Caso 5. Cuartiles y percentiles
Yahira Tenorio
15/3/2021
1 OBJETIVO
Determinar medidas de localización basadas en estadísticos cuartiles y percentiles utilizando de un conjunto de datos así como determinar su significado, visualización e interpretación.
2 DESCRIPCIÓN
El caso pretende dar a conocer como determinar cuartiles y percentiles de un conjunto de datos.
Los datos será simulados, primero un conjunto de valores numéricos y la segunda parte se hace uso de los datos descargados del promedio de alumnos.
Este caso inicia con la declaración con cargar las librerías, posteriormente, se simulan los datos y se descargan los datos de alumnos, finalmente se aplican los cuartiles y percentiles así como su visualización , se identifica también su significado e interpretación.
3 MARCO TEÓRICO
Existen además de la media, mediana y moda otras medidas de posición, estas consisten en determinar la ubicación de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales. Estas medidas son los cuartiles, deciles y percentiles. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).
Los cuartiles dividen a un conjunto de observaciones en cuatro partes iguales de en un conjunto de valores ordenados de menor a mayor. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).
Hablando de medida de localización mediana, esta significa que señala el centro de los datos ordenados, es decir al 50%50% o 0.500.50.
De igual manera, los cuartiles dividen a un conjunto de observaciones en cuatro partes iguales. El primer cuartil, que se representa mediante Q1, es el valor bajo el cual se presenta 25%25% o 0.250.25 de las observaciones, y el tercer cuartil, simbolizado por Q3, es el valor bajo el cual se presenta 75%75% o 0.750.75 de las observaciones. El cuartil dos 2 es igual al valor que se representa el 50%50% es decir igua a la mediana. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).
Hablar de percentiles (porcentaje) significa encontrar el valor de los datos ordenados en una localización porcentual entre 11 y 100100, es decir al 2020, al 45%45%, al 60%60% o al 85%85%, es decir cualquier valor entre 1%1% y 100%100% en términos porcentuales o lo que es lo mismo cualquier valor entre 00 y 11 en términos relativos.
Los deciles significa dividir el conjunto de datos ordenados en 10 partes, de tal forma que el primer decil está al 10%10%, el segundo al 20%20% y así sucesivamente hasta llegar al 100%100%.
Algunos razonmientos e igualdades sería por ejemplo, el cuartil 11 o Q1Q1 que es el 25%25%, es igual al percentil 2525; el decil 66 al 60%60% es igual al percentil 6060, y así algunas similitudes de localización.
La interpretación de cuartiles, percentiles y deciles radica en determinar cuántos datos están por encima o por debajo de esa medida de localización.
Por ejemplo como lo menciona Lind (2015), si un promedio general de estudiantes en la universidad se encuentra en el octavo decil, se podría concluir que 80%80% de los estudiantes tuvieron un promedio general inferior a ese valor y un 20%20% superior al valor encontrado. Si un promedio estuvo en el 92 percentil, entonces 92%92% de los estudiantes tuvo ese promedio general menor al valor encontrado, y solo 8%8% de ellos tuvo uno mayor.(Lind, Marchal, and Wathen 2015).
Lo mismo sucede con los cuartiles, significa interpretar y determinar el porcentaje y la cantidad de elementos que está por encima o por debajo del 25%25%, del 50%50% o del 75%75% de los datos.
Para determinar el valor de un cuartil o un percentil se puede utilizar la siguiente fórmula
3.1 Fórmula para cuartiles, deciles y percentiles
\[L_p = (n+1) \cdot \frac{p}{100}\]
Siendo:
LpLp El valor del percentil o del cuartil a buscar
nn Es el total de los datos pp Es el valor porcentual 25,30,50,75,….25,30,50,75,….
100100 dividido entre cien es el valor relativo
3.2 Visualización de cuartiles
El diagrama de caja permite es una representación gráfica basada en cuartiles que ayuda a presentar un conjunto de datos. Para construir un diagrama de caja solo se necesitan estos estadísticos: valor mínimo, Q1 (primer cuartil), mediana o Q2 (segundo cuartil), Q3 (tercer cuartil) y valor máximo.
Diagrama de caja o diagrama de bigotes
El diagrama de caja también revele el concepto de rango intercuartil que significa la cantidad o la densidad de elementos que hay entre el Q1Q1 y Q3Q3; este rango inercuartil significa que el 50%50% de los datos está en ese rango.
Luego existe otro significado del diagrama, se pueden ver cuales son valores atípicos, extraños, muy altos o muy bajos, o outliers en inglés. Un dato atípico se trata de un valor que no concuerda con el resto de los datos. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).
Se define como un valor más de 1.5 veces la amplitud del rango intercuartil más pequeño que Q1, o mayor que Q3. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).
\[\text{dato atípico > Q3}=Q3 + 1.5\cdot(Q3-Q1)) \]
y
\[\text{dato atípico < Q1}=Q1 - 1.5\cdot(Q3-Q1))\] estos datos se encuentran a 1.5 veces el valor del rango entercuartil
\[\text{rango intercuartil RI =}Q3 - Q1\]
3.3 Función quantile() en R
En Lenguaje R se utiliza la función quantile para determinar tanto cuartiles como percentiles y hasta deciles.
La función tiene un atributo type que permite determinar los cuartiles de acuerdo a autores y cada uno de ellos con sus fórmulas matemáticas para su cálculo, finalmente los valores que da una u otra fórmula son muy similares entre si y lo trascendente es el significado y la interpretación que hay que darle a estas medidas de localización.
4 DESARROLLO
El desarrollo del caso utiliza primero datos simulados.
Luego, se utilizan y se descargan los datos de alumnos que existen en la dirección “alumnos.”
Con ambos datos se encuentran cuartiles y percentiles; finalmente se visualizan con diagramas de cajas utilizando la librería ggplot.
Al final del caso se busca la interpretación del mismo.
4.1 Cargar librerías
Se cargan las librerías readr y ggplot2 cuya utilidad es disponer de funciones para importar datos de archivos separados por coma o csv y visualizar diversos tipos de gráficos respectivamente.
library(readr)## Warning: package 'readr' was built under R version 4.0.4library(ggplot2)## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.44.2 Datos simulados
4.2.1 Crear datos con sample
Se crean datos con la función sample de tal vez 100 valores de edades de personas entre 18 y 65. La variable datos es un vector que almacena dichos valores.
set.seed(2021)
datos <- sample(18:65, 100, replace = TRUE)
datos## [1] 24 55 63 56 29 23 55 55 63 22 64 56 58 40 29 35 20 63 57 43 53 54 39 48 65
## [26] 51 36 21 39 22 26 55 35 60 23 39 23 32 51 39 33 32 41 34 55 54 37 21 47 25
## [51] 36 20 19 34 57 58 48 26 46 44 28 53 55 63 32 35 26 36 33 61 51 54 59 61 39
## [76] 55 44 61 30 50 63 38 42 48 62 28 26 40 60 39 53 47 63 65 24 46 18 36 62 53n <- length(datos)
n## [1] 1004.2.2 Agregando datos atípicos a los datos
datos <- c(datos, c(-13,9,96,150))
datos## [1] 24 55 63 56 29 23 55 55 63 22 64 56 58 40 29 35 20 63
## [19] 57 43 53 54 39 48 65 51 36 21 39 22 26 55 35 60 23 39
## [37] 23 32 51 39 33 32 41 34 55 54 37 21 47 25 36 20 19 34
## [55] 57 58 48 26 46 44 28 53 55 63 32 35 26 36 33 61 51 54
## [73] 59 61 39 55 44 61 30 50 63 38 42 48 62 28 26 40 60 39
## [91] 53 47 63 65 24 46 18 36 62 53 -13 9 96 1504.2.3 Ordenando los dados con order
Ordenando y mostrando los datos para luego determinar medidas de localización cuartiles y percentiles
datos.ordenados <- datos[order(datos)]
datos.ordenados## [1] -13 9 18 19 20 20 21 21 22 22 23 23 23 24 24 25 26 26
## [19] 26 26 28 28 29 29 30 32 32 32 33 33 34 34 35 35 35 36
## [37] 36 36 36 37 38 39 39 39 39 39 39 40 40 41 42 43 44 44
## [55] 46 46 47 47 48 48 48 50 51 51 51 53 53 53 53 54 54 54
## [73] 55 55 55 55 55 55 55 56 56 57 57 58 58 59 60 60 61 61
## [91] 61 62 62 63 63 63 63 63 63 64 65 65 96 1504.2.4 Cuartiles conforme a fórmula
\[4.2.4 Cuartiles conforme a fórmula\]
Estos valores deberán ser aproximados a utilizar la función quantile() en R
q1 <- datos.ordenados[(n+1) * 25/100]; q1## [1] 30q2 <- datos.ordenados[(n+1) * 50/100]; q2## [1] 41q3 <- datos.ordenados[(n+1) * 75/100]; q3## [1] 55Para el resto del caso se le hará caso a los valores generados por la función quantile().
4.2.5 Cuartiles por medio de la función quantile()
Q1 <- quantile(datos, c(0.25), type = 6); Q1## 25%
## 32Q2 <- quantile(datos, c(0.50), type = 6); Q2## 50%
## 43.5Q3 <- quantile(datos, c(0.75), type = 6); Q3## 75%
## 55La mediana siempre será igual al cuartil del 50% o al segundo cuartil
mediana <- median(datos)
mediana## [1] 43.5Q2## 50%
## 43.54.2.6 Percentiles
Los percentiles es dividir los datos en un procentaje a decisión del analista, puede ser al 10%, al 20%, al 30%… al 90%
P10 <- quantile(datos, c(0.10)); P10## 10%
## 23percentiles <- quantile(datos, c(0.2, 0.40, 0.50, 0.60, 0.80), type = 6)
percentiles## 20% 40% 50% 60% 80%
## 28.0 39.0 43.5 51.0 58.04.2.7 Máximos y mínimos
Se determinan los valores mínimos y máximos y se muestran.
La función summary() describe los mismos datos
minimo <- min(datos)
maximo <- max(datos)
minimo; Q1; Q2; Q3; maximo## [1] -13## 25%
## 32## 50%
## 43.5## 75%
## 55## [1] 150summary(datos)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## -13.00 32.00 43.50 43.93 55.00 150.004.2.8 Convertir a data.frame
El vector de los datos se transforma a estructura data.frame para poderlo tratar con la libería ggplot2.
datos <- data.frame(datos)
datos## datos
## 1 24
## 2 55
## 3 63
## 4 56
## 5 29
## 6 23
## 7 55
## 8 55
## 9 63
## 10 22
## 11 64
## 12 56
## 13 58
## 14 40
## 15 29
## 16 35
## 17 20
## 18 63
## 19 57
## 20 43
## 21 53
## 22 54
## 23 39
## 24 48
## 25 65
## 26 51
## 27 36
## 28 21
## 29 39
## 30 22
## 31 26
## 32 55
## 33 35
## 34 60
## 35 23
## 36 39
## 37 23
## 38 32
## 39 51
## 40 39
## 41 33
## 42 32
## 43 41
## 44 34
## 45 55
## 46 54
## 47 37
## 48 21
## 49 47
## 50 25
## 51 36
## 52 20
## 53 19
## 54 34
## 55 57
## 56 58
## 57 48
## 58 26
## 59 46
## 60 44
## 61 28
## 62 53
## 63 55
## 64 63
## 65 32
## 66 35
## 67 26
## 68 36
## 69 33
## 70 61
## 71 51
## 72 54
## 73 59
## 74 61
## 75 39
## 76 55
## 77 44
## 78 61
## 79 30
## 80 50
## 81 63
## 82 38
## 83 42
## 84 48
## 85 62
## 86 28
## 87 26
## 88 40
## 89 60
## 90 39
## 91 53
## 92 47
## 93 63
## 94 65
## 95 24
## 96 46
## 97 18
## 98 36
## 99 62
## 100 53
## 101 -13
## 102 9
## 103 96
## 104 1504.2.9 Diagrama de caja de los datos
4.2.9.1 Diagrama de caja en función del eje de las x.
ggplot(data = datos, mapping = aes(x=datos)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")
4.2.9.2 Diagrama de caja en función del eje de las y.
ggplot(data = datos, mapping = aes(y=datos)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")
4.3 Datos de alumnos
4.3.1 Importar datos
Se importan los datos de alumnos.
Cabe hacer notar que en este conjunto de datos existen datos en la variable Promedio que son igual a cero, esto se interpreta como datos atípicos o que tal vez no debieran ser considerados en análisis estadísticos.
datos.alumnos <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/datos/promedios%20alumnos/ALUMNOS%20EJ2021.csv")
head(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio Carrera
## 1 1 1 12 207 19 79.84 SISTEMAS
## 2 2 2 13 226 9 82.55 SISTEMAS
## 3 3 3 10 235 10 95.16 SISTEMAS
## 4 4 4 13 231 14 79.32 SISTEMAS
## 5 5 5 10 235 10 92.67 SISTEMAS
## 6 6 6 10 235 10 91.25 SISTEMASn <- nrow(datos.alumnos)
n## [1] 60424.3.2 Summary de datos.alumnos
Se factoriza la variable Carrera para que en summary se obtenga la frecuencia de la columna Carrera.
datos.alumnos$Carrera <- factor(datos.alumnos$Carrera)
summary(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados
## Min. : 1.0 Min. : 1.0 Min. : 1.000 Min. : 0.0
## 1st Qu.:112.0 1st Qu.:112.0 1st Qu.: 3.000 1st Qu.: 53.0
## Median :245.0 Median :245.0 Median : 5.000 Median :109.0
## Mean :268.1 Mean :268.1 Mean : 5.428 Mean :114.8
## 3rd Qu.:394.0 3rd Qu.:394.0 3rd Qu.: 8.000 3rd Qu.:172.0
## Max. :755.0 Max. :755.0 Max. :17.000 Max. :264.0
## NA's :499
## Cr.Cursando Promedio Carrera
## Min. : 3.00 Min. : 0.00 ARQUITECTURA : 755
## 1st Qu.:23.00 1st Qu.: 82.20 INDUSTRIAL : 721
## Median :27.00 Median : 85.83 CIVIL : 674
## Mean :26.09 Mean : 79.33 QUIMICA : 564
## 3rd Qu.:30.00 3rd Qu.: 89.50 GESTION : 557
## Max. :42.00 Max. :100.00 ADMINISTRACION: 492
## (Other) :22794.3.3 Cuartiles
Se determinan los cuartiles de la variable Promedio de los datos de alumnos con la función quantile().
cuartiles <- quantile(x = datos.alumnos$Promedio, probs = c(0.25, 0.50, 0.75), type = 6)
cuartiles## 25% 50% 75%
## 82.20 85.83 89.50Q1 <- cuartiles[1]; Q1## 25%
## 82.2Q2 <- cuartiles[2]; Q2## 50%
## 85.83Q3 <- cuartiles[3]; Q3## 75%
## 89.5El 50%50% de los datos está entre 82.2 y 89.5. El RIRI rango intercuartil es Q3−Q1Q3−Q1 o sea 7.3.
Los valores atípicos mayores a Q3Q3 serán los que estén por encima de 100.45 y los valores atípicos menores a Q1Q1 serán los que estén por debajo de 71.25
4.3.4 Atípicos mayores. Rango intercuartil
atipicos.mayores <- Q3 + 1.5 * (Q3-Q1)
atipicos.mayores## 75%
## 100.454.3.5 Atípicos menores. Rango intercuartil
atipicos.menores <- Q1 - 1.5 * (Q3-Q1)
atipicos.menores## 25%
## 71.254.3.6 Diagramas de cajas con datos atípicos
ggplot(data = datos.alumnos, mapping = aes(y=Promedio)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")
En este diagrama de caja se detecta que hay valores atípicos principalemente los que tienen 0 en la variable promedio.
Aquí es en donde se hace prudente tomar decisiones de que ¿hacer con esos valores?, por lo pronto la decisión es simple, son alumnos que no tienen promedio en su historia académica, es decir que no han cursado semestre alguno y no han cerrado al menos un periodo escolar.
4.3.7 Limpiando valores atípicos
Por medio de la función subset() vista anteriormente, se eliminan o filtran esos registros.
datos <- subset(datos, Promedio > 0) significa quitar los alumnos que no tienen promedio aún.
datos.alumnos <- subset(datos.alumnos, Promedio > 0)
head(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio Carrera
## 1 1 1 12 207 19 79.84 SISTEMAS
## 2 2 2 13 226 9 82.55 SISTEMAS
## 3 3 3 10 235 10 95.16 SISTEMAS
## 4 4 4 13 231 14 79.32 SISTEMAS
## 5 5 5 10 235 10 92.67 SISTEMAS
## 6 6 6 10 235 10 91.25 SISTEMAStail(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio Carrera
## 6037 750 750 9 170 20 81.16 ARQUITECTURA
## 6038 751 751 7 103 19 84.43 ARQUITECTURA
## 6039 752 752 4 76 34 92.47 ARQUITECTURA
## 6040 753 753 4 84 26 89.74 ARQUITECTURA
## 6041 754 754 3 52 28 87.75 ARQUITECTURA
## 6042 755 755 2 18 22 86.50 ARQUITECTURAn<-nrow(datos.alumnos)
n## [1] 55354.3.8 Nuevos cuartiles con datos limpios
cuartiles <- quantile(x = datos.alumnos$Promedio, probs = c(0.25, 0.50, 0.75), type = 6)
cuartiles## 25% 50% 75%
## 83.24 86.36 89.83Q1 <- cuartiles[1]; Q1## 25%
## 83.24Q2 <- cuartiles[2]; Q2## 50%
## 86.36Q3 <- cuartiles[3]; Q3## 75%
## 89.834.3.9 Diagramas de cajas con datos limpios
summary(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando
## Min. : 1.0 Min. : 1.0 Min. : 2.000 Min. : 4 Min. : 3.0
## 1st Qu.:106.0 1st Qu.:106.0 1st Qu.: 3.000 1st Qu.: 53 1st Qu.:23.0
## Median :239.0 Median :239.0 Median : 6.000 Median :109 Median :28.0
## Mean :262.2 Mean :262.2 Mean : 5.826 Mean :115 Mean :26.1
## 3rd Qu.:388.0 3rd Qu.:388.0 3rd Qu.: 8.000 3rd Qu.:172 3rd Qu.:30.0
## Max. :755.0 Max. :755.0 Max. :17.000 Max. :264 Max. :42.0
##
## Promedio Carrera
## Min. : 70.00 INDUSTRIAL : 653
## 1st Qu.: 83.25 ARQUITECTURA : 633
## Median : 86.36 CIVIL : 594
## Mean : 86.60 GESTION : 518
## 3rd Qu.: 89.83 QUIMICA : 515
## Max. :100.00 ADMINISTRACION: 458
## (Other) :2164ggplot(data = datos.alumnos, mapping = aes(y=Promedio)) + geom_boxplot(outlier.colour="red") +
labs(title = "Promedio de Alumnos",subtitle = paste("Q1 = ",Q1, ", Q2 = ",Q2, ", Q3 = ",Q3))
Se siguen visualizando datos atípicos, sin embargo estos si son datos extraños pero reales, que significa que hay alumnos con promedio de 100 y alumnos con promedio de 70 aproximadamente.
4.4 Histograma con cuartiles
ggplot(data = datos.alumnos, aes(x=Promedio)) +
geom_histogram(bins = 30) +
geom_vline(aes(xintercept = Q1,
color = "Q1"),
linetype = "dashed",
size = 1) +
geom_vline(aes(xintercept = Q2,
color = "Q2"),
linetype = "dashed",
size = 1) +
geom_vline(aes(xintercept = Q3,
color = "Q3"),
linetype = "dashed",
size = 1) +
labs(title = "Histograma de Promedio de Alumnos",subtitle = paste("Cuartil 1 al 25% = ",Q1, ", Cuartil 2 al 50% = ",Q2, ", Cuartil 3 al 75% = ",Q3))
4.5 Interpretación
¿Qué significan los cuartiles en un conjunto de datos?
Los cuartiles son valores que dividen una tabla de datos en cuatro grupos que contienen aproximadamente el mismo número de observaciones. El total de 100 % se divide en cuatro partes iguales: 25%, 50%, 75% 100%. Son medidas de posición en una lista de datos.
¿Qué significa el rango intercuartil y para qué sirve?
A la diferencia entre el tercer y el primer cuartil de una distribución. Es una medida de la dispersión estadística. Mediante esta medida se eliminan los valores extremadamente alejados.
En el conjunto de datos de alumnos si un alumno tiene promedio de 80 ¿está por encima o por debajo del segundo cuartil?
Está por debajo, ya que el cuartil 2 es promedio de 86.36
¿Cómo se interpreta el diagrama de caja?
Permite ver como es la dispersión de los puntos con la mediana. Se interpreta demostrando la representación de forma gráfica la distribución de puntuaciones dentro de una variable. Es una forma de describir las puntuaciones que contiene una variable y su distribución de forma visual. Además, señala los valores atípiticos o casos extremos de la variable.
¿Qué describe la función summary() y como se interpreta
Representa un resúmen de los datos recabados, de forma organizada, es decir que muestra, las carreras, promedios, creditos aprobados, creditos que se están cursando, numero de control, nombre del alumno y el semestre. Es una tabla que refleja los datos de las calificaciones de los alumnos del TECNO.
¿Qué les deja el caso?
En esta ocasión aprendí nuevas fórmulas para sacar cuartiles que son valores que dividen una muestra de datos en cuatro partes iguales, la Q1, Q2, Q3 y el rango. Y los percentiles, que es una medida de posición que indica, una vez ordenados los datos de menor a mayor, el valor de la variable por debajo del cual se encuentra un porcentaje dado de observaciones en un grupo.
Además de aprender como representar graficamente, por medio de los diagramas de cajas, los resultados que se obtuvieron y que resuta más sencillo interpretar o etenderlos.
Describir con sus palabras …80 a 100 palabras ….
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.