Caso 6 Medidas de dispersion
Zayra Lizeth
18/3/2021
Objetivo
Identificar, describir e interpretar medidas de variabilidad en un conjunto de datos.
2 Descripción
El caso se relaciona con identificar medidas de variabilidad como la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.
Primero se utilizan datos del libro del autor (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a) como ejemplo para calcular la varianza, y a partir de ahí, se determina la desviación y finalmente el coeficiente de variación.
Segundo con datos de alumnos se calculan las mismas medias de dispersión, luego, se selecciona tres carreras y se determina cuál de los tres conjuntos de datos tiene mayor o menor dispersión conforme al valor % del coeficiente de variación.
3 Marco de referencia
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. (Devore 2016a)
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto. (Devore 2016a).
Figura. Muestras con dispersión diferente. [@devore2016a]
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación ([Math Processing Error]xi) y la media [Math Processing Error]x¯ .(Anderson, Sweeney, and Williams 2008a).
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N}\]
siendo μ la media poblacional y N el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1}\]
siendo x¯ la media muestral y n el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea [Math Processing Error]ς para denotar la desviación estándar muestral y [Math Processing Error]σ para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a).
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.(Devore 2016b)
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[\sigma = \sqrt{\sigma^2}\]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[S = \sqrt{S^2}\]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%}\]
4 Desarrollo
4.1 Cargar librerías
Cargas las librerías necesarias para los ejercicios de todo el caso.
library(readr)
library(ggplot2)El desarrollo del caso inicia con un ejercicio obtenido del libro de (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a). El segundo ejercicio serán los datos de alumnos con la variable Promedio ya conocidos en casos anteriores.
4.2 Los datos de sueldos
Son datos de sueldos en dólares de trabajadores de una empresa.
datos <- c(3350,3450, 4650, 3580, 2355, 3350, 3500, 3770, 3550, 3935, 3510, 3480 )
datos <- data.frame(xi=datos)4.2.1 Varianza matemáticamente
Primero se creó un vector llamado datos, luego ese mismo vector se transformó en data.frame con el mismo nombre de datos.
En las siguientes lineas de código R, se utiliza una función llamada cbind() para agregar columnas al data.frame existente llamado datos. La función nrow() sirve para identificar cuántas observaciones tiene la muestra de los datos, es decir, el valor de n =12.
Al final debe haber un conjunto de datos con cinco columnas, “xi, media, diferencia, alcuadrado.”
Se determina la sumatoria de las diferencias al cuadrado conforme a la fórmula y con ello el valor de la varianza. Se genra tambien la variable media para utilizarse a lo largo del caso.
n <- nrow(datos)
summary(datos)## xi
## Min. :2355
## 1st Qu.:3425
## Median :3505
## Mean :3540
## 3rd Qu.:3628
## Max. :4650datos <- cbind(datos, media = mean(datos$xi))
datos <- cbind(datos, diferencia=datos$xi - datos$media)
datos <- cbind(datos, alcuadrado = datos$diferencia^2)
media <- mean(datos$xi)
datos## xi media diferencia alcuadrado
## 1 3350 3540 -190 36100
## 2 3450 3540 -90 8100
## 3 4650 3540 1110 1232100
## 4 3580 3540 40 1600
## 5 2355 3540 -1185 1404225
## 6 3350 3540 -190 36100
## 7 3500 3540 -40 1600
## 8 3770 3540 230 52900
## 9 3550 3540 10 100
## 10 3935 3540 395 156025
## 11 3510 3540 -30 900
## 12 3480 3540 -60 3600sumatoria <- sum(datos$alcuadrado)
sumatoria## [1] 2933350varianza <- sumatoria / (n-1)
varianza## [1] 266668.24.2.2 Desviación matemáticamente
desviacion <- sqrt(varianza)
desviacion## [1] 516.39924.2.3 Coeficiente de variación matemáticamente
CV <- desviacion / media * 100
CV## [1] 14.58755El Coeficiente de Variación indica que la desviación estándar muestral es sólo 4.6794627 % del valor de la media muestral. Entre más bajo sea el valor porcentual del CV menor dispersión se encuentran en los datos. En general, el coeficiente de variación es un estadístico útil para comparar la variabilidad de variables que tienen desviaciones estándar distintas y medias distintas. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008b).
4.2.4 Funciones en R para medidas de dispersión
Existen funciones en R que sirven para determinar varianza, desviación de manera directa, con ellas se podrá determinar de igual forma el coeficiente de variación. Las funciones son var() y sd() respectivamente para varianza y desviación estándar.
var(datos$xi)## [1] 266668.2#[1] 266668.2
sd(datos$xi)## [1] 516.3992#[1] 516.3992
CV <- sd(datos$xi) / mean(datos$xi) * 100
CV## [1] 14.587554.2.5 Dispersión de sueldos
Se muestra la dispersión del sueldo de cada trabajador y la linea horizontal indicando la media.
titulo <- "Sueldos"
subtitulo <- paste("Media =", round(media,2)," Varianza=",round(varianza,2)," Desv. Std.=",round(desviacion,2), " CV =", round(CV, 2),"%")
ggplot(data = datos, mapping = aes(x = 1:n, y = xi)) +
geom_point(colour = "black") +
geom_hline(yintercept = media, colour = "red") +
ggtitle(titulo, subtitle = subtitulo) +
xlab('Observaciones') + ylab('Sueldos')
4.3 Datos de alumnos
Se presenta un ejercicio de medidas de dispersión con datos de alumnos
4.3.1 Cargar los datos
Se descargan datos de la dirección url “Datos de alumno con promedio superior a cero” de github,; los datos ya vienen con la variable Promedio de todas las observaciones superior a cero. En los casos 5 y 4 se tuvo la necesidad de limpiar observaciones, en este caso 6 ya no es necesario hacer dicha tarea de limpieza de registros.
Nuevamente se utiliza la función readr() para descargar un archivo texto (CSV) separado por comas; en esta misma función se utiliza el argumento stringsAsFactors = TRUE que significa que desde la carga de los datos y desde un inicio se considere como categóricas o tipo factor a las variable que vienen como tipo string o character del conjunto de datos que se carga.
Se utiliza la función str() para conocer el tipo de estructura de los datos, además, despliega los tipos de datos de cada variable, las que son numéricas, factor, entre otros, y la cantidad de registros del conjunto de datos cargado a R.
Nuevamente la función summary() muestra sólo las columnas 4,5,8 y 9 únicamente, summary(datos[c(4,5,8,9)]).
datos <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/datos/promedios%20alumnos/datos.alumnosEJ2021.csv", stringsAsFactors = TRUE)
#datos$Carrera <- factor(datos$Carrera)
summary(datos[c(4,5,8,9)])## Alumno Semestre Promedio Carrera
## Min. : 1.0 Min. : 2.000 Min. : 70.00 INDUSTRIAL : 653
## 1st Qu.:106.0 1st Qu.: 3.000 1st Qu.: 83.25 ARQUITECTURA : 633
## Median :239.0 Median : 6.000 Median : 86.36 CIVIL : 594
## Mean :262.2 Mean : 5.826 Mean : 86.60 GESTION : 518
## 3rd Qu.:388.0 3rd Qu.: 8.000 3rd Qu.: 89.83 QUIMICA : 515
## Max. :755.0 Max. :17.000 Max. :100.00 ADMINISTRACION: 458
## (Other) :2164str(datos)## 'data.frame': 5535 obs. of 9 variables:
## $ X.1 : int 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
## $ X : int 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
## $ NoControl : int 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
## $ Alumno : int 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
## $ Semestre : int 12 13 10 13 10 10 13 11 11 10 ...
## $ Cr.Aprobados: int 207 226 235 231 235 235 231 197 235 231 ...
## $ Cr.Cursando : int 19 9 10 14 10 10 4 23 10 4 ...
## $ Promedio : num 79.8 82.5 95.2 79.3 92.7 ...
## $ Carrera : Factor w/ 14 levels "ADMINISTRACION",..: 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 ...4.3.2 Primeros y últimos cincuenta registros
Los primeros cincuenta registros
head(datos[,c(5,8,9)], 50)## Semestre Promedio Carrera
## 1 12 79.84 SISTEMAS
## 2 13 82.55 SISTEMAS
## 3 10 95.16 SISTEMAS
## 4 13 79.32 SISTEMAS
## 5 10 92.67 SISTEMAS
## 6 10 91.25 SISTEMAS
## 7 13 82.46 SISTEMAS
## 8 11 83.72 SISTEMAS
## 9 11 85.37 SISTEMAS
## 10 10 85.12 SISTEMAS
## 11 12 78.22 SISTEMAS
## 12 10 91.25 SISTEMAS
## 13 11 84.59 SISTEMAS
## 14 10 89.16 SISTEMAS
## 15 13 82.51 SISTEMAS
## 16 12 81.58 SISTEMAS
## 17 12 82.63 SISTEMAS
## 18 12 87.18 SISTEMAS
## 19 10 89.55 SISTEMAS
## 20 9 86.27 SISTEMAS
## 21 12 84.02 SISTEMAS
## 22 10 82.23 SISTEMAS
## 23 14 83.37 SISTEMAS
## 24 10 92.67 SISTEMAS
## 25 11 82.75 SISTEMAS
## 26 10 95.94 SISTEMAS
## 27 10 91.27 SISTEMAS
## 28 10 89.33 SISTEMAS
## 29 11 86.02 SISTEMAS
## 30 10 83.45 SISTEMAS
## 31 11 80.81 SISTEMAS
## 32 11 78.33 SISTEMAS
## 33 10 89.35 SISTEMAS
## 34 10 83.76 SISTEMAS
## 35 12 80.42 SISTEMAS
## 36 10 94.43 SISTEMAS
## 37 12 83.29 SISTEMAS
## 38 10 87.72 SISTEMAS
## 39 12 85.25 SISTEMAS
## 40 10 93.16 SISTEMAS
## 41 11 81.88 SISTEMAS
## 42 11 80.86 SISTEMAS
## 43 13 82.24 SISTEMAS
## 44 10 87.78 SISTEMAS
## 45 2 81.60 SISTEMAS
## 46 2 84.83 SISTEMAS
## 47 9 83.71 SISTEMAS
## 48 4 90.44 SISTEMAS
## 49 8 90.79 SISTEMAS
## 50 9 89.08 SISTEMASLos ultimos 50 registros
tail(datos[,c(5,8,9)], 50)## Semestre Promedio Carrera
## 5486 6 87.70 ARQUITECTURA
## 5487 6 81.96 ARQUITECTURA
## 5488 7 85.45 ARQUITECTURA
## 5489 3 93.75 ARQUITECTURA
## 5490 2 82.33 ARQUITECTURA
## 5491 3 82.80 ARQUITECTURA
## 5492 3 76.71 ARQUITECTURA
## 5493 5 87.05 ARQUITECTURA
## 5494 3 87.50 ARQUITECTURA
## 5495 9 83.70 ARQUITECTURA
## 5496 6 93.50 ARQUITECTURA
## 5497 2 91.67 ARQUITECTURA
## 5498 2 89.67 ARQUITECTURA
## 5499 3 89.83 ARQUITECTURA
## 5500 7 87.03 ARQUITECTURA
## 5501 5 87.25 ARQUITECTURA
## 5502 5 77.91 ARQUITECTURA
## 5503 4 88.38 ARQUITECTURA
## 5504 2 89.00 ARQUITECTURA
## 5505 2 86.17 ARQUITECTURA
## 5506 6 86.40 ARQUITECTURA
## 5507 3 91.50 ARQUITECTURA
## 5508 8 84.33 ARQUITECTURA
## 5509 3 91.75 ARQUITECTURA
## 5510 7 86.72 ARQUITECTURA
## 5511 6 89.13 ARQUITECTURA
## 5512 4 87.00 ARQUITECTURA
## 5513 4 86.21 ARQUITECTURA
## 5514 6 87.80 ARQUITECTURA
## 5515 4 88.83 ARQUITECTURA
## 5516 2 75.00 ARQUITECTURA
## 5517 2 84.00 ARQUITECTURA
## 5518 3 84.50 ARQUITECTURA
## 5519 6 85.55 ARQUITECTURA
## 5520 6 87.77 ARQUITECTURA
## 5521 8 86.11 ARQUITECTURA
## 5522 3 91.50 ARQUITECTURA
## 5523 4 84.36 ARQUITECTURA
## 5524 9 86.81 ARQUITECTURA
## 5525 3 87.80 ARQUITECTURA
## 5526 5 84.67 ARQUITECTURA
## 5527 4 81.27 ARQUITECTURA
## 5528 2 92.00 ARQUITECTURA
## 5529 9 87.59 ARQUITECTURA
## 5530 9 81.16 ARQUITECTURA
## 5531 7 84.43 ARQUITECTURA
## 5532 4 92.47 ARQUITECTURA
## 5533 4 89.74 ARQUITECTURA
## 5534 3 87.75 ARQUITECTURA
## 5535 2 86.50 ARQUITECTURA4.3.3 La media
media <- mean(datos$Promedio)
media## [1] 86.595224.3.4 La varianza
Se determina la varianza de la variable Promedio del conjunto de datos.
La variable Promedio es una variable cuantitativa que se que significa el promedio de alumnos inscritos en una Institución Educativa. Siendo variable cuantitativa se puede aplicar medidas de dispersión.
varianza <- var(datos$Promedio)
varianza## [1] 20.721464.3.5 La desviación
Se determina la desviación estándar de la variable Promedio del conjunto de datos.
desviacion <- sd(datos$Promedio)
desviacion## [1] 4.5520834.3.6 El coeficiente de variación
CV <- desviacion / media * 100
CV## [1] 5.2567374.3.7 Dispersión de Promedio
Se visualiza el diagrama de dispersión de todos los alumnos de todas las carreras en su variable Promedio.
titulo <- "Todos los alumnos"
subtitulo <- paste("Media=", round(media,2), " Varianza=",round(varianza,2)," Desv. Std.=",round(desviacion,2), " CV =", round(CV, 2),"%")
ggplot(data = datos, mapping = aes(x = X, y = Promedio)) +
geom_point(colour = "purple") +
geom_hline(yintercept = media, colour = "black") +
ggtitle(titulo, subtitle = subtitulo) +
xlab('Observaciones') + ylab('Promedios')
4.4 Tres carreras diferentes
Se eligen tres carreras diferentes, ARQUITECTURA, CIVIL, INDUSTRIAL # Datos ARQUITECTURA
datos.arquitectura <- subset(datos, Carrera == 'ARQUITECTURA')
head(datos.arquitectura)## X.1 X NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio
## 4903 4903 4903 1 1 10 227 10 91.96
## 4904 4904 4904 2 2 8 178 33 83.16
## 4905 4905 4905 3 3 10 176 34 81.68
## 4906 4906 4906 4 4 12 194 39 83.60
## 4907 4907 4907 5 5 10 172 18 81.51
## 4908 4908 4908 6 6 10 182 33 83.08
## Carrera
## 4903 ARQUITECTURA
## 4904 ARQUITECTURA
## 4905 ARQUITECTURA
## 4906 ARQUITECTURA
## 4907 ARQUITECTURA
## 4908 ARQUITECTURAmedia.arquitectura <- mean(datos.arquitectura$Promedio)
varianza.arquitectura <- var(datos.arquitectura$Promedio)
desviacion.arquitectura <- sd(datos.arquitectura$Promedio)
CV.arquitectura <- desviacion.arquitectura / media.arquitectura * 1004.4.2 Dispersión
En a instrucción ggplot(data = datos.civil, mapping = aes(x = Alumno, y = Promedio)) se toma en el eje de las X el consecutivo de la variable Alumnos, que es desde 1 hasta el último alumno de cada carrera; y en el eje de las Y’s el Promedio.
titulo <- "Alumnos Arquitectura"
subtitulo <- paste("Media=", round(media.arquitectura,2), " Varianza=",round(varianza.arquitectura,2)," Desv. Std.=",round(desviacion.arquitectura,2), " CV =", round(CV.arquitectura, 2),"%")
ggplot(data = datos.arquitectura, mapping = aes(x = Alumno, y = Promedio)) +
geom_point(colour = "yellow") +
geom_hline(yintercept = media, colour = "red") +
ggtitle(titulo, subtitle = subtitulo) +
xlab('Observaciones') + ylab('Promedios')
4.4.3 Datos de Civil
datos.civil <- subset(datos, Carrera == 'CIVIL')
head(datos.civil)## X.1 X NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio
## 3909 3909 3909 1 1 11 166 20 76.74
## 3910 3910 3910 2 2 10 178 20 79.76
## 3911 3911 3911 3 3 11 165 17 79.43
## 3912 3912 3912 4 4 11 211 24 77.57
## 3913 3913 3913 5 5 10 216 29 80.31
## 3914 3914 3914 6 6 10 220 15 78.54
## Carrera
## 3909 CIVIL
## 3910 CIVIL
## 3911 CIVIL
## 3912 CIVIL
## 3913 CIVIL
## 3914 CIVILmedia.civil <- mean(datos.civil$Promedio)
varianza.civil <- var(datos.civil$Promedio)
desviacion.civil <- sd(datos.civil$Promedio)
CV.civil <- desviacion.civil / media.civil * 1004.4.4 Dispersion
titulo <- "Alumnos Civil"
subtitulo <- paste("Media=", round(media.civil,2), " Varianza=",round(varianza.civil,2)," Desv. Std.=",round(desviacion.civil,2), " CV =", round(CV.civil, 2),"%")
ggplot(data = datos.civil, mapping = aes(x = Alumno, y = Promedio)) +
geom_point(colour = "green") +
geom_hline(yintercept = media, colour = "black") +
ggtitle(titulo, subtitle = subtitulo) +
xlab('Observaciones') + ylab('Promedios')
4.4.5 Datos de Industrial
datos.industrial <- subset(datos, Carrera == 'INDUSTRIAL')
head(datos.industrial)## X.1 X NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio
## 2708 2708 2708 1 1 10 221 14 85.04
## 2709 2709 2709 2 2 15 224 6 76.45
## 2710 2710 2710 3 3 14 250 10 87.41
## 2711 2711 2711 4 4 10 235 10 79.83
## 2712 2712 2712 5 5 12 218 27 80.78
## 2713 2713 2713 6 6 11 158 15 79.92
## Carrera
## 2708 INDUSTRIAL
## 2709 INDUSTRIAL
## 2710 INDUSTRIAL
## 2711 INDUSTRIAL
## 2712 INDUSTRIAL
## 2713 INDUSTRIALmedia.industrial <- mean(datos.industrial$Promedio)
varianza.industrial <- var(datos.industrial$Promedio)
desviacion.industrial <- sd(datos.industrial$Promedio)
CV.industrial <- desviacion.industrial / media.industrial * 1004.4.6 Dispersion
titulo <- "Alumnos Industrial"
subtitulo <- paste("Media=", round(media.industrial,2), " Varianza=",round(varianza.industrial,2)," Desv. Std.=",round(desviacion.industrial,2), " CV =", round(CV.industrial, 2),"%")
ggplot(data = datos.industrial, mapping = aes(x = Alumno, y = Promedio)) +
geom_point(colour = "black") +
geom_hline(yintercept = media, colour = "red") +
ggtitle(titulo, subtitle = subtitulo) +
xlab('Observaciones') + ylab('Promedios')
4.4.7 Dispersion de todas las carreras
ggplot(data = datos, mapping = aes(x = Alumno, y = Promedio, color = Carrera)) +
geom_point() +
facet_wrap(~ Carrera, nrow = 5) 
5 Interpretación del caso
¿A que se refieren las medidas de dispersión? Con el grado en que una distribución se estira o exprime
¿Qué significa la varianza en un conjunto de datos? y ¿cómo se determina en lenguaje R? Medida de dispersión que se utiliza para representar la variabilidad de un conjunto de datos respecto de la media aritmética de los mismo. Y se determina con dos formulas \[\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N}\] y \[S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1}\]
¿Qué significa la desviación estándar en un conjunto de datos? y ¿cómo se determina en lenguaje R? La desviación estándar es la medida de dispersión más común, que indica qué tan dispersos están los datos con respecto a la media. y se determina con dos formulas (c/u corresponde a diferente desviacion) \[\sigma = \sqrt{\sigma^2}\] y \[S = \sqrt{S^2}\]
¿A qué se refiere el coeficiente de variación en un conjunto de datos? y ¿cómo se determina en R? Es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media. El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas. y se determina con una formula (CV) \[CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%}\]
De los datos alumnos de aquellos que tienen promedio superior a cero, ¿cuál es el valor de la media, de la varianza, de la desviación estándar y del coeficiente de variación de todos ellos conforme a la variable o columna Promedio? > media [1] 86.59522 > varianza [1] 20.72146 > desviacion [1] 4.552083 > CV [1] 5.26%
Seleccione tres carreras al azar e indique cuáles seleccionaron, determine los coeficiente de variación para cada carrera o para cada conjunto de datos de cada carrra conforme a la variable Promedio. ¿Cuál de los tres conjuntos tiene mayor y menor coeficiente de variación? >ARQUITECTURA CV= 4.66% #MENOR >INDUSTRIAL CV= 5.08% > CIVIL CV= 5.09% #MAYOR
¿Qué les deja el caso? Un buen aprendizaje tanto en la graficacion de un nuevo modo, el cual es muy atractivo y eso hace querer aprender mas sobre este programa, nuevas maneras de adquirir algun dato de una forma mas facil o bien, entendible para la mayoria de nosotros.
Referencias bibliográficas
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008a. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. ———. 2008b. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,. Devore, Jay L. 2016b. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE. ———. 2016a. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.