in I$, então

\[f(x) = P_n(x)+\frac{f^{n+1}\overline{x}}{(x+1)!}(x-x_0)^{n+1}\] para algum $\overline{x}$ no intervalo $]x, x_0[$.

Ex.: Calcular $e$ com erro $< 10^{-5}$:

Descobrir um polinômio de Taylor de ordem n da $f(x)= e^x$, en torno de $x_0=0$. \[f'(x) = e^x \rightarrow f^{(k)} = e^x, \forall k\]

Então:

\[f(x_0) = e^0 = 1 \\ f'(x_0) = 1 \\ . \\ . \\ f'(n) = 1 \]

\[P_n(x) = 1 + 1(x) + \frac{1}{2}x^2+ \frac{1}{3!}x^3+ ... +\frac{1}{n!}x^n\] Assim, \[E_n(x)=\frac{f^{n+1}\overline{x}}{(n+1)^n}(x-x_0)^{n+1} \\ f(x) = e^x \\ f^{(n+1)}\overline{x} = e^{\overline{x}} \\ \] Então, para $x_0 = 0$ e $x = 1$: \[E_n(1) = \frac{e^{\overline{x}}}{(n+1)!}(x-x_0) = \frac{e^{\overline{x}}}{(n+1)!}(1)\] Para algum $\overline{x} \in ]0, 1[$:

\[0 < \overline{x} < 1 \\ e^0 < e^{\overline{x}} < e^1 \\ 1 < e^{\overline{x}} < 3 \] Portanto o erro $E_n(1) < \frac{3}{(n+1)!}$

Avaliar $e$ com erro $< 10^{-5}$

\[E_n(1) < \frac{3}{(n+1)!}\] O que exige procurar o $n$ tal que:

\[\frac{3}{(n+1)!} < \frac{1}{100000} \\ (n+1)! > 300000 \\ 2! = 2 \\ 3! = 6 \\ 4! = 24 \\ 5! = 120 \\ 6! = 720 \\ 7! = 5040 \\ 8! = 40320 \\ 9! = 362880 \\ n = 8\] Então uma aproximação para $e$ com erro $< 10^{-5}$ é:

\[P(1) = 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{7!}+\frac{1}{8!} \]

Ex.: Encontrar um polinômio de Taylor de ordem $n$ para $sen(x)$ em torno de $x_0 = 0$:

\[sen(x) \approx ? \\ f(x) = sem(x) \rightarrow f(0) = 0\\ f'(x) = cos(x) \rightarrow f'(0) = 1\\ f''(x) = -sen(x) \rightarrow f''(0) = 0\\ f'''(x) = -cos(x) \rightarrow f'''(0) = -1\\ f''''(x) = sen(x) \rightarrow f''''(0) = 0\\\]

Então o polinômio será:

\[P(x) = 0+1(x-0)+0+\frac{-1}{3!}(x-0)^3+0+\frac{1}{5!}(x-0)^5+...\\ P(x) = x-\frac{-1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7...(apenas\, potências\, de\, grau\, impar\, com\, sinal\, alternado)\\\] Se n for impar: \[n = 2k+1 \\ P_{2k+1} = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-....+(-1)^k\frac{x^{2x+1}}{(2k+1)!}\]

Se n for par: \[n = 2k+2 \\ \therefore P_{2x+2}^{(x)} = P_{2k+1}^{(x)} \\ \Rightarrow P_{2k+1} = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-....+(-1)^k\frac{x^{2x+1}}{(2k+1)!}\] Restanto estimar o erro: Note que quanto maior a ordem, menor o erro (Numerador indo para zero mais rapidamente que o numerador, sendo que quanto maior a ordem, menor o denominador).

\[sen(x) - \Bigg[ x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-....+(-1)^k\frac{x^{2x+1}}{(2k+1)!} \Bigg] \\ = sen(x) - E_{2k+2}^{(x)} \\ E_{2k+2}^{(x)} = \frac{f^{2k+3}(\overline{x})}{(2k+3)!}x^{2k+3}\] Para algum $\overline{x}$ no intervalo $]x_0 = 0, x[$.

\[|E_{2k+2}^{(x)}| = \frac{|f^{2k+3}(\overline{x})|}{(2k+3)!}|x|^{2k+3}\] Como o numerador oscila ente -1 e 1, sendo portanto no máximo 1

\[\therefore |E_{2k+2}^{(x)}| \le \frac{1}{(2k+3)!}|x|^{2k+3}\]

Encontrar um aproximação para $sen(1)$ com erro menor que $10^{-5}$.

\[|E_{2k+2}(1) \le \frac{1}{(2k+3)!}|1|^{2k+3} \\ \frac{1}{(2k+3)!}|1|^{2k+3} = \frac{1}{(2k+3)!} \\ \frac{1}{(2k+3)!} \le 10^{-5}, \, se\, 2k+3 = 9 \\ 2k = 6 \to k = 3 \\ \Rightarrow k= 3 \to 2k+1 = 2(3)+1 = 7 \to \frac{1}{7!}\]

\[sen(1) \approx 1 -\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\frac{1}{7!}\] Note que até aqui o erro foi estimado apenas por um lado do intervalo sem controlar o tamanho do intervalo, o que não permite saber o quão distante está do valor dado como máximo. Assim:

\[|E_{2k+2}^{(x)}| \le \frac{1}{(2k+3)!}|x|^{2k+3} \\ \Rightarrow 0 < E_{2k+2}^{(x)} \le \frac{1}{(2k+3)!}|x|^{2k+3}\] Pois,
\[f(x)-P(x) = E(x),\, onde \\ Ex.: |E(x)| < 10^{-3} \\ \therefore -< 10^{-3} < |E(x)| < 10^{-3} \\ \Rightarrow -0.001 < |E(x)| < 0.001\]

ggplot(data.frame(x=c(-1,1)), aes(x)) +
  ylim(-0.1, 0.1) + labs(colour = "Operações", title = "Gráfico", subtitle = "Intervalo ]-0.003,0.003[" )+
  geom_point(aes(x=-00, y=0), colour="blue") +
  geom_point(aes(x=0.001, y=0), colour="red") +
  geom_point(aes(x=-0.001, y=0), colour="red") +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

Parametrização de Curvas Planas

A intenção é tentar descrever movimentos de um ponto pelo plano:

Onde para cada $t \in I$:

\[ \gamma = \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} \] Onde $t$ é o parâmetro e as equacões $x = x(t)$ e $y = y(t)$ são uma parametrização da curva $\gamma$. Onde então $\gamma$ é uma função que sai do intervalo $I$ e chega no plano $\mathbb R^2$

\[\gamma: I \to \mathbb R^2 \\ \gamma(t) = (x(t), y(t))\]

A trajetória do ponto é a imagem da trajetória e não um gráfico pois não há um eixo para $t$, sendo portanto a imagem da função $\gamma$ sem um domínio definido no eixo $x$.

Ex. 1: \[\begin{cases} x = 1+3t) \\ y = 2+t \end{cases}, t \in \mathbb R \]

Isolando $t$ na segunda equacão \[y-2 = t \\ x = 1+3(y-2) \\ x = 1+3y-6 \\ x-3y+5 = 0 \, (uma\, reta)\] O que garante que esta função cartesiana $$tenha sua imagem contida na equacão da reta $x-3y+5 = 0$.

Ex. 2: Encontrar a parametrizacão de
\[y = 1 + 2x\] Então

\[\gamma_2 \begin{cases} x = t \\ y = 1+2t \end{cases}\] Ou
\[\gamma_2 \begin{cases} x = -t \\ y = 1-2t \end{cases}\] Ainda, \[\gamma_2 \begin{cases} x = \frac{2t-1}{2} \ t-\frac{1}{2} \\ y = 2t \end{cases}\] E por fim \[\gamma_2 \begin{cases} x = 2t \\ y = 1-4t \end{cases}\]

Ex. 3: \[\gamma (t) = (t, t^2),\, t \in \mathbb R\]

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)x^2, geom="line", size=1.5, aes(colour="y=x^2")) +
  
  ylim(-2, 5) + labs(colour = "Operações", title = "Gráfico", subtitle = "Translações" )+
  geom_point(aes(x=0, y=0), colour="blue") +
  geom_point(aes(x=-1, y=1), colour="green") +
  geom_point(aes(x=1, y=1), colour="green") +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

Ex. 4: Uma parametrizacão para a circunferência de centro na origem e raio $r$.

\[x^2+y^2 = r^2\] Note que x e Y podem ser descritos pelo parâmetro ângulo. \[\frac{x}{r} = cos \theta \\ \frac{y}{r} = sen \theta \] \[\gamma_2 \begin{cases} x = r cos\theta \\ y = r sen\theta \end{cases}\]

#Inserir fig 04

Assim a imagem de $\gamma$ para o semi-circulo estaria contida no intervalo $[0, \pi]$ Esta descricão da curva começaria no ponto (r_0, 0) e andaria no sentido anti-horário

\[\gamma_4 \begin{cases} x = r cos\theta \\ y = r sen\theta \end{cases}, I = [0, \pi], \, ou, 0 \le \theta \le \pi\]

Ex. 5: Descobrir a curva descrita por $\gamma(t) = (sen(t), cos(t)), t \in \mathbb R$

#inserir fig 6

\[(sen(t))^2(cos(t))^2 = 1 \\ (x)^2(y)^2 = 1\] Demonstra uma circunferência de raio = 1. Nesse caso a descrição da curva comaeça no ponto (0, 1) se deslocando no sentido horário.

\[t = 0 \ to (sen(0), cos(0)) = (0,1) \\ t = \frac{\pi}{2} \to (sen(\frac{\pi}{2}), cos(\frac{\pi}{2})) = (1, 0) \\ t = \pi \to (sen(\pi), cos(\pi)) = (0,1) \\ t = \frac{3\pi}{2} \to (sen(\frac{3\pi}{2}), cos(\frac{3\pi}{2})) = (-1, 0) \\\]

Ex. 6: \[\gamma(t) = (e^{-t}cos(t)m, e^{-t}sen(t)m ), t \ge 0 \\ e^{-t}(cos(t), sen(t)) \]

# fig 07

Ex. 7:

\[\gamma(t) = (cos(t)m, cos^2(t)m ), t \in \mathbb R \\ y = x^2 \] A Imagem de $\gamma$ está contida no gráfico de $y = x^2$ oscilando ao longo da parábola ente os pontos (-1,1) e (1,1)

Ex. 8: \[\gamma(t) = (cos^2(t), sen^2(t)) t \in \mathbb R \\ x+y = 1 \to y = 1-x\]

ggplot(data.frame(x=c(-5,5), y = c(0,1)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)1-x, geom="line", size=1.5, aes(colour="y=1-x")) +
  stat_function(fun=function(x){if (x > 0) {1-x}}, geom="line", size=2, aes(colour="Curva de Gama")) +
  ylim(-5, 5) + labs(colour = "Operaçõo", title = "Gráfico", subtitle = "" )+
  geom_point(aes(x=0, y=0), colour="blue") +
  geom_point(aes(x=1, y=0), colour="green") +
  geom_point(aes(x=0, y=1), colour="green") +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11)) + 
  annotate("text", x = 2.4, y = 0.3, label = expression(gamma~(0))) + 
  annotate("text", x = 3.2, y = 0.3, label = expression(gamma~(2*pi))) + 
  annotate("text", x = 1.5, y = 0.3, label = "(1, 0)=")+ 
  annotate("text", x = 1.5, y = 1.5, label = expression(gamma~(pi/2))) + 
  annotate("text", x = 2.5, y = 1.5, label = expression(gamma~(3*pi/2))) + 
  annotate("text", x = 0.5, y = 1.5, label = "(1, 0)=")

A origem de $\gamma$está contida no gráfico de $y=1-x$, oscilando entre (0,1) e (1, 0).

Ex. 9: \[ \begin{cases} x = cos^2 t \\ y = cos t \end{cases}, x = y^2, -1 \le y \le 1 \] Ex. 10: Ciclóide, trajetória de um ponto

#fig 10

\[\begin{cases} x = r(\theta-sen \theta) \\ y = r(1-cos \theta) \end{cases}\]

Cônicas

\[ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f = 0\]

Elipse

Fixados dosi pontos $F_1$ e $F_2$ Focos) do plano, a elipse é o conjunto de todos pontos P do plano tais que $d(P, F_1) + d(P, F_0)$ é constante

\[\sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2} + \sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2} = 2a, a > 0 \\ \sqrt{(x+c)^2+(y)^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2+(y)^2} \\ (x+c)^2+y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2 \\ 2cx = 4a^2- 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}-2cx \\ 4cx - 4a^2 =- 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ cx - a^2 = -a\sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ c^2x^2-2cxa^2+a^2 = a^2[x^2-2cx+c^2+y^2] \\ c^2x^2+a^2 = a^2[x^2+c^2+y^2] \\\ a^4-a^2c^2 = (a^2-c^2)x^2+a^2y^2 \\ a^2(a^2-c^2) = (a^2-c^2)x^2+a^2y^2 \\ a > c > 0 \to a^2-c^2=b^2, \, para\,album\, b \\ a^2b^2 = b^2x^2+a^2y^2 \\ \frac{a^2b^2 = b^2x^2+a^2y^2}{a^2b^2} \to 1=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}, (equação \, reduzida\, da \, elipse)\]

hipérbole

Fixados dois pontos $F_1$ e $F_2$ Focos) do plano, a hipérbole é o conjunto de todos pontos P do plano tais que $|d(P, F_1) - d(P, F_0)|$ é constante

Parábola

Fixados um ponto $F$ do plano, a parábola é o conjunto de todos pontos P do plano tais que $d(P, F_1) = d(P, r)$ sendo F (Foco) e r(reta diretriz) fixados.

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)(x^2)+1, geom="line", size=1.5, aes(colour="(x^2)+1")) +
  stat_function(fun=function(x)0.1, geom="line", size=1.5, aes(colour="r")) +
  ylim(-2, 5) + labs(colour = "Operações", title = "Gráfico", subtitle = "Parábola" )+
  geom_point(aes(x=0, y=2), colour="blue") +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  annotate("text", x = 0.3, y = 2, label = "F")+ 
  annotate("text", x = 0.3, y = 0.3, label = "r")+ 
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

## Warning: Removed 60 row(s) containing missing values (geom_path).

A análise de funções de cônicas introduz ao uso de de funções de duas variáveis e claro, de integrais multiplas, começando pelas integrais de duas variáveis. Esta abordagem considera funções portanto, funções de duas variáveis no $\mathbb R^2$chagando em $\mathbb R$.

\[D \in \mathbb R^2 f:D\to\mathbb R\] Ex.: \[f(x, y) = \frac{x-y}{x+y} \\ D \{ (x, y) | x+u \neq 0 \}\]

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)(-1)*x, geom="line", size=1.5, aes(colour="Região fora do Domínio")) +
  annotate("rect", xmin = -5, xmax = 5, ymin = -5, ymax = 5, alpha = .6, fill = "grey") +
  ylim(-5, 5) + labs(colour = "", title = "Gráfico", subtitle = "Parábola" )+
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  annotate("text", x = 2.2, y = 2.5, label = "Região do domínio R")+ 
  annotate("text", x = 2.2, y = 1.5, label = "D = {(x, y) | x+y != 0}")+ 
  annotate("text", x = -3, y = -2.5, label = "Região do domínio R")+ 
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

Ex.: \[f(x, y) = \sqrt{1-x^2-y^2} \\ D: 1-x^2-y^2 \ge 0 \\ 1 \ge x^2-y^2 \\ (círculo\, de\, centro\,na\,origem,e\,raio\,um)\] \[f(x, y) = \sqrt{y-x^2} \\ y-x^2 \ge 0 \to y \ge x^2 \\ D \in \mathbb R^2f:D\to R \to (x, y)\to z = f(x, y)\] Este domínio descreve a região sobre a parábola, e o grafico é formado por triplas ordenadas $(x, y, z)$ em que o domínio do gráfico é descrito como: \[DG = \{ (x, y, z) | z=f(x, y), (x, y) \in D \}\] Formando um gráfico de dimensão dois, dentro do $\mathbb R^3$ Assim, a imagem de f é a imagem da funão z. \[ImF\{z=f(x, t)| (x, y) \in D \}\] Seja $C \in ImF$, a curva de nível $C$ de $f$ é o comjunto de pontos $(x, y)$ do domínio para os quais $f(x, y)= C$ formando as curvas de nível da função.

cn <- ggplot(faithful, aes(x=eruptions, y=waiting)) 
cn + geom_density_2d()

Ex.: \[f(x, y) = x^2+y^2 \to D = \mathbb R^2\] Curva de nível C = 1 \[D = \{ (c, y) \in \mathbb R^2| x^2+y^2=1 \} \\\] Curva de nível C = 4 \[D = \{ (c, y) \in \mathbb R^2| x^2+y^2=2 \} \\\] Curva de nível C = 0 \[D = \{ (0, 0)\\\] \[g(u, v) = uv \\ c = 0 \Leftrightarrow \{ (u, v0) \in \mathbb R^2 | g(u, v)=0 \} \\ u.v = 0 \to u = 0, ou\, v = 0\] \[c = 1 g(u, v) = 1 \Leftrightarrow uv = 1 \to v = \frac{1}{u}\]

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)1/x, geom="line", size=1.5, aes(colour="v = 1/u")) +
  stat_function(fun=function(x)y=x, geom="line", size=1.5, aes(colour="identidade")) +
  ylim(-5, 5) + labs(colour = "", title = "Gráfico", subtitle = "" )+
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

\[c = 4 g(u, v) = 1 \Leftrightarrow uv = 1 \to v = \frac{4}{u}\]

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)-4/x, geom="line", size=1.5, aes(colour="v = 4/u")) +
  stat_function(fun=function(x)y=-x, geom="line", size=1.5, aes(colour="identidade")) +
  ylim(-5, 5) + labs(colour = "", title = "Gráfico", subtitle = "" )+
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

Dado $g(u, v) = uv$, para quais pontos do domínio abaixo obtemos os valores de máximo e mínimo de $g$?

\[D = \{ (u, v) | u^2+v^2 \le 9 \, e\, v \ge 0 \} \\ g(u, v) = uv \\ \] $$u^2+v2=9 \ u = v 2v^2 = 9 v^2 = v = v = \ v 0 \ máx = , p = ( , ) \ min = -, p = ( -, )

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)1/abs(x), geom="line", size=1.5, aes(colour="c = 1")) +
  stat_function(fun=function(x)2/abs(x), geom="line", size=1.5, aes(colour="c = 2")) +
  stat_function(fun=function(x)3/abs(x), geom="line", size=1.5, aes(colour="c = 3")) +
  #stat_function(fun=function(x)-x^2+4, geom="line", size=1.5, aes(colour="Domínio")) +
  stat_function(fun=function(x)ifelse(-x^2+4 > 0,-x^2+4,0), geom="line", size=1.5, aes(colour="Domínio")) +
  annotate("text", x = 2.4, y = 2.55, label = "x^2+y^2=9")+ 
  geom_point(aes(x=1.3, y=2.5), colour="blue") +
  geom_point(aes(x=-1.3, y=2.5), colour="blue") +
  ylim(-5, 5) + labs(colour = "", title = "Gráfico", subtitle = "" )+
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

Ex.: \[f(x, y) = \frac{2xy^2}{x^2+y^4}\] Domínio: \[D_f = \{ (x, y) \in \mathbb R^2 | (x, y) \neq (0, 0) \}\] Para $c= 0$: \[c=0: f(x, y) = 0 \Leftrightarrow \frac{2xy^2}{x^2+y^4} = 0\] Para $c \neq 0$. e verificar quando f é igual a este c: \[c \neq 0: f(x, y) = c \Leftrightarrow \frac{2xy^2}{x^2+y^4} = c \\ 2xy^2 = c(x^2+y^4) \\ \to cx^2+2xy^2+cy^4 = 0 \\ x = \frac{2y^2 \pm \sqrt{(2y^2)^2+4ccy^4}}{2c} \\ x = \frac{2y^2 \pm \sqrt{4y^4(1-c^2)}}{2c} \\ x = \frac{2y^2 \pm 2y^2 \sqrt{1-c^2}}{2c} \\ x = \frac{2y^2 \pm 2y^2 \sqrt{1-c^2}}{2c} \\ x =\Bigg( \frac{1 \pm \sqrt{1-c^2}}{c}\Bigg) y^2 \\ \Rightarrow c= [-1, 1]\,e\, \neq 0\]

ggplot(data.frame(x=c(-5,5)), aes(x)) +
  stat_function(fun=function(x)-sqrt(abs(x)), geom="line", size=1.5, aes(colour="c = -1 ou c=  1")) +
  stat_function(fun=function(x)sqrt(abs(x)), geom="line", size=1.5, aes(colour="c = -1 ou c=  1")) +
  annotate("text", x = 2.4, y = 3.55, label = expression(paste("c", "= 1 ", symbol('\256'), "x", "=", y^2)))+ 
  annotate("text", x = 2.4, y = 3, label = expression(paste("c", "= -1 ", symbol('\256'), "x", "= -", y^2)))+ 
  ylim(-5, 5) + labs(colour = "", title = "Gráfico", subtitle = "" )+
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
theme(plot.title = element_text(size = 12, face = "bold"),
    legend.title=element_text(size=12), 
    legend.text=element_text(size=11))

## Warning in is.na(x): is.na() applied to non-(list or vector) of type
## 'expression'

## Warning in is.na(x): is.na() applied to non-(list or vector) of type
## 'expression'

No entanto no intervalo [-1, 1] gera diferentes curvas duplicadas. E por isso é preciso enternder os limites relacionados

\[\lim_{(c, u) \to (x_0, y_0)}f(x, y)=L\] Em outras palavras, estamos procurando o valor limite ao redor de um ponto. Para todo número $\epsilon > 0$ e possivel encontrar um raio $\delta$, talque: \[0 \le||(x, y) -(x_0,y_0) || < \delta\] Então: \[|f(x, y) - L| < \epsilon\]

Ex.: f(x, y)=x, provar pela definição que \[\lim_{(x,y) \to (5, 2)} f(x, y) = 5\] É possível encontrar $\epsilon > 0$ tal que: \[0 \le||(x, y) -(5,2) || < \epsilon\] Então: \[|f(x, y) - 5| < \epsilon \\ |x-5| < \epsilon \\ -\epsilon < |x-5| < \epsilon \\ 5-\epsilon < |x-5| < \epsilon+5 \] Seja dado um $\epsilon > 0$, qualquer (ficado), tome $\delta > 0$, tal que $\delta \le \epsilon$, deve-se provar que: \[0 \le||(x, y) -(5,2) || < \delta < \epsilon\] Então: \[|f(x, y) - 5| < \epsilon\]

Demonstra-se: \[0 \le||(x, y) -(5,2) || < \delta < \epsilon \\ 0 \le \sqrt{(x-5)^2 + (y-2)^2} < \epsilon \\ \Rightarrow \sqrt{(x-5)^2} \le \epsilon \\ ||x-5|| \le \epsilon \\ ||f(x, y) - 5|| \le \epsilon\]

No entanto, o ideal é recorrer a teoremos que não exijam tamanho esforço………

Teorema 1

Antes uma definição: Uma ideia importane é a do ponto de acumulação; uma vez definido um domínio como:
\[D = \{ (x, y) \in \mathbb R^2 | x > 1\}\] Embora $x = 1$ esteja fora do domínio é possível obter seu valor a partir dos valores ao redor contidos em um ponto de acumulacão $P$ que tem como propriedade o fato de que qualquer ponto de raio > 0 e centrado em P sempre conterá em seu interior um ponto deferente de P mas contido em D. \[\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)} f(x, y)\]

Seja $(x_0, y_0)$ um ponto de acumulacão de D de f, suponha que

\[\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)} f(x, y) = L\] e suponha uma gama $\gamma(t) = (x(t), y(t))$, tal que:

$$\begin{cases} (t) D, t I \ x , e, y ,são , contínuas , em , t_0 \ (t) = (x_0, y_0), e, (t) (x_0, y_0), para , t t_0

\end{cases}\[ Então $\lim_{t \to t_0} f(\gamma(t)) = L$ Ex.: \]f(x, y) = , D = {(x, y) mathbb R^2 | (x, y) 0} então: \ _{(x,y)(0, 0)} f(x, y) = ?, , note, que se , y = 0 \ = 1 \ se , 0 = 0 \ = -1$$

A solução é andar pelos eixos.

\[\gamma_1(t) = (t, 0) t \in \mathbb R, \gamma_1(t) = (0, 0) \\ \to f(\gamma_1(t)) = f(t, 0) \frac{t^2}{t^2}=1, \forall t \neq 0\] \[\gamma_2(t) = (0, t) t \in \mathbb R, \gamma_2(t) = (0, 0) \\ \to f(\gamma_2(t)) = f(0, t) \frac{-t^2}{t^2}=-1, \forall t \neq 0 \\ \therefore \lim_{(x,y)\to (0, 0)} f(x, y) \,\, \nexists\]

Dado: \[D \to \mathbb R^2 \\ f:D \to \mathbb R \\ (x_0, y_0): \, ponto\,de\,acumulação \, de\, D\] Quando é possível afirmar que: \[\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)} f(x, y) = L \\ |f(x, y) - L | < \epsilon\] O limite será $L$ se para todo $\epsilon > 0$ for possível encontrar um $\delta > 0$ tal que $(x, y) \in D$, \[0 < ||(x, y)-(x_0, y_0)|| < \delta\] Ao tornar maior que zero, se exclui o ponto (x, y) e ao tornar menor que delta, fica definida a região limite.

Retomando o teorema 1, se $\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)} = L$ e $\gamma$ é uma curva, tal que $\gamma(t_0) = (x_0, y_0)$ e $\gamma(t) \neq \gamma(t_0), \forall t \neq t_0$, então $\gamma(t) = (x(t), y(t))$, para a e y contínuas em $t_0$. Então é possível garantir que $\lim_{t \to t_0)}f(\gamma(t)) = L$, tornando este teorema útil para garantir que um determinado limite não existe.

Ex.: \[\lim_{(x, y)\to (0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2} \\ \gamma_1(t) = (t, 0), t \in \mathbb R \\ \gamma_1(0) = (0, 0) \\ \lim_{t \to 0} f(t, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{0}{t^2+0}= \lim_{t \to 0} 0 =0\]

\[ \gamma_2(t) = (t, t), t \in \mathbb R \\ \gamma_2(0) = (0, 0) \\ \lim_{t \to 0} f(t, t) = \lim_{t \to 0} \frac{t.t}{t^2+t^2}= \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{2t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \\ \gamma_1(t) \neq \gamma_2(t) \therefore \lim_{(x, y)\to (0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2} \,\, \nexists\]

Ex.: \[\lim_{(x, y)\to (0,0)} \frac{2xy^2}{x^2+y^4} \\ \gamma_1(t) = (t, 0), t \in \mathbb R \\ \gamma_1(0) = (0, 0) \\ \lim_{t \to 0} f(\gamma_1(t) = \frac{0}{t^2}= 0, \forall t \neq 0 \\ \Rightarrow \lim_{t \to 0} f(\gamma_1(t) = \lim_{t \to 0} 0 = 0\]

\[\gamma_2(t) = (t, t), t \in \mathbb R \\ \gamma_2(0) = (0, 0) \\ \lim_{t \to 0} f(\gamma_2(t) = \frac{2t.t^2}{t^2+t^4}= \frac{2t^3}{t^2(1+t^2)}= \frac{2t}{1+t^2}, \forall t \neq 0 \\ \Rightarrow \lim_{t \to 0} f(\gamma_2(0)) = \lim_{t \to 0}\frac{2t}{1+t^2} = 0\]

Encontrar dois limites iguais, não fornece garantia de que o limite é zero, ou seja enquando houverem cuvas com mesmo limite o problema não foi resolvido, apenas não encontrou elementos soficientes para afirmar que o limite não existe.

\[\gamma_3(t) = (t^2, t), t \in \mathbb R \\ \gamma_3(0) = (0, 0) \\ \lim_{t \to 0} f(\gamma_3(t) = f(t^2, t) = \frac{2t^2t^2}{(t^2)^1+t^4}= \frac{2t^4}{t^4+t^4}= 1, \forall t \neq 0 \\ \Rightarrow \lim_{t \to 0} f(\gamma_3(0)) = \lim_{t \to 0} 1 = 1\] Portanto novamente demonstra-se que não existe o limite produrado.

Teorema 2 (Teorema do confronto)

\[f(x, y) \le g(x, y) \le h(x, y), \forall (x, y) \, tal\, que\\ 0 \le ||(x, y)-(x_, y_)|| < r\] Se: \[\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)} f(x, y) = L \,\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\,\, \lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)} h(x, y) = L \\ \therefore \lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)} g(x, y) = L \]

Teorema 3

Se, \[\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)} f(x, y) = 0\] E se, \[|g(x, y)| \le M, \forall (x, y) t.q. 0 \le ||(x, y)-(x_0, y_0)|| < r\] Então, \[\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)} f(x, y).g(x, y) = 0\] Ex.: \[\lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{x^3}{x^2+y^2} \\ 0 \le \frac{x^2}{x^2+y^2} \le 1, pois \\ 0 \le x^2 \le x^2+y^2 \\ \therefore lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{x^3}{x^2+y^2} = lim_{(x,y)\to (0, 0)} (x)\frac{x^2}{x^2+y^2} \\ \therefore x \to 0, \frac{x^2}{x^2+y^2} \to [0, 1] \Rightarrow 0.[0,1] = 0\\ \lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{x^3}{x^2+y^2} = 0 \] Ex. \[\lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{x^2}{x^2+y^2} \\ \lim_{t \to 0} f(t, 0) =\lim_{r\to 0} \frac{t^2}{t^2+0} = 1 \\ \lim_{t \to 0} f(0, t) =\lim_{r\to 0} \frac{0^2}{t^2} = 0 \\ \therefore \lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{x^2}{x^2+y^2}\,\,\,\,\, \nexists \] Ex.: \[\lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \Bigg|\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\Bigg| = \frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \to |x| = \sqrt{x^2} \le \sqrt{x^2+y^2} \\ \therefore \frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le 1 \\ \lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}.y \to [0, 1].0 = 0 \\ f(t, 0) = \frac{0}{|t|} \\ f(t, t) = \frac{t^2}{\sqrt{2t^2}}= t\frac{t}{\sqrt{2t}}\]

Propriedadesdos limites

\[ \lim_{(x,y)\to (x-0, x_0)} f(x, y) = 0 \Leftrightarrow \lim_{(x,y)\to (x-0, x_0)} |f(x, y)| = 0\] \[ \lim_{(x,y)\to (x-0, x_0)} f(x, y) = L_1 \,\,\,e \,\,\, \lim_{(x,y)\to (x-0, x_0)} g(x, y) = L_2, então: \\ a) \lim[f(x,y)+g(x,y)] \exists = L_1+L_2 \\ b) \lim[f(x,y)*g(x,y)] \exists = L_1*L_2 \\ c) \lim\frac{f(x,y)}{g(x,y)} = \frac{L_1}{L_2}, \,se\, L_2 \neq 0\] Ex.: \[\lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{x^3+y^3}{x^2-y^2} \\ \lim_{(x,y)\to (0, 0)} \Bigg[\frac{x^3}{x^2-y^2}+\frac{y^3}{x^2-y^2}\Bigg] \\ \lim_{(x,y)\to (0, 0)} \Bigg[x\frac{x^2}{x^2-y^2}+y\frac{y^2}{x^2-y^2}\Bigg] \\ \lim_{(x,y)\to (0, 0)} \Bigg[0.[0,1]+0.[0,1]\Bigg] = 0\\\]

Ex.: \[\lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{x+y}{x-y} \\ \gamma_1(t) = (t, 0) = \lim_{(t\to 0} \frac{t+0}{t-0}= 1 \\ \gamma_2(t) = (0, t) = \lim_{(t\to 0} \frac{0+t}{0-t} = -1 \\\]

Ex.: \[\lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{sen(x^2+y^2)}{x^2+y^2} \\ u = x^2+y^2 \\ \lim_{u\to 0} \frac{sen(u)}{u} = 1\]

Ex.: \[\lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{x^4 sen(x^2+y^2)}{x^4+y^2} \\ \lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{x^4}{x^4+y^2}sen(x^2+y^2) \\ 0 \le x^4 \le x^4+y^2 \\ \therefore [0, 1].0 = 0\] Ex.: \[\lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{x^2}{x^2+y^2}sen\Bigg(\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\Bigg) \\ g(x, y) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}.y \to [0, 1].0 = 0 \\ h(x, y) = \frac{x^2}{x^2+y^2} \to [0, 1] \\ \therefore h(x, y).g(x, y) \to [0, 1].0 = 0 \]

\[\lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{x^3}{x^4+y^2} sen(x^2+y^2)\] Dividir e multiplicar: \[\lim_{(x,y)\to (0, 0)} \frac{x^3}{x^4+y^2} \frac{sen(x^2+y^2)}{x^2+y^2}(x^2+y^2) \\ \lim_{(x,y)\to (0, 0)} \Bigg(\frac{x^5}{x^4+y^2}+\frac{x^3y^2}{x^4+y^2}\Bigg) \frac{sen(x^2+y^2)}{x^2+y^2} \\ \lim_{(x,y)\to (0, 0)} \Bigg(x\frac{x^4}{x^4+y^2}+x^3\frac{y^2}{x^4+y^2}\Bigg) \frac{sen(x^2+y^2)}{x^2+y^2} \\ \lim_{(x,y)\to (0, 0)} \Bigg(0.[0, 1]+0.[0,1]\Bigg) .1 \to 0.1 = 0\\\]

Calculo III

Integrais Múltiplas

As integrais duplas seguem o modelo das Somas de Riemann e são calculadas a partir do teorema de Fubini. Esta abordagem permite evoluir do cálculo de áreas de figuras geométricas bem como áreas de gráficos de funcões de uma única variável. A aplicacão de integrais múltiplas aplica o cálculo de integrais de funcões de mais de uma variável, permitindo calcular volumes no espaço por meio de um processo de iteracão ou operacões aninhadas.

Integrais duplas

Integrais duplas são aplicadas a funcões de duas variáveis $(x, y)$ que fornecem o gráfico de uma região a ser calculada dada por funções como a funcãso do retântulo abaixo:

\[z = f(x,y) = R=[a,b]x [c,d]\] Este cálculo é obtido calculando o volume do gráfico da funcão por aproximacões, transformando a região em figuras geométricas mais simples que permitam um cálculo mais ágil do volume aproximado. Para tanto os intervalos em x $[a,b]$ e y $[c,d]$ em um domínio $R$ são subdivididos em n subintervalos que fornecem uma multiplicidade de retâangulos menores com as dimensões:

\[\Delta x_i= x_i-x_{i-1} \,e\,\Delta y_j= y_j-y_{j-1} \] Onde a cada um dos retânlos $ij$ contidos no mesmo domínio $R$são escolhidos pontos em seu interior $(x_i,y_j)$. Estes retangulos reunidos formam o paralelepipedo com altura $f(x_i,y_j)$, onde o somatório de tais retângulos fornece o volume. O volume de cada retângulo em questão é gerado pelo produto da área da base pela altura dos mesmos.

\[V_{ij} = f(x_i, y_j)\Delta x_i\Delta y_j = f(x_i,y_j)\Delta A_{ij} \\ \Delta A_{ij} = área\, da\, base\]

Assim obtém-se a Soma de Riemann dupla \[V \approx \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x_i,y_j)\Delta A_{ij}\] Em que esta aproximacão, como feita na Soma de Riemann simples, é melhorada reduzindo a área da base.

\[V = \lim_{n,m \to\infty} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x_i,y_j)\Delta A_{ij} = \int\int_R f(x,y)dA\] Em que o seu cálculo pode ser obtido pelo Teorema de Fubini que diz que se $f(x,y)$ é comtínua no retângulo $R = [a, b]x[c, d]$, então esta integral dupla na região R pode ser calculada por meio da iteracão de integrais:

\[\int\int_R f(x,y)dA \\ \int_a^b\Bigg(\int_c^d f(x,y)dy\Bigg)dx \\ \int_c^d\Bigg(\int_a^b f(x,y)dx\Bigg)dy\] Esta possibilidade de iniciar a integracão comecar em X ou Y é definida por quem realizar p cálculo, escodlendo a integração de dericada que apresentar maior facilidade de integracão.

As regras de integrais de uma variável como extração de constantes para fora da integral, a inetgral da soma ser igual a soma das integrais se aplicam às integrais multiplas.

Calcule $\int\int_R (2x+xy)dA$ em que R é o retângulo $R = [0, 2]x[1, 3]$

Iniciando a integração em y \[\int_0^2\int_1^3(2x+ xy)dydx \\ \Rightarrow \int 2xdy = 2*\int xdy = 2xy \\ \Rightarrow \int xydy = x \int ydy = x\frac{y^{1+1}}{1+1} = x\frac{y^2}{2} = \frac{xy^2}{2} \\ \therefore \int_0^2\Bigg(2xy+\frac{xy2}{2}\Bigg)_1^3dx \\ \int_0^2 \Bigg[ 2x(3)+\frac{x(3)^2}{2} - \Big(2x(1)+\frac{x(1)^2}{2}\Big) \Bigg]dx \\ \int_0^2 \Bigg[ 6x+\frac{9x}{2} - \Big(2x+\frac{x^2}{2}\Big) \Bigg]dx \\ \int_0^2 \Bigg[ 6x+\frac{9x}{2} - 2x-\frac{x^2}{2} \Bigg]dx \\ \int_0^2 \Bigg[ 6x- 2x+\frac{9x}{2} -\frac{x^2}{2} \Bigg]dx \\ \int_0^2 \Bigg[ 4x+\frac{8x}{2} \Bigg]dx = \int_0^2 \Bigg[ 4x+4x \Bigg]dx \\ \int_0^2 8x dx \\\] Integrando em x

\[\int_0^2 8x dx = 8\ \int_0^2 xdx = 8\frac{x^{1+1}}{1+1} \\ =8\frac{x^2}{2} =\frac{8x^2}{2} = 4x^2 + K \\ =4(2)^2 = 16\]

Comutando a operacão

Iniciando a integração em x \[\int_1^3\int_0^2(2x+ xy)dxdy \\ \Rightarrow \int 2xdx = 2*\int xdx = 2\frac{x^{1+1}}{1+1} = 2\frac{x^2}{2} = x^2 \\ \Rightarrow \int xy = y \int xdx = y\frac{x^{1+1}}{1+1} = y\frac{x^2}{2} = \frac{yx^2}{2} \\ \therefore \int_1^3(x^2+\frac{yx^2}{2})\Bigg|_ 0^2dy \\ \int_1^3 \Bigg[2(2)^2+\frac{(2)^2y}{2} - \Big( (0)^2-\frac{(0)^2y}{2} \Big) \Bigg]dy \\ \Rightarrow \int_1^3 (4+2y)dy\] Passando a integrar em y \[ \int 4dy = 4\int dy = 4y \\ \int 2ydy = 2\int ydy = 2\frac{y^{1+1}}{1+1} = 2\frac{y^{2}}{2} = y^2 \\ \therefore \Big( 4y + \frac{2y^2}{2}\Big)\Bigg|_1^3 \\ =4(3)+\frac{2(3)^2}{2} - \Big( 4(1)+\frac{2(1)^2}{2} \Big) = 16\]

Integrais duplas não Retangulares

Tais integrais buscam calcular integrais de regiões mais complexas do que regiões retangulares, onde tais regiões se subdividem em dois tipos. O primeiro tipo dessas integrais são aquelas com limites definidos no eixo X e limites no eixo Y dado por funcões g(x).

\[\int\int_{D_1}f(x,y)dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dydx \\ D_1 = \{(x,y)| a\le x\le b, g_1(x)\le y\le g_2(x)\}\]

O segundo tipo dessas integrais são aquelas com limites definidos no eixo Y e limites no eixo X dado por funcões g(x).

\[\int\int_{D_2}f(x,y)dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)dxdy\\ D_2 = \{(x,y)|c \le y \le d, h_1(y) \le x \le h_1(y)\}\] Ex.:

\[\int\int_{D_2}f(xy-4y^3)dA\] Em que D é a região delimitada pelas curvas $y = \sqrt{x}$ e $y=x^3$.

Para tanto é preciso identificar a região de intercepto das curvas

\[\sqrt{x} = x^3 \to x= (x^3)^2 \to x = x^6 \\ \Rightarrow x^5(x-1)= 0 \\ x-1=0 \to x = 1 \\ x^5 = 0 \to x = 0 \\ \therefore x = 0 \, e \, x = 1\]

O que fornece as seguintes desigualdades:
\[0 \le x \le 1 \\ x^3 \le y \le \sqrt{x}\] Logo:

\[\int_0^1 \int_{x^3}^{\sqrt{x}}{xy-4y^3}dydx \\ \int_0^1 \Bigg( \frac{xy^2}{2} -y^4 \Bigg)_{x^3}^{\sqrt{x}}dx \\ \int_0^1 \Bigg[ \frac{x\sqrt{x}}{2} -\sqrt{x}^4 - \frac{xx^3}{2} + (x^3)^4 \Bigg]dx \\ \int_0^1 \Bigg[ -\frac{x^2}{2} -\frac{x^7}{2} + x^{12} \Bigg]dx \\ = \Bigg( \frac{x^3}{6} - \frac{x^8}{16} + \frac{x^13}{13} \Bigg)_0^1 \\ = \Bigg( \frac{1^3}{6} - \frac{1^8}{16} + \frac{1^13}{13} - (0) \Bigg)_0^1 \\ =\frac{95}{624}\]

Integrais Triplas

Enquanto as integrais duplas auxiliam no cálculo da integral de funções bidimensionais, as integrais triplas permitem integrar funcões definidas em uma região tridimensional $\mathbb R^3$.

\[f(x, y, z)\] Esta integral tripla pode ser definida com o valor limite das somas de Riemann de uma função $f(x, y, z)$ em uma dada região $E$ do espaço (volume).

\[S_n = \sum_{k=1}^n F(x_k, y_k, z_k)\Delta_k\] Em que a integral é definida pelo limite dos volumes, quando estes tendem a zero:

\[I = \lim_{c \to 0} \sum_{k=1}^n F(x_k, y_k, z_k)\Delta_k = \int \int\int_E F(x_k, y_k, z_k)dV \\ dxdydz \to dV\]

Novamente por meio do Teorema de Funini, estendemos a definicão do teorema em relacão a uma funcão de duass variáveis, para funções de três variáveis. Assim se f(x,y,z) é contínua no paralelepipedo B = p[a,b]x[c,d]x[e,f]; então tal integral é iterada do seguinte modo:

\[\int \int\int_E F(x_k, y_k, z_k)dV = \int_a^b\int_c^d\int_e^f f(x,y,z)dzdydx\] Onde vale a mudança da ordem (permutação) em que tais integrais são aninhadas.

Ex. 1: Calcular $\int\int\int_B 8xyz dV$ no domínio de um paralelepípedo B = [2, 3]x[1, 2]x[0, 1]:

\[\int \int\int_E F(x_k, y_k, z_k)dV = \int_1^2\int_2^3\int_0^1 f(8xyz)dzdxdy \\ = \int_1^2\int_2^3 \Bigg[ \frac{8xyz^2}{2} \Bigg]_0^1dxdy \\ = \int_1^2\int_2^3 \Bigg[ \frac{8xy(1)^2}{2} - (0)\Bigg]_0^1dxdy \\ = \int_1^2\int_2^3 4xy dxdy \\ = \int_1^2 \Bigg[ 4xy \Bigg]_2^3 dy\\ = \int_1^2 \Bigg[ \frac{4x^2y}{2} \Bigg]_2^3 dy\\ = \int_1^2 \Bigg[ 2x^2y \Bigg]_2^3 dy\\ = \int_1^2 \Bigg[ 2(3)^2y-2(2)^2y \Bigg]_2^3 dy\\ = \int_1^2 10y dy\\ = \Bigg[ 10y\Bigg]_1^2 dy\\ = \Bigg[ \frac{10y^2}{2} \Bigg]_1^2 dy\\ = \Bigg[ 5y^2 \Bigg]_1^2 dy\\ = 5(2)^2 - 5(1)^2 = 15\\\]

Integrais Triplas mais Gerais

São integrais de espaços tridimensionais distintos do espaço formado pelo paralelepípedo.

\[E = \{(x, y, z) | (x,y) \in D, u_1(x, y) \le z \le u_2(x, y) \} \\ \int\int\int_E f(x, y, z)dV = \int\int_D \Bigg[ \int_{u_1(x, y)}^{u_1(x, y)}f(x, y, z)dz \Bigg]dA \\ onde, \, dxdy \to dA\]

Corolário: Encontre uma equação $z = u_2(x, y)$ para a superfície superior r uma equação $z = u_1(x, y)$ para a superfície inferior de G. Tais equacões fornecem os limites de integracão inferior e superior de Z. Onde de acordo com as área E e D da figura acima obtemos a projecão bidimensional da projecão do sólido R no plano cartesiano. Co meste esboço é possível determinar os limites de integração da integral DUPLA no R.

Ex.: Calcule $\int\int\int_E (x+y)dV$ em que a região E é definida abaixodo plano $2x+3y+z=6$ que se encontra no primeiro octante. Obs.: Primeiro octante é a região no espaço em que os valores de $(x, y, z)$ são positivos e acima do plano z, o que fornece os seguintes limites para z:

\[ z = 6-2x-3y \\ \Rightarrow 0 \le z \le 6 -2x-3y\]

Uma vez obtidos os limites de $z$, é necessário definir os limites de $x$ e $y$. O próximo passo consiste em determinar a região $D$ no plano $xy$. Para determinar $D$ é anulado o valor de $z$, $z=0$ de forma a obter apenas a equacão do plano:

\[2x+3y+z = 6 \\ 2x+3y+0 = 6 \\ 2x+3y= 6 \\ \Rightarrow y = 2-\frac{2}{3}x, \\ \Rightarrow -\frac{2}{3}x+2=0 \to -\frac{2}{3}x=-2 \to -2x=-6 \to -x = -\frac{6}{2} \to x = 3\]

ou ainda

\[\Rightarrow x = -\frac{3}{2}y+3 \\ \Rightarrow -\frac{3}{2}y+3=0 \to -\frac{3}{2}y=-3 \to -3y=-6 \to -y = -\frac{6}{3}\to y = 2\]

Uma vez encontrados os valores para $x$ e $y$, podem ser montados os conjuntos de desigualdades a partir de tais:

\[0 \le x \le 3 \\ 0 \le y \le -\frac{2}{3}+2\] Ou

\[0 \le x \le -\frac{3}{2}+3 \\ 0 \le y \le2\]

Permitindo partir para a iteracão das integrais:

\[\int\int\int_E(x+y)dV = \int_0^3\int_0^{-\frac{2}{3}+2}\int_0^{6-2x-3y} (x+y)dzdydx\] \[ \int_0^3\int_0^{-\frac{2}{3}+2} (xz+yz)\Bigg|_0^{6-2x-3y} dydx\] \[ \int_0^3\int_0^{-\frac{2}{3}+2} [x(6-2x-3y)+y(6-2x-3y)-0] dydx\] \[ \int_0^3\int_0^{-\frac{2}{3}+2} [6x-2x^2-3xy+6y-2xy-3y^2] dydx\] \[ \int_0^3\int_0^{-\frac{2}{3}+2} (6x-2x^2-5xy+6y-3y^2) dydx\] \[ \int_0^3 \Bigg( 6xy-2x^2y-\frac{5xy^2}{2}+\frac{6y^2}{2}-\frac{3y^3}{2}\Bigg)\Bigg|_0^{-\frac{2}{3}+2}dx\] \[ \int_0^3 \Bigg[ 6x\Big(-\frac{2}{3}x+2\Big) - 2x^2\Big(-\frac{2}{3}x+2\Big) - \frac{5x\Big(-\frac{2}{3}x+2\Big)^2}{2} - \frac{6\Big(-\frac{2}{3}x+2\Big)^2}{2} - \frac{3\Big( -\frac{2}{3}x+2\Big)^3}{3} -(0) \Bigg]dx\] \[\int_0^3 \Bigg[ 4+2x-\frac{8x^2}{3}+\frac{14x^3}{27} \Bigg]dx\] \[=\Bigg(4x + \frac{2x^2}{2} - \frac{8x^3}{9}+\frac{7x^4}{54} \Bigg)_0^3\] \[=\Bigg[4(3)) + \frac{2(3)^2}{2} - \frac{8(3)^3}{9}+\frac{7(3)^4}{54}- (0) \Bigg] \\ 12+9-24+\frac{21}{2} = \frac{15}{2}\]

Integrais Multiplas em Outros Sistemas de Coordenadas

Coordemnadas polares

Em alguns casos o uso de integrais multiplas podem ser facilmente calculadas com funções diretas utilizando as coordenadas cartesianas (x, y), porém, há casos em que a região constituinte do problema é mais complexa, o que exige a mudanca de variáveis e uso de coordenadas polares.

A região da figura é definida pelas desigualdades:

\[\alpha \le \theta \le \beta \\ h_1(\theta) \le r \le h_2(\theta)\] De posse disso busca-se o elemento de área dA em uma malha da região polar:

Fonte: https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calciii/dipolarcoords.aspx

Percebe-se que a malha é constituida de arcos e linhas radiais ofrmando aproximações de retângulos. Cada um desses quase retângulos possuem uma região $\Delta A$, com comprimento $\Delta r = r_0-r_i$, onde $r_0$ é o raio exterior e o aarco interno é dado por $r_i$. Assim, a a aresta interior é $r_i \Delta\theta$ enquanto o comprimento do arco de fora é $r_0\Delta\theta$.

Supondo que a malha seja redizina ao mínimo, pode-se asumir $r_i \approx r_0 = r$, permitindo assumir a área como de um pequeno retangulo em que o arco exerce pouca influêcia. Essa área é dada por:

\[\Delta A = r\Delta\theta\Delta r\] Sendo esta malha suficientemente fina, chega-se a:

\[dA\approx \Delta A, d\theta\approx \Delta\theta, dr \approx \Delta r\]

O elemento de área passa a ser dado por meio de coordenadas polares:

\[dA = rdrd\theta\] E a conversão de coordenadas polares é feita por meio de:

\[x = rcos\theta, y = rsen\theta, r^2 = x^2+y^2\] Pois: \[sen\theta = \frac{CO}{Hip} \to \frac{y}{r}=sen\theta \to y= sen\theta * r\] \[cos\theta = \frac{CA}{Hip} \to \frac{x}{r}=cos\theta \to y= cos\theta * r\] Definidos estes pontos, as cordenadas cartesianas cartesianas podem ser reescritas como coordenadas polares:

\[\int\int_D f(x,y)dA = \int_{\alpha}^{\beta}\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)} rf(rcos\theta, rsen\theta)drd\theta\] Assim, $\theta$ éfixado na primeira integração. O proximo passo é girar o eixo x positiovo em um revolução no sentido anti-horário em torna da origem, onde o menos angulo em que o raio intersecta a região de interesse é $\theta = \alpha$ e p maior ângulo, já saindo da figura de interesse é $\theta = \beta$, definindo os limites de integracão. Ex.: Determine o valor da integral $\int\int_D xy dA$, convertendo-a em coordenadas polares em que a região D corresponde à região entre os circulos e raio 1 e 2, centrados na origem, no primeiro quadrante.

circleFun <- function(center=c(0,0), diameter=1, npoints=100, start=0, end=2, filled=TRUE){
  tt <- seq(start*pi, end*pi, length.out=npoints)
  df <- data.frame(
    x = center[1] + diameter / 2 * cos(tt),
    y = center[2] + diameter / 2 * sin(tt)
  )
  if(filled==TRUE) { 
    df <- rbind(df, center)
  }
  return(df)
}
quarterCircle <- circleFun(c(1,-1), diameter = 2, start=0, end=0.5, filled=TRUE)
quarterCircleOne <- circleFun(c(1,-1), diameter = 1, start=0, end=0.5, filled=TRUE)
fullCircle <- circleFun(c(1, -1), 2.3, start=0, end=2, filled=FALSE)
ggplot() + 
  geom_line(data=quarterCircle, aes(x,y), color="black", fill="black") + 
  geom_line(data=quarterCircleOne, aes(x,y), color="red", fill="red") + 
  coord_equal()

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O uso de coordenadas cartesianas para esta situacão é possível, mas apresenta elevada complexidade: \[\int\int_DxyDa = \int_0^1\int_0^{\sqrt{4-x^2}} xydydx + \int_1^2\int_0^{\sqrt{4-x^2}} xydydx\] Mudando o sistema de referencia de coordenadas cartesianas para polares é preciso fazer as transformações para encontrar os limites de integracão. o circulo de raio 1 segue coordenadas polares de $r=1$ e o circulo de raio 2 é dado por $r=2$. A variacão em $r$ portanto é dada por: \[1\le r\le 2\] Como a equação é no primeiro quadrante e trabalhamos em radianos, o intervalo de $\theta$ fica em:

\[0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\] Isso porque a circunferência mede $2\pi$ e o primeiro quadrante é $1/4$ da circunferência. Quando mudamos de coordenadas cartesianas para polares, precisamos mudar a forma de usars tais valores na integracão

\[x = rcos\theta \\ y = rsen\theta \\ \Rightarrow \int\int_D xy\, dA = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_1^2(rcos\theta, rsen\theta) rdrd\theta\] Como

\[sen(2\theta) = 2sen\theta2cos\theta \\ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_1^2 r^3 (rcos\theta, rsen\theta)drd\theta \\ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_1^2 r^3 \frac{(rcos\theta, rsen\theta)}{2}drd\theta \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_1^2r^3sen(2\theta)drd\theta\] Integrando:

\[= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigg[ \frac{1}{2}\frac{r^4}{4} sen(2\theta) \Bigg]_1^2 \\ = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigg[ \frac{r^4}{8} sen(2\theta) \Bigg]d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigg[ \frac{1}{8}r^4 sen(2\theta) \Bigg]d\theta \\ = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigg[ \frac{1}{8}2^4sen(2\theta) - \frac{1}{8}1^4sen(2\theta) \Bigg] d\theta \\ = \frac{15}{8}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(sen(2\theta))d\theta \\ = \frac{15}{8} \Bigg[ -cos(2\theta) \Bigg]_0^{\pi/2} \\ = \frac{15}{8} \Bigg[ -cos(2\frac{\pi}{2}) + cos(2**0) \Bigg]_0^{\pi/2} = \frac{15}{8} [+1+1] = \frac{15}{4}\]

Coordenadas Cilíndricas

As coordenadas cilíndricas são um outro modelo de aplicação de coordenadas polares, nesse cado utilizando o espaço de três dimensões. Para este caso alen das coordenadas z e y é adicionada a coordenada z, relacionada à altura. Com isso o elemto de área dA é substituido por um elemento de volume dV.

\[x = rcos\theta, y = rsen\theta, z = z\] Lodo, dV é dado por:

\[dV = rdadrd\theta\] Assim passamos a agregar mais uma variável fazendo com que o processo de iteracão das variáveis tenha três pessos e não mais dois.

Assim o dominio do espaço E é dado por: \[E = \{(x,y,z)| (x,y) \in D, u_1(x,y) \le z \le u_2(x,y)\} \\ = \Big\{ (r.\theta,z) \begin{cases} \alpha \le \theta \le \beta, \\h_1 \le(\theta) r \le h_1 \le(\theta), \\ u_1(rcos\theta, rsen\theta) \le z \le u_2(rcos\theta, rsen\theta) \end{cases} \Big\}\] Montando a integral:

\[\int\int\int_D f(x,y,z)dV = \\ = \int_{\alpha}^{\beta}\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)}\int_{u_1(rcos\theta, rsen\theta)}^{u_2(rcos\theta, rsen\theta)} f((rcos\theta, rsen\theta))rdzdrd\theta \\ = \int_{\alpha}^{\beta}\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)}\int_{u_1(rcos\theta, rsen\theta)}^{u_2(rcos\theta, rsen\theta)} rf((rcos\theta, rsen\theta))dzdrd\theta\] Ex.: Determine a integral $\int\int\int_E y\, dV$, em qie E é a regiãp no espaco abaixo do plano $z = 2x-1$, acima do plano xy e entre os cilindros dados pelas equacões $x^2+y^2= 1$ e $x^2+y^2= 4$.

circleFun <- function(center=c(0,0), diameter=1, npoints=100, start=0, end=2, filled=TRUE){
  tt <- seq(start*pi, end*pi, length.out=npoints)
  df <- data.frame(
    x = center[1] + diameter / 2 * cos(tt),
    y = center[2] + diameter / 2 * sin(tt)
  )
  if(filled==TRUE) { 
    df <- rbind(df, center)
  }
  return(df)
}
quarterCircle <- circleFun(c(1,-1), diameter = 2, start=-2, end=2, filled=TRUE)
quarterCircleOne <- circleFun(c(1,-1), diameter = 1, start=-2, end=2, filled=TRUE)
fullCircle <- circleFun(c(1, -1), 2.3, start=0, end=2, filled=FALSE)
ggplot() + 
  geom_line(data=quarterCircle, aes(x,y), color="black", fill="black") + 
  geom_line(data=quarterCircleOne, aes(x,y), color="red", fill="red") + 
  coord_equal()

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\[0 \le z \le 2x-1, \, como \, x = rcos\theta \\ \to 0 \le z \le 2rcos\theta -1 \] para o próximo intervalo:

\[D = \{ (x,y): 1 \le x^2+y^2 \le 4 \} \to D = \{ (x,y): 1 \le r^2 \le 4 \} \to 1 \le r \le 2\] Como estamos tratando da circunferência completa, o intervalo em $\theta$está contino em $[0, 2\pi]$ \[0 \le \theta \le 2\pi\] Montando a integral: \[\int\int\int_E y\, dV = \int_0^{2\pi}\int_1^2\int_0^{2rcos\theta-1} (rsen\theta)rdzdrd\theta \\ = \int_0^{2\pi}\int_1^2\int_0^{2rcos\theta-1} (r^2sen\theta)dzdrd\theta \\ = \int_0^{2\pi}\int_1^2 \Big[(r^2sen\theta z) \Big]_0^{2rcos\theta -1} drd\theta \\ = \int_0^{2\pi}\int_1^2 \Big[ r^2sen\theta(2rcos\theta-1) - r^2sen\theta(0) \Big] drd\theta \\ = \int_0^{2\pi}\int_1^2 \Big[ r^2sen\theta(2rcos\theta-1) \Big] drd\theta \\ \to sen(2\theta) = 2sen\theta cos\theta = sen\theta 2 cos\theta \\ = \int_0^{2\pi}\int_1^2 \Big[ r^2 sen(2\theta)-1 \Big] drd\theta \\ = \int_0^{2\pi}\int_1^2 (r^3sen(2\theta)r^2sen\theta)drd\theta \\ = \int_0^{2\pi} \Bigg[ \frac{1}{4}r^4sen(2\theta) - \frac{1}{3}r^3sen\theta \Bigg]_1^2 d\theta \\ = \int_0^{2\pi} \Bigg[ \frac{1}{4}1^4sen(2\theta) - \frac{1}{3}2^3sen\theta \Bigg]d\theta \\ = \int_0^{2\pi} \Bigg[ \frac{15}{4}sen(2\theta) - \frac{7}{3}sen\theta \Bigg]d\theta \\ = \Bigg[ -\frac{15}{4}cos(2\theta) + \frac{7}{3}cos\theta \Bigg]_0^{2\pi} \\ = \Bigg[ -\frac{15}{4}cos(2*2\pi) + \frac{7}{3}cos(2\pi) \Bigg] - \Bigg[ -\frac{15}{4}cos(2*0) + \frac{7}{3}cos(0) \Bigg] = 0\]

Integrais Triplas para Coordenadas Esféricas

Para iniciar a resolução de um problema matemático, a interpretação domínio da função nos esclarece meuito sobre o problema. No cado de coordenadas esférias o domínio E é limitado pelo raio $\rho$ com centro na origem. Portato a rigão é definida pela seguinte desigualdade:

\[x^2+y^2+z^2 \le \rho^2\] Este sistema é representado pelo seguinte gráfico:

Note que este sistema é constituído de dois ângulos $\theta \in [0, 2\pi]$ e $\varphi \in [0, \pi]$. Uma vez que este forma circular, zerando z, ou seja $z = 0$, é possível aplicar coordenadas cilindricas para chegar no conjunto de desigualdades buscado: \[ \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le \pi \le \rho \\ -\sqrt{\rho^2-r^2} \le z \le \sqrt{\rho^2-r^2}\] Estas mudanças permitem reescrever coordenadas esfericas e um domínio não mais esférico, mas sim um domínio retangular. Esta abordagem gera um equivalente em coordenadas polares, representando um ponto no espaço cartesiano por meio de angulos $\theta$ e $\varphi$ e distância $\rho$ em relação à origem. Claro, esta estratégia exige que as coordenadas cartesianas sejam reescritas, utilizando as relações trigonométricas de um ponto no espaço ridimensional (x, y, z). Nesse momento são utilizadas as variáveis distância $\rho$, e os dois ângulos distintos $\theta$ e $\varphi$, gerando as seguintes relacões: $$ \[\begin{cases} x = \rho cos\theta sen\varphi \\ y = \rho sen\theta sen\varphi \\ z = \rho cos\varphi \\ x^2+y^2+z^2 = \rho^2 \end{cases}\]

Este volume então é dado por:

\[\Delta V= \rho^2sen(\varphi)\Delta\rho\Delta\varphi\Delta\theta\] Se for aplicado o limite para a variacão dos angulos e distancia tendendo a zero, o elemento de volume em coordenadas esféricas fica dado por: \[dV = \rho^2sen(\varphi)dpd\varphi d\theta\] Quando intengrado teramos a seguinte estrutura: \[\int\int\int_E f(x, y, z)dV = \int_{\alpha}^{\beta}\int_{\delta}^{\gamma}\int_{a}^{b} \rho^2 sen\varphi f(\rho cos\theta sen\varphi, \rho sen\theta sen\varphi, \rho cos\varphi)d\rho d\varphi d\theta\]

Ex.: Calcular o volume da esfera de raio r. Para este calculo é necessário calcular a integral $\int\int\int_E 1dV$ na região E utilizando a equação $x^2+y^2+z^2 = r^2$. As seguintes desegualdades fornecem os intervalos de integração: \[0 \le \rho \le r \\ 0 \le \theta \le 2\pi \,(centrada \, na \, origem)\\ 0 \le \varphi \le \pi\]

Então:

\[ V = \int\int\int_E 1dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{r} 1 \rho^2 sen(\varphi) d\rho d\varphi d\theta\]

\[ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{r} \rho^2 sen(\varphi) d\rho d\varphi d\theta\] \[ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \Bigg[\frac{\rho^3}{3} sen(\varphi) \Bigg]_0^r d\varphi d\theta\] \[ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \Bigg[\frac{(r)^3}{3} sen(\varphi) - 0 \Bigg]_0^r d\varphi d\theta \\ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \Bigg[\frac{(r)^3}{3} sen(\varphi) \Bigg]_0^r d\varphi d\theta \\ \int_{0}^{2\pi} \Bigg[\frac{(r)^3}{3} sen(\varphi) \Bigg]_{0}^{\pi} d\varphi d\theta \\ \int_{0}^{2\pi} \Bigg[ -\frac{(\pi)^3}{3} cos(\varphi) \Bigg]_{0}^{\pi} d\theta \\ \int_{0}^{2\pi} \Bigg[ - \frac{(r)^3}{3} cos(\pi) - \Bigg(-\frac{(r)^3}{3} cos(0)\Bigg) \Bigg] d\theta \\ \int_{0}^{2\pi} \Bigg( - \frac{(r)^3}{3}(-2) \Bigg) d\theta \\ \int_{0}^{2\pi} \Bigg(\frac{2r^3}{3} \Bigg) d\theta \\ \Bigg[ \frac{2r^3}{3}\theta \Bigg]_{0}^{2\pi} \\ V = \Bigg[ \Bigg( \frac{2r^3}{3} 2\pi \Bigg) - \Bigg( \frac{2r^3}{3}0 \Bigg) \Bigg] = \frac{4\pi r^3}{3}\]

Integrais Multiplas e Mudancas de Variáveis

Até aqui foram realizadas mudanças de cariáveis buscando obter integrandos que ofereçam maior facilidade de cálculo, mas também é possivel realizar a mudança e variáveis visando transformar uma região em outra mais operacionalizável em termos de cálculo. esta abordagem se utiliza do determinante jacobiano, também chamado de jacobiano de transformação. Quando se tem uma transformacao de variáveis $x=g(u, v)$ e $y=(u, v)$ o jacobiano de transformacão é definido pelo determinante

Após obtido o JAcobiano da transformação é possível pbter a mudança de variáveis para a integral. SE o interesse for integrar uma função contínua f(x, y) em uma região A; considerando a transformação $x = g(u, v)$ e $y=h(u, v)$, então a região A é transformada em B, obtenso a seguinte integral. onde $dA$ é transformada em $dudv$, integrando com as variáveis $u$ e $v$ e utilizando o módulo do JAcobiano:

\[\int\int_A f(x, y)dA = \int\int_B f(g(u, v), h(u, v))|J|dudv\] Ex.: Calcule $\int\int_A (x+y)dA$ em que A é um sosango com vertices dados pelos pontos (0, 0), (5, 0), (5/2, 5/2) e (5/2, -5/2), utilizando a transformação x = 2u+3v e y = 2u-3v.

O losango em questão possui quatro retas y com as relações y=x, y=-x, y=x+5 e y = x-5. Agora é preciso realizar as transformações: \[y=x\\ \Rightarrow 2u-3v = 2u+3v \to 6v = 0 \to v= 0\] \[y=-x\\ \Rightarrow 2u-3v = -(-2u+3v) \to 4u = 0 \to u= 0\] \[y=x-5\\ \Rightarrow 2u-3v = 2u+3v-5 \to -6v = -5 \to v= \frac{5}{6}\]

\[y=-x+5\\ \Rightarrow 2u-3v = -(2u+3v)+5 \to 4u = 5 \to u= \frac{5}{4}\] Com isso o losango é transformado em um retângulo cuja região B é obtida pelos lados u = 0, v= 0, u=5/4 e v = 5/6, assim o intervalo das variáveis é:

\[0 \le u \le \frac{5}{4} \\ 0 \le v \le \frac{5}{6}\] O proximo passo é obter o jacobiano da transformação:

\[\mathbf{j} = \left[\begin{array} {rrr} \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} \end{array}\right] = \left[\begin{array} {rrr} \frac{\partial (2u+3v)}{\partial u} \frac{\partial (2u+3v)}{\partial v} \\ \frac{\partial (2u-3v)}{\partial u} \frac{\partial (2u-3v)}{\partial v} \end{array}\right] = \left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 \\ 2 & -3 \\ \end{array}\right] = |-12| \\ \int\int_A f(x, y)dA = \int_{0}^{\frac{5}{6}}\int_{0}^{\frac{5}{4}} ((2u+3v) + (2u-3v))|-12|dudv \\ \int_{0}^{\frac{5}{6}}\int_{0}^{\frac{5}{4}} 48u\, dudv \\ \int_{0}^{\frac{5}{6}}\int_{0}^{\frac{5}{4}} \Bigg[ 48u\, \Bigg] dudv \\ \int_{0}^{\frac{5}{6}} \Bigg[ \frac{48u^2}{2} \Bigg]_{0}^{\frac{5}{4}} dv \\ \int_{0}^{\frac{5}{6}} \Bigg[ \frac{48(\frac{5}{4})^2}{2} - \frac{48(0)^2}{2} \Bigg] dv \\ \int_{0}^{\frac{5}{6}} \Bigg( \frac{75}{2} \Bigg) dv = \frac{75}{2}\int_{0}^{\frac{5}{6}} dv \\ \Bigg[ \frac{75}{2}v \Bigg]_{0}^{\frac{5}{6}} = \Bigg( \frac{75}{2}\frac{5}{6} - \frac{75}{2}(0) \Bigg) = \frac{125}{4}\]

Exercicios:

Calcule a integral dupla $\int\int_R (3x+4y^2)dA$, onde R é a região no semipliplano superios limitada pelos círculos $x^2+y^2=1$ e $x^2+y^2=4$. Note que o semi-círculo está no intervalo $\theta \in [0, \pi]$ e em r delimitado pelas duas expressões dadas \[rˆ2 = x^2+y^2 \to 1 \le r^2 \le 4 \to \sqrt{1 \le r^2 \le 4} = 1 \le r \le 2\]

\[\int\int_R (3x+4y^2)dA = \int_0^{\pi}\int_1^2 (3rcos\theta+4(rsen\theta)^2)rdrd\theta \\ = \int_0^{\pi}\int_1^2 3r^2cos\theta+4r^3sen^2\theta \, drd\theta = \int_0^{\pi} \Bigg[ \frac{3r^3cos\theta}{3}+ \frac{4r^4sen^2\theta}{4}= \int_0^{\pi} \Bigg[ r^3cos\theta+ r^4sen^2\theta \Bigg]_1^2 drd\theta \\ \int_0^{\pi} \Bigg[ \Bigg( 2^3cos\theta+ 2^4sen^2\theta \Bigg) - \Bigg( 1^3cos\theta+ 1^4sen^2\theta \Bigg) \Bigg] drd\theta \\ \int_0^{\pi} 8cos\theta+16sen^2\theta-1cos\theta-sen^2\theta d\theta = \int_0^{\pi} 7cos\theta+15sen^2\theta d\theta \\ \Rightarrow sen^2\theta = \frac{1-cos2\theta}{2} \\ \Rightarrow \int_0^{\pi} 7cos\theta + \frac{15}{2}-\frac{15}{2}cos2\theta \, d\theta \\ \Bigg[ 7sen\theta+\frac{15}{2}\theta -\frac{15}{2}\frac{1}{2}sen2\theta \Bigg]_0^{\pi} = \Bigg[ 7sen\theta+\frac{15}{2}\theta -\frac{15}{4}sen2\theta \Bigg]_0^{\pi} \\ \Bigg( 7sen\pi+\frac{15}{2}\pi -\frac{15}{4}sen2\pi \Bigg)-\Bigg( 7sen(0)+\frac{15}{2}(0) -\frac{15}{4}sen2(0) \Bigg) \\ = 0 + \frac{15\pi}{2}-0-0+0-0 = \frac{15\pi}{2}\]

Calcule a integral dupla $\int\int_R (x^2+y^2)dydx$ transformando em coordenadas polares a região de intehracão dada abaixo \[ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \\ 0 \le r \le \sqrt{3} \\ \int\int_R (x^2+y^2)dydx = \int_0^{\pi/2}\int_0^{\sqrt{3}} r^2rdrd\theta, \, pois\, r^2 = x^2+y^2 \\ \int_0^{\pi/2}\int_0^{\sqrt{3}} r^3drd\theta \\ \int_0^{\pi/2} \frac{r^4}{4} \Bigg|_0^{\sqrt{3}} d\theta \\ \int_0^{\pi/2} \Bigg( \frac{(\sqrt{3})^4}{4} -\frac{0^4}{4}\Bigg)\ \Bigg| d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{9}{4} d\theta \\ \frac{9}{4}\int_0^{\pi/2} d\theta = \frac{9}{4} d\theta\Bigg|_0^{\pi/2} \\ \Bigg( \frac{9}{4}\frac{\pi}{2} - (0) \Bigg) = \frac{9\pi}{8}\]

Calcule $\int\int\int_E \sqrt{x^2+y^2}dV$, onde E é uma região contida no cilinro $x^2+y^2=16$ e entre os planos z=-5 e z = 4.

\[-5 \le z \le 4 \\ 0 \le \theta \le 2\pi \\ x^2+y^2 = r^2 \to r^2 = 16 \\ 0 \le r \le 4\]

\[\int_0^{2\pi}\int_0^4\int_{-5}^4 \sqrt{r^2}rdzdrd\theta \to \int_0^{2\pi}\int_0^4\int_{-5}^4 r^2 \, dzdrd\theta \\ \int_0^{2\pi}\int_0^4 r^2 z\Bigg|_{-5}^4 drd\theta \\ \int_0^{2\pi}\int_0^4 \Bigg( (r^2(4)) - (r^2(-5)) \Bigg) drd\theta \\ \int_0^{2\pi}\int_0^4 9r^2 drd\theta \\ \int_0^{2\pi} \frac{9r^3}{3} \Bigg|_0^4 d\theta = \int_0^{2\pi} 3r^3 \Bigg|_0^4 d\theta \\ \int_0^{2\pi} \Bigg( 3(4)^3-(0) \Bigg) = \int_0^{2\pi} 192 d\theta \\ 192\theta\Bigg|_0^{2\pi} = 192\pi2-(0) = 384\pi\]

Calcule a integral tripla sobre a região sólida: \[\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^2 (x^2+y^2)\] Temos portando o dominío S definido da seguinte forma: \[S = \Big\{ (x, y, z)\mathbb R^3; -2\le x \le 2; -\sqrt{4-x^2} \le y \le \sqrt{4-x^2}; \sqrt{x^2+y^2} \le z \le 2 \Big\}\] Coordenadas cilíndricas \[ \sqrt{x^2+y^2} \le z \le 2\\ \to x^2+y^2 = r^2 \\ \to \sqrt{r^2} \le z \le 2 \\ \therefore r \le z \le 2 \\ 0 \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le e \le 2 \] \[\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_r^2 r^2\,rdzdrd\theta \\ \int_0^{2\pi}\int_0^2\int_r^2 r^3\,dzdrd\theta \\ \int_0^{2\pi}\int_0^2 r^3z \Bigg|_r^2 drd\theta \\ \int_0^{2\pi}\int_0^2 \Bigg(2r^3 - rr^3 \Bigg) drd\theta \\ \int_0^{2\pi}\int_0^2 \Bigg(2r^3 - r^4 \Bigg) drd\theta \\ \int_0^{2\pi}\int_0^2 \Bigg(2r^3 - r^4 \Bigg) drd\theta \\ \int_0^{2\pi} \Bigg[ \frac{2r^4}{4} - \frac{r^5}{5} \Bigg]_0^2 d\theta \\ \int_0^{2\pi} \Bigg[ \Bigg( \frac{1(2)^4}{2} - \frac{(2)^5}{5} \Bigg) - \Bigg( \frac{1(0)^4}{2} - \frac{(0)^5}{5} \Bigg) \Bigg] d\theta \\ \int_0^{2\pi} 8-\frac{1}{5}32 d\theta = \int_0^{2\pi} 8-\frac{32}{5} d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{40-32}{5} d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{8}{5} d\theta \\ \frac{8}{5} \int_0^{2\pi} d\theta \Rightarrow \frac{8}{5} \theta\Bigg|_0^{2\pi} \\ \Bigg( \frac{8}{5}2\pi - (0) \Bigg) = \frac{16\pi}{5}\]

ex.: Unicesumar 2021 Exerc. 3, semana 2. Encontre a solução para a integral: \[\int\int\int_s e^{(x^2+y^2+z^2)^{(3/2)}},\,\,\,\,\,\, S = \{ (x, y, z) | x^2+y^2+z^2 \le 1 \}\] \[ 0 \le \rho \le 1\\ 0 \le \varphi \le \pi\\ 0 \le \theta \le 2\pi \\ \to x^2+y^2+z^2 = \rho^2 \\ \int\int\int_s e^{(x^2+y^2+z^2)^{(3/2)}} dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 e^{(\rho^2)^{(3/2)}} p^2 sen\varphi d\rho d\varphi d\theta \\ u = p^3, \frac{du}{dp} = 3\rho^2, \frac{dp}{du} = \frac{1}{3\rho^2}du \\ \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 e^{(\rho^2)^{(3/2)}} \rho^2= \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 e^{(\rho^3)} \rho^2 d\rho \\ \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 e^u\rho^2\frac{1}{3\rho^2} \to \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1\frac{1e^u\rho^2}{3\rho^2} \\ \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 \frac{1e^u}{3} = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 \frac{e^u}{3} \\ \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} \Bigg[\frac{e^u}{3}\Bigg]_0^1 = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} \frac{1}{3}\Bigg[e^u\Bigg]_0^1 \\ \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} \frac{1}{3}\Bigg(e^1 - e^0\Bigg) = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} \frac{1}{3}\Bigg(e - 1\Bigg) \\\]

Nota: calculo de $e^x$ Em 1.

exp(1)

## [1] 2.718282

Em 0.

exp(0)

## [1] 1

Integrais Múltiplas de Massa, Centro de Massa e Centróide

Estas integrais lidam com sólidos de altura muito pequena, sendo portanto delimitada por uma região R no plano xy.

Assim a densiodade é dade por

\[ \delta(x, y) \lim_{h \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta A} \to \Delta m = \delta(x, y)\Delta A \] Dessa forma a massa total do sólido (lâmina, fio) é dada pelo soma de todas as partes \[ M \approx \sum_j\sum_k \Delta m_{jk} = \sum_j\sum_j \delta(x_j, y_k)\Delta A_{jk}\] O mesmo pode ser dado pelo limite das aproximações quando $h \to 0$ \[M = \int\int_R \delta(x, y)dA\] Ex. Calcular a massa de uma lamimna quadrada de lados unitários, localizada no primeiro quadrante com arestas sobre os eixos coordenados, supondo a densidade da lâmina dada por $ (x, y) = (2z-y+1)kg/m^2$ \[D_R = \{(x, y) \in \mathbb R^2: 0 \le x \le 1 \,e\, 0 \le y \le 1\} \\ \delta(x, y) = (2z-y+1)kg/m^2\] \[M = \int_0^1\int_0^1 (2x, -y+1)dydx \\ \int_0^1 \Bigg[ 2xy-\frac{y^2}{2}+y \Bigg]_0^1 dx \\ \int_0^1 \Bigg[\Bigg( 2x(1)-\frac{(1)^2}{2}+1 \Bigg) - \Bigg( 2x(0)-\frac{(0)^2}{2}+1 \Bigg) \Bigg] dx \\ \int_0^1 \Bigg( 2x-\frac{1}{2} \Bigg) dx\]

\[\int_0^1 \Bigg[ \frac{2x^2}{2} + \frac{x}{2} \Bigg]_0^1 \\ \Bigg[ \frac{21^2}{2} + \frac{1}{2} - (0) \Bigg] = \frac{3}{2} = 1.5kg\]

Centro de Massa

O centro de passa de um objeto é sempre um centro de massa provável, sobre o qual toda a massa do sistema se concentra. Este centro de massa é obtido por meio das médias ponderadas nas posições $(x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)$:

\[\overline{x} = \frac{m_1x_1+...+m_1n_n}{m_n+...+m_n}, \overline{y} = \frac{m_1y_1+...+m_ny_n}{m_n+...+m_n}\] Se um solido com densidade de massa $\delta(x, y)$ é segmentado em n partes com massas $\Delta_1,...,\Delta_n$, nas posições $(x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)$ o dentro de massa desse sólido é obtido pela aproximação seguinte:

\[\overline{x} \approx \frac{\Delta m_1x_1+...+\Delta m_1n_n}{\Delta m_1+...+\Delta m_n} \\ \overline{y} \approx \frac{\Delta m_1y_1+...+\Delta m_ny_n}{\Delta m_1+...+\Delta m_n}\] \[\overline{x} \approx \frac{x_1\delta(x_1y_1)\Delta A_1+...+x_n\delta(x_ny_n)\Delta A_n}{M} \\ \overline{y} \approx \frac{y_1\delta(x_1y_1)\Delta A_1+...+y_n\delta(x_ny_n)\Delta A_n}{M}\] Desta forma, os numeradores dos pontos $\overline{x}$ e $\overline{y}$ são como somas de Riemann. Assim, o dentro de massa do solido pode ser dado por uma região R sendo p ponto no plano x-y com coordenadas

\[\overline{x} = \frac{1}{M} \int\int_R x\delta(x, y)dA \\ \overline{y} = \frac{1}{M} \int\int_R y\delta(x, y)dA\] As integrais $\int\int_R x\delta(x, y)dA$ e $\int\int_R y\delta(x, y)dA$ são conhecidas como primeiros momentos em relação aos eixos x e y, respectivamente

\[\overline{x} = \frac{M_y}{m} \,e\, \overline{y} = \frac{M_x}{m}\]

Ex. Determinar o centro de massa da placa com a função:

\[\delta (x, y) = (2x-y+1)kg/m^2\] Primeiro momento em x; \[\overline{x} = \int\int_R x\delta(x, y)dA \\ \int_0^1\int_0^1 x(2x -y+1)dydx \\ \int_0^1\int_0^1 2x^2 -yx+1x)dydx \\ \int_0^1 \Bigg[2x^2y -\frac{yx}{1}+xy) \Bigg]_0^1dx \\ \int_0^1 \Bigg[\Bigg(2x^2(1) -\frac{(1)^2x}{1}+x(1)) - (0)\Bigg) \Bigg]_0^1dx \\ \int_0^1 \Bigg[2x^2 -\frac{x}{1}+x \Bigg]dx \\ \Bigg[\frac{2x^3}{3} -\frac{x^2}{4}+\frac{x^2}{2} \Bigg]_0^1 \\ \Bigg[\frac{2(1)^3}{3} -\frac{(1)^2}{4}+\frac{(1)^2}{2} - (0) \Bigg]_0^1 \\ M_x = \frac{2}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2} = \frac{11}{12}\]

Primeiro momento em y; \[\overline{y} = \int\int_R y\delta(x, y)dA \\ \int_0^1\int_0^1 y(2x -y+1)dydx \\ \int_0^1\int_0^1 2xy -y^2+y)dydx \\ \int_0^1 \Bigg[xy^2 -\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}) \Bigg]_0^1dx \\ \int_0^1 \Bigg[\Bigg(x(1)^2 -\frac{(1)^3}{3}+\frac{(1)^1}{2}) - (0)\Bigg) \Bigg]dx \\ \int_0^1 \Bigg[x +\frac{1}{6} \Bigg] \\ \Bigg[\frac{x^2}{2} -\frac{x}{6} \Bigg]_0^1 \\ M_y = \frac{1^2}{2}+\frac{1}{6} = \frac{2}{3}\]

Calculo do centro de massa: \[\overline{x}=\frac{M_y}{M} = \frac{\frac{11}{12}}{\frac{3}{2}} = \frac{11}{18}\] \[\overline{y}=\frac{M_x}{M} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{9}\] \[\therefore C_M (\overline{x}, \overline{y})= \Bigg(\frac{11}{18}, \frac{4}{9} \Bigg)\]

Ex.: Determinação da massa de uma lâmina. Determinar a massa total de uma lâmina triangular de vertices (0, 0), (0,1) e (1,0) e função densidade $\delta(x, y)=xy$ \[\delta(x, y)=xy \\ 0 \le x \le 1 \\ 0 \le y \le -x+1, pois \\ \frac{y-0}{1-0}=\frac{x-1}{0-1} \\ \frac{y}{1}=\frac{x-1}{-1} \\ y(1) = -1(x-1) \to y = -x+1 \] Região do tipo 1 (bem definida em x e y)

\[M = \int\int_R \delta(x, y)dA \\M = \int_0^1\int_0^{-x+1} xy\, dydx \\ \int_0^1 \Bigg[ \frac{xy^2}{2} \Bigg]_0^{-x+1} \\ \int_0^1 \Bigg( \frac{x(-x+1)^2}{2} - (0)\Bigg) dx \\ \int_0^1 \Bigg[ \frac{x}{2}(x^2-2x+1) \Bigg] dx \\ \int_0^1 \frac{1}{2}x^3-x^2+\frac{1}{2}x\, dx \\ \Bigg[ \frac{1}{2}\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{1}{2}\frac{x^2}{2} \Bigg]_0^1 \\ \Bigg[ \frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{4} \Bigg]_0^1 \\ \Bigg[\Bigg(\frac{(1)^4}{8}-\frac{(1)^3}{3}+\frac{(1)^2}{4}\Bigg)-(0)\Bigg] \\ M = \frac{1}{8}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{3-8+6}{24}=\frac{1}{24}\]

Calcule o Centro de Massa da lâmina

Primeiro momento em y: \[M_y = \int_0^1\int_0^{-x+1} x(xy)dydx \\ M_y = \int_0^1\int_0^{-x+1} x^2y\,dydx \\ \int_0^1 \Bigg[\frac{x^2y^2}{2}\Bigg]_0^{-x+1}dx \\ \int_0^1 \Bigg(\frac{x^2(-x+1)^2}{2} - (0)\Bigg)dx \\ \int_0^1 \Bigg(\frac{x^2(x^2-2x+1)}{2} \Bigg)dx \\ \int_0^1 \Bigg(\frac{x^4 -2x^3+1x^2)}{2} \Bigg)dx \\ \int_0^1 \Bigg(\frac{x^4}{2}-\frac{-2x^3}{2}+\frac{1x^2}{2} \Bigg)dx\\ \int_0^1 \Bigg(\frac{x^4}{2}-x^3+\frac{x^2}{2} \Bigg)dx\\ \Bigg[\frac{1}{2}\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{4}+\frac{1}{2}\frac{x^3}{3} \Bigg]_0^1 \\ \frac{1}{10}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-(0) = \frac{1}{60}\] Primeiro momento em x: \[M_x = \int_0^1\int_0^{-x+1} y(xy)dydx \\ \int_0^1\int_0^{-x+1} xy^2dydx \\ \int_0^1 \Bigg[ \frac{xy^3}{3}\Bigg]_0^{-x+1} dx \\ \int_0^1 \Bigg[ \frac{x}{3}(-x+1)^3 - (0)\Bigg]_0^{-x+1} dx \\ \to (-x+1)^3 = (x^2-2x+1)(-x+1) = -x^3+2x^2-x+x^2-2x+1 = -x^3+3x^2-3x+1 \\ \int_0^1 \Bigg( \frac{x}{3}(-x^3+3x^2-3x+1)\Bigg) dx \\ \int_0^1 \Bigg(-\frac{x^4}{3}+\frac{3x^3}{3}-\frac{3x^2}{3}+\frac{x}{3} \Bigg) dx \\ \int_0^1 \Bigg(-\frac{x^4}{3}+x^3-x^2+\frac{x}{3} \Bigg) dx \\ \Bigg[-\frac{x^5}{15}+\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{6} \Bigg]_0^1 \\ -\frac{1}{15}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6} = \frac{1}{60}\]

Calculo do centro de massa:

\[\overline{x}=\frac{M_y}{M} = \frac{\frac{1}{60}}{\frac{1}{24}} = \frac{1}{60}\frac{24}{1} = \frac{2}{5}\]

\[\overline{y}=\frac{M_x}{M} = \frac{\frac{1}{60}}{\frac{1}{24}} = \frac{1}{60}\frac{24}{1} = \frac{2}{5} \\ \therefore \Bigg(\frac{2}{5},\frac{2}{5}\Bigg)\]

Ex. Determine a massa e o centro de massa do sólido E limitadp pelo ciclindro parabólico $z=1-y^2$ e pelos planos x+z = 1, x=0 e z = 0, $-1 \le y \le 1$, com densidade $\rho(x, y, z=4)$

Massa: \[0 \le x \le 1-z \\ -1 \le y \le 1 \\ 0 \le z \le 1-y^2 \\ M = \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2}\int_0^{1-z} d.dxdzdy \\ \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2} 4x\Bigg|_0^{1-z} dzdy \\ \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2} (4-4z)dzdy \\ \int_{-1}^1 4z-\frac{4z^2}{2} \Bigg|_0^{1-y^2} dy \\ \int_{-1}^1 \Bigg(4(1-y^2)-\frac{4(1-y^2)^2}{2} \Bigg)-(0) dy \\ \int_{-1}^1 \Bigg(4(1-y^2)-2(1-y^2)^2 \Bigg)- (0) dy \\ \int_{-1}^1 \Bigg(4-4y^2-2(y^4-2y^2+1) \Bigg)- (0) dy \\ \int_{-1}^1 4-4y^2-2y^4+4y^2-2 \, dy \\ \int_{-1}^1 -2y^4+2 \, dy \\ \Bigg[-\frac{2y^5}{5} + 2y\Bigg]_{-1}^1\\ \Bigg[\Bigg(-\frac{2(1)^5}{5} + 2(1)\Bigg)-\Bigg(-\frac{2(-1)^5}{5} + 2(-1)\Bigg)\Bigg] \\ M = -\frac{2}{5}+2--\frac{2}{5}+2 = \frac{16}{5}\]

Momentos: \[M_{yz} = \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2}\int_0^{1-z} 4x\, dxdzdy \\ \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2} \frac{4x^2}{2}\Bigg|_0^{1-z} dzdy \to \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2} 2x^2\Bigg|_0^{1-z} dzdy \\ \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2} 2(1-z)^2 -(0) dzdy \\ \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2} 2(1-2z+z^2) dzdy \to \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2} 2-4z+2z^2 dzdy \\ \int_{-1}^1 2z-\frac{4z^2}{2}+\frac{2z^3}{3} \Bigg|_0^{1-y^2}dy \\ \int_{-1}^1 \Bigg(2(1-y^2)-2(1-y^2)^2+\frac{2(1-y^2)^3}{3} - (0)\Bigg) \\ \begin{cases} (1-y^2)^2 = 1-2y^2+y^4 \\ (1-y^2)^3 = (1-2y^2+y^4)(1-y^2) = 1-2y^2+y^4-y^2+2y^4-y^6 = -y^6+3y^4-3y^2+1 \end{cases}\\ \int_{-1}^1 2-2y^2 -2+4y^2-2y^4+\frac{1}{3}(-2y^6+6y^4-6y^2+2) dy \\ \int_{-1}^1 2-2y^2 -2+4y^2-2y^4 - \frac{2y^6}{3} + \frac{6y^4}{3}-\frac{6y^2}{3}+\frac{2}{3} dy \\ \int_{-1}^1 2-2y^2 -2+4y^2-2y^4 - \frac{2y^6}{3} + 2y^4 -2y^2+\frac{2}{3} dy \\ -\frac{2}{3}y^6+\frac{2}{3} dy \\ -\frac{2}{3} \frac{y^7}{7}+\frac{2}{3}y \Bigg|_{-1}^1 \\ -\frac{2y^7}{21}+\frac{2}{3}y = \Bigg(-\frac{2(1)^7}{21}+\frac{2}{3}(1)\Bigg) - \Bigg(-\frac{2(-1)^7}{21}+\frac{2}{3}(-1)\Bigg) \\ M_{yz} = -\frac{2}{21}+\frac{2}{3}-\frac{2}{21}+\frac{2}{3} = \frac{24}{21}\]

\[M_{xz} = \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2}\int_0^{1-z} 4y\, dxdzdy \\ \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2} 4yx\Bigg|_0^{1-z} dzdy \\ \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2} 4y(1-z) -(0) dzdy \\ \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2} 4y-4yz \, dzdy \\ \int_{-1}^1 4yz-\frac{4yz^2}{2} \Bigg|_0^{1-y^2} dy \\ \int_{-1}^1 \Bigg(4y(1-y^2)-\frac{4y(1-y^2)^2}{2} \Bigg)-(0) dy \\ \int_{-1}^1 \Bigg(4y(1-y^2)-2y(1-y^2)^2 \Bigg) dy \\ \int_{-1}^1 \Bigg(4y(1-y^2)-2y(1-2y^2+y^4) \Bigg) dy \\ \int_{-1}^1 \Bigg(4y-4y^3-2y+4y^3-2y^5 \Bigg) dy \\ \int_{-1}^1 -2y^5+2y dy \\ \frac{-2y^6}{6}+\frac{2y^ 2}{2} \Bigg|_{-1}^1 \\ \Bigg(\frac{-2(1)^6}{6}+\frac{2(1)^2}{2}\Bigg)-\Bigg(\frac{-2(-1)^6}{6}+\frac{2(-1)^2}{2}\Bigg) = 0\]

\[M_{xy} = \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2}\int_0^{1-z} 4z\, dxdzdy \\ \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2} 4zx \Bigg|_0^{1-z} dzdy \\ \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2} \Big(4z(1-z)-(0)\Big) dzdy \\ \int_{-1}^1\int_0^{1-y^2} \Big(4z-4z^2)\Big) dzdy \\ \int_{-1}^1 \frac{4z^2}{2}-\frac{4z^3}{3} \Bigg|_0^{1-y^2} dy \\ \int_{-1}^1 2(1-y^2)^2-\frac{4(1-y^2)^3}{3} dy \\ \int_{-1}^1 2(1-2y^2+y^4)-\frac{4(-y^6+3y^4-3y^2+1)}{3} dy \\ \int_{-1}^1 2-4y^2+2y^4-\frac{(-4y^6+12y^4-12y^2+4)}{3} dy \\ \int_{-1}^1 2-4y^2+2y^4 +\frac{(4y^6)}{3} -\frac{(12y^4)}{3} +\frac{(12y^2)}{3} -\frac{(4)}{3} dy \\ \int_{-1}^1 2-4y^2+2y^4 +\frac{(4y^6)}{3} -4y^4 +4y^2 -\frac{(4)}{3} dy \\ \int_{-1}^1 \frac{4y^6}{3} -2y^4 + \frac{2}{3} dy \\ \frac{4y^7}{21} -\frac{2y^5}{5} + \frac{2}{3}y \, \Bigg|_{-1}^1 \\ \Bigg(\frac{4(1)^7}{21} -\frac{2(1)^5}{5} + \frac{2}{3}(1)\Bigg)-\Bigg(\frac{4(-1)^7}{21} -\frac{2(-1)^5}{5} + \frac{2}{3}(-1)\Bigg) = \frac{288}{315} \] Enconrtrar os centros de massa:

\[\overline{x}\frac{M_{yz}}{M}, \overline{y} \frac{M_{xz}}{M},\overline{z}\frac{M_{xy}}{M} \\ \overline{x}\frac{\frac{24}{21}}{\frac{16}{5}}, \overline{y} \frac{0}{\frac{16}{5}},\overline{z}\frac{\frac{32}{35}{\frac{16}{5}} \\ \Bigg(\frac{5}{14},0,\frac{2}{7}Bigg)\]

Objetos Tridimensionais (volume)

Nesse caso o calculo de massa $\delta(x, y, z)$ passa a ser dado pelo produto com o volume \[\Delta m_k = \delta(x, y, x)\Delta v_k \\ \Delta v_k = dxdydz \\ M = \int\int\int_D \delta(x, y, z)dV\]

\[M_{yz} = \int\int\int_D x\delta dV \\ M_{xz} = \int\int\int_D y\delta dV \\ M_{xy} = \int\int\int_D z\delta dV\] \[\overline{x} = \frac{M_{yz}}{m} \,e\, \overline{y} = \frac{M_{xz}}{m}\,e\, \overline{z} = \frac{M_{xy}}{m}\] #### Momentos de Inércia de um Cilindro

Supondo um cilindro particionado em blocos de massa $\Delta m_k$ distando $r_k$ do aixo de rotaão, Se o cilindro girar a uma velocidade angular de $\omega = d\theta/dt$ radianos/segundo, então a velocidade linear do bloco será":

\[v_k = \frac{d}{dt}(r_k\theta) = r_k\omega\] Assim, obtém-se a nergia cinética de cada bloco por:

\[K_k=\frac{\Delta m_kv_k^2}{2} = \frac{\omega r_k^2m_k}{2}\] E por consequência a energia cinética total será aproximadamente: \[K_T \approx \sum_{k=1}^n \frac{\omega r_k^2m_k}{2}\] E portanto: \[K_T = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{\omega r_k^2m_k}{2}= \int\int\int_O \frac{1}{2}\omega^2r^2dm \\ = \frac{1}{2}\omega^2 \int\int\int_O r^2\delta(x, y, z)dV = I\] Sendo $I$ o momento de inércia do objeto de massa em relação ao cilindro.

Momentos de Inércia de uma placa

y Para uma placa fina no plano, o momento de inércia em relão aos eixos coordenados x e y, tais como:

\[I_x = \int\int_D y^2\delta(x, y)dA \\ I_y = \int\int_D x^2\delta(x, y)dA \] #### Momentos de Inércia de uma linha L qualquer \[I_L = \int\int_D r^2\delta dA \] Onde $r = r(x, y)$ representa a distancia do ponto (x, y) a reta L. O momento polar, ou momento de inércia com relação à origem, é obtido por meio de:

\[I_0 = I_x+I_y\]

Também é possível definir com base nos mmomentos de inércia, os raios de giração, que informam a distancia que a massa da placa deve estar concentrada em relação ao eixo, para que se obtenha o mesmo momento de inércia. Tais raios de giração são: \[R_x = \sqrt{\frac{I_x}{M}} \\ R_xy = \sqrt{\frac{I_y}{M}} \\ R_o = \sqrt{\frac{I_o}{M}}\] Considera uma placa triangular, limitada pelas retas y=0, x= 3 e y=x no primeiro quadrante. Além disso, suponha que esta placa tenha a densidade dada pela função $\delta(x, y) =x+y+2$, deve-se calcular para este objeto seus momentos de inércia, raio de giração em torno dos eixos coordenados e também a origem. Inércia em relação à x: \[I_x = \int_0^3\int_0^x y^2\delta(x, y)dydx = \int_0^3\int_0^x y^2(x+y+2)dydx \\ \int_0^3\int_0^x (xy^2+y^3+2y^2)dydx \\ \int_0^3\Bigg[\frac{xy^3}{3}+\frac{y^4}{4}+\frac{2y^3}{3}\Bigg]_0^x dx \\ \int_0^3\Bigg[\frac{x(x)^3}{3}+\frac{(x)^4}{4}+\frac{2(x)^3}{3} - (0) \Bigg] dx\\ \int_0^3\Bigg(\frac{7x^4}{12}+\frac{2x^3}{3}\Bigg)dx \\ \Bigg[\frac{7x^5}{60}+\frac{x^4}{6}\Bigg]_0^3\\ I_x \Bigg(\frac{7(3)^5}{60}+\frac{(3)^4}{6}-(0) \Bigg) = \frac{1701}{60}+\frac{81}{6} = \frac{837}{20}\]

Inércia em relação à y: \[I_y = \int_0^3\int_0^x x^2\delta(x, y)dydx = \int_0^3\int_0^x x^2(x+y+2)dydx \\ \int_0^3\int_0^x (x^3+x^2y+2x^2)dydx \\ \int_0^3\Bigg[x^3y+\frac{x^2y^2}{2}+2x^2y\Bigg]_0^x dx \\ \int_0^3\Bigg[ x^3(x)+\frac{x^2(x)^2}{2}+2x^2(x) - (0) \Bigg] dx\\ \int_0^3\Bigg(\frac{3x^4}{2}+2x^3\Bigg)dx \\ \Bigg[\frac{3x^5}{10}+\frac{2x^4}{4}\Bigg]_0^3\\ I_x \Bigg(\frac{3(3)^5}{10}+\frac{2(3)^4}{4}-(0) \Bigg) = \frac{729}{10}+\frac{81}{2} = \frac{567}{5}\]

Inércia em relação à origem: \[I_o = I_x+I_y = \frac{837}{20} + \frac{567}{5} = \frac{621}{4}\]

Massa:

\[M=\int_0^3\int_0^x\delta(x,y)dydx = \int_0^3\int_0^x\delta(x+y+2)dydx \\ \int_0^3 \Bigg[xy+\frac{y^2}{2}+2y\Bigg]_0^x dx \\ \int_0^3 \Bigg[x(x)+\frac{(x)^2}{2}+2(x)\Bigg]dx \\ \int_0^3 \Bigg(\frac{3x^2}{2}+2x\Bigg)dx \\ \Bigg[\frac{x^2}{2}+x^2\Bigg]_0^3 \\ \Bigg(\frac{(3)^2}{2}+(3)^2 - (0)\Bigg) \\ I_o = \frac{27}{2}+9 = \frac{45}{2}\]

Raios de Giração

\[R_x = \sqrt{\frac{I_x}{M}}= \sqrt{\frac{837}{20}.\frac{2}{45}} = 1.36 \\ R_y = \sqrt{\frac{I_y}{M}}= \sqrt{\frac{567}{5}.\frac{2}{45}} = 2.24\\ R_o = \sqrt{\frac{I_o}{M}}= \sqrt{\frac{621}{4}.\frac{2}{45}} = 2.62\]

Ex.:

Momentos de Inércia no Espaço

Quando considerados no espaço, os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados são:

\[I_x = \int\int\int_D (y^2 + z^2)\delta dV \\ I_y = \int\int\int_D (x^2 + z^2)\delta dV \\ I_z = \int\int\int_D (x^2+y^2)\delta dV\] #### Momentos de Inércia em torno de uma linha

\[I_L = \int\int\int_D r^\delta dV \] Em que $r = r(x, y, z)$ repesenta a distancia do ponto (x, y, z) a reta L. Fornecendo o raio de giração:

\[R_L = \sqrt{\frac{I_L}{M}}\]

Considera uma placa limitada pela parábola $x = y^2 \,e\, y = x-2$ com densidade $\delta=3$. Determina o momento de inércia (dificuldade de rotacão) com relacão aos eixos x, y e em relacão à origem. Obtém-se x o isolando nas reta dadas. \[y = x-2 \to x = y+2 \\ -1 \le y \le 2 \\ y^2 \le x \le y+2\] \[\int_{-1}^2\int_{y^2}^{y+2} y^2(3)dxdy \\ \int_{-1}^2 3y^2x \Bigg|_{y^2}^{y+2} dy = \int_{-1}^2 \Bigg[\Bigg(3y^2(y+2)\Bigg) - \Bigg(3y^2(y^2)\Bigg)\Bigg] \\ \int_{-1}^2 3y^3+6y^2-3y^4 dy \\ \frac{3y^4}{4}+\frac{6y^3}{3}-\frac{3y^5}{5} \Bigg|_{-1}^2 \\ \Bigg(\frac{3}{4}(2)^4+2(2)^3-\frac{3}{5}(2)^5\Bigg)-\Bigg(\frac{3}{4}(-1)^4+2(-1)^3-\frac{3}{5}(-1)^5\Bigg) \\ \frac{3}{4}(16)+2(8)-\frac{3}{5}(32)-\frac{3}{4}+2-\frac{3}{5} \\ 12+16+2-\frac{96}{5}-\frac{3}{4}-\frac{3}{5} = \frac{189}{20}\]

\[I_y = \int_{-1}^2\int_{y^2}^{y+2} x^23dxdy \\ \int_{-1}^2 \frac{3x^3}{3} \Bigg|_{y^2}^{y+2} dy = \int_{-1}^2 x^3 \Bigg|_{y^2}^{y+2} dy \\ \int_{-1}^2 (y+2)^3-(y^2)^3 dy \\ \int_{-1}^2 y^3+6y^2 +12y+8-y^6dy \\ \Bigg[\frac{y^4}{4}+\frac{6y^3}{3}+\frac{12y^2}{2}+8y-\frac{y^7}{7}\Bigg]_{-1}^2 \\ \Bigg(\frac{(2)^4}{4}+2(2)^3+6(2)^2+8(2)-\frac{(2)^7}{7}\Bigg)-\Bigg(\frac{(-1)^4}{4}+2(-1)^3+6(-1)^2+8(-1)-\frac{(-1)^7}{7}\Bigg) \\ I_y = \frac{1269}{28}\] \[I_0 =I_x+I_y = \frac{189}{2}+\frac{1269}{28}= \frac{1917}{35}\] Determinar a área de superfície de parte do paraboloide $z=x^2+y^2$ que está abaixo do plano z = 9. Lembrando: \[S = \int\int_D \sqrt{1+Z_{x^2}+Z_{y^2}} dA\] \[z = x^2+y^2, \,\,\,\,\, z = 9 \\ z_x = 2x+0, \,\,\,\,\, z_y = 0+2y \\ S = \int\int_D \sqrt{1+2{x^2}+2{y^2}} dA \\ z = z \Rightarrow x^2+y^2 = 9 \Rightarrow r^2 = 9 \\ coordenadas\, polares = \begin{cases} 0 \le r \le 3 \\ 0 \le \theta \le 2\pi \end{cases} \\ \int\int_D \sqrt{1+4{x^2}+4{y^2}} dA \\ \int\int_D \sqrt{1+4r^2} dA \\ \int_0^{2\pi}\int_0^3 \sqrt{1+2{x^2}+2{y^2}} rdrd\theta \\ \begin{cases} u = 1+4r^2 \\ du = 0+8rdr \end{cases} \\ \int_0^{2\pi}\int_0^3 \sqrt{u} rdrd\theta \\ du = 8rdr \to \frac{du}{8}=rdr \\ du = 8rdr \Rightarrow \int_0^{2\pi}\int_0^3 \sqrt{u} \frac{1}{8}du d\theta \\ \int_0^{2\pi} \frac{1}{8} \frac{du^{3/2}}{3} \Bigg|_0^3 d\theta \\ \int_0^{2\pi} \frac{1}{24} 2(1+4r^2)^{3/2} \Bigg|_0^3 d\theta \\ \int_0^{2\pi} 12 (1+4r^2)^{3/2} \Bigg|_0^3 d\theta \\ \int_0^{2\pi} \Bigg(\frac{1}{12}(1+4(3)^2)^{3/2}\Bigg)-\Bigg(\frac{1}{12}(1+4(0)^2)^{3/2}\Bigg) d\theta \\ \int_0^{2\pi} \frac{1}{12}(37)^{3/2}-\frac{1}{12} d\theta \\ (37)^{3/2} = (37)^{1+\frac{3}{2}} = 37\sqrt{37} \\ \int_0^{2\pi} \frac{37\sqrt{37}}{12}-\frac{1}{12} d\theta \\ \frac{37\sqrt{37}}{12} \theta -\frac{1}{12} \theta \Bigg|_0^{2\pi}\\ \frac{37\sqrt{37}}{12}2\pi -\frac{1}{12}2\pi \Bigg|_0^{2\pi}\\ \frac{37\sqrt{37}2\pi}{6}-\frac{\pi}{6} \\ \frac{\pi}{6}(37\sqrt{37}-1) \] Determine a área da superfície gerada pela inserseção entre o plano z = 2-x e o cilindro $x^2+y^2=2$

\[S = \int\int_D \sqrt{1+Z_{x^2}+Z_{y^2}} dA \\ z = 2-x \to z_x = -1, z_y = 0 \\ \int\int_D \sqrt{1+(-1)^2+(0)^2} dA \\ \int\int_D \sqrt{2} dA \] Definição de limites de integrracãso por meio de coordenadas polares

\[dA = |J| drd\theta \,\,para\,\, y = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \to -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}\\ x = r cos\theta \\ y = r sen\theta \\x^2+y^2 = 2 \to r = \sqrt{2} \\ -1 \le cos\theta \le 1 \to cos\theta = -1, cos\theta = (1\, ou \,2\pi) \\ \] Para y positivo \[0 \le \theta \le \pi\] Para y negativo \[\pi \le \theta \le 2\pi \\ \therefore 0 \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le r \le \sqrt{2} \] \[|J| = \] \[|J| = rcos^2\theta-(-sen^2\theta)\\ |J| = r(cos^2\theta+sen^2\theta) = r1 = r \\ S = \int_0^{2\pi}\int_2^{\sqrt{2}}\sqrt{2} r drd\theta \\ S = \int_0^{2\pi}\sqrt{2} \frac{r^2}{2}\Bigg|_2^{\sqrt{2}} d\theta \\ \int_0^{2\pi} \sqrt{2} d\theta\\ \sqrt{2} \theta \Bigg|_0^{2\pi}\\ \sqrt{2}(2\pi-0) \\ S = 2\sqrt{2}\pi \] Encontre a massa da placa retangular $-1 \le x \le 2, 0 \le u \le 3$ de densidade $\delta(x, y) = x^2(1+y)$

\[M = \int_{-1}^2\int_0^3 x^2(1+y) dydx \\ \int_{-1}^2 x^2(y+\frac{y^2}{2}) \Bigg|_0^3 dx \\ \int_{-1}^2 x^2(3+\frac{9}{2}) \Bigg|_0^3 dx \\ \int_{-1}^2 \frac{15}{2}x^2 dx \\ \frac{15}{2}\frac{x^3}{3} \Bigg|_{-1}^2 \\ \frac{5x^3}{2} \Bigg|_{-1}^2 \\ \frac{5}{2}\Big((2)^3-(-1)^3\Big) = \frac{5}{2}\Big(9\Big)= \frac{45}{2}\]

Sustentacão de uma asa

Um campo vetorial bidimensional é uma funcão $\vec{F}$ que fornece um vetor para cada ponto do plano (x, y). \[\vec{\beta}(x, y) = (y, -x) = y_i-x_j\] Onde o campo vetorial pode ser algo como a representação de escoamento de um determinado fluido em duas dimensões,e assim, o vetor $\vec{F}(x, y)$ fornece a velocidade do fluido no ponto (x, y). Sendo portanto chamado de campo de velocidades do fluido. Considerando um campo de velocidades: \[\vec{v}(x, y) = u(x, y)i + w(x, y)j\] Dado em uma região D fechada no plano. Define-se a circulação deste campo de velocidades em torno de D como a integral:

\[\Gamma = \int\int_D \Bigg(\frac{\partial w}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\Bigg) dA, dA = dxdy\] Quando se tem uma região limitada D no plano, possuindo uma fronteira curva C, a integral de circulação irá fornecer a intensidade de alinhamento do campo de vetores em relação à mesma curva. Assim a integral fornece a tend^ncia dos vetores em circular ao redor de C. Ex.: Calcular a circulação de um campo de valocidades em torno de uma curva a partir do campo de velocidades e elipse definidos abaixo: \[\vec{v}(x, y) = yi-xj \\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} = 1\] Circulação pela integral: \[\Gamma = \int\int_D \Bigg(\frac{\partial w}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\Bigg) dA \\ w = -x, u = y \\ w' = -1, u' = 1 \\ \int\int_D (-1-1) dA \\ -2 \int\int_D dA \\ -2\Bigg(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} = 1\Bigg)\\ -2\pi.3.2 = -12\pi\]

De posse da circulacão $-12\pi$, épossível utilizá-la em relação a força de sustentação gerada por um campo de velocidades passantes por um corpo plano. Define-se por força de sustentacão a componente de força perpendicular ao vento relativo ao corpo. Tal força é resultante da diferença aerodinamica (pressão) entre as superfícies superior e inferior de um aerofólio, tendendo a susspendê-lo dada a força da corrente de ar na parte inferior do aerofólio. ##### Teorema de Kutta-Joukowski

Considere um campo de velocidades $\vec{v}$ de tal modo que: \[\vec{v} \to \vec{v}_{\infty} = (u_{\infty}, 0)\] Supondo que o campo de velocidades seja externo ao objeto que conforma uma região A no plano, a força de sustentação obtida dobre A será: \[F = -\rho u_{\infty}C \\ \rho = densidade\,do\, fluido \\ C = Circulação\, em\, torno\, de\, A\]

Simbolos

$\Leftrightarrow$ Se e somente se

Calculo

Fagner Sutel de Moura

29 March 2021

Cálculo I

Funções

Anatomia da função

Redefinição do domínio por meio de operações algébricas

Funções definidas por partes:

Operações Aritimeticas sobre Funções

Composição de Funções

Função como Composição

Translação

Alongamento e Composição

Famílias de Funções

Família \(y= x^n\)

Família \(y= x^{-n}\)

Proporções Inversas \(y=\frac{c}{x}\)

Funções Potência com Expoente não Inteiro

Família de Polinômios

Família de Funões Racionais

Família de Funções Algébricas

Família $=-A sen Bx $ e $ y=A cos Bx$

Família $=-A sen(Bx-c) $ e $ y=A cos(Bx-c) $

Família das Funções Inversas

Mudança de Variável Independente

Encontrando a inversa

Família das Trigonométricas Inversas

Cálculo de Trigonométricas Inversas

Família das Exponenciais \(x^n\)

Exponencial Natural \(e=2.718282\)

Família de Logarítmos

Cancelamentos

Resolução de exponencias e logarítmos

Obs.:

Mudança de base de logarítmos

Conceito de Demonstração

Métodos de Completar Quadrados

Limites

Técnica de limites

Demonstração do Teorema dos limites

Definindo limite de forma mais clara

Também

Limites Infinitos

Leis dos Limites

….

Limites e Continuidade

Limites e Descontinuidade

Construção de Funções Contínuas

Fato notável

Cálulo de Limites por meio de Funções de Continuidade

Álgebra de Limites

Multiplicar pelo conjugado

Transformação e cancelamento

Infinita mas não indeterminada

Constante simbólica e denominador igual a zero

Resumo:

Limites Laterais

Limites Trigonométricos

Teorema do confronto ou Lema da Comparação

Limites trigonométricos importantes

Cálculo de limite por mudança de variável

Limites no Infinito

Teorema do Valor Intermediário

Soma de Limites

Fato notável

Exemplos de Limites

A Reta

Derivadas

A derivada na origem entre dois limites laterais distintos não existe

O limite do produto de uma constante por uma função é igual o produto de uma constante pelo limite da função

Regras de Derivação

Derivada de uma constante

Derivadas de expoentes

Derivada e continuidade

Aproximação de Funções pela Reta Tangente em um Ponto

Regras de Derivacão

Regra da Soma

Regra do Produto (regra de Leibniz)

Regra do Quociente

Regra da Cadeia