Caso 8. Seis monedas. Permutaciones y probabilidades
Emmanuel Guadalupe Valles Ochoa
25/3/2021
1 Objetivo
Elaborar una simulación de extracción de monedas de un frasco para encontrar el espacio muestral y con ello determinar probabilidades.
2 Descripción
El caso tiene sustento del Ejercicio 4.5. del libro de Mendengall (2006) de cuatro monedas. Un frasco contiene cuatro monedas de diferente denominación, se seleccionan al azar tres monedas del frasco y se determinan probabilidades. (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2006)
El caso tiene describe la simulación de extracción de monedas de un frasco. En el frasco hay monedas de $1, $2, $5, $10, $20 y $50 pesos.
Se pide a una persona que no sabe de las características de las monedas (dimensiones, colores, texturas, entre otras cosas), digamos un niño o un extranjero seleccione (extraer) aleatoriamente una o tres monedas en tres experimentos diferentes posibles.
En un primer experimento, , extrae una moneda y se requiere conocer cuál es la probabilidad de que esa moneda sea de alguna denominación en particular.
En un segundo experimento con el estado inicial de todas las monedas en el frasco, es decir, deposita la moneda y revuelve el frasco y hace otro experimento, extrae tres monedas, y se debe encontrar la probabilidad de que la suma de las tres monedas sea igual o mayor que $50 pesos.
En un tercer experimento se extraen tres monedas de nuevo y se requiere conocer la probabilidad de que la suma de las tres monedas sea igual o mayor a $70 pesos.
El proceso del caso sería de la siguiente manera:
En un frasco contiene seis monedas de las donominaciones siguientes:
1 moneda de $1 peso
1 moneda de $2 pesos
1 moneda de $5 pesos
1 moneda de $10 pesos
1 moneda $20 pesos
1 moneda de $50 pesos
2.1 A simular
Haga una lista de los eventos simples en S
El primer experimento es simular extraer una moneda del frasco y determine probabilidades
Realizar permutaciones para grupos de tres monedas y determinar el nuevo espacio muestral.
El segundo experimento consiste en simular extraer tres monedas de las seis posibles.
Determinar la probabilidad para que la suma de las tres monedas sea igual o superior a $50 pesos
En un tercer experimento consiste en simular de nuevo extraer tres monedas de las seis posibles.
Determinar la probabilidad para que la sume de las tres monedas sea igual o superior a $70 pesos
Se solicita que la interpretación responda a las siguientes preguntas:
¿Cuál es la probabilidad de que la selección de una moneda contenga la moneda de $50 pesos?
¿Cuál es la probabilidad de que la suma total de extraer tres monedas sea igual o mayor a $50 pesos?
¿Cuál es la probabilidad de que la suma total de extraer tres monedas sea igual o superior a $70 pesos?
3 Fundamento teórico
Se define el concepto de probabilidad y sus requerimiento básicos:
La probabilidad asignada a cada resultado experimental debe estar entre 0 y 1. Si denota con \(E_i\) el i-ésimo resultado experimental y con \(P(E_i)\) su probabilidad,
entonces exprese este requerimiento como \[0 \le P(E_i) \le 1\]
La suma de las probabilidades de los resultados experimentales debe ser igual a \(1\) o al \(100\) en términos porcentuales. [@anderson_estadistica_2008].
Para resultados experimentales \(n\) se suman todas las probabilidades: \[P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) + ... P(E_n) = 1\] [@anderson_estadistica_2008].
La manera más sencilla de encontrar probabilidades es mediante el cálculo de frecuencia relativa. Si un experimento se realiza \(n\) veces, entonces la frecuencia relativa de un suceso particular es la cantidad de sucesos de ese tipo entre el valor de todos los posibles.[@mendenhall_introduccion_2006]. \[frecuencia.relativa = \frac{frecuencia}{n}\] entonces \[Prob(E_i) = frecuencia.relativa\]
4 Desarrollo
Se cargan las librerías necesarias
Se define la lista de los eventos simples en S.
\(S={1, 2, 5,10,20,50}\)
Simular la extracción de una moneda y determinar la probabilidad de que la selección contenga la moneda de $ 50 pesos
Simular la extracción de tres monedas haciendo permutaciones y determinar la probabilidad de que la suma de las tres monedas sea igual o mayor que $50 pesos.
Simular la extracción de tres monedas y con el espacio muestral de las permutaciones, determinar la probabilidad de que la suma total de extraer tres monedas sea igual o superior a $70 pesos?
4.1 Cargar las librerías
Se carga la librería dplyr para filtrar registros con la función filter(), seleccionar con la función select() y generar nuevas variables con la función mutate() de un conjunto de datos o data.frame.
Se carga la librería gtools para generar permutaciones y combinaciones
Se carga la librería knitr para imágenes y tablas
library(dplyr) ##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, unionlibrary(gtools)
library(knitr)4.2 Eventos simples
Se define la lista de los eventos simples en un espacio muestral identificado como \(S\). Se utiliza la variable tipo vector llamado \(S\).
\(S={1,2,5,10,20,50}\)
S <- c(1, 2, 5, 10, 20, 50)4.3 Primer experimento
¿Cuál es la probabilidad de que la selección contenga la moneda de 50 pesos?
length() determina el número de elemenos (cuantos) de un vector S
Los [] determina la posición del valor comparado
which() identifica cuales elementos corresponden a una expresión S==50
La variable cuantas es sinónimo de frecuencia con respeto al total de elementos.
n <- length(S)
cuantas <- length(S[which(S==50)])
prob <- cuantas / n
paste("La probabilidad de que la selección contenga la moneda de $50 pesos es: ",cuantas ,"/",n, " o sea: ", prob, " o ", round(prob * 100,2), "%")## [1] "La probabilidad de que la selección contenga la moneda de $50 pesos es: 1 / 6 o sea: 0.166666666666667 o 16.67 %"4.4 Segundo experimento
¿Cuál es la probabilidad de que la suma total de extraer tres monedas sea igual o superior a 50 pesos?
4.4.1 Valores iniciales
Valores iniciales de n y r
\(n\) es el total elementos del espacio muestral \(S\), de los eventos simples. El valor de \(n=6\)
\(r\) es de cuantos en cuantos o grupos para las permutaciones, de \(r=3\), dado que se pide extraer tres monedas
n <- length(S)
r <- 3 4.4.2 Permutaciones en grupos de 3
Hacer las permutaciones posibles y determinar el nuevo espacio muestral.
La variable que se usa para el nuevo espacio muestal es S.permuta
S.permuta <- permutations(n,r,S)
S.permuta## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 2 5
## [2,] 1 2 10
## [3,] 1 2 20
## [4,] 1 2 50
## [5,] 1 5 2
## [6,] 1 5 10
## [7,] 1 5 20
## [8,] 1 5 50
## [9,] 1 10 2
## [10,] 1 10 5
## [11,] 1 10 20
## [12,] 1 10 50
## [13,] 1 20 2
## [14,] 1 20 5
## [15,] 1 20 10
## [16,] 1 20 50
## [17,] 1 50 2
## [18,] 1 50 5
## [19,] 1 50 10
## [20,] 1 50 20
## [21,] 2 1 5
## [22,] 2 1 10
## [23,] 2 1 20
## [24,] 2 1 50
## [25,] 2 5 1
## [26,] 2 5 10
## [27,] 2 5 20
## [28,] 2 5 50
## [29,] 2 10 1
## [30,] 2 10 5
## [31,] 2 10 20
## [32,] 2 10 50
## [33,] 2 20 1
## [34,] 2 20 5
## [35,] 2 20 10
## [36,] 2 20 50
## [37,] 2 50 1
## [38,] 2 50 5
## [39,] 2 50 10
## [40,] 2 50 20
## [41,] 5 1 2
## [42,] 5 1 10
## [43,] 5 1 20
## [44,] 5 1 50
## [45,] 5 2 1
## [46,] 5 2 10
## [47,] 5 2 20
## [48,] 5 2 50
## [49,] 5 10 1
## [50,] 5 10 2
## [51,] 5 10 20
## [52,] 5 10 50
## [53,] 5 20 1
## [54,] 5 20 2
## [55,] 5 20 10
## [56,] 5 20 50
## [57,] 5 50 1
## [58,] 5 50 2
## [59,] 5 50 10
## [60,] 5 50 20
## [61,] 10 1 2
## [62,] 10 1 5
## [63,] 10 1 20
## [64,] 10 1 50
## [65,] 10 2 1
## [66,] 10 2 5
## [67,] 10 2 20
## [68,] 10 2 50
## [69,] 10 5 1
## [70,] 10 5 2
## [71,] 10 5 20
## [72,] 10 5 50
## [73,] 10 20 1
## [74,] 10 20 2
## [75,] 10 20 5
## [76,] 10 20 50
## [77,] 10 50 1
## [78,] 10 50 2
## [79,] 10 50 5
## [80,] 10 50 20
## [81,] 20 1 2
## [82,] 20 1 5
## [83,] 20 1 10
## [84,] 20 1 50
## [85,] 20 2 1
## [86,] 20 2 5
## [87,] 20 2 10
## [88,] 20 2 50
## [89,] 20 5 1
## [90,] 20 5 2
## [91,] 20 5 10
## [92,] 20 5 50
## [93,] 20 10 1
## [94,] 20 10 2
## [95,] 20 10 5
## [96,] 20 10 50
## [97,] 20 50 1
## [98,] 20 50 2
## [99,] 20 50 5
## [100,] 20 50 10
## [101,] 50 1 2
## [102,] 50 1 5
## [103,] 50 1 10
## [104,] 50 1 20
## [105,] 50 2 1
## [106,] 50 2 5
## [107,] 50 2 10
## [108,] 50 2 20
## [109,] 50 5 1
## [110,] 50 5 2
## [111,] 50 5 10
## [112,] 50 5 20
## [113,] 50 10 1
## [114,] 50 10 2
## [115,] 50 10 5
## [116,] 50 10 20
## [117,] 50 20 1
## [118,] 50 20 2
## [119,] 50 20 5
## [120,] 50 20 10Comprobar el número de puntos muesrales de permutaciones cuando \(n=6\) y \(r=3\) conforme a la fórmula de permutaciones vista en el caso 7.
factorial(n) / factorial(n-r)## [1] 120Transformar el resultado de las permutaciones a un tipo de estructura data.frame para su mejor trato.
S.permuta <- data.frame(S.permuta) # Se convierte a data.framePoner nombres a las columnas como moneda1, moneda2, y moneda3 o más práctico names(S.permuta) <- c(‘m1,’ ‘m2,’ ‘m3’).
Con ello se debe observar como cambian los nombres de las columnas.
Con la función str(S.permuta) se describe la estructura del conjunto de datos S.permuta
names(S.permuta) <- c('m1', 'm2', 'm3')
str(S.permuta)## 'data.frame': 120 obs. of 3 variables:
## $ m1: num 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
## $ m2: num 2 2 2 2 5 5 5 5 10 10 ...
## $ m3: num 5 10 20 50 2 10 20 50 2 5 ...Con las permutaciones sacar la suma de cada renglón
Se construye la columna suma mediante la función mutate()
S.permuta <- mutate(S.permuta, suma = m1 + m2 + m3) # Genera nueva columna
S.permuta## m1 m2 m3 suma
## 1 1 2 5 8
## 2 1 2 10 13
## 3 1 2 20 23
## 4 1 2 50 53
## 5 1 5 2 8
## 6 1 5 10 16
## 7 1 5 20 26
## 8 1 5 50 56
## 9 1 10 2 13
## 10 1 10 5 16
## 11 1 10 20 31
## 12 1 10 50 61
## 13 1 20 2 23
## 14 1 20 5 26
## 15 1 20 10 31
## 16 1 20 50 71
## 17 1 50 2 53
## 18 1 50 5 56
## 19 1 50 10 61
## 20 1 50 20 71
## 21 2 1 5 8
## 22 2 1 10 13
## 23 2 1 20 23
## 24 2 1 50 53
## 25 2 5 1 8
## 26 2 5 10 17
## 27 2 5 20 27
## 28 2 5 50 57
## 29 2 10 1 13
## 30 2 10 5 17
## 31 2 10 20 32
## 32 2 10 50 62
## 33 2 20 1 23
## 34 2 20 5 27
## 35 2 20 10 32
## 36 2 20 50 72
## 37 2 50 1 53
## 38 2 50 5 57
## 39 2 50 10 62
## 40 2 50 20 72
## 41 5 1 2 8
## 42 5 1 10 16
## 43 5 1 20 26
## 44 5 1 50 56
## 45 5 2 1 8
## 46 5 2 10 17
## 47 5 2 20 27
## 48 5 2 50 57
## 49 5 10 1 16
## 50 5 10 2 17
## 51 5 10 20 35
## 52 5 10 50 65
## 53 5 20 1 26
## 54 5 20 2 27
## 55 5 20 10 35
## 56 5 20 50 75
## 57 5 50 1 56
## 58 5 50 2 57
## 59 5 50 10 65
## 60 5 50 20 75
## 61 10 1 2 13
## 62 10 1 5 16
## 63 10 1 20 31
## 64 10 1 50 61
## 65 10 2 1 13
## 66 10 2 5 17
## 67 10 2 20 32
## 68 10 2 50 62
## 69 10 5 1 16
## 70 10 5 2 17
## 71 10 5 20 35
## 72 10 5 50 65
## 73 10 20 1 31
## 74 10 20 2 32
## 75 10 20 5 35
## 76 10 20 50 80
## 77 10 50 1 61
## 78 10 50 2 62
## 79 10 50 5 65
## 80 10 50 20 80
## 81 20 1 2 23
## 82 20 1 5 26
## 83 20 1 10 31
## 84 20 1 50 71
## 85 20 2 1 23
## 86 20 2 5 27
## 87 20 2 10 32
## 88 20 2 50 72
## 89 20 5 1 26
## 90 20 5 2 27
## 91 20 5 10 35
## 92 20 5 50 75
## 93 20 10 1 31
## 94 20 10 2 32
## 95 20 10 5 35
## 96 20 10 50 80
## 97 20 50 1 71
## 98 20 50 2 72
## 99 20 50 5 75
## 100 20 50 10 80
## 101 50 1 2 53
## 102 50 1 5 56
## 103 50 1 10 61
## 104 50 1 20 71
## 105 50 2 1 53
## 106 50 2 5 57
## 107 50 2 10 62
## 108 50 2 20 72
## 109 50 5 1 56
## 110 50 5 2 57
## 111 50 5 10 65
## 112 50 5 20 75
## 113 50 10 1 61
## 114 50 10 2 62
## 115 50 10 5 65
## 116 50 10 20 80
## 117 50 20 1 71
## 118 50 20 2 72
## 119 50 20 5 75
## 120 50 20 10 80N <- nrow(S.permuta)
paste("Número de casos posibles de permutaciones", N)## [1] "Número de casos posibles de permutaciones 120"4.4.3 Extraer tres monedas
Al extraer tres monedas, se determinan el conjunto de opciones posibles para que suma sea mayor o igual a 50 con la función filter().
Se determinan ¿cuáles y cuántas?
cuales <- filter(S.permuta, suma >= 50)
cuales## m1 m2 m3 suma
## 1 1 2 50 53
## 2 1 5 50 56
## 3 1 10 50 61
## 4 1 20 50 71
## 5 1 50 2 53
## 6 1 50 5 56
## 7 1 50 10 61
## 8 1 50 20 71
## 9 2 1 50 53
## 10 2 5 50 57
## 11 2 10 50 62
## 12 2 20 50 72
## 13 2 50 1 53
## 14 2 50 5 57
## 15 2 50 10 62
## 16 2 50 20 72
## 17 5 1 50 56
## 18 5 2 50 57
## 19 5 10 50 65
## 20 5 20 50 75
## 21 5 50 1 56
## 22 5 50 2 57
## 23 5 50 10 65
## 24 5 50 20 75
## 25 10 1 50 61
## 26 10 2 50 62
## 27 10 5 50 65
## 28 10 20 50 80
## 29 10 50 1 61
## 30 10 50 2 62
## 31 10 50 5 65
## 32 10 50 20 80
## 33 20 1 50 71
## 34 20 2 50 72
## 35 20 5 50 75
## 36 20 10 50 80
## 37 20 50 1 71
## 38 20 50 2 72
## 39 20 50 5 75
## 40 20 50 10 80
## 41 50 1 2 53
## 42 50 1 5 56
## 43 50 1 10 61
## 44 50 1 20 71
## 45 50 2 1 53
## 46 50 2 5 57
## 47 50 2 10 62
## 48 50 2 20 72
## 49 50 5 1 56
## 50 50 5 2 57
## 51 50 5 10 65
## 52 50 5 20 75
## 53 50 10 1 61
## 54 50 10 2 62
## 55 50 10 5 65
## 56 50 10 20 80
## 57 50 20 1 71
## 58 50 20 2 72
## 59 50 20 5 75
## 60 50 20 10 80cuantas <- nrow(cuales)Se responde a las pregunta de ¿cuál es la probabilidad de que la suma de extraer tres monedas sea igual o superior a $50 pesos.
paste("En ", cuantas, " ocasiones la suma es mayor o igual 50 de ", N, " posibles ")## [1] "En 60 ocasiones la suma es mayor o igual 50 de 120 posibles "paste("La probabilidad de que la suma sea mayor o igual a $50 es del ", cuantas , "/", N, " o sea", cuantas / N, " que significa el:", round(cuantas / N * 100, 2), " % ")## [1] "La probabilidad de que la suma sea mayor o igual a $50 es del 60 / 120 o sea 0.5 que significa el: 50 % "4.5 Tercer experimento
¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres monedas, la suma sea mayor o igual a $70 pesos
Se utiliza el mismo espacio muestral de grupos de tres dado que la extracción de monedas es tres de seis posibles.
Se determinan las nuevas cantidades ¿cuáles monedas pudieran ser y cuántas la suma es igual o superior a $70?
cuales <- filter(S.permuta, suma >= 70)
cuales## m1 m2 m3 suma
## 1 1 20 50 71
## 2 1 50 20 71
## 3 2 20 50 72
## 4 2 50 20 72
## 5 5 20 50 75
## 6 5 50 20 75
## 7 10 20 50 80
## 8 10 50 20 80
## 9 20 1 50 71
## 10 20 2 50 72
## 11 20 5 50 75
## 12 20 10 50 80
## 13 20 50 1 71
## 14 20 50 2 72
## 15 20 50 5 75
## 16 20 50 10 80
## 17 50 1 20 71
## 18 50 2 20 72
## 19 50 5 20 75
## 20 50 10 20 80
## 21 50 20 1 71
## 22 50 20 2 72
## 23 50 20 5 75
## 24 50 20 10 80cuantas <- nrow(cuales)Se responde a las pregunta de ¿cuál es la probabilidad de que la suma de extraer tres monedas sea igual o superior a $70 pesos.
paste("En ", cuantas, " ocasiones la suma es mayor o igual 70 de ", N, " posibles ")## [1] "En 24 ocasiones la suma es mayor o igual 70 de 120 posibles "paste("La probabilidad de que la suma sea mayor o igual a $70 es del ", cuantas , "/", N, " o sea", cuantas / N, " que significa el:", round(cuantas / N * 100, 2), " % ")## [1] "La probabilidad de que la suma sea mayor o igual a $70 es del 24 / 120 o sea 0.2 que significa el: 20 % "4.6 Cuarto experimento
Si en el frasco se tienen dos moneda de $100 pesos, dos de a $50, tres a $20, cuatro de a $10, cinco de $5, diez de a $2 y veinte monedas de $1. ¿cómo cambian las probabilidades?
\(S={100,100,50,50,20,20,20,10,10,10,10,5,5,5,5,5,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}\)
Se debe hacer permutaciones de \(r=4\)
¿Existe la posibilidad de que la suma de extraer cinco de todo el nuevo espacio muestral habiendo hecho permutaciones de cinco sea menor que $5?.
¿Cuál es la probabilidad de que al extraer cinco monedas de todo el espacio muestral habiendo hecho permutaciones, la suma esté entre $40 y $60 pesos?.
¿Cuál es la probabilidad de que al extraer cinco monedas de todo el espacio muestral habiendo hecho permutaciones, la suma esté entre $150 y $200 pesos?.
5 Interpretación
¿Cuál es la probabilidad de que la selección de una moneda contenga la moneda de $50 pesos?
R= La probabilidad de que se saque una moneda de $50 es de 16.67%
¿Cuál es la probabilidad de que la suma total de extraer tres monedas sea igual o mayor a $50 pesos?
R= La probabilidad de que sea mayor o igual de $50 es del 60/120, lo cual se traduciria al 50%
¿Cuál es la probabilidad de que la suma total de extraer tres monedas sea igual o superior a $70 pesos?
R= La probabilidad es de 70/120, lo que se traduce al 20%
Realizar el cuarto experimento y responder: ¿Existe la posibilidad de que la suma de extraer cinco de todo el nuevo espacio muestral habiendo hecho permutaciones de cinco sea menor que $5?. NO. Hay que demostrarlo.
En mi caso solo puedo hasta 3, ya que de otro modo no me carga el documento
r=3
S.permuta <- permutations(n=n, r=r, S, set = FALSE)
S.permuta <- data.frame(S.permuta)
names(S.permuta) <- c('m1', 'm2', 'm3')
S.permuta <- mutate(S.permuta, suma = m1 + m2 + m3)
N <- nrow(S.permuta)
cuales <- filter(S.permuta, suma < 5)
cuantas <- nrow(cuales)
prob <- cuantas/N
paste("Si existe la posibilidad de que la suma de tres monedas extraidas sea menor que $5 y esta es de: ", round(prob * 100,2), "%")## [1] "Si existe la posibilidad de que la suma de tres monedas extraidas sea menor que $5 y esta es de: 0 %"- ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer cinco monedas de todo el espacio muestral habiendo hecho permutaciones, la suma esté entre $40 y $60 pesos?.
cuales <- filter(S.permuta, (suma>=40 & suma<=60))
cuantas <- nrow(cuales)
prob <- cuantas/N
paste("La posibilidad de que la suma de tres monedas extraidas se encuentre entre los $40 y $60 es de:", round(prob * 100,2), "%")## [1] "La posibilidad de que la suma de tres monedas extraidas se encuentre entre los $40 y $60 es de: 15 %"- ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer cinco monedas de todo el espacio muestral habiendo hecho permutaciones, la suma esté entre $150 y $200 pesos?.
cuales <- filter(S.permuta, (suma>=150 & suma<=200))
cuantas <- nrow(cuales)
prob <- cuantas/N
paste("La posibilidad de que la suma de tres monedas extraidas se encuentre entre los $150 y $200 es de:", round(prob * 100,2), "%")## [1] "La posibilidad de que la suma de tres monedas extraidas se encuentre entre los $150 y $200 es de: 0 %"Referencias bibliográficas
Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2006. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13a Edición.