1 Objetivo

Elaborar una simulación de extracción de monedas de un frasco para encontrar el espacio muestral y con ello determinar probabilidades.

2 Descripción

El caso tiene sustento del Ejercicio 4.5. del libro de Mendengall (2006) de cuatro monedas. Un frasco contiene cuatro monedas de diferente denominación, se seleccionan al azar tres monedas del frasco y se determinan probabilidades. (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2006)

library(knitr) # Para poder cargar la imagen jpg
include_graphics("../imagenes/frasco con monedas.jpg")

El caso tiene describe la simulación de extracción de monedas de un frasco. En el frasco hay monedas de $1, $2, $5, $10, $20 y $50 pesos.

Se pide a una persona que no sabe de las características de las monedas (dimensiones, colores, texturas, entre otras cosas), digamos un niño o un extranjero seleccione (extraer) aleatoriamente una o tres monedas en tres experimentos diferentes posibles.

En un primer experimento, , extrae una moneda y se requiere conocer cuál es la probabilidad de que esa moneda sea de alguna denominación en particular.

En un segundo experimento con el estado inicial de todas las monedas en el frasco, es decir, deposita la moneda y revuelve el frasco y hace otro experimento, extrae tres monedas, y se debe encontrar la probabilidad de que la suma de las tres monedas sea igual o mayor que $50 pesos.

En un tercer experimento se extraen tres monedas de nuevo y se requiere conocer la probabilidad de que la suma de las tres monedas sea igual o mayor a $70 pesos.

El proceso del caso sería de la siguiente manera:

En un frasco contiene seis monedas de las donominaciones siguientes:

1 moneda de $1 peso
1 moneda de $2 pesos
1 moneda de $5 pesos
1 moneda de $10 pesos
1 moneda $20 pesos
1 moneda de $50 pesos

2.1 A simular

Haga una lista de los eventos simples en S
El primer experimento es simular extraer una moneda del frasco y determine probabilidades
Realizar permutaciones para grupos de tres monedas y determinar el nuevo espacio muestral.
El segundo experimento consiste en simular extraer tres monedas de las seis posibles.
Determinar la probabilidad para que la suma de las tres monedas sea igual o superior a $50 pesos
En un tercer experimento consiste en simular de nuevo extraer tres monedas de las seis posibles.
Determinar la probabilidad para que la sume de las tres monedas sea igual o superior a $70 pesos

Se solicita que la interpretación responda a las siguientes preguntas:

¿Cuál es la probabilidad de que la selección de una moneda contenga la moneda de $50 pesos?
¿Cuál es la probabilidad de que la suma total de extraer tres monedas sea igual o mayor a $50 pesos?
¿Cuál es la probabilidad de que la suma total de extraer tres monedas sea igual o superior a $70 pesos?

3 Fundamento teórico

Se define el concepto de probabilidad y sus requerimiento básicos:

La probabilidad asignada a cada resultado experimental debe estar entre 0 y 1. Si denota con $Ei$ el i-ésimo resultado experimental y con $P(Ei)$ su probabilidad,

entonces exprese este requerimiento como

$0≤P(Ei)≤1$

La suma de las probabilidades de los resultados experimentales debe ser igual a 11 o al 100100 en términos porcentuales. [@anderson_estadistica_2008].

Para resultados experimentales nn se suman todas las probabilidades:

$P(E1)+P(E2)+P(E3)+...P(En)=1$

[@anderson_estadistica_2008].

La manera más sencilla de encontrar probabilidades es mediante el cálculo de frecuencia relativa. Si un experimento se realiza nn veces, entonces la frecuencia relativa de un suceso particular es la cantidad de sucesos de ese tipo entre el valor de todos los posibles.[@mendenhall_introduccion_2006].

$frecuencia.relativa=frecuencia$

entonces

$Prob(Ei)=frecuencia.relativa$

4 Desarrollo

Se cargan las librerías necesarias
Se define la lista de los eventos simples en S.
$S=1,2,5,10,20,50$
Simular la extracción de una moneda y determinar la probabilidad de que la selección contenga la moneda de $ 50 pesos
Simular la extracción de tres monedas haciendo permutaciones y determinar la probabilidad de que la suma de las tres monedas sea igual o mayor que $50 pesos.
Simular la extracción de tres monedas y con el espacio muestral de las permutaciones, determinar la probabilidad de que la suma total de extraer tres monedas sea igual o superior a $70 pesos?

4.1 Cargar las librerías

Se carga la librería dplyr para filtrar registros con la función filter(), seleccionar con la función select() y generar nuevas variables con la función mutate() de un conjunto de datos o data.frame.

Se carga la librería gtools para generar permutaciones y combinaciones

Se carga la librería knitr para imágenes y tablas

library(dplyr)   
library(gtools)  
library(knitr)

4.2 Eventos simples

Se define la lista de los eventos simples en un espacio muestral identificado como SS. Se utiliza la variable tipo vector llamado $S.$

$S={1,2,5,10,20,50}$

S <- c(1, 2, 5, 10, 20, 50)

4.3 Primer experimento

¿Cuál es la probabilidad de que la selección contenga la moneda de 50 pesos?

length() determina el número de elemenos (cuantos) de un vector S
Los [] determina la posición del valor comparado
which() identifica cuales elementos corresponden a una expresión S==50
La variable cuantas es sinónimo de frecuencia con respeto al total de elementos.

n <- length(S)
cuantas <- length(S[which(S==50)])
prob <- cuantas / n
paste("La probabilidad de que la selección contenga la moneda de $50 pesos es: ",cuantas ,"/",n, " o sea: ", prob, " o ", round(prob * 100,2), "%")

## [1] "La probabilidad de que la selección contenga la moneda de $50 pesos es:  1 / 6  o sea:  0.166666666666667  o  16.67 %"

4.4 Segundo experimento

¿Cuál es la probabilidad de que la suma total de extraer tres monedas sea igual o superior a 50 pesos?

4.4.1 Valores iniciales

Valores iniciales de n y r
n es el total elementos del espacio muetral S, de los eentos simples. El valor de $n=6$
r es de cuantos en cuantos o grupos para las permutaciones, de $r=3$ , dado que se pide extraer tres monedas

n <- length(S)
r <- 3

4.4.2 Permutaciones en grupos de 3

Hacer las permutaciones posibles y determinar el nuevo espacio muestral.
La variable que se usa para el nuevo espacio muestal es S.permuta

S.permuta <- permutations(n,r,S)
S.permuta

##        [,1] [,2] [,3]
##   [1,]    1    2    5
##   [2,]    1    2   10
##   [3,]    1    2   20
##   [4,]    1    2   50
##   [5,]    1    5    2
##   [6,]    1    5   10
##   [7,]    1    5   20
##   [8,]    1    5   50
##   [9,]    1   10    2
##  [10,]    1   10    5
##  [11,]    1   10   20
##  [12,]    1   10   50
##  [13,]    1   20    2
##  [14,]    1   20    5
##  [15,]    1   20   10
##  [16,]    1   20   50
##  [17,]    1   50    2
##  [18,]    1   50    5
##  [19,]    1   50   10
##  [20,]    1   50   20
##  [21,]    2    1    5
##  [22,]    2    1   10
##  [23,]    2    1   20
##  [24,]    2    1   50
##  [25,]    2    5    1
##  [26,]    2    5   10
##  [27,]    2    5   20
##  [28,]    2    5   50
##  [29,]    2   10    1
##  [30,]    2   10    5
##  [31,]    2   10   20
##  [32,]    2   10   50
##  [33,]    2   20    1
##  [34,]    2   20    5
##  [35,]    2   20   10
##  [36,]    2   20   50
##  [37,]    2   50    1
##  [38,]    2   50    5
##  [39,]    2   50   10
##  [40,]    2   50   20
##  [41,]    5    1    2
##  [42,]    5    1   10
##  [43,]    5    1   20
##  [44,]    5    1   50
##  [45,]    5    2    1
##  [46,]    5    2   10
##  [47,]    5    2   20
##  [48,]    5    2   50
##  [49,]    5   10    1
##  [50,]    5   10    2
##  [51,]    5   10   20
##  [52,]    5   10   50
##  [53,]    5   20    1
##  [54,]    5   20    2
##  [55,]    5   20   10
##  [56,]    5   20   50
##  [57,]    5   50    1
##  [58,]    5   50    2
##  [59,]    5   50   10
##  [60,]    5   50   20
##  [61,]   10    1    2
##  [62,]   10    1    5
##  [63,]   10    1   20
##  [64,]   10    1   50
##  [65,]   10    2    1
##  [66,]   10    2    5
##  [67,]   10    2   20
##  [68,]   10    2   50
##  [69,]   10    5    1
##  [70,]   10    5    2
##  [71,]   10    5   20
##  [72,]   10    5   50
##  [73,]   10   20    1
##  [74,]   10   20    2
##  [75,]   10   20    5
##  [76,]   10   20   50
##  [77,]   10   50    1
##  [78,]   10   50    2
##  [79,]   10   50    5
##  [80,]   10   50   20
##  [81,]   20    1    2
##  [82,]   20    1    5
##  [83,]   20    1   10
##  [84,]   20    1   50
##  [85,]   20    2    1
##  [86,]   20    2    5
##  [87,]   20    2   10
##  [88,]   20    2   50
##  [89,]   20    5    1
##  [90,]   20    5    2
##  [91,]   20    5   10
##  [92,]   20    5   50
##  [93,]   20   10    1
##  [94,]   20   10    2
##  [95,]   20   10    5
##  [96,]   20   10   50
##  [97,]   20   50    1
##  [98,]   20   50    2
##  [99,]   20   50    5
## [100,]   20   50   10
## [101,]   50    1    2
## [102,]   50    1    5
## [103,]   50    1   10
## [104,]   50    1   20
## [105,]   50    2    1
## [106,]   50    2    5
## [107,]   50    2   10
## [108,]   50    2   20
## [109,]   50    5    1
## [110,]   50    5    2
## [111,]   50    5   10
## [112,]   50    5   20
## [113,]   50   10    1
## [114,]   50   10    2
## [115,]   50   10    5
## [116,]   50   10   20
## [117,]   50   20    1
## [118,]   50   20    2
## [119,]   50   20    5
## [120,]   50   20   10

Comprobar el número de puntos muesrales de permutaciones cuando n=6n=6 y r=3r=3 conforme a la fórmula de permutaciones vista en el caso 7.

$S = Pr\binom{n}{r} = n! / (n-r)!$

factorial(n) / factorial(n-r)

## [1] 120

Transformar el resultado de las permutaciones a un tipo de estructura data.frame para su mejor trato.

S.permuta <- data.frame(S.permuta)

Poner nombres a las columnas como moneda1, moneda2, y moneda3 o más práctico names(S.permuta) <- c(‘m1,’ ‘m2,’ ‘m3’).

Con ello se debe observar como cambian los nombres de las columnas.

Con la función str(S.permuta) se describe la estructura del conjunto de datos S.permuta

names(S.permuta) <- c('m1', 'm2', 'm3')
str(S.permuta)

## 'data.frame':    120 obs. of  3 variables:
##  $ m1: num  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
##  $ m2: num  2 2 2 2 5 5 5 5 10 10 ...
##  $ m3: num  5 10 20 50 2 10 20 50 2 5 ...

Con las permutaciones sacar la suma de cada renglón

Se construye la columna suma mediante la función mutate()

S.permuta <- mutate(S.permuta, suma = m1 + m2 + m3) # Genera nueva columna

S.permuta

##     m1 m2 m3 suma
## 1    1  2  5    8
## 2    1  2 10   13
## 3    1  2 20   23
## 4    1  2 50   53
## 5    1  5  2    8
## 6    1  5 10   16
## 7    1  5 20   26
## 8    1  5 50   56
## 9    1 10  2   13
## 10   1 10  5   16
## 11   1 10 20   31
## 12   1 10 50   61
## 13   1 20  2   23
## 14   1 20  5   26
## 15   1 20 10   31
## 16   1 20 50   71
## 17   1 50  2   53
## 18   1 50  5   56
## 19   1 50 10   61
## 20   1 50 20   71
## 21   2  1  5    8
## 22   2  1 10   13
## 23   2  1 20   23
## 24   2  1 50   53
## 25   2  5  1    8
## 26   2  5 10   17
## 27   2  5 20   27
## 28   2  5 50   57
## 29   2 10  1   13
## 30   2 10  5   17
## 31   2 10 20   32
## 32   2 10 50   62
## 33   2 20  1   23
## 34   2 20  5   27
## 35   2 20 10   32
## 36   2 20 50   72
## 37   2 50  1   53
## 38   2 50  5   57
## 39   2 50 10   62
## 40   2 50 20   72
## 41   5  1  2    8
## 42   5  1 10   16
## 43   5  1 20   26
## 44   5  1 50   56
## 45   5  2  1    8
## 46   5  2 10   17
## 47   5  2 20   27
## 48   5  2 50   57
## 49   5 10  1   16
## 50   5 10  2   17
## 51   5 10 20   35
## 52   5 10 50   65
## 53   5 20  1   26
## 54   5 20  2   27
## 55   5 20 10   35
## 56   5 20 50   75
## 57   5 50  1   56
## 58   5 50  2   57
## 59   5 50 10   65
## 60   5 50 20   75
## 61  10  1  2   13
## 62  10  1  5   16
## 63  10  1 20   31
## 64  10  1 50   61
## 65  10  2  1   13
## 66  10  2  5   17
## 67  10  2 20   32
## 68  10  2 50   62
## 69  10  5  1   16
## 70  10  5  2   17
## 71  10  5 20   35
## 72  10  5 50   65
## 73  10 20  1   31
## 74  10 20  2   32
## 75  10 20  5   35
## 76  10 20 50   80
## 77  10 50  1   61
## 78  10 50  2   62
## 79  10 50  5   65
## 80  10 50 20   80
## 81  20  1  2   23
## 82  20  1  5   26
## 83  20  1 10   31
## 84  20  1 50   71
## 85  20  2  1   23
## 86  20  2  5   27
## 87  20  2 10   32
## 88  20  2 50   72
## 89  20  5  1   26
## 90  20  5  2   27
## 91  20  5 10   35
## 92  20  5 50   75
## 93  20 10  1   31
## 94  20 10  2   32
## 95  20 10  5   35
## 96  20 10 50   80
## 97  20 50  1   71
## 98  20 50  2   72
## 99  20 50  5   75
## 100 20 50 10   80
## 101 50  1  2   53
## 102 50  1  5   56
## 103 50  1 10   61
## 104 50  1 20   71
## 105 50  2  1   53
## 106 50  2  5   57
## 107 50  2 10   62
## 108 50  2 20   72
## 109 50  5  1   56
## 110 50  5  2   57
## 111 50  5 10   65
## 112 50  5 20   75
## 113 50 10  1   61
## 114 50 10  2   62
## 115 50 10  5   65
## 116 50 10 20   80
## 117 50 20  1   71
## 118 50 20  2   72
## 119 50 20  5   75
## 120 50 20 10   80

N <- nrow(S.permuta)
paste("Número de casos posibles de permutaciones", N)

## [1] "Número de casos posibles de permutaciones 120"

4.4.3 Extraer tres monedas

Al extraer tres monedas, se determinan el conjunto de opciones posibles para que suma sea mayor o igual a 50 con la función filter().

Se determinan ¿cuáles y cuántas?

cuales <- filter(S.permuta, suma >= 50)
cuales

##    m1 m2 m3 suma
## 1   1  2 50   53
## 2   1  5 50   56
## 3   1 10 50   61
## 4   1 20 50   71
## 5   1 50  2   53
## 6   1 50  5   56
## 7   1 50 10   61
## 8   1 50 20   71
## 9   2  1 50   53
## 10  2  5 50   57
## 11  2 10 50   62
## 12  2 20 50   72
## 13  2 50  1   53
## 14  2 50  5   57
## 15  2 50 10   62
## 16  2 50 20   72
## 17  5  1 50   56
## 18  5  2 50   57
## 19  5 10 50   65
## 20  5 20 50   75
## 21  5 50  1   56
## 22  5 50  2   57
## 23  5 50 10   65
## 24  5 50 20   75
## 25 10  1 50   61
## 26 10  2 50   62
## 27 10  5 50   65
## 28 10 20 50   80
## 29 10 50  1   61
## 30 10 50  2   62
## 31 10 50  5   65
## 32 10 50 20   80
## 33 20  1 50   71
## 34 20  2 50   72
## 35 20  5 50   75
## 36 20 10 50   80
## 37 20 50  1   71
## 38 20 50  2   72
## 39 20 50  5   75
## 40 20 50 10   80
## 41 50  1  2   53
## 42 50  1  5   56
## 43 50  1 10   61
## 44 50  1 20   71
## 45 50  2  1   53
## 46 50  2  5   57
## 47 50  2 10   62
## 48 50  2 20   72
## 49 50  5  1   56
## 50 50  5  2   57
## 51 50  5 10   65
## 52 50  5 20   75
## 53 50 10  1   61
## 54 50 10  2   62
## 55 50 10  5   65
## 56 50 10 20   80
## 57 50 20  1   71
## 58 50 20  2   72
## 59 50 20  5   75
## 60 50 20 10   80

cuantas <- nrow(cuales)

Se responde a las pregunta de ¿cuál es la probabilidad de que la suma de extraer tres monedas sea igual o superior a $50 pesos.

paste("En ", cuantas, " ocasiones la suma es mayor o igual 50 de ", N, " posibles ")

## [1] "En  60  ocasiones la suma es mayor o igual 50 de  120  posibles "

paste("La probabilidad de que la suma sea mayor o igual a $50 es del ", cuantas , "/", N, " o sea", cuantas / N, " que significa el:", round(cuantas / N * 100, 2), " % ")

## [1] "La probabilidad de que la suma sea mayor o igual a $50 es del  60 / 120  o sea 0.5  que significa el: 50  % "

4.5 Tercer experimento

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres monedas, la suma sea mayor o igual a $70 pesos

Se utiliza el mismo espacio muestral de grupos de tres dado que la extracción de monedas es tres de seis posibles.

Se determinan las nuevas cantidades ¿cuáles monedas pudieran ser y cuántas la suma es igual o superior a $70?

cuales <- filter(S.permuta, suma >= 70)
head(cuales); tail(cuales)

##   m1 m2 m3 suma
## 1  1 20 50   71
## 2  1 50 20   71
## 3  2 20 50   72
## 4  2 50 20   72
## 5  5 20 50   75
## 6  5 50 20   75

##    m1 m2 m3 suma
## 19 50  5 20   75
## 20 50 10 20   80
## 21 50 20  1   71
## 22 50 20  2   72
## 23 50 20  5   75
## 24 50 20 10   80

cuantas <- nrow(cuales)

Se responde a las pregunta de ¿cuál es la probabilidad de que la suma de extraer tres monedas sea igual o superior a $70 pesos.

paste("En ", cuantas, " ocasiones la suma es mayor o igual 70 de ", N, " posibles ")

## [1] "En  24  ocasiones la suma es mayor o igual 70 de  120  posibles "

paste("La probabilidad de que la suma sea mayor o igual a $70 es del ", cuantas , "/", N, " o sea", cuantas / N, " que significa el:", round(cuantas / N * 100, 2), " % ")

## [1] "La probabilidad de que la suma sea mayor o igual a $70 es del  24 / 120  o sea 0.2  que significa el: 20  % "

4.6 Cuarto experimento

Si en el frasco se tienen dos moneda de $100 pesos, dos de a $50, tres a $20, cuatro de a $10, cinco de $5, diez de a $2 y veinte monedas de $1. ¿cómo cambian las probabilidades?

$S={100,100,50,50,20,20,20,10,10,10,10,5,5,5,5,5,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}$

Se debe hacer permutaciones de $r=3$

¿Existe la posibilidad de que la suma de extraer tres de todo el nuevo espacio muestral habiendo hecho permutaciones de tres sea menor que $5?.

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres monedas de todo el espacio muestral habiendo hecho permutaciones, la suma esté entre $40 y $60 pesos?.

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres monedas de todo el espacio muestral habiendo hecho permutaciones, la suma esté entre $150 y $200 pesos?.

4.7 Espacio muestral de todas las monedas

Se utilizará una función llamada rep() para generar números repetidos, con ello, se simula la cantidad de monedas iniciales que existen en el frasco.

S <- c(rep(100,2), rep(50, 2), rep(20,3), rep(10,4), rep(5,5), rep(2, 10), rep(1,20))
S

##  [1] 100 100  50  50  20  20  20  10  10  10  10   5   5   5   5   5   2   2   2
## [20]   2   2   2   2   2   2   2   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1
## [39]   1   1   1   1   1   1   1   1

4.7.1 Valor de n

Se identifica en $n$ la cantidad de elementos del espacio muestral.

Se identifica $r$ como la cantidad de cinco monedas.

n <- length(S)
n

## [1] 46

r <- 3
r

## [1] 3

4.8 Permutaciones

De acuerdo a la fórmula en donde n=46 y r = 3 se determina cuántas posibilidades se deben generar en el experimento de extraer cinco monedas de un total de 46. La variable cuantas tiene el resultado

cuantas <- factorial(n) / factorial(n-r)
cuantas

## [1] 91080

4.8.1 Generar permutaciones

Se generan permutaciones en grupos de tres dado que se quiere experimentar con extraer tres monedas

S.permuta <- permutations(n=n, r=r, S, set = FALSE)
head(S.permuta)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  100  100   50
## [2,]  100  100   50
## [3,]  100  100   20
## [4,]  100  100   20
## [5,]  100  100   20
## [6,]  100  100   10

tail(S.permuta)

##          [,1] [,2] [,3]
## [91075,]    1    1    1
## [91076,]    1    1    1
## [91077,]    1    1    1
## [91078,]    1    1    1
## [91079,]    1    1    1
## [91080,]    1    1    1

Transformar el resultado de las permutaciones a un tipo de estructura data.frame para su mejor trato.

S.permuta <- data.frame(S.permuta)

Poner nombres a las columnas como moneda1, moneda2, y moneda3 o más práctico names(S.permuta) <- c(‘m1,’ ‘m2,’ ‘m3’).

Con ello se debe observar como cambian los nombres de las columnas.

Con la función str(S.permuta) se describe la estructura del conjunto de datos S.permuta

names(S.permuta) <- c('m1', 'm2', 'm3')
str(S.permuta)

## 'data.frame':    91080 obs. of  3 variables:
##  $ m1: num  100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 ...
##  $ m2: num  100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 ...
##  $ m3: num  50 50 20 20 20 10 10 10 10 5 ...

Con las permutaciones sacar la suma de cada renglón

S.permuta <- mutate(S.permuta, suma = m1 + m2 + m3) # Genera nueva columna

head(S.permuta)

##    m1  m2 m3 suma
## 1 100 100 50  250
## 2 100 100 50  250
## 3 100 100 20  220
## 4 100 100 20  220
## 5 100 100 20  220
## 6 100 100 10  210

N <- nrow(S.permuta)
paste("Número de casos posibles de permutaciones", N)

## [1] "Número de casos posibles de permutaciones 91080"

4.8.2 Encontrar probabilidades

Al extraer tres monedas, se determinan el conjunto de opciones posibles para que suma sea mayor o igual a las preguntas del experimento 4 con la función filter().

Se determinan ¿cuáles y cuántas?

¿Existe la posibilidad de que la suma de extraer tres de todo el nuevo espacio muestral habiendo hecho permutaciones de tres sea menor que $5?.

cuales <- filter(S.permuta, suma < 5)
str(cuales)

## 'data.frame':    18240 obs. of  4 variables:
##  $ m1  : num  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
##  $ m2  : num  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
##  $ m3  : num  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
##  $ suma: num  4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ...

cuantas <- nrow(cuales)

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres monedas de todo el espacio muestral habiendo hecho permutaciones, la suma esté entre $40 y $60 pesos?.

cuales <- filter(S.permuta, suma >= 40 & suma <=60)
str(cuales)

## 'data.frame':    7956 obs. of  4 variables:
##  $ m1  : num  50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 ...
##  $ m2  : num  5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...
##  $ m3  : num  5 5 5 5 2 2 2 2 2 2 ...
##  $ suma: num  60 60 60 60 57 57 57 57 57 57 ...

cuantas <- nrow(cuales)

La probabilidad

prob <- cuantas / N
prob <- round(prob * 100, 2)
prob

## [1] 8.74

paste ("La probabilidad es del ", prob, "%")

## [1] "La probabilidad es del  8.74 %"

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres monedas de todo el espacio muestral habiendo hecho permutaciones, la suma esté entre $150 y $200 pesos?.

cuales <- filter(S.permuta, suma >= 150 & suma <=200)
str(cuales)

## 'data.frame':    1020 obs. of  4 variables:
##  $ m1  : num  100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 ...
##  $ m2  : num  50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 ...
##  $ m3  : num  50 20 20 20 10 10 10 10 5 5 ...
##  $ suma: num  200 170 170 170 160 160 160 160 155 155 ...

cuantas <- nrow(cuales)

Para encontrar la probabilidad se utiliza nuevamente la frecuencia relativa

prob <- cuantas / N
prob <- round(prob * 100, 2)
prob

## [1] 1.12

paste ("La probabilidad es del ", prob, "%")

## [1] "La probabilidad es del  1.12 %"

5 Interpretación

Las preguntas del 1 al 3 se refieren a los experimentos uno al tres respectivamente.

¿Cuál es la probabilidad de que la selección de una moneda contenga la moneda de $50 pesos?. Utilizar experimento uno

De acuerdo con el espacio muestral, se dice o coloca el numero total de valores iguales a 50, expresado en r utilizando la funcion length(which(s=50)) que nos ayuda a determinar la longitud de una cierta variable which() que nos determina cierto tipo de variable que sea igual a 50 como se muestra.

## [1] "La probabilidad de que la selección contenga la moneda de $50 pesos es:  1 / 6  o sea:  0.166666666666667  o  16.67 %"

¿Cuál es la probabilidad de que la suma total de extraer tres monedas sea igual o mayor a $50 pesos?. Utilizar experimento 2

Al utilizar la funcion filter() que nos ayuda a filtrar o separar las variable del espacio muestral $S$ que queramos que sean iguales o mayores a 50

Posterior a esto, se utiliza la funcion nrow() para determinar la cantidad de filas que resultarosn al usar la funcion filter()

Por lo que no queda un resultado :

 # paste("En ", cuantas, " ocasiones la suma es mayor o igual 70 de ", N, " posibles ")

## [1] "En  60  ocasiones la suma es mayor o igual 50 de  120  posibles "

Y por ultimo solo se hace la division entre el numero de casos resultantes que sean iguales o mayores a 50 que son 60, entre el numero total de variables que es igual a 120, lo que nos da como resultado 0.5 que multiplicado por 100 para sacar el porcentaje total, nos da un total de 50 %

# paste("La probabilidad de que la suma sea mayor o igual a $50 es del ", cuantas , "/", N, " o sea", cuantas / N, " que significa el:", round(cuantas / N * 100, 2), " % ")

## [1] "La probabilidad de que la suma sea mayor o igual a $50 es del  60 / 120  o sea 0.5  que significa el: 50  % "

¿Cuál es la probabilidad de que la suma total de extraer tres monedas sea igual o superior a $70 pesos?. Utilizar experimento 3

De acuerdo con este caso en especifico, lo primero que se tendra que hacer es utilizar la funcion filter() para poder dererminar mediante el uso de el espacio muestral $S$ cualtos casos en especifico son los que sean iguales o mayores a $70

# cuales <- filter(S.permuta, suma >= 70)

Posterior a esto se utiliza la funcion nrow() la cual no ayuda a determinar la cantidad de filas que se encuentran con estas especificaciones

Por consecuente nos deja que :

## [1] "En  24  ocasiones la suma es mayor o igual 70 de  120  posibles "

Por lo que hacermos la division para poder determinar el porcentaje que sea igual al numero de casos adquiridos, en otras palabras: 24 entre 120 , 24 que es el numero de casos obtenidos que sean iguales o mayores a 70, y 120 que es el numero total de casos. Lo que nos deja lo siguiente

## [1] "La probabilidad de que la suma sea mayor o igual a $70 es del  24 / 120  o sea 0.2  que significa el: 20  % "

Realizar el cuarto experimento y responder:

Las siguientes preguntas son del experimento 4.

¿Existe la posibilidad de que la suma de extraer tres monedas de todo el nuevo espacio muestral habiendo hecho permutaciones de tres sea menor que $5?.

Si, ya que al utilizar la funcion filter() nos dio como resultado que existen un total de 18240 ocasiones en el cual la suma es menor a 5,

## 'data.frame':    18240 obs. of  4 variables:
##  $ m1  : num  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
##  $ m2  : num  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
##  $ m3  : num  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
##  $ suma: num  4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ...

y se preguntaran porque es que dan tantos resultados, buen ya sabemos que tenemos 46 datos en el espacio muestral utilizamos la formula para determinal el numero total de casos posibles que es $S = Pr\binom{n}{r} = n! / (n-r)!$ la cual nos resulto con un total de 91080 casos

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres monedas de todo el espacio muestral habiendo hecho permutaciones, la suma esté entre $40 y $60 pesos?.

Primero tuvimos que determinar el numero total de casos con estas especificaciones el cual nos dioun total de 7956 casos

## 'data.frame':    7956 obs. of  4 variables:
##  $ m1  : num  50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 ...
##  $ m2  : num  5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...
##  $ m3  : num  5 5 5 5 2 2 2 2 2 2 ...
##  $ suma: num  60 60 60 60 57 57 57 57 57 57 ...

Posterior a esto, para obtener la probabilidad, simplemente dividimos el numero de casos resultantes entre el numero total de casos, en otras palabras 7956 entre 91080 lo cual nos deja con 0.087 lo que resulto lo multiplicamos por 100 para obtener el porcentaje, el cual es igual a 8.7%

## [1] "La probabilidad es del  8.74 %"

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres monedas de todo el espacio muestral habiendo hecho permutaciones, la suma esté entre $150 y $200 pesos?.

De acuerdo con la funcion filter tenemos como resultado un total de 1020 casos

## 'data.frame':    1020 obs. of  4 variables:
##  $ m1  : num  100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 ...
##  $ m2  : num  50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 ...
##  $ m3  : num  50 20 20 20 10 10 10 10 5 5 ...
##  $ suma: num  200 170 170 170 160 160 160 160 155 155 ...

Y al dividirlo en entre el total de casos la probabilidad nos queda como

## [1] "La probabilidad es del  1.12 %"

6 Referencias bibliográficas

Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2006. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13a Edición.

Caso 8: Seis monedas. Permutaciones y Probabilidades

Guillermo Marin Ramirez

3/25/2021

1 Objetivo

2 Descripción

2.1 A simular

3 Fundamento teórico

4 Desarrollo

4.1 Cargar las librerías

4.2 Eventos simples

4.3 Primer experimento

4.4 Segundo experimento

4.4.1 Valores iniciales

4.4.2 Permutaciones en grupos de 3

4.4.3 Extraer tres monedas

4.5 Tercer experimento

4.6 Cuarto experimento

4.7 Espacio muestral de todas las monedas

4.7.1 Valor de n

4.8 Permutaciones

4.8.1 Generar permutaciones

4.8.2 Encontrar probabilidades

5 Interpretación

6 Referencias bibliográficas