Contraste de independencia

• Queremos saber si dos variables cualitativas son independientes o tienen algun tipo de asociacion.

• Hemos medido el grado de asociacion con el estadistico de contingencia, pero queremos saber si la asociacion que observamos a traves de este estadistico (obtenido a partir de los datos de una muestra) se debe al azar muestral o si realmente existe una asociacion entre las variables.

• Para comprobarlo, al igual que en el tema 3 realizamos un contraste de hipotesis.

• En este caso, las hipotesis a contrastar son

\[ H_0: \text{las variables son independientes} \]

\[ H_A: \text{existe asociacion entre las variables} \]

• Para realizar el contrastre utilizaremos el estadistico \( \chi^2 \) calculado antes en este tema.

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\frac{(n_{ij} - e_{ij})^2}{e_{ij}} \]

• Al igual que pasaba en el tema 3 con la media muestral y la proporcion muestral, este estadistico es una variable aleatoria: tiene una distribucion de probabilidad.

• Sin embargo, la distribucion de probabilidad de este estadistico no es la normal, como pasaba en el tema 3 (no podemos utilizar la tabla de variables estandarizadas z), sino que sigue una distribucion \chi cuadrado en caso de que la hipotesis nula sea cierta.

• La forma de la distribucion \( \chi^2 \) depende de los grados de libertad

• La evaluacion del cumplimiento de la hipotesis nula sigue la misma logica que los contrastes del tema 3: ya que suponemos que, primero, bajo la hipotesis nula las dos variables no estan asociadas, y segundo, que si las variables no estan asociadas el estadistico \( \chi^2 \) sigue una distribucion que lleva su nombre: \( \chi^2 \), si el valor obtenido al calcular el estadistico es un valor poco probable bajo hipotesis nula cierta, rechazaremos la hipotesis nula.

• ¿como sabemos que valores del estadistico \( \chi^2 \) son mas probabiles y cuales son menos probables bajo hipotesis nula cierta?.

• Al igual que con la distribucion normal estandar tenemos unas tablas que nos dan la probabidad de obtener valores iguales o mayores que toda un rango de diferentes valores, para cada grado de libertad de la funcion

Tabla chi cuadrado

• Para el ejemplo anterior de nivel de satisfaccion del turista y el rango de edad, realizamos un contraste de independentia con un nivel de significacion del 5% (esto es, rechazamos la hipotesis nula si el valor del estadistico de contraste obtenido se observara con una probabilidad igual o inferior al 5% en caso de que le las variables fueran independientes).

• Tenemos que comparar el valor del estadistico obtenido (40,22), con el valor correspondiente a un nivel de significacion del 5%.

• Antes, tenemos que determinar los grados de libertad. Estos vienen dados por

\[ (r - 1)(c - 1) \]

siendo \( r \) el numero de filas de la tabla de contingencia y \( c \) el numero de columnas. En nuestro ejemplo, los grados de libertad serian 4x4 = 16. Si miramos la tabla, el valor limite Para un contraste con 16 grados de libertad y un nivel de significacion del 5% es 24,996. Al ser el valor obtenido en el estadistico mayor que este valor limite, rechazamos la hipotesis nula: las variables nivel de satisfaccion y edad estan asociadas.

Ejercicio

Se ha ampliado la muestra del estudio del ejemplo en donde se examinaba conjuntamente la region visitada por los turistas en un destino turistico y las ganas de repetir el viaje. De una muestra de 40 individuos se ha obtenido la siguiente tabla de contingencia

       Region
Repiten Region1 Region2
     No       6       8
     Si      10      16

Realiza un contraste de hipotesis para evaluar la independencia de las dos variables. Si las variables no son independientes (estan asociadas), calcula el grado de asociacion con el estadistico C de Contingencia.