3 Marco de referencia

3.1 Probabilidad

El término de probabilidad se asocia con una medida numérica de lo probables es que ocurra un evento. Por tanto, las probabilidades son una medida del grado de incertidumbre asociado con cada uno de los eventos previamente enunciados. Si cuenta con las probabilidades, tiene la capacidad de determinar la posibilidad de ocurrencia que tiene cada evento. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

Los valores de probabilidad se encuentran en una escala de 0 a 1. Los valores cercanos a 0 indican que las posibilidades de que ocurra un evento son muy pocas. Los cercanos a 1 indican que es casi seguro que ocurra un evento. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

En la imagen siguiente se identifica el valor numérico que puede tener una probabilidad.

Imagen. Probabilidad de que ocurra un evento. [@anderson2008]

3.2 Experimentos

Un experimento es definido como un proceso que genera resultados definidos. Y en cada una de las repeticiones del experimento, habrá uno y sólo uno de los posibles resultados experimentales. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

Al especificar todos los resultados experimentales posibles, está definiendo el espacio muestral de un experimento. El espacio muestral se identifica normalmente como S. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008)

Es necesario saber identificar y contar los resultados experimentales.

En el contexto de la probabilidad, un experimento es definido como un proceso en el que se obtienen resultados definidos. Y en cada una de las repeticiones del experimento o del proceso, habrá uno y sólo uno de los posibles resultados experimentales. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

table: La tabla siguiente muestra algunos experimentos y sus posibles resultados.

Experimento	Resultado
Lanzar una moneda	Aguila o Sello
Inspeccionar un producto terminado	Con defecto o sin defecto
Realizar una llamada para que un cliente compre	Hay compra o no hay compra
Lanzar un dato cúbico	Puede caer cara arriba 1,2,3,4,5 o 6
Jugar un partido de fútbol	Ganar, empatar o perder
Visitar un portal de compra	Compra o No comprar

A todos los posibles resultados se le llama espacio muestral y a un solo resultado se le conoce como punto muestral para identificarlo como un elemento de la muestra. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008). ##3.2.1 Experimento de la moneda

$S = A g u i l a, S e l l o$

S.espacio.muestral <- c("Aguila", "Sello")
S.espacio.muestral

## [1] "Aguila" "Sello"

3.2.2 Experimento del dado

$S = 1, 2, 3, 4, 5, 6$

S.espacio.muestral <- c("1", "2", "3", "4", "5", "6")
S.espacio.muestral

## [1] "1" "2" "3" "4" "5" "6"

3.2.3 Experimento del comprar

$S = C o m p r a r, N o C o m p r a r$

S.espacio.muestral <- c("Comprar", "No Comprar")
S.espacio.muestral

## [1] "Comprar"    "No Comprar"

3.2.4 Experimento del partido de fútbol

$S = G a n a r, E m p a t a r, P e r d e r$

S.espacio.muestral <- c("Ganar", "Empatar", "Perder")
S.espacio.muestral

## [1] "Ganar"   "Empatar" "Perder"

3.3 Reglas de Conteo

Existen reglas de conteo con as cuales se ude determinar el espacio muesra de cualquier experimento.

3.3.1 Principio aditivo

Dado que la probabilidad se refiere a la potencialidad de ocurrencia de un evento,el principio aditivo se refiere a las formas que ese evento puede ser realizado.

La clave en el principio aditivo es buscar intrínsicamente las alternativas posibles. Se elige de enrte varias de ellas una posible, no se puede utilizar todas las alternativas al mismo tiempo, tiene que utilizar una “o” la otra. Cuando se use el “o,” entonces hay que utilizar el principio aditivo.

Ejemplo: Una persona en México, que decide viajar desde una ciudad a otra vía terrestre en en autobuses foráneos, puede hacerlo por línea de autobuses A, línea de autobuses B, línea de autobuses C o línea de autobuses D.

El principio aditivo, sería que cada línea de autobuses de la A a la D, representa una y sólo una alternativa: A=1;B=1;C=1;D=1 significa que cada línea de autobuses tiene una línea disponible.

En el principio aditivo sería, que la forma de llegar de una ciudad a otra sería: L=1+1+1+1=4 o sea:

M+N+.........+W maneras, alternativas o formas diferentes

y el espacio muestral sería:

S=A,B,C,D

En lenguaje R el espacio muestral S para el ejemplo de la regla de conteo del principio aditivo con las cuatro líneas de autobueses sería:

S <- c("A", "B", "C", "D")
alternativas <- length(S)
alternativas

## [1] 4

La probabilidad de elegir una linea de camiones es:

n <- alternativas
prob <- 1/n
prob

## [1] 0.25

3.3.2 Principio multiplicativo

El principio multiplicativo significa que si existen distintas formas de que un evento suceda, y a su vez estas distintas formas tienen subformas de realizarse, se utiliza la multiplicación: se suman la cantidad de formas, por la cantidad de subformas diferentes y se encuentra el total de alternativas u opciones.

En el ejemplo del viajero si por cada linea de autobuses A, B, C y D existen varios camiones por cada línea; la linea A tiene 5 autobuses listos o cinco salidas, la línea B tiene 4, la línea C tiene 6 y la línea D tiene 3 salidas.

Las preguntas serían: ¿Cuáles y cuántas opciones tiene el viajero para ir de una ciudad a otra?

lineaA=A1,A2,A3,A4,A5 lineaB=B1,B2,B3,B4 lineaC=C1,C2,C3,C4,C5,C6 lineaD=D1,D2,D3

Entonces el espacio muestral total sería:

$S = A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, B 1, B 2, B 3, B 4, C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, C 6, D 1, D 2, D 3$

y el total de alternativa que tiene el viajero para tomar una decisión sería:

$a l t e r n a t i v a s = 1 \times 5 + 1 \times 4 + 1 \times 6 + 1 \times 3 = 18$

En R simulando el caso del viajero con la regla de conteo del principio multiplicativo sería:

S.lineaA <- c("A1", "A2", "A3", "A4")
S.lineaB <- c("B1", "B2", "B3", "B4", "B5")
S.lineaC <- c("C1", "C2", "C3", "C4", "C5", "C6")
S.lineaD <- c("D1", "D2", "D3")

S <- c(S.lineaA, S.lineaB, S.lineaC, S.lineaD)
S

##  [1] "A1" "A2" "A3" "A4" "B1" "B2" "B3" "B4" "B5" "C1" "C2" "C3" "C4" "C5" "C6"
## [16] "D1" "D2" "D3"

n <- length(S)

La probabilidad de elegir a una linea de camiones de una salida, por decir la A4 es: 1/n= 0.0555556

prob <- 1/n prob <- round(prob* 100,2) paste((prob),"%") ###3.3.3 Diagrama de árbol En algunos experimentos es útil listar los elementos del espacio muestral de forma sistemática utilizando un diagrama de árbol. El diagrama de árbol representa las diversas trayectorias o alternativas de los resutados de cada experimento. (Walpole, Myers, and Myers 2012).

La siguiente imagen, representa un ejemplo de un diagrama de árbol para un dos exjemplos de experimentos.

Se lanza una moneda al aire y se determina su resultado (“Cara” o “Cruz”), repreentado por la letras “H” y “T” respectivamente.

Si sale cara “H” se vuelve a lanzar la moneda como un segundo experimento y se identifica el segundo resultado.

Si sale cruz en el primer resultado ahora se lanza un dado y se representan los posibles resultados.

cara o cruz

En R el espacio muestral final quedaría de la siguiente manera en donde al final el espacio muestral resultante contiene todas las alternativas posibles

S.espacio.muestral.1 <- c("HH", "HT")
S.espacio.muestral.2 <- c("T1", "T2", "T3","T4", "T5", "T6") 
S.espacio.muestral <- c(S.espacio.muestral.1, S.espacio.muestral.2)

S.espacio.muestral

## [1] "HH" "HT" "T1" "T2" "T3" "T4" "T5" "T6"

Simulación Por medio de una función se intenta recrear el experimento de la moneda y del dado.

El experimento se simula 10 veces

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")
for (i in 1:10)
  print(f.moneda.dado(S.espacio.muestral))

## [1] "HH"
## [1] "HT"
## [1] "HT"
## [1] "HH"
## [1] "T1"
## [1] "HH"
## [1] "HT"
## [1] "T2"
## [1] "T1"
## [1] "HH"

En términos de probabilidad ¿cuál es la probabilidad de que salga un “T3” siendo que $n=8$ posibles puntos del espacio muestral, entonces $1/n=1/8$ 0.125

3.3.4 Regla de multiplicación generalizada

Tal vez un experimento que se realiza en dos etapas. Si la primera etapa se puede efectuar en $m$ formas y, para cada una de éstas, la segunda etapa se puede lograr en $n$ formas, entonces hay $m\times n$ formas para efectuar el experimento. (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2006).

Por ejemplo: suponga que puede adquirir un auto en uno de tres estilos y en uno de cuatro colores de pintura. Para averiguar cuántas opciones hay disponibles, puede considerar primero escoger uno de los $m\times 3$ estilos y luego seleccionar uno de los $n \times 4$ colores de pintura.

Con el uso de la Regla $m\times n$, como se muestra en la siguiente imagen, se tienen $m=4$ y $n =3$ entones $m\times n = 3 \times 4 = 12$ posibles opciones.

Combinaciones de estilo y color

Esta regla de conteo también conocida como pares ordenados implica que si el primer elemento u objeto de un par ordenado puede ser seleccionado de $n1$ maneras, y si por cada una de estas $n1$ maneras el segundo elemento del par puede ser seleccionado de $n2$ maneras, entonces el número de pares es $n1\times n2$. (Devore 2016).

Una interpretación de lo anterior consiste en llevar a cabo una operación que consta de dos etapas. Si la primera etapa se puede realizar en cualquiera $n1$ maneras y para cada una hay $n2$ formas de realizar la segunda etapa, entonces, $n1 \times n2$ es el número de maneras de llevar a cabo las dos etapas en la secuencia. (Devore 2016).

Ejemplo: Se tiran dos dados. ¿Cuántos eventos simples hay en el espacio muestral S?. El primer dado puede caer en una de $m = 6$ formas, y el segundo dado en una de $n = 6$ formas. Como el experimento comprende dos etapas, que forma los pares de números que se muestran en las dos caras, el número total de eventos simples en S es

$m\times n = (6)(6) = 36$

S.espacio.muestral <- as.character(c(11:16, 21:26, 31:36, 41:46, 51:56, 61:66))
S.espacio.muestral

##  [1] "11" "12" "13" "14" "15" "16" "21" "22" "23" "24" "25" "26" "31" "32" "33"
## [16] "34" "35" "36" "41" "42" "43" "44" "45" "46" "51" "52" "53" "54" "55" "56"
## [31] "61" "62" "63" "64" "65" "66"

En términos de probabilidad la pregunta sería ¿cuál es la probabilidad de tener en un dado un tres y en el otro dado un seis?.$1/n = 1/36 =$ 0.0277778

Si se no interesa cual dado tenga el tres y cual dado tenga el seis, entonces existen dos opciones de entre 36 posibles. $2/n = 2/36$ = 0.0555556

¿Cuál es la probabilidad de que sumados los dos valores de los dado sea diez?: Entonces sería el $46, 55, 64$ serían $3/n$ = 0.0833333

Una regla de producto mas general es por ejemplo, que un conjunto se compone de conjuntos ordenados de $k$ elementos (k-tuplas) y que existen $n-1$ posibles opciones para el primer elemento; por cada opción del primer elemento, existen $n-2$ posibles opciones del segundo elemento; …; por cada posible opción de los primeros $k -1$ elementos, existen $n\times k$ opciones del elemento k-ésimo. Existen entonces $n1n2… …nk $ posibles k-tuplas. [@devore2016].

Imaginarse el caso de remodelar una casa en donde se requiere adquirir materiales, albañiles y electricistas. Hay cinco tiendas posibles para comprar todos los materiales en la misma tienda, luego contratar a albañiles o personas de construcción existen cuatro alternativas y finalmente el contratar plomeros los cual pueden ser elegir de entre seis posibles. Al final existe conforme a la fórmula $n \times m \times k$ o sea $5 \times 4 \times 6 = 120$ alternativas.

En la simulación de los dos dados ¿Cuántas y cuáles opciones existen para que si lanzas los dos dados,la suma de los valores de los dos datos esté entre cinco y diez es decir que sea mayor o igual a 5 y menor o igual a diez.

¿Cuántas ocasiones existe que la sume de los dos dados esté entre un valor inicial y un valor final por ejemplo entre 5 y 10?.

Nuevamente con un vector llamado S.espacio.muestral están las posibles opciones de lanzar dos dados se manda llamar la función f.contar.dados() previamente creada.

S.espacio.muestral <- as.character(c(11:16, 21:26, 31:36, 41:46, 51:56, 61:66))
S.espacio.muestral

##  [1] "11" "12" "13" "14" "15" "16" "21" "22" "23" "24" "25" "26" "31" "32" "33"
## [16] "34" "35" "36" "41" "42" "43" "44" "45" "46" "51" "52" "53" "54" "55" "56"
## [31] "61" "62" "63" "64" "65" "66"

n <- length(S.espacio.muestral)

cuantos <- f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 5, final = 10)

##  [1]  2  3  3  4  4  4  5  5  5  5  6  6  6  6  6  7  7  7  7  7  7  8  8  8  8
## [26]  8  9  9  9  9 10 10 10 11 11 12

paste("La probabilida sería de ", cuantos, "/", n,"=", round(cuantos/n * 100,2), "%")

## [1] "La probabilida sería de  27 / 36 = 75 %"

La probabilidad para que la suma de lanzar dos dados esté entre 5 y 10 sería 27 $/n=$ 75

3.3.5 Factorial

Una regla de conteo que se puede aplicar es mediante la

función de factorial.

Para las reglas de permutaciones y combinaciones siguientes, se requiere conocer la función de factorial.

El factorial de un número es el producto de $n$ por todos los naturales menores que el y se representa con el $n!$ entonces $n!=n·(n-1)!(n-2)·...·3·2·1$

Ejemplo: hallar el factorial de $6$ o se sea $6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720$

factorial(6)

## [1] 720

Hallar el factorial de 4, $4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24$

3.3.6 Permutaciones

En esta práctica, se identifican dos reglas de conteo, permutaciones y combinaciones.

3.3.7 ¿Qué son las permutaciones? y su fórmula

La regla de conteo de permutaciones permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan cierto número objetos de un conjunto de $N$ objetos y el orden de selección es relevante. Los mismos $n$ objetos seleccionados en orden diferente se consideran un resultado experimental diferente. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008). ####3.3.7.1 Fórmula de permutaciones \[ S = Pr\binom{n}{r} = n! / (n-r)! \]

3.3.8 Combinaciones

La regla de conteo de combinaciones permite contar el número de resultados experimentales cuando el experimento consiste en $n$ objetos de un conjunto (usualmente mayor) de $N$ objetos. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008)

3.3.8.1 Fórmula de combinaciones

\[ S=Cn\binom{n}{r} = n! / (r!(n-r)!) \]

¿En dónde se puede aplicar combinaciones y permutaciones?

Va en relación con aspectos de probabilidad de donde un experimento puede arrojar distintos resultados, se puede aplicar en casi cualquier aspecto de la vida real: lanzar una moneda y el resultado puede ser cara, cruz; tomar una pieza para inspeccionarla, resultado con defecto o sin defecto; realizar una llamada de ventas y puede ser que haya compra o no haya compra; lanzar un dado puede caer 1, 2, 3, 4, 5, 6 cara arriba; jugar un partido de futbol en donde el resultado es ganar, perder, o empatar, entre muchos experimentos. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008). ###4 Desarrollo - Cargar librerías, en caso necesario

Construir los datos
Realizar permutaciones
Grupos de 3, de 5 y de 7 Realizar combinaciones
Grupos de 4 de 6 y de 8 Interpretar el caso

4.1 Cargar librerías

Las librerías fueron previamente instaladas con install.packages(“gtools”) e install.packages(“knitr”). La librería gtools permite generar combinaciones y permutaciones y la librería knitr a parte de importar imágenes visualiza los conjuntos de datos de manera amigable.

library(gtools)

library(knitr)

library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

Se pueden cargar imágenes usando la función include_graphics() de la librería knitr

4.2 Construir los datos

El vector personas son los nombres de personas que participan en las combinaciones y permutaciones. Se utiliza el vector personas.agregadas para incluir a más personas como elementos del conjunto de datos pesonas.

personas <- c("Juan", "Paty", "Laura", "Oscar", "Aracely")

personas.agregadas <- c("Dereck", "Dariel", "Donnovan", "Darian", "Demian")

personas <- c(personas,personas.agregadas)
personas

##  [1] "Juan"     "Paty"     "Laura"    "Oscar"    "Aracely"  "Dereck"  
##  [7] "Dariel"   "Donnovan" "Darian"   "Demian"

n <- length(personas) 
n

## [1] 10

4.3 Permutaciones

Para las permutaciones al igual que las combinaciones se utiliza la variable S para identificar a todos los elementos del espacio muestral. Siendo entonce S todos las combinaciones o permutaciones posibles según sea el caso a partir de los nombres de personas.

4.3.1 Realizar Permutaciones con grupos de 3, 5 y 7

4.3.1.1 Permutaciones de 3 Se generan permutaciones en grupos de 3 en 3 a partir de los 10 nombres de personas.

El espacio muestral se almacena en la variable $S$ y se utilizan las funciones head() y tail() para no mostrar todos los registros, y solo los primeros y últimos diez del espacio muestral.

grupos <- 3

S <- permutations(n = n,r = grupos, v=personas)
nrow(S)

## [1] 720

head(S, 10)

##       [,1]      [,2]     [,3]      
##  [1,] "Aracely" "Darian" "Dariel"  
##  [2,] "Aracely" "Darian" "Demian"  
##  [3,] "Aracely" "Darian" "Dereck"  
##  [4,] "Aracely" "Darian" "Donnovan"
##  [5,] "Aracely" "Darian" "Juan"    
##  [6,] "Aracely" "Darian" "Laura"   
##  [7,] "Aracely" "Darian" "Oscar"   
##  [8,] "Aracely" "Darian" "Paty"    
##  [9,] "Aracely" "Dariel" "Darian"  
## [10,] "Aracely" "Dariel" "Demian"

tail(S, 10)

##        [,1]   [,2]    [,3]      
## [711,] "Paty" "Laura" "Juan"    
## [712,] "Paty" "Laura" "Oscar"   
## [713,] "Paty" "Oscar" "Aracely" 
## [714,] "Paty" "Oscar" "Darian"  
## [715,] "Paty" "Oscar" "Dariel"  
## [716,] "Paty" "Oscar" "Demian"  
## [717,] "Paty" "Oscar" "Dereck"  
## [718,] "Paty" "Oscar" "Donnovan"
## [719,] "Paty" "Oscar" "Juan"    
## [720,] "Paty" "Oscar" "Laura"

4.3.1.2 Responder a las preguntas.

4.3.1.2.1 Usando filter()

Para responder a las preguntas en permutaciones de grupos de 3, se utiliza la función filter() de la librería dplyr.

Antes de utilizar filter(), se debe convertir a data.frame el espacio muestral S. S <- data.frame(S).

Se le pone nombre a las columnas por medio de la función names() para mejor comprensión de las expresiones, names(S) <- c(“C1,” “C2,” “C3”).

S <- data.frame(S)
names(S) <- c("C1", "C2", "C3")
paste("¿En cuántos casos sale el nombre de “Laura” en la primera posición, en la primera columna [,1]?", nrow(filter(S, C1 == "Laura")))

## [1] "¿En cuántos casos sale el nombre de “Laura” en la primera posición, en la primera columna [,1]? 72"

paste("¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en segundo lugar?, en la segunda columna [,2]?", nrow(filter(S, C2 == "Aracely")))

## [1] "¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en segundo lugar?, en la segunda columna [,2]? 72"

paste("¿Cuántas permutaciones se generan?, nrow(), o cuántas observciones?, el último registro del espacio muestral.", nrow(S))

## [1] "¿Cuántas permutaciones se generan?, nrow(), o cuántas observciones?, el último registro del espacio muestral. 720"

4.3.1.2.2 Usando which()

Se pudo haber usado la función which() combinado con la función length()

paste("¿En cuántos casos sale el nombre de “Laura” en la primera posición, en la primera columna [,1]?", length(which(S[,1] == "Laura")))

## [1] "¿En cuántos casos sale el nombre de “Laura” en la primera posición, en la primera columna [,1]? 72"

paste("¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en segundo lugar?, en la segunda columna [,2]?", length(which(S[,2] == "Aracely")))

## [1] "¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en segundo lugar?, en la segunda columna [,2]? 72"

paste("¿Cuántas permutaciones se generan?, nrow(), o cuántas observciones?, el último registro del espacio muestral.", nrow(S))

## [1] "¿Cuántas permutaciones se generan?, nrow(), o cuántas observciones?, el último registro del espacio muestral. 720"

4.3.1.2.3 Usando subset()

También se puede usar la función subset() para filtrar y responder a las preguntas.

paste("¿En cuántos casos sale el nombre de “Laura” en la primera posición, en la primera columna [,1]?", nrow(subset(S, C1 == "Laura")))

## [1] "¿En cuántos casos sale el nombre de “Laura” en la primera posición, en la primera columna [,1]? 72"

paste("¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en segundo lugar?, en la segunda columna [,2]?", nrow(subset(S, C2 == "Aracely")))

## [1] "¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en segundo lugar?, en la segunda columna [,2]? 72"

paste("¿Cuántas permutaciones se generan?, nrow(), o cuántas observciones?, el último registro del espacio muestral.", nrow(S))

## [1] "¿Cuántas permutaciones se generan?, nrow(), o cuántas observciones?, el último registro del espacio muestral. 720"

Para responder a las preguntas de la interpretación que más adelante se hacen de este caso, se puede usar los bloques de código anteriores, se puede resolver las preguntas ya sea por medio de filter() o por medio de which() o por medio de subset(). Será decisión del lector usar alguna de ellas.

4.3.1.3 Permutaciones de 5

grupos <- 5
A <- permutations(n = n,r = grupos, v=personas)
nrow(A)

## [1] 30240

head(A, 10)

##       [,1]      [,2]     [,3]     [,4]     [,5]      
##  [1,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck"  
##  [2,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Donnovan"
##  [3,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Juan"    
##  [4,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Laura"   
##  [5,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Oscar"   
##  [6,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Paty"    
##  [7,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Dereck" "Demian"  
##  [8,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Dereck" "Donnovan"
##  [9,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Dereck" "Juan"    
## [10,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Dereck" "Laura"

tail(A, 10)

##          [,1]   [,2]    [,3]    [,4]       [,5]      
## [30231,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Donnovan" "Dariel"  
## [30232,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Donnovan" "Demian"  
## [30233,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Donnovan" "Dereck"  
## [30234,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Donnovan" "Juan"    
## [30235,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan"     "Aracely" 
## [30236,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan"     "Darian"  
## [30237,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan"     "Dariel"  
## [30238,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan"     "Demian"  
## [30239,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan"     "Dereck"  
## [30240,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan"     "Donnovan"

paste("¿En cuántos casos sale el nombre de “Laura” en la primera posición, en la primera columna [,1]?", length(which(A[,1] == "Laura")))

## [1] "¿En cuántos casos sale el nombre de “Laura” en la primera posición, en la primera columna [,1]? 3024"

paste("¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en segundo lugar?, en la segunda columna [,2]?", length(which(A[,2] == "Aracely")))

## [1] "¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en segundo lugar?, en la segunda columna [,2]? 3024"

paste("¿Cuántas permutaciones se generan?, nrow(), o cuántas observciones?, el último registro del espacio muestral.", nrow(A))

## [1] "¿Cuántas permutaciones se generan?, nrow(), o cuántas observciones?, el último registro del espacio muestral. 30240"

4.3.1.4 Permutaciones de 7

grupos <- 7
M <- permutations(n = n,r = grupos, v=personas)
nrow(M)

## [1] 604800

head(M, 10)

##       [,1]      [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]       [,7]      
##  [1,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Donnovan" "Juan"    
##  [2,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Donnovan" "Laura"   
##  [3,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Donnovan" "Oscar"   
##  [4,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Donnovan" "Paty"    
##  [5,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Juan"     "Donnovan"
##  [6,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Juan"     "Laura"   
##  [7,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Juan"     "Oscar"   
##  [8,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Juan"     "Paty"    
##  [9,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Laura"    "Donnovan"
## [10,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Laura"    "Juan"

tail(M, 10)

##           [,1]   [,2]    [,3]    [,4]   [,5]       [,6]     [,7]     
## [604791,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan" "Donnovan" "Dariel" "Demian" 
## [604792,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan" "Donnovan" "Dariel" "Dereck" 
## [604793,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan" "Donnovan" "Demian" "Aracely"
## [604794,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan" "Donnovan" "Demian" "Darian" 
## [604795,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan" "Donnovan" "Demian" "Dariel" 
## [604796,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan" "Donnovan" "Demian" "Dereck" 
## [604797,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan" "Donnovan" "Dereck" "Aracely"
## [604798,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan" "Donnovan" "Dereck" "Darian" 
## [604799,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan" "Donnovan" "Dereck" "Dariel" 
## [604800,] "Paty" "Oscar" "Laura" "Juan" "Donnovan" "Dereck" "Demian"

paste("¿En cuántos casos sale el nombre de “Laura” en la primera posición, en la primera columna [,1]?", length(which(M[,1] == "Laura")))

## [1] "¿En cuántos casos sale el nombre de “Laura” en la primera posición, en la primera columna [,1]? 60480"

paste("¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en segundo lugar?, en la segunda columna [,2]?", length(which(M[,2] == "Aracely")))

## [1] "¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en segundo lugar?, en la segunda columna [,2]? 60480"

paste("¿Cuántas permutaciones se generan?, nrow(), o cuántas observciones?, el último registro del espacio muestral.", nrow(M))

## [1] "¿Cuántas permutaciones se generan?, nrow(), o cuántas observciones?, el último registro del espacio muestral. 604800"

4.4 Combinaciones

Se utiliza también la variable S para identificar al especio meustral o experimentos posibles en las combinaciones.

4.4.1 Realizar combinaciones con grupos de 4, 6 y 8

4.4.1.1 Combinaciones de 4

grupos <- 4
S <- combinations(n = n,r = grupos, personas)

head(S,10)

##       [,1]      [,2]     [,3]     [,4]      
##  [1,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian"  
##  [2,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Dereck"  
##  [3,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Donnovan"
##  [4,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Juan"    
##  [5,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Laura"   
##  [6,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Oscar"   
##  [7,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Paty"    
##  [8,] "Aracely" "Darian" "Demian" "Dereck"  
##  [9,] "Aracely" "Darian" "Demian" "Donnovan"
## [10,] "Aracely" "Darian" "Demian" "Juan"

tail(S,10)

##        [,1]       [,2]       [,3]    [,4]   
## [201,] "Dereck"   "Donnovan" "Oscar" "Paty" 
## [202,] "Dereck"   "Juan"     "Laura" "Oscar"
## [203,] "Dereck"   "Juan"     "Laura" "Paty" 
## [204,] "Dereck"   "Juan"     "Oscar" "Paty" 
## [205,] "Dereck"   "Laura"    "Oscar" "Paty" 
## [206,] "Donnovan" "Juan"     "Laura" "Oscar"
## [207,] "Donnovan" "Juan"     "Laura" "Paty" 
## [208,] "Donnovan" "Juan"     "Oscar" "Paty" 
## [209,] "Donnovan" "Laura"    "Oscar" "Paty" 
## [210,] "Juan"     "Laura"    "Oscar" "Paty"

4.4.1.2 Responder a las preguntas

4.4.1.2.1 filter()

Como en las permutaciones primero se convierte a data.frame el espacio muestral y se le incorpora nombres a las columnas para su mejor procesamiento y comprensión. names(S) <- c(“C1,” “C2,” “C3,” “C4”).

S <- data.frame(S)
names(S) <- c("C1", "C2", "C3", "C4")

res <- filter(S, (C1 == "Aracely" & C2 == "Laura") | (C2 == "Aracely" & C3 == "Laura") | (C3 == "Aracely" & C4 == "Laura"))

paste("¿En cuántas ocasiones se identifican los nombres de 'Aracely' y 'Laura' de manera contigua en ese orden 'Aracely, 'Laura'?", nrow(res))

## [1] "¿En cuántas ocasiones se identifican los nombres de 'Aracely' y 'Laura' de manera contigua en ese orden 'Aracely, 'Laura'? 1"

paste("¿Cuántas ocasiones aparece 'Aracely' en primer lugar?", nrow(filter(S,C1 == "Aracely") ))

## [1] "¿Cuántas ocasiones aparece 'Aracely' en primer lugar? 84"

paste("¿Cuántas combinaciones se generan en grupos de 4?", nrow(S))

## [1] "¿Cuántas combinaciones se generan en grupos de 4? 210"

4.4.1.2.2 which()

res <- which((S[,1] == "Aracely" & S[,2] == "Laura") | (S[,2] == "Aracely" & S[,3] == "Laura") | (S[,3] == "Aracely" & S[,4] == "Laura"))

paste("¿En cuántas ocasiones se identifican los nombres de 'Aracely' y 'Laura' de manera contigua en ese orden 'Aracely, 'Laura'?", length(res))

## [1] "¿En cuántas ocasiones se identifican los nombres de 'Aracely' y 'Laura' de manera contigua en ese orden 'Aracely, 'Laura'? 1"

paste("¿Cuántas ocasiones aparece 'Aracely' en primer lugar?", length(which(S[,1] == "Aracely") ))

## [1] "¿Cuántas ocasiones aparece 'Aracely' en primer lugar? 84"

paste("¿Cuántas combinaciones se generan en grupos de 4?", nrow(S))

## [1] "¿Cuántas combinaciones se generan en grupos de 4? 210"

4.4.1.2.3 subset()

res <- subset(S, (C1 == "Aracely" & C2 == "Laura") | (C2 == "Aracely" & C3 == "Laura") | (C3 == "Aracely" & C4 == "Laura"))

paste("¿En cuántas ocasiones se identifican los nombres de 'Aracely' y 'Laura' de manera contigua en ese orden 'Aracely, 'Laura'?", nrow(res))

## [1] "¿En cuántas ocasiones se identifican los nombres de 'Aracely' y 'Laura' de manera contigua en ese orden 'Aracely, 'Laura'? 1"

paste("¿Cuántas ocasiones aparece 'Aracely' en primer lugar?", nrow(subset(S,C1 == "Aracely") ))

## [1] "¿Cuántas ocasiones aparece 'Aracely' en primer lugar? 84"

paste("¿Cuántas combinaciones se generan en grupos de 4?", nrow(S))

## [1] "¿Cuántas combinaciones se generan en grupos de 4? 210"

4.4.1.3 Combinaciones de 6

grupos <- 6
L <- combinations(n = n,r = grupos, personas)

head(L,10)

##       [,1]      [,2]     [,3]     [,4]     [,5]       [,6]      
##  [1,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck"   "Donnovan"
##  [2,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck"   "Juan"    
##  [3,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck"   "Laura"   
##  [4,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck"   "Oscar"   
##  [5,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck"   "Paty"    
##  [6,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Donnovan" "Juan"    
##  [7,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Donnovan" "Laura"   
##  [8,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Donnovan" "Oscar"   
##  [9,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Donnovan" "Paty"    
## [10,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Juan"     "Laura"

tail(L,10)

##        [,1]     [,2]       [,3]       [,4]    [,5]    [,6]   
## [201,] "Dariel" "Dereck"   "Donnovan" "Laura" "Oscar" "Paty" 
## [202,] "Dariel" "Dereck"   "Juan"     "Laura" "Oscar" "Paty" 
## [203,] "Dariel" "Donnovan" "Juan"     "Laura" "Oscar" "Paty" 
## [204,] "Demian" "Dereck"   "Donnovan" "Juan"  "Laura" "Oscar"
## [205,] "Demian" "Dereck"   "Donnovan" "Juan"  "Laura" "Paty" 
## [206,] "Demian" "Dereck"   "Donnovan" "Juan"  "Oscar" "Paty" 
## [207,] "Demian" "Dereck"   "Donnovan" "Laura" "Oscar" "Paty" 
## [208,] "Demian" "Dereck"   "Juan"     "Laura" "Oscar" "Paty" 
## [209,] "Demian" "Donnovan" "Juan"     "Laura" "Oscar" "Paty" 
## [210,] "Dereck" "Donnovan" "Juan"     "Laura" "Oscar" "Paty"

res <- which((L[,1] == "Oscar" & L[,2] == "Paty") | (L[,2] == "Oscar" & L[,3] == "Paty") | (L[,3] == "Oscar" & L[,4] == "Paty"))

paste("En cuántos casos aparece los nombres de “Oscar” “Paty” de manera contigua en ese orden?. Pueden er en las columnas [,1:2]; o columnas [,2:3]; o columnas [,3:4];", length(res))

## [1] "En cuántos casos aparece los nombres de “Oscar” “Paty” de manera contigua en ese orden?. Pueden er en las columnas [,1:2]; o columnas [,2:3]; o columnas [,3:4]; 0"

paste("¿Cuántas ocasiones aparece 'Laura' en primer lugar?", length(which(L[,1] == "Laura") ))

## [1] "¿Cuántas ocasiones aparece 'Laura' en primer lugar? 0"

paste("¿Cuántas combinaciones se generan en grupos de 6?", nrow(L))

## [1] "¿Cuántas combinaciones se generan en grupos de 6? 210"

4.4.1.4 Combinaciones de 8

grupos <- 8
O <- combinations(n = n,r = grupos, personas)

head(O,10)

##       [,1]      [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]       [,7]    [,8]   
##  [1,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Donnovan" "Juan"  "Laura"
##  [2,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Donnovan" "Juan"  "Oscar"
##  [3,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Donnovan" "Juan"  "Paty" 
##  [4,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Donnovan" "Laura" "Oscar"
##  [5,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Donnovan" "Laura" "Paty" 
##  [6,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Donnovan" "Oscar" "Paty" 
##  [7,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Juan"     "Laura" "Oscar"
##  [8,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Juan"     "Laura" "Paty" 
##  [9,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Juan"     "Oscar" "Paty" 
## [10,] "Aracely" "Darian" "Dariel" "Demian" "Dereck" "Laura"    "Oscar" "Paty"

tail(O,10)

##       [,1]      [,2]     [,3]     [,4]       [,5]       [,6]    [,7]    [,8]   
## [36,] "Aracely" "Demian" "Dereck" "Donnovan" "Juan"     "Laura" "Oscar" "Paty" 
## [37,] "Darian"  "Dariel" "Demian" "Dereck"   "Donnovan" "Juan"  "Laura" "Oscar"
## [38,] "Darian"  "Dariel" "Demian" "Dereck"   "Donnovan" "Juan"  "Laura" "Paty" 
## [39,] "Darian"  "Dariel" "Demian" "Dereck"   "Donnovan" "Juan"  "Oscar" "Paty" 
## [40,] "Darian"  "Dariel" "Demian" "Dereck"   "Donnovan" "Laura" "Oscar" "Paty" 
## [41,] "Darian"  "Dariel" "Demian" "Dereck"   "Juan"     "Laura" "Oscar" "Paty" 
## [42,] "Darian"  "Dariel" "Demian" "Donnovan" "Juan"     "Laura" "Oscar" "Paty" 
## [43,] "Darian"  "Dariel" "Dereck" "Donnovan" "Juan"     "Laura" "Oscar" "Paty" 
## [44,] "Darian"  "Demian" "Dereck" "Donnovan" "Juan"     "Laura" "Oscar" "Paty" 
## [45,] "Dariel"  "Demian" "Dereck" "Donnovan" "Juan"     "Laura" "Oscar" "Paty"

res <- which((O[,1] == "Oscar" & O[,2] == "Paty") | (O[,2] == "Oscar" & O[,3] == "Paty") | (O[,3] == "Oscar" & O[,4] == "Paty")| (O[,4] == "Oscar" & O[,5] == "Paty"))

paste("En cuántos casos aparece los nombres de “Oscar” “Paty” de manera contigua en ese orden?. Pueden er en las columnas [,1:2]; o columnas [,2:3]; o columnas [,3:4];", length(res))

## [1] "En cuántos casos aparece los nombres de “Oscar” “Paty” de manera contigua en ese orden?. Pueden er en las columnas [,1:2]; o columnas [,2:3]; o columnas [,3:4]; 0"

paste("¿Cuántas ocasiones aparece 'Laura' en primer lugar?", length(which(O[,1] == "Laura") ))

## [1] "¿Cuántas ocasiones aparece 'Laura' en primer lugar? 0"

paste("¿Cuántas combinaciones se generan en grupos de 8?", nrow(O))

## [1] "¿Cuántas combinaciones se generan en grupos de 8? 45"

5 Interpretación

Se responde a las preguntas guías del caso de manera descriptiva.

5.1 Permutaciones

Se interpreta los resultados de las permutaciones

Se representa los diferentes acomodos que pueden variar en un conjunto de datos ordenados

5.1.1 Permutaciones de 3

¿En cuántos casos sale el nombre de “Laura” en la primera posición, en la primera columna [,1]? 72
¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en segundo lugar?, en la segunda columna [,2]?

¿Cuántas permutaciones se generan?, nrow(), o el ultimo registro del espacio muestral.

720

5.1.2 Permutaciones de 5

¿En cuántos casos sale el nombre de “Laura” en la primera posición? 3024
¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en segundo lugar? 3024

¿Cuántas permutaciones se generan? 30240

5.1.3 Permutaciones de 7

¿En cuántos casos sale el nombre de “Laura” en la primera posición?

60480

¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en segundo lugar?

60480

¿Cuántas permutaciones se generan? 604800

5.2 Combinaciones

Se interpreta el resultado de las combinaciones

5.2.1 Combinaciones de 4

¿En cuántas ocasiones se identifican los nombres de “Aracely” y “Laura” de manera contigua en ese orden “Aracely,” “Laura?”

¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en primer lugar? 84
¿Cuántas combinaciones se generan en grupos de 4? 210

5.2.2 Combinaciones de 6

¿En cuántos casos aparece los nombres de “OSCAR” “Paty” de manera contigua en ese orden?. Pueden er en las columnas [,1:2]; o columnas [,2:3]; o columnas [,3:4]; o en las columnas [,4:5]

¿Cuántas ocasiones aparece “Laura” en primer lugar o en la primer columnas [,1]? 0

¿Cuántas combinaciones se generan? 210

5.2.3 Combinaciones de 8

¿En cuántos casos aparece los nombres de “Oscar” “Paty” de manera contigua en ese orden? 0
¿Cuántas ocasiones aparece “Aracely” en primer lugar o en la primer colunas [,1]? 0
¿Cuántas combinaciones se generan? 45

Referencias bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,. Devore, Jay L. 2016. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE. Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2006. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13a Edición. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.

caso 7: Permutaciones y Combinaciones con 10 personas

Lucero Liliana Melo Valdez

23 de marzo de 2021

Objetivo

2 Descripción

3 Marco de referencia

3.1 Probabilidad

3.2 Experimentos

3.2.2 Experimento del dado

3.2.3 Experimento del comprar

3.2.4 Experimento del partido de fútbol

3.3 Reglas de Conteo

3.3.1 Principio aditivo

3.3.2 Principio multiplicativo

3.3.4 Regla de multiplicación generalizada

3.3.5 Factorial

3.3.6 Permutaciones

3.3.7 ¿Qué son las permutaciones? y su fórmula

3.3.8 Combinaciones

3.3.8.1 Fórmula de combinaciones

4.1 Cargar librerías

4.2 Construir los datos

4.3 Permutaciones

4.3.1 Realizar Permutaciones con grupos de 3, 5 y 7

4.3.1.2 Responder a las preguntas.

4.3.1.2.1 Usando filter()

4.3.1.2.2 Usando which()

4.3.1.2.3 Usando subset()

4.3.1.3 Permutaciones de 5

4.3.1.4 Permutaciones de 7

4.4 Combinaciones

4.4.1 Realizar combinaciones con grupos de 4, 6 y 8

4.4.1.1 Combinaciones de 4

4.4.1.2 Responder a las preguntas

4.4.1.2.1 filter()

4.4.1.2.2 which()

4.4.1.2.3 subset()

4.4.1.3 Combinaciones de 6

4.4.1.4 Combinaciones de 8

5 Interpretación

5.1 Permutaciones

5.1.1 Permutaciones de 3

5.1.2 Permutaciones de 5

5.1.3 Permutaciones de 7

5.2 Combinaciones

5.2.1 Combinaciones de 4

5.2.2 Combinaciones de 6

5.2.3 Combinaciones de 8

Referencias bibliográficas