1 Objetivo Determinar medidas estadísticas de localización media, mediana, moda, máximos mínimos y rango de un conjunto de datos usando funciones de R.
2 Descripción El proceso de este caso permite identificar las medidas de localización de media, mediana, moda, máximos, mínimos, rango y el significado de las mismas para interpretar si una distribución de datos es simétrica o asimétrica.
Primero se presenta como determinar los estadísticos manualmente por medio de programación y luego se identifica como determinar estos mismos valores estadísticos de manera más sencilla por medio de funciones que existen en los paquete base de R para media y mediana y funciones de librerías instaladas para la moda.
Finalmente se presenta el desarrollo de un caso en donde se cargan datos con valores de calificaciones de alumnos de una carrera de una Institución educativa, se utiliza sólo la variable promedio para encontrar los estadísticos media, median y moda.
En el proceso, los datos se visualizan por medio de la librería ggplot previamente instalada, el gráfico que se muestra es el histograma con lineas verticales que representan la media, mediana y moda.
Finalmente se hace una interpretación del caso identificando la simetría o asimetría del mismo.
3 Marco teórico El software estadístico moderno como el lenguaje de programación R, permite el cálculo de medias, medianas, desviaciones estándar entre otros estadísticos, así como la construcción y visualización de gráficas que presenten una “huella digital” de la naturaleza de la muestra.(walpole2012?).
En un conjunto de datos las medidas de posición están diseñadas para ayudar al analista alguna medida cuantitativa de dónde está el centro de los datos en una muestra. (walpole2012?)
3.1 La media La media significa el promedio o la suma de todos los elementos divididos entre el total de la muestra, o lo que es lo mismo es un promedio de todos los elementos.
La media proporciona una medida de localización central de los datos. Si los datos son datos de una muestra, la media se denota x¯; si los datos son datos de una población, la media se denota con la letra griega μ. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
3.1.1 Fórmula de la media En las fórmulas estadísticas se usa identificar el valor de la primera observación de la variable x con x1, el valor de la segunda observación de la variable x con x2 y así con lo siguiente.
En general, el valor de la i-ésima observación de la variable x se denota xi hasta la posición final del conjunto de datos xn.
La media se representa como x¯. Aquí la fórmula para le media.
x¯=∑i=1nxin=x1+x2+x3+…xnn
3.1.2 Media aritmética Se muestra el código para determinar la media, sumando cada elemento y dividiendo entre el número de elementos que contiene la muestra.
Se construyen los valores de la muestra a partir de un vector llamado datos.
Se identifican valores de los datos en posiciones específica x1,x2,x3,xn, siendo n= 60
El símbolo de ‘;’ en R en una misma linea significa que se peden tomar como diferentes instrucciones para ahorrar lineas o renglones en el bloque de código.
Se determina el valor de n o la cantidad de elementos en los datos con la función length().
La funcón paste() vista en otros casos, simplemente imprime en oantalla valores, posiblemente concatenados separados con la coma ‘,’
Ahora realizar el cálculo de la media aritméticamente.
La función sum() suma aritméticamente todos los elementos de la muestra y round() redondea el resultado a ciertas posiciones decimales, por ejemplo round(valor, 2) redondeado a dos posiciones, siendo valor el resultado obtenido.
Esto sería lo mismo que sumar datos[1] + datos[2] + datos[3] + datos[4] + datos[5] + … datos[60] y luego dividir entre n
3.1.3 Media en R En R la función mean() determina la media de un conjunto de datos, por ejemplo edades de doce personas adultos y adultos mayores, las pregunta son: ¿cuántos datos hay en la muestra?, ¿cuál es la media de los datos? y ¿que representa la media?.
La función round() redondea posiciones decimales.
La media con valor de 53.17 es un estadístico que representa el promedio de los 60 datos de la muestra.
3.2 La mediana Otra medida de localización importante es la mediana. El propósito de la mediana es reflejar la tendencia central de la muestra, de manera que no esté influida por los valores extremos. Dado que las observaciones en una muestra son x1,x2,…,xn, acomodados en orden de magnitud creciente, es decir, ordenados ascendentemente, la mediana de los datos estará dada por alguna de las maneras dependiendo si el número de elementos es par o es impar:
3.2.1 La fórmula de la mediana La mediana será representada por x~
x~={x(n+1)/2 Si n es impar,12⋅(xn/2+xn/2+1) Si n es par,}
La fórmula significa que si el número de elementos es impar, se toma el que está exactamente a la mitad de los datos ordenados y si por el contrario el número de datos es par se toman el promedio de los dos números contiguos o seguidos, es decir que están a la mitad de todos los datos ya ordenados.
3.2.2 Mediana matemáticamente Primero hacer un código para determinar si n es número par o impar o non.
El siguiente código en R, determina si el valor de n es par o impar.
Para el caso de los datos hay que constatar y verificar si es es par o impar la variable n, con valor de 60 entonces es par, se elige la opción adecuada de la fórmula.
Toda vez de haber verificado si el valor de n es par o impar se hacer el cálculo según la opción de la fórmula.
Segundo, se ordenan y se muestran los datos y luego se verifica el elemento que está exactamente a la mitad de entre todos los datos. La ordenación para este ejemplo se hace con la función order que genera las posiciones en que se ordena el vector datos, los datos se reescriben ordenados con la asignación ‘<-.’
Tercero, finalmente se aplica la fórmula según sea el caso par o impar.
Para este ejemplo de 60 datos es sencillo para el cerebro encontrar la mediana y la media, sin embargo, R puede tratar y analizar grandes volúmenes de datos.
3.2.3 Mediana con R La manera más sencilla en R para determinar la mediana es mediante la función median(), la cual simplemente regresa el valor central de los datos ordenados, independientemente si el valor de n es par o impar, de hecho debe intuirse que el código de la fórmula está encapsulado en la función median().
La mediana refleja el valor central de los datos. Como lo dice Lind (2015) es el punto medio de los valores una vez que se han sido ordenados de menor a mayor o de mayor a menor. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).
Algunas veces, posiblemente cuando se detectan valores atípicos o outliers de la muestra, es necesario pensar en utilizar un concepto llamado media recortada la cual se calcula nuevamente pero habiendo quitando cierto porcentaje de los valores mayores y menores del conjunto.
La función subset() filtra bajo una expresión o condición un conjunto de datos que pueden ser vectores o data.frames. En este caso el resultado es un vector en R llamado datos.reducido.
Ahora los valores de media y mediana son mas cercanos.
3.3 Moda La moda es el valor que se presenta con mayor frecuencia. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008). Walpole, 2012) indica que la moda muestral es el valor que ocurre con mayor frecuencia en los datos y es el punto sobre el eje horizontal donde la curva de una distribución de datos tiene su punto máximo. (Walpole, Myers, and Myers 2012).
En R existen varias alternativas para determina la moda de un conjunto de datos.
3.3.1 Moda con table() Se puede utilizar la función table() para encontrar las frecuencias y posteriormente ordenar tabla tal vez descendentemente y el valor del conjunto de datos de frecuencias de la primera posición será la moda. Algunas veces hay dos o tres valores que se repite en el mismo número de ocasiones o que tienen la misma frecuencia, entonces hay que verificar si el conjunto de datos es bimodal o multimodal.
3.3.2 Moda con mfv(x) Otra alternativa es utilizar la librería o el paquete modeest; antes que nada deberá instalar el paquete install.packages(“modeest”) , luego, se podrá cargar la librería con library(modest).
3.3.3 Cargando la librería modeest Para determinar la moda se utiliza la función mfv(x) en donde x es el vector a utilizarse para encontrar la moda.
Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda
3.4 Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda En cualquier distribución, cuando la la moda, la mediana y la media son iguales se interpreta como una distribución simétrica; si los valores de media, moda y mediana son diferentes, por el contrario será asimétrica si si los valores de media y mediana son diferentes(Lind, Marchal, and Wathen 2015).
La siguiente imagen muestra como se pueden presentar las gráficas conforme y de acuerdo al histograma y a su curva de densidad.
Gráfica. Medidas de ubicación [@lind_estadistica_2015].
3.4.1 Paquete ggplot2 El paquete ggplot2 permite crear gráficas y visualizar datos de una manera más elegante y amigable, es uno de los paquete más utilizados en R para representar y visualizar datos.
Las siguiente instrucciones utilizan el paquete ggplot() previamente instalado con install.packages(“ggplot2”) es una librería.
Algunos tutoriales sobre ggplot se encuentran en los siguientes enlaces:
https://rpubs.com/anlope10/562981
http://r-statistics.co/Complete-Ggplot2-Tutorial-Part1-With-R-Code.html
https://www.datanalytics.com/libro_r/introduccion-a-ggplot2.html
https://rstudio.com/wp-content/uploads/2015/04/ggplot2-spanish.pdf
https://rpubs.com/MrCristianrl/496586
3.4.1.1 Cargar la librería ggplot 3.4.2 data.frame de los datos Las siguiente lineas permiten crear un conjunto de datos data.frame a partir del vector de datos. Esto transformación de datos tiene la finalidad de tratar con data.frame en lugar de vector y es más práctico para efecto de visualziación de datos con ggplot().
3.4.3 Histograma de los datos
3.4.4 Referencia media , mediana y moda
Interpretación: De acuerdo y conforme a la gráfica la distribución es asimétrica con sesgo positivo dado que la media es mayor que la mediana.
3.5 Mínimo y máximos Los valores máximos y mínimos de un conjunto de dato son los valores de la lista de valores más pequeños y mas grande en la lista de los datos. Se puede observar los valores máximos y mínimos con los datos ordenados y verificar el primer y último elemento de la lista. Se utiliza el vector de datos ordenados.
Se puede determinar con las funciones max() y min() para encontrar los valores máximos y mínimos respectivamente.
3.6 Rango El rango de un conjunto de datos es el intérvalo que existe entre los valores, es decir desde el valor mínimo hasta el valor máximo.
Con los valores de máximo y miínimo la diferencia que existe entre ellos determina el rango.
Con la función range() en R, se obtiene los valores máximos y mínimos y con estos se obtiene el rango con la función diff()
3.7 Función summary() Existe una función en R llamada summary() muy utilizada que describe y presenta la mayoría de los estadísticos citados para caso; identifica los valores mínimo, máximo, media y mediana de un conjunto de datos.
4 Desarrollo El caso a desarrollar se trata de analizar un conjunto de datos relacionados con el promedio de los alumnos de una Institución educativa.
Los datos son descargados de github en en enlace: alumnos y se solicita encontrar estadísticos relacionados con la variable promedio contenidas en el conjunto de datos.
4.1 Cargar librería readr Se requiere cargar la librería library(readr) previamente instalada con install.packages(“readr”). Esta librería permite cargar datos de archivos textos separados por coma o archivos del tipo csv.
4.2 Cargar los datos Se cargan los datos con la función readr() indicando la ruta de la dirección url en donde están listos para descargarse. Las funciones head y tail() significan que ponga los primeros diez y últimos diez registros del total de los datos.
4.3 Media, median y moda de los alumnos 4.3.1 Depurar los datos Antes de encontrar los estadísticos de media, mediana y moda será necesario depurar el conjunto de datos. Se eliminarán de los datos aquellos alumnos que no tienen promedio, es decir dejar solo los registros que que promedio>0.
Por medio de la función subset() vista anteriormente, se eliminan o filtran esos registros y luego se determinan los estadísticos.
datos <- subset(datos, Promedio > 0) significa quitar los alumnos que no tienen promedio aún y que para efectos de los estadísticos que se quiere no son necesarios.
Ahora el conjunto de datos tiene una cantidad de 5535 observaciones.
4.3.2 summary en los datos alumnos La función summary(datos.alumnos[3:7]) significa que solo muestre las columnas de la 3 a la 7 del conjunto de datos de alumnos.
4.3.3 Media, mediana y moda ## [1] 86.6 ## [1] 86.36 ## [1] 86 4.3.4 Histograma de Promedio de los datos alumnos
4.3.5 Gráfica de densidad
4.3.5.1 Alumnos de SISTEMAS Con una variable llamada carrera se selecciona o filtran los datos de los alumnos que pertenecen a dicha carrera del conjunto e datos.alumnos; se utiliza nuevamente la función subset() que permite crear filtros por medio de una expresión que normalmente compara una variable con un valor.
Luego se determinan las medidas de localización media , mediana y moda de ese subconjunto de datos llamado carrera.
Se vuelven a utilizar nuevamente las variables media, mediana y moda sobre escribiendo los valores anteriores.
El proceso se repite para cada carrera incluyendo la visualización del histograma.
4.3.5.2 Alumnos de TIC ## [1] 85.44 ## [1] 85.03 ## [1] 78.47 86.00 89.17 Los datos de los alumnos de TIC tienen son una distribución multimodal, específicamente, tres modas. Se toma en cuenta sólo el valor de la primer posición [1] en la gráfica.
4.3.5.3 Alumnos de ARQUITECTURA ## [1] 86.98 ## [1] 87.1 ## [1] 86.00 89.17 Los datos de los alumnos de ARQUITECTURA tienen son una distribución bimodal, es decir, dos modas. Se toma en cuenta sólo el valor de la primer posición [1] en la gráfica.
4.3.5.4 SISTEMAS, TIC ARQUITECTURA Las lineas del atributo linetype se puede elegir de entre varias alternaticas: “blank,” “solid,” “dashed,” “dotted,” “dotdash,” “longdash,” “twodash”
La creación de facetas se utiliza cuando queremos dividir una visualización en particular por los valores de otra variable. Esto creará múltiples copias del mismo tipo de gráfico con ejes xey coincidentes, pero cuyo contenido será diferente (Ismay and Kim 2021).
El atributo facet_wrap(~ Carrera) permite que se visualice el mismo histograma pero con carreras diferentes.
El símbolo virulilla o tilde en R algunas significa que lo que está a la derecha está en función de … o sea ~ Carrera significa que las gráficas diferentes están en función de cada una de las Carreras.
4.4 Interpretación ¿Qué significa los estadísticos descriptivos media, mediana y moda de un conjunto de datos? R: Es un conjunto de técnicas numéricas y gráficas para describir y analizar un grupo de datos, sin extraer conclusiones (inferencias) sobre la población a la que pertenecen. ¿Para el conjunto de datos alumnos en su variable Promedio, son los valores iguales de la media, mediana y moda ? R: Son muuy similares ¿Qué tipo de distribución es el conjunto de datos alumnos R: Es una función Qué significa los estadísticos rango, máximo y mínimo de la variable Promedio y como se interpretan? R: Son los valores mas pequeños y mas grande en la lista de datos y para observarlos de una mejor manera se puede utilizar un vector de datos ordenados ¿Seleccione tres carreras y determine media, mediana y moda? y haga sus comparaciones. Media Mediana Moda SISTEMAS: 87.16 86.88 89.67 ARQUITECTURA: 86.98 87.1 86.00 y 89.17 TIC: 85.44 85.03 78.47, 86.00 y 89.17 ¿Cuál carrera tiene mas alumnos? R: Ingenieria Industrial es la carrera que cuenta con mas alumnos ¿Cuál carrera de las tres seleccionadas tiene la media conforme a la variable Promedio más alto? R: La carrera que cuenta con la mayo media es Sistemas Fin del CASO
Para el caso de las tres carreras seleccionadas SISTEMAS, TIC Y ARQUITECTURA en cuanto al valor de la media o el promedio de la variable Promedio, en la carrera de sistemas existe el valor más alto entre los tres valores medios de cada carrera. Las tres gráficas son distribuciones asíncronas con respecto a la variable Promedio.
Referencias bibliográficas Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. Ismay, Chester, and Albert Kim. 2021. Statistical Inference via Data Science a ModernDive into r and the Tidyverse. Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. https://moderndive.netlify.app/index.html. Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.