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library(readxl)
## Warning: package 'readxl' was built under R version 4.0.4
ventas <- read_excel("C:/Users/Claudia Gallo/Desktop/Bioestadistica/ventas.xlsx")
ventas
## # A tibble: 15 x 3
##    vendedor clientes ventas
##       <dbl>    <dbl>  <dbl>
##  1        1       96     41
##  2        2       40     41
##  3        3      104     51
##  4        4      128     60
##  5        5      164     61
##  6        6       76     29
##  7        7       72     39
##  8        8       80     50
##  9        9       36     28
## 10       10       84     43
## 11       11      180     70
## 12       12      132     56
## 13       13      120     45
## 14       14       44     31
## 15       15       84     30

Se observa que la base de datos contiene información sobre el registro de las ventas (y) de unos vendedores de acuerdo al total de clientes (x) que contactó.

Análisis exploratorio

Se observa que el promedio de clientes que contacta un vendedor es de 96, mientras que el promedio de ventas es de 45 produtos.

attach(ventas)
## The following object is masked _by_ .GlobalEnv:
## 
##     ventas
summary(ventas)
##     vendedor       clientes       ventas    
##  Min.   : 1.0   Min.   : 36   Min.   :28.0  
##  1st Qu.: 4.5   1st Qu.: 74   1st Qu.:35.0  
##  Median : 8.0   Median : 84   Median :43.0  
##  Mean   : 8.0   Mean   : 96   Mean   :45.0  
##  3rd Qu.:11.5   3rd Qu.:124   3rd Qu.:53.5  
##  Max.   :15.0   Max.   :180   Max.   :70.0
hist(clientes,col="gray",main="Histograma de clientes",ylab="Frecuencia",xlab="Clientes")

Veamos la correlación entre ventas y clientes. Se observa que a mayor cantidad de clientes contactados las ventas aumentan y su relación es fuerte de acuerdo con el coeficiente de correlación de Pearson (0.86).

plot(clientes,ventas$ventas,main="Correlación entre ventas y clientes",ylab="Ventas",xlab="Clientes")

cor(clientes,ventas$ventas)
## [1] 0.8646318

Estimación del Modelo Lineal Simple

Se observa que el coeficiente \(\beta_0\) no se debe interpretar porque no se observan valores de clientes cero. Por otro lado, el \(\beta_1=0.26\) indica que por cada cliente adicional que se contacte las ventas se incrementan en 0.26. Adicionalmente se observa que el coeficiente es significativamente distinto de cero. Se observa que el ajuste del modelo es de \(R^2=0.7476\), es decir que el modelo explica el 74% de la variabilidad de las ventas.

mod=lm(ventas~clientes,data=ventas)
summary(mod)
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ clientes, data = ventas)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -11.873  -2.861   0.255   3.511  10.595 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  19.9800     4.3897   4.552 0.000544 ***
## clientes      0.2606     0.0420   6.205 3.19e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.72 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7476, Adjusted R-squared:  0.7282 
## F-statistic:  38.5 on 1 and 13 DF,  p-value: 3.193e-05

Validación de supuestos

Podemos observar con respecto a los supuestos sobre el error \(e_i\) lo siguiente:

  1. Media cero: se cumple por defecto.
  2. Varianza constante: se observa en la gráfica 1 de residuales vs ajustados que el comportamiento es aleatorio no con alguna tendencia en particular que indique problemas. Se valida gráficamente.
  3. Normalidad: se observa en la gráfica 2 que los datos se ajustan bien a la línea de normalidad en el qqplot. Es decir, se valida gráficamente.
  4. Independencia: dado que todos estos registros no corresponden a datos en el tiempo no se tiene un orden para realizar esta validación. Se valida por definición del tipo de datos de corte transversal.
par(mfrow=c(2,2))
plot(mod)

Predicciones con el Modelo Estimado

¿Cuáles serían las ventas promedio esperadas para un vendedor que logre contactar un total de 60 clientes?

De acuerdo con el modelo las ventas promedio estimadas para este vendedor son de 35.

¿Si este vendedor logra un total de 50 ventas considera que esto es destacado en comparación con otros posibles vendedores?

Teniendo en cuenta que un vendedor que contacta 60 clientes en promedio logra ventas de entre 30 y 40 productos, podemos destacar el éxito que tiene el vendedor al lograr un total de 50. Es decir, se podría considerar como un vendedor que tiene un éxito mayor en ventas en terminos de clientes contactados (rendimiento).

predict(mod,list(clientes=60))
##       1 
## 35.6175
predict(mod,list(clientes=60),interval="confidence",level=0.95)
##       fit      lwr      upr
## 1 35.6175 30.64529 40.58971