caso 5. Cuartiles y Percentiles
manuel macias
3/16/2021
1 Objetivo
Determinar medidas de localización basadas en estadísticos cuartiles y percentiles utilizando de un conjunto de datos así como determinar su significado, visualización e interpretación.
2 Descripcion
El caso pretende dar a conocer como determinar cuartiles y percentiles de un conjunto de datos.
Los datos será simulados, primero un conjunto de valores numéricos y la segunda parte se hace uso de los datos descargados del promedio de alumnos.
Este caso inicia con la declaración con cargar las librerías, posteriormente, se simulan los datos y se descargan los datos de alumnos, finalmente se aplican los cuartiles y percentiles así como su visualización , se identifica también su significado e interpretación.
3 Marco Teorico
Existen además de la media, mediana y moda otras medidas de posición, estas consisten en determinar la ubicación de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales. Estas medidas son los cuartiles, deciles y percentiles. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).
Los cuartiles dividen a un conjunto de observaciones en cuatro partes iguales de en un conjunto de valores ordenados de menor a mayor. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).
Hablando de medida de localización mediana, esta significa que señala el centro de los datos ordenados, es decir al 50% o 0.50 .
De igual manera, los cuartiles dividen a un conjunto de observaciones en cuatro partes iguales. El primer cuartil, que se representa mediante Q1, es el valor bajo el cual se presenta 25% o 0.25 de las observaciones, y el tercer cuartil, simbolizado por Q3, es el valor bajo el cual se presenta 75% o 0.75 de las observaciones. El cuartil dos 2 es igual al valor que se representa el 50% es decir igua a la mediana. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).
Hablar de percentiles (porcentaje) significa encontrar el valor de los datos ordenados en una localización porcentual entre 1 y 100 , es decir al 20 , al 45% , al 60% o al 85% , es decir cualquier valor entre 1% y 100% en términos porcentuales o lo que es lo mismo cualquier valor entre 0 y 1 en términos relativos.
Los deciles significa dividir el conjunto de datos ordenados en 10 partes, de tal forma que el primer decil está al 10% , el segundo al 20% y así sucesivamente hasta llegar al 100% .
Algunos razonmientos e igualdades sería por ejemplo, el cuartil 1 o Q1 que es el 25% , es igual al percentil 25 ; el decil 6 al 60% es igual al percentil 60 , y así algunas similitudes de localización.
La interpretación de cuartiles, percentiles y deciles radica en determinar cuántos datos están por encima o por debajo de esa medida de localización.
Por ejemplo como lo menciona Lind (2015), si un promedio general de estudiantes en la universidad se encuentra en el octavo decil, se podría concluir que 80% de los estudiantes tuvieron un promedio general inferior a ese valor y un 20% superior al valor encontrado. Si un promedio estuvo en el 92 percentil, entonces 92% de los estudiantes tuvo ese promedio general menor al valor encontrado, y solo 8% de ellos tuvo uno mayor.(Lind, Marchal, and Wathen 2015).
Lo mismo sucede con los cuartiles, significa interpretar y determinar el porcentaje y la cantidad de elementos que está por encima o por debajo del 25% , del 50% o del 75% de los datos.
Para determinar el valor de un cuartil o un percentil se puede utilizar la siguiente fórmula
3.1 Formula para cuartiles, deciles y percentiles
Lp=(n+1)⋅p100
Siendo:
Lp El valor del percentil o del cuartil a buscar
n Es el total de los datos p Es el valor porcentual 25,30,50,75,….
100 dividido entre cien es el valor relativo
## 3.2 Visualizacion de cuartiles El diagrama de caja permite es una representación gráfica basada en cuartiles que ayuda a presentar un conjunto de datos. Para construir un diagrama de caja solo se necesitan estos estadísticos: valor mínimo, Q1 (primer cuartil), mediana o Q2 (segundo cuartil), Q3 (tercer cuartil) y valor máximo. Diagrama de caja o diagrama de bigotes
El diagrama de caja también revele el concepto de rango intercuartil que significa la cantidad o la densidad de elementos que hay entre el Q1 y Q3 ; este rango inercuartil significa que el 50% de los datos está en ese rango.
Luego existe otro significado del diagrama, se pueden ver cuales son valores atípicos, extraños, muy altos o muy bajos, o outliers en inglés. Un dato atípico se trata de un valor que no concuerda con el resto de los datos. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).
Se define como un valor más de 1.5 veces la amplitud del rango intercuartil más pequeño que Q1, o mayor que Q3. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).
dato atípico > Q3=Q3+1.5⋅(Q3−Q1)) y dato atípico < Q1=Q1−1.5⋅(Q3−Q1))
estos datos se encuentran a 1.5 veces el valor del rango entercuartil
rango intercuartil RI =Q3−Q1
3.3 Funcion quantile() en R
En Lenguaje R se utiliza la función quantile para determinar tanto cuartiles como percentiles y hasta deciles.
La función tiene un atributo type que permite determinar los cuartiles de acuerdo a autores y cada uno de ellos con sus fórmulas matemáticas para su cálculo, finalmente los valores que da una u otra fórmula son muy similares entre si y lo trascendente es el significado y la interpretación que hay que darle a estas medidas de localización.
4 Desarrollo
El desarrollo del caso utiliza primero datos simulados.
Luego, se utilizan y se descargan los datos de alumnos que existen en la dirección “alumnos.”
Con ambos datos se encuentran cuartiles y percentiles; finalmente se visualizan con diagramas de cajas utilizando la librería ggplot.
Al final del caso se busca la interpretación del mismo.
4.1 Cargar Librerias
Se cargan las librerías readr y ggplot2 cuya utilidad es disponer de funciones para importar datos de archivos separados por coma o csv y visualizar diversos tipos de gráficos respectivamente.
library(readr)
library(ggplot2)4.2 Datos simulados
4.2.1 Crear datos con sample
Se crean datos con la función sample de tal vez 100 valores de edades de personas entre 18 y 65. La variable datos es un vector que almacena dichos valores
set.seed(2021)
datos <- sample(18:65, 100, replace = TRUE)
datos## [1] 24 55 63 56 29 23 55 55 63 22 64 56 58 40 29 35 20 63 57 43 53 54 39 48 65
## [26] 51 36 21 39 22 26 55 35 60 23 39 23 32 51 39 33 32 41 34 55 54 37 21 47 25
## [51] 36 20 19 34 57 58 48 26 46 44 28 53 55 63 32 35 26 36 33 61 51 54 59 61 39
## [76] 55 44 61 30 50 63 38 42 48 62 28 26 40 60 39 53 47 63 65 24 46 18 36 62 53n <- length(datos)
n## [1] 1004.2.2 Agregando datos atipicos a los datos
datos <- c(datos, c(-13,9,96,150))
datos## [1] 24 55 63 56 29 23 55 55 63 22 64 56 58 40 29 35 20 63
## [19] 57 43 53 54 39 48 65 51 36 21 39 22 26 55 35 60 23 39
## [37] 23 32 51 39 33 32 41 34 55 54 37 21 47 25 36 20 19 34
## [55] 57 58 48 26 46 44 28 53 55 63 32 35 26 36 33 61 51 54
## [73] 59 61 39 55 44 61 30 50 63 38 42 48 62 28 26 40 60 39
## [91] 53 47 63 65 24 46 18 36 62 53 -13 9 96 1504.2.3 Ordenando los dados con order
Ordenando y mostrando los datos para luego determinar medidas de localizacion cuartiles y percentiles
datos.ordenados <- datos[order(datos)]
datos.ordenados## [1] -13 9 18 19 20 20 21 21 22 22 23 23 23 24 24 25 26 26
## [19] 26 26 28 28 29 29 30 32 32 32 33 33 34 34 35 35 35 36
## [37] 36 36 36 37 38 39 39 39 39 39 39 40 40 41 42 43 44 44
## [55] 46 46 47 47 48 48 48 50 51 51 51 53 53 53 53 54 54 54
## [73] 55 55 55 55 55 55 55 56 56 57 57 58 58 59 60 60 61 61
## [91] 61 62 62 63 63 63 63 63 63 64 65 65 96 1504.2.4 Cuartiles conforme a formula
Lp=(n+1)⋅p100
Estos valores deberán ser aproximados a utilizar la función quantile() en R
q1 <- datos.ordenados[(n+1) * 25/100]; q1## [1] 30q2 <- datos.ordenados[(n+1) * 50/100]; q2## [1] 41q3 <- datos.ordenados[(n+1) * 75/100]; q3## [1] 55Para el resto del caso se le hará caso a los valores generados por la función quantile().
4.2.5 Cuartiles por medio de la funcion quantile()
Q1 <- quantile(datos, c(0.25), type = 6); Q1## 25%
## 32Q2 <- quantile(datos, c(0.50), type = 6); Q2## 50%
## 43.5Q3 <- quantile(datos, c(0.75), type = 6); Q3## 75%
## 55La mediana siempre sera igual al cuartil del 50% o al segindo cuartil
mediana <- median(datos)
mediana## [1] 43.5Q2## 50%
## 43.54.2.6 Percentiles
Los percentiles es dividir los datos en un procentaje a decisión del analista, ñpuede ser al 10%, al 20%, al 30%… al 90%
P10 <- quantile(datos, c(0.10)); P10## 10%
## 23percentiles <- quantile(datos, c(0.2, 0.40, 0.50, 0.60, 0.80), type = 6)
percentiles## 20% 40% 50% 60% 80%
## 28.0 39.0 43.5 51.0 58.04.2.7 Maximos y minimos
Se determinan losvalores maximos y minimos y se muestran. La funcion summary() describe los mismos datos
minimo <- min(datos)
maximo <- max(datos)
minimo; Q1; Q2; Q3; maximo## [1] -13## 25%
## 32## 50%
## 43.5## 75%
## 55## [1] 150summary(datos)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## -13.00 32.00 43.50 43.93 55.00 150.004.2.8 Convertir a data.frame
el vector de los datos se transforma a estructura data.frame para poderlo tratar con libreria ggplot2
datos <- data.frame(datos)
datos## datos
## 1 24
## 2 55
## 3 63
## 4 56
## 5 29
## 6 23
## 7 55
## 8 55
## 9 63
## 10 22
## 11 64
## 12 56
## 13 58
## 14 40
## 15 29
## 16 35
## 17 20
## 18 63
## 19 57
## 20 43
## 21 53
## 22 54
## 23 39
## 24 48
## 25 65
## 26 51
## 27 36
## 28 21
## 29 39
## 30 22
## 31 26
## 32 55
## 33 35
## 34 60
## 35 23
## 36 39
## 37 23
## 38 32
## 39 51
## 40 39
## 41 33
## 42 32
## 43 41
## 44 34
## 45 55
## 46 54
## 47 37
## 48 21
## 49 47
## 50 25
## 51 36
## 52 20
## 53 19
## 54 34
## 55 57
## 56 58
## 57 48
## 58 26
## 59 46
## 60 44
## 61 28
## 62 53
## 63 55
## 64 63
## 65 32
## 66 35
## 67 26
## 68 36
## 69 33
## 70 61
## 71 51
## 72 54
## 73 59
## 74 61
## 75 39
## 76 55
## 77 44
## 78 61
## 79 30
## 80 50
## 81 63
## 82 38
## 83 42
## 84 48
## 85 62
## 86 28
## 87 26
## 88 40
## 89 60
## 90 39
## 91 53
## 92 47
## 93 63
## 94 65
## 95 24
## 96 46
## 97 18
## 98 36
## 99 62
## 100 53
## 101 -13
## 102 9
## 103 96
## 104 1504.2.9 Diagrama de caja de los datos
##3 4.2.9.1 Diagrama de caja en funcion del eje de las x
ggplot(data = datos, mapping = aes(x=datos)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")
4.2.9.2 Diagrama de caja en funcion del eje de las y
ggplot(data = datos, mapping = aes(y=datos)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")
4.3 Datos de alumnos
##3 4.3.1 Importar datos Se importan los datos de alumnos.
Cabe hacer notar que en este conjunto de datos existen datos en la variable Promedio que son igual a cero, esto se interpreta como datos atípicos o que tal vez no debieran ser considerados en análisis estadísticos.
datos.alumnos <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/datos/promedios%20alumnos/ALUMNOS%20EJ2021.csv")
head(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio Carrera
## 1 1 1 12 207 19 79.84 SISTEMAS
## 2 2 2 13 226 9 82.55 SISTEMAS
## 3 3 3 10 235 10 95.16 SISTEMAS
## 4 4 4 13 231 14 79.32 SISTEMAS
## 5 5 5 10 235 10 92.67 SISTEMAS
## 6 6 6 10 235 10 91.25 SISTEMAStail(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio Carrera
## 6037 750 750 9 170 20 81.16 ARQUITECTURA
## 6038 751 751 7 103 19 84.43 ARQUITECTURA
## 6039 752 752 4 76 34 92.47 ARQUITECTURA
## 6040 753 753 4 84 26 89.74 ARQUITECTURA
## 6041 754 754 3 52 28 87.75 ARQUITECTURA
## 6042 755 755 2 18 22 86.50 ARQUITECTURAn <- nrow(datos.alumnos)
n## [1] 60424.3.2 Summary de datos.alumnos
Se factoriza la variable Carrera para que en summary se obtenga la frecuencia de la columna Carrera
datos.alumnos$Carrera <- factor(datos.alumnos$Carrera)
summary(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados
## Min. : 1.0 Min. : 1.0 Min. : 1.000 Min. : 0.0
## 1st Qu.:112.0 1st Qu.:112.0 1st Qu.: 3.000 1st Qu.: 53.0
## Median :245.0 Median :245.0 Median : 5.000 Median :109.0
## Mean :268.1 Mean :268.1 Mean : 5.428 Mean :114.8
## 3rd Qu.:394.0 3rd Qu.:394.0 3rd Qu.: 8.000 3rd Qu.:172.0
## Max. :755.0 Max. :755.0 Max. :17.000 Max. :264.0
## NA's :499
## Cr.Cursando Promedio Carrera
## Min. : 3.00 Min. : 0.00 ARQUITECTURA : 755
## 1st Qu.:23.00 1st Qu.: 82.20 INDUSTRIAL : 721
## Median :27.00 Median : 85.83 CIVIL : 674
## Mean :26.09 Mean : 79.33 QUIMICA : 564
## 3rd Qu.:30.00 3rd Qu.: 89.50 GESTION : 557
## Max. :42.00 Max. :100.00 ADMINISTRACION: 492
## (Other) :22794.3.3 Cuartiles
Se determinan los cuartiles de la variable Promedio de los datos de alumnos con la función quantile().
cuartiles <- quantile(x = datos.alumnos$Promedio, probs = c(0.25, 0.50, 0.75), type = 6)
cuartiles## 25% 50% 75%
## 82.20 85.83 89.50Q1 <- cuartiles[1]; Q1## 25%
## 82.2Q2 <- cuartiles[2]; Q2## 50%
## 85.83Q3 <- cuartiles[3]; Q3## 75%
## 89.5El 50% de los datos está entre 82.2 y 89.5. El RI rango intercuartil es Q3−Q1 o sea 7.3.
Los valores atípicos mayores a Q3 serán los que estén por encima de 100.45 y los valores atípicos menores a Q1 serán los que estén por debajo de 71.25
## 4.3.4 Atipicos mayores. Rango intercuartil
atipicos.mayores <- Q3 + 1.5 * (Q3-Q1)
atipicos.mayores## 75%
## 100.45## 4.3.5 Atipicos menores. Rango intercuartil
atipicos.menores <- Q1 - 1.5 * (Q3-Q1)
atipicos.menores## 25%
## 71.254.3.6 Diagramas de cajas con datos atipicos
ggplot(data = datos.alumnos, mapping = aes(y=Promedio)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")
En este diagrama de caja se detecta que hay valores atípicos principalemente los que tienen 0 en la variable promedio.
Aquí es en donde se hace prudente tomar decisiones de que ¿hacer con esos valores?, por lo pronto la decisión es simple, son alumnos que no tienen promedio en su historia académica, es decir que no han cursado semestre alguno y no han cerrado al menos un periodo escolar.
4.3.7 Limpiando valores atipicos
Por medio de la función subset() vista anteriormente, se eliminan o filtran esos registros.
datos <- subset(datos, Promedio > 0) significa quitar los alumnos que no tienen promedio aún.
datos.alumnos <- subset(datos.alumnos, Promedio > 0)
head(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio Carrera
## 1 1 1 12 207 19 79.84 SISTEMAS
## 2 2 2 13 226 9 82.55 SISTEMAS
## 3 3 3 10 235 10 95.16 SISTEMAS
## 4 4 4 13 231 14 79.32 SISTEMAS
## 5 5 5 10 235 10 92.67 SISTEMAS
## 6 6 6 10 235 10 91.25 SISTEMAStail(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio Carrera
## 6037 750 750 9 170 20 81.16 ARQUITECTURA
## 6038 751 751 7 103 19 84.43 ARQUITECTURA
## 6039 752 752 4 76 34 92.47 ARQUITECTURA
## 6040 753 753 4 84 26 89.74 ARQUITECTURA
## 6041 754 754 3 52 28 87.75 ARQUITECTURA
## 6042 755 755 2 18 22 86.50 ARQUITECTURAn<-nrow(datos.alumnos)
n## [1] 55354.3.8 Nuevos Cuartiles con datos limpios
cuartiles <- quantile(x = datos.alumnos$Promedio, probs = c(0.25, 0.50, 0.75), type = 6)
cuartiles## 25% 50% 75%
## 83.24 86.36 89.83Q1 <- cuartiles[1]; Q1## 25%
## 83.24Q2 <- cuartiles[2]; Q2## 50%
## 86.36Q3 <- cuartiles[3]; Q3## 75%
## 89.834.3.9 Diagrama de cajas con datos limpios
summary(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando
## Min. : 1.0 Min. : 1.0 Min. : 2.000 Min. : 4 Min. : 3.0
## 1st Qu.:106.0 1st Qu.:106.0 1st Qu.: 3.000 1st Qu.: 53 1st Qu.:23.0
## Median :239.0 Median :239.0 Median : 6.000 Median :109 Median :28.0
## Mean :262.2 Mean :262.2 Mean : 5.826 Mean :115 Mean :26.1
## 3rd Qu.:388.0 3rd Qu.:388.0 3rd Qu.: 8.000 3rd Qu.:172 3rd Qu.:30.0
## Max. :755.0 Max. :755.0 Max. :17.000 Max. :264 Max. :42.0
##
## Promedio Carrera
## Min. : 70.00 INDUSTRIAL : 653
## 1st Qu.: 83.25 ARQUITECTURA : 633
## Median : 86.36 CIVIL : 594
## Mean : 86.60 GESTION : 518
## 3rd Qu.: 89.83 QUIMICA : 515
## Max. :100.00 ADMINISTRACION: 458
## (Other) :2164ggplot(data = datos.alumnos, mapping = aes(y=Promedio)) + geom_boxplot(outlier.colour="red") +
labs(title = "Promedio de Alumnos",subtitle = paste("Q1 = ",Q1, ", Q2 = ",Q2, ", Q3 = ",Q3))
Se siguen visualizando datos atípicos, sin embargo estos si son datos extraños pero reales, que significa que hay alumnos con promedio de 100 y alumnos con promedio de 70 aproximadamente.
4.4 HIstorama con cuartiles
ggplot(data = datos.alumnos, aes(x=Promedio)) +
geom_histogram(bins = 30) +
geom_vline(aes(xintercept = Q1,
color = "Q1"),
linetype = "dashed",
size = 1) +
geom_vline(aes(xintercept = Q2,
color = "Q2"),
linetype = "dashed",
size = 1) +
geom_vline(aes(xintercept = Q3,
color = "Q3"),
linetype = "dashed",
size = 1) +
labs(title = "Histograma de Promedio de Alumnos",subtitle = paste("Cuartil 1 al 25% = ",Q1, ", Cuartil 2 al 50% = ",Q2, ", Cuartil 3 al 75% = ",Q3))
4.5 Interpretacion
- Que significan los cuartiles en un conjunto de datos?
- los cuartiles agrupan los conjuntos de datos en orden y ayudan a visualizar como esta repartida la informacion; cuales son los datos mas frecuentes y los menos frecuentes.
- Que significa el rango intercuartil y para que sirve?
- Es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil de una distribucion, sirve para eliminar los valores extremadamente alejados.
En el conjunto de datos de los alumnos si un alumno tiene promedio de 80, esta por encima o por debajo del segundo cuartil? -Por debajo
Como se interpreta el diagrama de caja?
- El diagrama de caja muestra donde se encuentra la mayoria de los datos, los cuales son parte de la caja, tambien muestra la mediana, la cual es representada por la linea de enmedio, y datos extremos, los cuales son los puntos en la parte de arriba y abajo.
Que describe la funcion summary() y como se interpreta? -Muestra un resumen general sobre las variables del data frame. Ayuda a determinar el valor maximo y minimo.
Que les deja el caso?
- Este caso mostro cono visualizar y entender cuartiles y las graficas de caja, las cuales estan muy simples pero contienen mucha informacion sobre el conjunto de datos. En todos los casos mejora mi entendimiento de e l uso de R.
Referencias Bibliograficas
Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.