Integral Tak Tentu

Integral tak tentu dapat dicari dengan menggunakan fungsi yac_str. Contoh :

• Integral dari \[\mathrm{f(x)} = x^2 + 4x\]

yac_str("Integrate(x) x^2 + 4*x")

## [1] "x^3/3+2*x^2"

• Integral dari \[\mathrm{f(x)} = t^4 exp(-t)\]

yac_str("Integrate(t) t^4 * Exp(-t)")

## [1] "4*(3*((-2)*(t+1)*Exp(-t)-t^2*Exp(-t))-t^3*Exp(-t))-t^4*Exp(-t)"

Metode Golden Section

Golden section merupakan salah satu cara atau metode optimasi numerik yang dapat diterapkan untuk fungsi yang bersifat unimodal.

Ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baru, secara iteratif. Sebagai akibatnya, rentang/ interval awal variabel yang dipilih semakin lama akan semakin menyempit, karena ada sebagian sub-interval variabel yang dieliminasi, hingga diperoleh tingkat konvergensi yang diinginkan.

Berikut adalah ilustrasi dari golden ratio :

Algoritma Golden Section (Untuk nilai minimum)

1. Tentukan selang [a, b] yang memuat nilai minimum. Dapat dilihat dengan menggunakan grafik fungsi

2. Perkecil selang menjadi [a’, b’] yang memuat nilai minimum atau maksimum. Kriteria pemilihan a’ dan b’ adalah nilai diantara a dan b, sesuai dengan golden ratio

   a’ = a + d
   b’ = a - d

   dengan d = R (b-a)

   Tentukan x1 dan x2
   x1 = b - (b-a)/R
   x2 = a + (b-a)/R

   Hitung f(x1) dan f(x2)

   Jika f(x1) > f(x2) maka [a’,b’]=[x1,b]
   Jika f(x1) < f(x2) maka [a’,b’]=[a,x2]

3. Iterasi sampai |b’-a’| lebih kecil dari nilai tolerans

Catatan : Untuk nilai maksimum, gunakan algoritma kebalikannya.

Metode Golden Section untuk nilai minimum

goldenMin <- function (f, a, b,tol = 0.0000001) {
    ratio <- 2 / ( sqrt (5) +1)
    x1 <- b - ratio * (b - a)
    x2 <- a + ratio * (b - a)
    f1 <- f(x1)
    f2 <- f(x2)
    
  while (abs (b - a) > tol ) {
    if (f2 > f1) {
    b <- x2
    x2 <- x1
    f2 <- f1
    x1 <- b - ratio * (b - a)
    
    f1 <- f(x1)
    } else {
      a <- x1
      x1 <- x2
      f1 <- f2
      x2 <- a + ratio * (b - a)
      f2 <- f(x2)
      }
      }
  return ((a + b) / 2)
}

Metode golden section untuk nilai maksimum

goldenMax <- function (f, a, b,tol = 0.0000001) {
    ratio <- 2 / ( sqrt (5) +1)
    x1 <- b - ratio * (b - a)
    x2 <- a + ratio * (b - a)
    f1 <- f(x1)
    f2 <- f(x2)
    
  while (abs (b - a) > tol ) {
    if (f2 < f1) {
    b <- x2
    x2 <- x1
    f2 <- f1
    x1 <- b - ratio * (b - a)
    
    f1 <- f(x1)
    } else {
      a <- x1
      x1 <- x2
      f1 <- f2
      x2 <- a + ratio * (b - a)
      f2 <- f(x2)
      }
      }
  return ((a + b) / 2)
}

Contoh :

Mencari nilai minimum dari \[\mathrm{f(x)} = |x-3.5| + (x-2)^2 \]

f <- function (x) { abs(x -3.5) + (x -2) ^2}
curve(f)

goldenMin (f ,1 ,2)

## [1] 2

goldenMin (f ,1 ,5)

## [1] 2.5

goldenMin (f ,3 ,5)

## [1] 3

Mencari nilai maksimum dari \[\mathrm{f(x)} = 2 sin x - \frac {x^2} {10}\] di dalam interval 0 sampai 4

g <- function (x) { 2 * sin(x) - (x^2/10)}
curve(g)

goldenMax (g ,0 ,4)

## [1] 1.427552

Metode Newton

Metode Newton Raphson lebih cepat dibanding Golden Section Search. Jika suatu fungsi memiliki turunan pertama dan kedua, maka nilai minimum dapat menggunakan metode Newton Raphson:

\[\mathrm{Xn} = Xn-1 - \frac {f'(Xn-1)} {f''(Xn-1)}\]

Iterasi berhenti jika f’(xn-1) dekat dengan 0 atau lebih kecil dari nilai tolerans.

newtonr <- function (fx , x0 =1){
    fx1 <- deriv (fx ,"x") # turunan pertama
    fx2 <- deriv (D(fx ,"x"),"x") # turunan kedua
    er <- 1000
  while(er > 1e-6){
    x <- x0
    f1 <- attr ( eval (fx1),"gradient")[1]
    f2 <- attr ( eval (fx2),"gradient")[1]
    er <- abs(f1) # bisa juga e <- abs (x1 -x0)
    x1 <- x0 - f1/f2
    x0 <- x1
  }
  return (x1)
}

Contoh :

• Hitung nilai minimum untuk fungsi \[\mathrm{f(x)} = 4x^2 - 3x - 7\]

fx <- expression (4*x^2 - 3*x - 7)
newtonr (fx ,3)

## [1] 0.375

• Hitung nilai minimum untuk fungsi \[\mathrm{f(x)} = exp(-x) + x^4\]

fx <- expression ( exp(-x) + x^4)
newtonr (fx)

## [1] 0.5282519

• Hitung nilai minimum untuk fungsi \[\mathrm{f(x)} = x^2 - x\]

fx <- expression (x^2 - x)
newtonr (fx)

## [1] 0.5

Fungsi Optimize

Digunakan untuk mendapatkan nilai minimum dari suatu fungsi dengan satu peubah.

Contoh : Mencari nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi \[\mathrm{f(x)} = sin(x) + sin(2*x) + cos(3*x)\]

f3 <-function(x) sin(x) + sin(2*x) + cos(3*x)
curve(f3, from = 0, to = 2*pi)

optimize(f3, interval = c(0, 2*pi)) #minimum lokal

## $minimum
## [1] 3.033129
## 
## $objective
## [1] -1.054505

optimize(f3, interval = c(4, 2*pi)) #minimum global

## $minimum
## [1] 5.273383
## 
## $objective
## [1] -2.741405

optimize(f3, interval = c(0, 2*pi), maximum = T) #maksimum lokal

## $maximum
## [1] 4.0598
## 
## $objective
## [1] 1.096473

optimize(f3, interval = c(0, 1.5), maximum = T) #maksimum global

## $maximum
## [1] 0.3323289
## 
## $objective
## [1] 1.485871

Contoh 2 : Mencari nilai minimum dari fungsi \[\mathrm{f(x)} = (x- \frac {1} {3})^2\]

f <- function (x, a) (x - a)^2
xmin <- optimize (f, c(0, 1) , tol = 0.0001 , a = 1/3)
xmin

## $minimum
## [1] 0.3333333
## 
## $objective
## [1] 0

Fungsi Optim

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi lebih dari satu peubah.

Contoh : Mencari nilai x1 dan x2 yang membuat \[\mathrm{f(x1,x2)} = 100(x2-x1^2)^2 + (1-x1)^2\] minimum

fr <- function (x) {
  x1 <- x[1]
  x2 <- x[2]
  100 * (x2 - x1 ^2) ^2
  (1 - x1)^2
}

optim (c( -1.2 ,1) , fr)

## $par
## [1]  1.0002837 -0.1642825
## 
## $value
## [1] 8.050091e-08
## 
## $counts
## function gradient 
##       47       NA 
## 
## $convergence
## [1] 0
## 
## $message
## NULL