CASO6

1 Objetivo

Identificar, describir e interpretar medidas de variabilidad en un conjunto de datos.

2 Descripción

El caso se relaciona con identificar medidas de variabilidad como la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.

Primero se utilizan datos del libro del autor (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a) como ejemplo para calcular la varianza, y a partir de ahí, se determina la desviación y finalmente el coeficiente de variación.

Segundo con datos de alumnos se calculan las mismas medias de dispersión, luego, se selecciona tres carreras y se determina cuál de los tres conjuntos de datos tiene mayor o menor dispersión conforme al valor % del coeficiente de variación.

3 Marco de referencia

¿Para que sirven las medidas de dispersión?

El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. (Devore 2016a)

La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.

La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto. (Devore 2016a).

3.1 Varianza

La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (xixi) y la media x¯x¯ .(Anderson, Sweeney, and Williams 2008a).

3.1.1 Fórmulas

Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.

Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.

3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional

\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]

siendo μμ la media poblacional y NN el total de los datos de la población.

3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral

\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]

siendo x¯x¯ la media muestral y nn el total de los datos de la muestra.

Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.

3.2 Desviación estándar

La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea ςς para denotar la desviación estándar muestral y σσ para denotar la desviación estándar poblacional.

¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.

Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a).

Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.(Devore 2016b)

3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral

\[ S = \sqrt{S^2} \]

3.3 Coeficiente de variación (CV)

En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.

La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.

\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]

4 Desarrollo

4.1 Cargar librerías

Cargas las librerías necesarias para los ejercicios de todo el caso.

library(readr)

## Warning: package 'readr' was built under R version 4.0.4

library(ggplot2)

## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.4

El desarrollo del caso inicia con un ejercicio obtenido del libro de (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a). El segundo ejercicio serán los datos de alumnos con la variable Promedio ya conocidos en casos anteriores.

4.2 Los datos de sueldos

Son datos de sueldos en dólares de trabajadores de una empresa.

datos <- c(3450,3550, 3650, 3480, 3355, 3310, 3490, 3730, 3540, 3925, 3520, 3480 )

datos <- data.frame(xi=datos)

4.2.1 Varianza matemáticamente

Primero se creó un vector llamado datos, luego ese mismo vector se transformó en data.frame con el mismo nombre de datos.

En las siguientes lineas de código R, se utiliza una función llamada cbind() para agregar columnas al data.frame existente llamado datos. La función nrow() sirve para identificar cuántas observaciones tiene la muestra de los datos, es decir, el valor de nn =12.

Al final debe haber un conjunto de datos con cinco columnas, “xi, media, diferencia, alcuadrado.”

Se determina la sumatoria de las diferencias al cuadrado conforme a la fórmula y con ello el valor de la varianza. Se genra tambien la variable media para utilizarse a lo largo del caso.

n <- nrow(datos)

summary(datos)

##        xi      
##  Min.   :3310  
##  1st Qu.:3472  
##  Median :3505  
##  Mean   :3540  
##  3rd Qu.:3575  
##  Max.   :3925

datos <- cbind(datos, media = mean(datos$xi))
datos <- cbind(datos, diferencia=datos$xi - datos$media)
datos <- cbind(datos, alcuadrado = datos$diferencia^2)


media <- mean(datos$xi)


datos

##      xi media diferencia alcuadrado
## 1  3450  3540        -90       8100
## 2  3550  3540         10        100
## 3  3650  3540        110      12100
## 4  3480  3540        -60       3600
## 5  3355  3540       -185      34225
## 6  3310  3540       -230      52900
## 7  3490  3540        -50       2500
## 8  3730  3540        190      36100
## 9  3540  3540          0          0
## 10 3925  3540        385     148225
## 11 3520  3540        -20        400
## 12 3480  3540        -60       3600

sumatoria <- sum(datos$alcuadrado)
sumatoria

## [1] 301850

varianza <- sumatoria / (n-1)
varianza

## [1] 27440.91

4.2.2 Desviación matemáticamente

desviacion <- sqrt(varianza)
desviacion

## [1] 165.653

4.2.3 Coeficiente de variación matemáticamente

CV <- desviacion / media * 100
CV

## [1] 4.679463

El Coeficiente de Variación indica que la desviación estándar muestral es sólo 4.6794627 % del valor de la media muestral. Entre más bajo sea el valor porcentual del CV menor dispersión se encuentran en los datos. En general, el coeficiente de variación es un estadístico útil para comparar la variabilidad de variables que tienen desviaciones estándar distintas y medias distintas. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008b).

4.2.4 Funciones en R para medidas de dispersión

Existen funciones en R que sirven para determinar varianza, desviación de manera directa, con ellas se podrá determinar de igual forma el coeficiente de variación. Las funciones son var() y sd() respectivamente para varianza y desviación estándar.

var(datos$xi)

## [1] 27440.91

#[1] 27440.91

sd(datos$xi)

## [1] 165.653

#[1] 165.653

CV <- sd(datos$xi) / mean(datos$xi) * 100
CV

## [1] 4.679463

4.2.5 Dispersión de sueldos

Se muestra la dispersión del sueldo de cada trabajador y la linea horizontal indicando la media.

titulo <- "Sueldos"
subtitulo <- paste("Media =", round(media,2)," Varianza=",round(varianza,2)," Desv. Std.=",round(desviacion,2), " CV =", round(CV, 2),"%") 
ggplot(data = datos, mapping = aes(x = 1:n,  y = xi)) + 
  geom_point(colour = "purple") +
  geom_hline(yintercept = media, colour = "black") +
  ggtitle(titulo, subtitle = subtitulo) +
  xlab('Observaciones') + ylab('Sueldos')

4.3 Datos de alumnos

Se presenta un ejercicio de medidas de dispersión con datos de alumnos

4.3.1 Cargar los datos

Se descargan datos de la dirección url “Datos de alumno con promedio superior a cero” de github,; los datos ya vienen con la variable Promedio de todas las observaciones superior a cero. En los casos 5 y 4 se tuvo la necesidad de limpiar observaciones, en este caso 6 ya no es necesario hacer dicha tarea de limpieza de registros.

Nuevamente se utiliza la función readr() para descargar un archivo texto (CSV) separado por comas; en esta misma función se utiliza el argumento stringsAsFactors = TRUE que significa que desde la carga de los datos y desde un inicio se considere como categóricas o tipo factor a las variable que vienen como tipo string o character del conjunto de datos que se carga.

Se utiliza la función str() para conocer el tipo de estructura de los datos, además, despliega los tipos de datos de cada variable, las que son numéricas, factor, entre otros, y la cantidad de registros del conjunto de datos cargado a R.

Nuevamente la función summary() muestra sólo las columnas 2,4,8 y 9 únicamente, summary(datos[c(2,4,8,9)]).

datos <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/datos/promedios%20alumnos/datos.alumnosEJ2021.csv", stringsAsFactors = TRUE)

#datos$Carrera <- factor(datos$Carrera)

summary(datos[c(2,4,8,9)])

##        X             Alumno         Promedio               Carrera   
##  Min.   :  1.0   Min.   :  1.0   Min.   :70.00                 :  1  
##  1st Qu.:185.8   1st Qu.: 47.0   1st Qu.:84.47   ADMINISTRACION:182  
##  Median :370.5   Median :104.0   Median :87.67   INFORMATICA   : 95  
##  Mean   :370.5   Mean   :142.0   Mean   :87.62   SISTEMAS      :386  
##  3rd Qu.:555.2   3rd Qu.:217.2   3rd Qu.:90.81   TIC           : 76  
##  Max.   :740.0   Max.   :419.0   Max.   :99.00                       
##                                  NA's   :1

str(datos)

## 'data.frame':    740 obs. of  9 variables:
##  $ X.1         : int  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
##  $ X           : int  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
##  $ NoControl   : int  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
##  $ Alumno      : int  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
##  $ Semestre    : int  12 13 10 13 10 10 13 11 11 10 ...
##  $ Cr.Aprobados: int  207 226 235 231 235 235 231 197 235 231 ...
##  $ Cr.Cursando : int  19 9 10 14 10 10 4 23 10 4 ...
##  $ Promedio    : num  79.8 82.5 95.2 79.3 92.7 ...
##  $ Carrera     : Factor w/ 5 levels "","ADMINISTRACION",..: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ...

4.3.2 Primeros y últimos cincuenta registros

Los primeros cincuenta registros

head(datos[,c(2,8,9)], 50)

##     X Promedio  Carrera
## 1   1    79.84 SISTEMAS
## 2   2    82.55 SISTEMAS
## 3   3    95.16 SISTEMAS
## 4   4    79.32 SISTEMAS
## 5   5    92.67 SISTEMAS
## 6   6    91.25 SISTEMAS
## 7   7    82.46 SISTEMAS
## 8   8    83.72 SISTEMAS
## 9   9    85.37 SISTEMAS
## 10 10    85.12 SISTEMAS
## 11 11    78.22 SISTEMAS
## 12 12    91.25 SISTEMAS
## 13 13    84.59 SISTEMAS
## 14 14    89.16 SISTEMAS
## 15 15    82.51 SISTEMAS
## 16 16    81.58 SISTEMAS
## 17 17    82.63 SISTEMAS
## 18 18    87.18 SISTEMAS
## 19 19    89.55 SISTEMAS
## 20 20    86.27 SISTEMAS
## 21 21    84.02 SISTEMAS
## 22 22    82.23 SISTEMAS
## 23 23    83.37 SISTEMAS
## 24 24    92.67 SISTEMAS
## 25 25    82.75 SISTEMAS
## 26 26    95.94 SISTEMAS
## 27 27    91.27 SISTEMAS
## 28 28    89.33 SISTEMAS
## 29 29    86.02 SISTEMAS
## 30 30    83.45 SISTEMAS
## 31 31    80.81 SISTEMAS
## 32 32    78.33 SISTEMAS
## 33 33    89.35 SISTEMAS
## 34 34    83.76 SISTEMAS
## 35 35    80.42 SISTEMAS
## 36 36    94.43 SISTEMAS
## 37 37    83.29 SISTEMAS
## 38 38    87.72 SISTEMAS
## 39 39    85.25 SISTEMAS
## 40 40    93.16 SISTEMAS
## 41 41    81.88 SISTEMAS
## 42 42    80.86 SISTEMAS
## 43 43    82.24 SISTEMAS
## 44 44    87.78 SISTEMAS
## 45 45    81.60 SISTEMAS
## 46 46    84.83 SISTEMAS
## 47 47    83.71 SISTEMAS
## 48 48    90.44 SISTEMAS
## 49 49    90.79 SISTEMAS
## 50 50    89.08 SISTEMAS

Los últimos cincuenta registros

tail(datos[,c(2,8,9)], 50)

##       X Promedio        Carrera
## 691 691    88.28 ADMINISTRACION
## 692 692    86.86 ADMINISTRACION
## 693 693    95.42 ADMINISTRACION
## 694 694    86.88 ADMINISTRACION
## 695 695    89.79 ADMINISTRACION
## 696 696    86.73 ADMINISTRACION
## 697 697    85.86 ADMINISTRACION
## 698 698    85.20 ADMINISTRACION
## 699 699    92.75 ADMINISTRACION
## 700 700    93.55 ADMINISTRACION
## 701 701    89.25 ADMINISTRACION
## 702 702    92.92 ADMINISTRACION
## 703 703    82.50 ADMINISTRACION
## 704 704    91.44 ADMINISTRACION
## 705 705    92.44 ADMINISTRACION
## 706 706    95.17 ADMINISTRACION
## 707 707    93.00 ADMINISTRACION
## 708 708    85.13 ADMINISTRACION
## 709 709    97.67 ADMINISTRACION
## 710 710    90.98 ADMINISTRACION
## 711 711    92.30 ADMINISTRACION
## 712 712    88.32 ADMINISTRACION
## 713 713    87.50 ADMINISTRACION
## 714 714    97.17 ADMINISTRACION
## 715 715    84.50 ADMINISTRACION
## 716 716    92.67 ADMINISTRACION
## 717 717    86.36 ADMINISTRACION
## 718 718    88.79 ADMINISTRACION
## 719 719    98.17 ADMINISTRACION
## 720 720    91.93 ADMINISTRACION
## 721 721    94.50 ADMINISTRACION
## 722 722    86.60 ADMINISTRACION
## 723 723    92.83 ADMINISTRACION
## 724 724    85.00 ADMINISTRACION
## 725 725    84.92 ADMINISTRACION
## 726 726    97.11 ADMINISTRACION
## 727 727    91.72 ADMINISTRACION
## 728 728    91.40 ADMINISTRACION
## 729 729    87.71 ADMINISTRACION
## 730 730    86.29 ADMINISTRACION
## 731 731    94.41 ADMINISTRACION
## 732 732    88.79 ADMINISTRACION
## 733 733    90.00 ADMINISTRACION
## 734 734    92.78 ADMINISTRACION
## 735 735    89.48 ADMINISTRACION
## 736 736    85.86 ADMINISTRACION
## 737 737    94.62 ADMINISTRACION
## 738 738    89.47 ADMINISTRACION
## 739 739    86.66 ADMINISTRACION
## 740 740       NA

4.3.3 La media

media <- mean(datos$Promedio)
media

## [1] NA

4.3.4 La varianza

Se determina la varianza de la variable Promedio del conjunto de datos.

La variable Promedio es una variable cuantitativa que se que significa el promedio de alumnos inscritos en una Institución Educativa. Siendo variable cuantitativa se puede aplicar medidas de dispersión.

varianza <- var(datos$Promedio)
varianza

## [1] NA

4.3.5 La desviación

Se determina la desviación estándar de la variable Promedio del conjunto de datos.

desviacion <- sd(datos$Promedio)
desviacion

## [1] NA

4.3.6 El coeficiente de variación

CV <- desviacion / media * 100
CV

## [1] NA

4.3.7 Dispersión de Promedio

Se visualiza el diagrama de dispersión de todos los alumnos de todas las carreras en su variable Promedio.

titulo <- "Todos los alumnos"
subtitulo <- paste("Media=", round(media,2), " Varianza=",round(varianza,2)," Desv. Std.=",round(desviacion,2), " CV =", round(CV, 2),"%") 
ggplot(data = datos, mapping = aes(x = X,  y = Promedio)) + 
  geom_point(colour = "blue") +
  geom_hline(yintercept = media, colour = "red") +
  ggtitle(titulo, subtitle = subtitulo) +
  xlab('Observaciones') + ylab('Promedios')

## Warning: Removed 1 rows containing missing values (geom_point).

## Warning: Removed 1 rows containing missing values (geom_hline).

4.4 Tres carreras diferentes

Se eligen tres carreras diferentes, ARQUITECTURA, CIVIL, INDUSTRIAL

4.4.1 Datos Arquitectura

datos.arquitectura <- subset(datos, Carrera == 'ARQUITECTURA') 

head(datos.arquitectura)

## [1] X.1          X            NoControl    Alumno       Semestre    
## [6] Cr.Aprobados Cr.Cursando  Promedio     Carrera     
## <0 rows> (or 0-length row.names)

media.arquitectura <- mean(datos.arquitectura$Promedio)
varianza.arquitectura <- var(datos.arquitectura$Promedio)
desviacion.arquitectura <- sd(datos.arquitectura$Promedio)
CV.arquitectura <- desviacion.arquitectura / media.arquitectura * 100

4.4.2 Dispersión

En a instrucción ggplot(data = datos.civil, mapping = aes(x = Alumno, y = Promedio)) se toma en el eje de las X el consecutivo de la variable Alumnos, que es desde 1 hasta el último alumno de cada carrera; y en el eje de las Y’s el Promedio.

titulo <- "Alumnos Arquitectura"
subtitulo <- paste("Media=", round(media.arquitectura,2), " Varianza=",round(varianza.arquitectura,2)," Desv. Std.=",round(desviacion.arquitectura,2), " CV =", round(CV.arquitectura, 2),"%") 
ggplot(data = datos.arquitectura, mapping = aes(x = Alumno,  y = Promedio)) + 
  geom_point(colour = "orange") +
  geom_hline(yintercept = media, colour = "red") +
  ggtitle(titulo, subtitle = subtitulo) +
  xlab('Observaciones') + ylab('Promedios')

## Warning: Removed 1 rows containing missing values (geom_hline).

4.4.3 Datos Civil

datos.civil <- subset(datos, Carrera == 'CIVIL') 

head(datos.civil)

## [1] X.1          X            NoControl    Alumno       Semestre    
## [6] Cr.Aprobados Cr.Cursando  Promedio     Carrera     
## <0 rows> (or 0-length row.names)

4.4.5 Datos Industrial

datos.industrial <- subset(datos, Carrera == 'INDUSTRIAL') 

head(datos.industrial)

## [1] X.1          X            NoControl    Alumno       Semestre    
## [6] Cr.Aprobados Cr.Cursando  Promedio     Carrera     
## <0 rows> (or 0-length row.names)

media.industrial <- mean(datos.industrial$Promedio)
varianza.industrial <- var(datos.industrial$Promedio)
desviacion.industrial <- sd(datos.industrial$Promedio)
CV.industrial <- desviacion.industrial / media.industrial * 100

4.4.6 Dispersión

titulo <- "Alumnos Industrial"
subtitulo <- paste("Media=", round(media.industrial,2), " Varianza=",round(varianza.industrial,2)," Desv. Std.=",round(desviacion.industrial,2), " CV =", round(CV.industrial, 2),"%") 
ggplot(data = datos.industrial, mapping = aes(x = Alumno,  y = Promedio)) + 
  geom_point(colour = "green") +
  geom_hline(yintercept = media, colour = "red") +
  ggtitle(titulo, subtitle = subtitulo) +
  xlab('Observaciones') + ylab('Promedios')

## Warning: Removed 1 rows containing missing values (geom_hline).

4.4.7 Dispersión de todas las carreras

ggplot(data = datos, mapping = aes(x = Alumno, y = Promedio, color = Carrera)) +
         geom_point() +
         facet_wrap(~ Carrera, nrow = 5) 

## Warning: Removed 1 rows containing missing values (geom_point).

Interpretación del caso

• ¿A que se refieren las medidas de dispersión?

Las medidas de dispersión son números que indican si una variable se mueve mucho, poco, más o menos que otra.

• ¿Qué significa la varianza en un conjunto de datos? y ¿cómo se determina en lenguaje R?

La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a su media.

Se determina la varianza de la variable Promedio del conjunto de datos.

• ¿Qué significa la desviación estándar en un conjunto de datos? y ¿cómo se determina en lenguaje R?

La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.

La desviacion estandar es un índice numérico de la dispersión de un conjunto de datos (o población). Mientras mayor es la desviación estándar, mayor es la dispersión de la población. La desviación estándar es un promedio de las desviaciones individuales de cada observación con respecto a la media de una distribución.

• ¿A qué se refiere el coeficiente de variación en un conjunto de datos? y ¿cómo se determina en R?

El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media. El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas.

La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.

• De los datos alumnos de aquellos que tienen promedio superior a cero, ¿cuál es el valor de la media, de la varianza, de la desviación estándar y del coeficiente de variación de todos ellos conforme a la variable o columna Promedio?

media= 86.59

varianza= 20.72

desviación= 4.55

CV= 5.25

• Seleccione tres carreras al azar e indique cuáles seleccionaron, determine los coeficiente de variación para cada carrera o para cada conjunto de datos de cada carrera conforme a la variable Promedio. ¿Cuál de los tres conjuntos tiene mayor y menor coeficiente de variación y qué significa?.

ARQUITECTURA

CV = 4.66

CIVIL

CV= 5.09

INDUSTRIAL

CV= 5.08

• ¿Qué les deja el caso?

Saber cuáles son las medidas de dispersión y cómo utilizarlas en el lenguaje R

Referencias bibliográficas

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