Exemplos de Séries Temporais:

library(tidyverse)
library(tidyquant)
library(TSA)

data(larain)
larain <- data.frame(chuva_anual = as.matrix(larain), date = time(larain))
larain %>% 
  ggplot(aes(x = date, y = chuva_anual)) + 
  geom_line() + 
  geom_point() + 
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() + 
  labs(x = "", y = "Precipitação em polegadas",
       title = "Chuva Anual em Los Angeles, 1878 - 1992",
       subtitle = "Em polegadas de Chuva por Ano")

larain <- larain %>% 
  mutate(chuva_ano_anterior = lag(chuva_anual)) 

larain %>% head()

##   chuva_anual date chuva_ano_anterior
## 1       20.86 1878                 NA
## 2       17.41 1879              20.86
## 3       18.65 1880              17.41
## 4        5.53 1881              18.65
## 5       10.74 1882               5.53
## 6       14.14 1883              10.74

larain %>% 
  ggplot(aes(x = chuva_anual, y = chuva_ano_anterior)) + 
  geom_point() + 
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() +
  labs(title = "Volume de Chuva em Los Angeles, 1876 - 1992",
       subtitle = "Relação entre a Chuva Anual e o Volume de Chuva no Ano Anterior")

data(hare)
hare <- data.frame(numero_coelhos = as.matrix(hare), data = time(hare))
hare %>% ggplot(aes(x = data, y = numero_coelhos)) + 
  geom_line() + 
  geom_point() + 
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() + 
  labs(x = "Ano", y = "Ambundância",
       title = "Ambundância de Coelhos Canadenses, 1905-1934")

## Don't know how to automatically pick scale for object of type ts. Defaulting to continuous.

data(tempdub)
tempdub <- data.frame(temperatura = as.matrix(tempdub), data = time(tempdub))

tempdub %>%
  ggplot(aes(x = data, y = temperatura)) + 
  geom_line() + 
  geom_point() + 
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() + 
  labs(x = "Ano", y = "Temperatura",
       title = "Temperatura Média Mensal no Estado do Iowa, 1964-1976")

Exemplo: Ruido Branco

Um tipo muito simples de série gerada por ser uma coleção de variáveis aleatoriamente não correlacionadas, \(w_t\), com média 0 e variância finita \(\sigma^2_w\).

ruido_branco = rnorm(200,0,1)
df = data.frame(ruido_branco = as.matrix(ruido_branco), x = time(ruido_branco)) 


df %>% 
  ggplot(aes(x = x, y = ruido_branco)) +
  geom_line() + 
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() + 
  labs(x = "Tempo", y = "y",
       title = "Ruido Branco")

Média Móvel e Filtro

Podemos substituir a série de ruído branco \(w_t\) por uma média móvel que suaviza a série. Por exemplo, considere substituir \(w_t\) por uma média dos seus valores atuais e dos seus valores vizinhos no passado e no futuro. Assim, deixe que:

\[v_t = \frac{1}{3} (w_{t-1} + w_t + w_{t+1})\]

que faz com que a série tenha a aparência mostrada na figura abaixo. Uma inspeção da série mostra que uma versão mais suavizada da primeira série é produzida, refletindo o fato que oscilações grandes são menos aparentes.

df <- df %>% 
  mutate(media_movel = stats::filter(ruido_branco, sides = 2, filter = rep(1/3, 3)))

df %>% 
  ggplot(aes(x = x, y = media_movel)) +
  geom_line() + 
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() + 
  labs(x = "Tempo", y = "y",
       title = "Média Móvel")

Autoregressões

Suponha que consideremos a série de ruído branco \(w_t\) como um input e calculamos o output usando uma equações de segunda-ordem

\[y_t = y_{t-1} - 0.9y_{t-2} + w_t\]

sucessivamente para \(t=1,2,...,500\). A equação acima representa uma regressão ou previsão dos valores atuais \(x_t\) de uma série temporal como uma função dos dois valores passados da série, e portanto, o termo autoregressivo é sugerido para este modelo. Temos aqui um problema com os valores iniciais da série uma vez que as condições iniciais são importantes \(x_0\) e \(x_{-1}\), mas assumindo que temos estes valores, podemos gerar uma susseção de valores apenas substituindo na equação acima. O resultado é exibindo na figura abaixo.

ruido_branco <- rnorm(250,0,1)
# as primeiras 50 observações são excluídas para evitar problemas de startup
autoregressivo <- stats::filter(ruido_branco, filter=c(1,-.9), method = "recursive")[-(1:50)]

df <- df %>% 
  mutate(autoregressivo = autoregressivo)

df %>% 
  ggplot(aes(x = x)) +
  geom_line(aes(y = autoregressivo)) + 
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() + 
  labs(x = "Tempo", y = "y",
       title = "Autogressivo")

O modelo autoregressivo acima mostra um comportamento periodico da série que é similar ao exemplo da série de “discurso”. O modelo autoregressivo acima é suas generalizações podem ser utilizados como um modelo explicativo para muitos tipos de séries observadas.

Random Walk com Drift

Um modelo para analisar tendências como as vistas em temperaturas globais vistas nos exemplos da seção anterior é um modelo “random walk com drift”. Intuitivamente, em cada período do tempo, a variável toma um passo independente para cima ou para baixo, por isso o termo random walk. A variável vai subir ou descer? A probabilidade dos dois eventos é igual. Uma analogia comumente utilizada é a de um bêbado caminhando em zig-zag pela rua enquanto tenta se mover em frente: o caminho que ele segue é uma caminhada aleatória ou random walk.

Assim, o modelo de random walk pode ser definido pela equação:

\[y_t = \delta + y_{t-1} + w_t\]

para \(t = 1,2,...,...\) com condições iniciais \(y_0 = 0\) e onde \(w_t\)é um ruido branco. A constante \(\delta\) é chamada de drift, e quando \(\delta = 0\), chamamos o modelo simplesmente de random walk. Quando \(\delta =0\), o valor da série em \(t\) é o valor da variável no tempo \(t-1\) mais um movimento completamente aleatório determinado por \(w_t\). Note que podemos reescrever a equação do random walk com drift ao acumular a soma de vários ruídos brancos:

\[x_t = \delta t + \sum_{j=1}^t w_t\]

para \(t = 1,2,...\). Ou seja, a série é uma soma de passos erráticos. O random walk é um processo que fornece um bom modelo para fenômenos tão diversos quanto preço de ações ou a posição de particulas pequenas suspensas em um flúido (movimento Browniano).

A figura abaixo mostra 500 observações geradas a partir de um modelo com \(\delta= 0\) e com \(\delta = 0.2\) e com \(\delta_w = 1\).

set.seed(154)

ruido_branco  = rnorm(200)
random_walk = cumsum(ruido_branco)
ruido_branco_drift = ruido_branco + 0.2
random_walk_drift = cumsum(ruido_branco_drift)

df <- df %>% 
  mutate(random_walk = random_walk) %>% 
  mutate(random_walk_drift = random_walk_drift)

df %>% 
  ggplot(aes(x = x)) + 
  geom_line(aes(y = random_walk, color = "Random Walk")) +
  geom_line(aes(y = random_walk_drift, color = "Random Walk com Drift")) +
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() + 
  labs(x = "Tempo", y = "",
       title = "Random Walk",
       subtitle = "Random Walk sem Drift e Random Walk com Drift",
       color = "Modelo:")

Sinal no Ruído

Muitos modelos realistas para gear séries temporais assumem um sinal com algum tipo de variação periodica, que é contaminada pela adição de um ruído aleatório. Por exemplo, considere um modelo do tipo:

\[y_t = 2 \cos (2 \pi \frac{t + 15}{50} + w_t\]

para \(t = 1,2,...,200\), onde o primeiro termo é o sinal. Abaixo temos um modelo aditivo simples na forma de \(y_t = s_t + w_t\), onde \(s_t\) denota algum sinal desconhecido e \(w_t\) denota um ruído branco. O problema de detectar um sinal e então extrair \(s_t\) é de grande interesse. Em economia, o sinal pode ser uma tendência ou um componente sazonal da série.

curva_onda = 2*cos(2*pi*1:200/50 + .6*pi)
df <- df %>% 
  mutate(curva_onda = curva_onda,
         curva_onda_ruido = curva_onda + ruido_branco,
         curva_onda_ruido_forte = curva_onda + 5*ruido_branco)


p1 <- df %>% 
  ggplot(aes(x = x, y = curva_onda)) +
  geom_line() +
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() +
  labs(title = "Curva em Onda")

p2 <- df %>% 
  ggplot(aes(x = x, y = curva_onda_ruido)) + 
  geom_line() +
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() +
  labs(title = "Curva em Onda  + Ruído")


p3 <- df %>% 
  ggplot(aes(x = x, y = curva_onda_ruido_forte)) +
  geom_line() +
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() +
  labs(title = "Curva em Onda + Ruído Forte")

  
gridExtra::grid.arrange(p1, p2, p3)

Nos exemplos acima, tentamos motivar o uso das combinações de várias variáveis aleatórias que emulam dados de séries temporais do mundo real. Agora vamos introduzir várias medidas teoricas utilizadas para descrever como séries temporais se comportam. Como é usual em estatística, a descrição completa da série envolve uma função de distribuição multivariada a amostra conjunta dos valores \(y_1, y_2, ..., y_n\), enquanto que uma descrição mais econômica pode ser obtida em termos das funções média e de autocorrelação. Como a correlação é uma característica essencial da análise de séries temporais, as medidas de descrição mais uteis são aquelas expressadas em termos função de autocorrelação e função de autovariância.

Função Média

A função média descreve o valor esperado de uma série temporal. Assim, para um processo estocástico \(\{ Y_t\}\), a função média é definida como:

\[\mu_t = E(Y_t)\] para \(t = 0,1,2,...\). Assim, \(\mu_t\) é o valor esperado do processo no tempo \(t\).

Exemplo 1: Função Média de Média Móvel

Para uma media móvel dada por \(\frac{1}{3}(w_{t-1} + w_t + w_{t+1})\), seu valor esperado (função média) é igual a zero, \(\mu_y = 0\). Assim, a função média ao redor de zero descreve bem o comportamento geral da média móvel. O mesmo pode ser dito do ruído branco.

df %>% 
  ggplot(aes(x = x, y = ruido_branco)) + 
  geom_line(aes(color = "Ruído Branco")) + 
  geom_hline(aes(yintercept = 0, color = "Função Média"), linetype = 2, size = 1.5) +
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() +
  labs(x = "Tempo", y = "",
       title = "Média Móvel",
       subtitle = "Função Média da Média Móvel é Zero",
       color = "")

Exemplo 2: Função Média de Random Walk com Drift

Para um random walk com drift qual a função média? Dado que este modelo é dado por \(y_t = \delta t + \sum_{j=1}^t w_t\), como \(E(w_t) = 0\) e como \(\delta\) é uma constante, temos

\[\mu(yt) = \delta t\]

Assim, a função média de uma random walk com drift é uma linha reta com inclinação \(\delta\). Uma comparação de uma random walk com drift e sua função média pode ser vista abaixo:

df %>% 
  # criar a função média da random walk
  mutate(funcao_media_random_walk = .2*x) %>% 
  ggplot(aes(x = x)) + 
  geom_line(aes(y = random_walk_drift, color = "Random Walk com Drift")) +
  geom_line(aes(y = funcao_media_random_walk, color = "Função Média"), linetype = 2, size = 1.5) +
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() + 
  labs(x = "Tempo", y = "",
       title = "Random Walk com Drift Delta = 0.2",
       subtitle = "A função Média é uma linha Reta com Inclinação Delta = 0.2",
       color = "Modelo:")

Exemplo 3: Função Média de um Sinal mais Ruído

A função média para um modelo aditivo na forma \(y_t = s_t + w_t\) é obtido por:

\[\mu_{yt} = E(y_t) = E[2 \cos(2\pi \frac{2t + 15}{50}) + w_t]\]

Novamente, \(E(w_t) = 0\) e os demais termos são constantes, logo:

\[\mu_{yt} = E(y_t) = 2 \cos(2\pi \frac{2t + 15}{50})\] Portanto, a média móvel é apenas o sinal sem o ruído.

df %>% 
  ggplot(aes(x = x)) +
  geom_line(aes(y = curva_onda, color = "Função Média"), size = 1.5, linetype = 2) +
  geom_line(aes(y = curva_onda_ruido, color = "Sinal com Ruído")) + 
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() +
  labs(title = "Curva em Onda e Sua Função Média",
       subtitle = "A função Média é o Sinal sem Ruído",
       color = "")

Função de Autocovariância

A função de autocovariância \(\gamma_{t,s}\) é definida como:

\[\gamma_{t,s} = Cov(Y_t, Y_s)\]

para \(t,s=0,1,2,...\)

Onde \(Cov(Y_t,Y_s) = E[(Y_t - \mu_t)(Y_s - \mu_s)] = E[Y_t Y_s) - \mu_t \mu_s\). Assim, a função de autocovariância mostra a covariância de um processo consigo mesmo em dois pontos diferentes no tempo. Assim, para uma série mensal de preços, a função de autocovariância mostra a relação entre \(y_{jan}\) e \(y_{fev}\), que são os valores observados de preço para janeiro e fevereiro, respectivamente.

Portanto, a autocovariância mede a dependência linear entre dois pontos na mesma série observadas em pontos diferentes. Séries que são muito suavizadas exibem funções de autocovariância que permanecem altas mesmo quando o \(t\) e o \(s\) estão muito longes entre si, como as observações de janeiro e novembro do mesmo ano, na nossa série de preços mensais. Séries com muita agitação tendem a ter funções de autocovariância que são próximas de zero para valores muito distantes entre si.

Lembre que se \(s = t\), ou seja, se estivermos comparando uma observação no tempo consigo mesmo, a autovariância se reduz ao valor de variância, porque

\[\gamma_{y}(t,t) = E[(y_t - \mu_t)^2] = \text{Var}(x_t)\]

Exemplo 1: Autocovariância de Ruído Branco

Para uma série temporal ruído branco \(w_t\) que tem \(E(w_t)=0\), temos que

\[\gamma_w = Cov(w_s, w_t) = 0\] para \(s \neq t\). Assim, a relação linear entre duas observações é zero. O valor de uma observação num ponto no tempo não influencia em nada os valores observados nos demais pontos do tempo.

Exemplo 2: Autocovariância de uma Média Móvel

Considere nosso exemplo de uma média móvel. Assim,

\[\gamma_v (s,t) = cov(v_s, v_t) = cov \{ \frac{1}{3}(w_{s-1} + w_s + w_{s+1}), \frac{1}{3}(w_{t-1} + w_t + w_{t+1}) \}\] Quando \(s = t\), temos

\[\gamma_v (s,t) = \frac{1}{9}cov\{(w_{t-1} + w_t + w_{t+1}), (w_{t-1} + w_t + w_{t+1}) \}\]

\[\gamma_v (s,t) = \frac{1}{9}\[ cov(w_{t-1}, w_{t-1} + cov(w_{t} + w_t) + cov(w_{t+1} + w_{t+1}) \]\]

\[\gamma_v (s,t) = \frac{3}{9} \sigma^2_w\]

O mesmo exercício pode ser feito para \(s = t + 1\), quando analisamos observações que estão distantes uma observação entre si (janeiro e março, por exemplo), onde \(\gamma_v (t + 1, t) = \frac{2}{9}\sigma^2_w\). Quando as observaçãos estão separadas por dois períodos, \(|s-t| = 2\), temos \(\gamma_v(s,t) = \frac{1}{9}\sigma^2_w\), e quando as observações estão separadas por mais de dois períodos, \(|s-t| > 2\), temos \(\gamma_v(s,t) = 0\).

Assim, quando suavizamos um ruído branco utilizando uma média móvel, adicionamos um pouco de covariância, mas esta dependência linear se reduz com o aumento da separação entre os valores. Assim, a relação entre janeiro e fevereiro é mais forte que a relação entre janeiro e março. Contudo, a relação entre janeiro e abril seria igual a zero, dado que \(| \text{Jan} - \text{Abr} | > 2\).

Exemplo 3: Autocovariância de um Random Walk

Para um modelo random walk, \(y_t = \sum_{j = 1}^t w_t\), temos que

\[\gamma_y (s,t) = cov(y_s, y_t) = cov \left( \sum_{j=1}^2 w_j, \sum_{k=1}^t w_t\right) = \min\{s,t\} \sigma^2_w\]

porque o \(w_t\) são variáveis não correlacionadas entre si. Nota que, diferentemente dos exemplos anteriores, a função autocovariância de uma random walk depende no valor em particular de \(s\) e \(t\), e não na separação entre as observações ou no lag. Perceba também que a variãncia de uma random walk, \(var(y_t) = t \sigma^2_w\), aumenta sem limites quando \(t\) cresce. O efeito desta variância pode ser observada na figura para o random walk. Conforme \(t\) aumenta, mais e mais a variável se distancia da sua função média \(\delta t\).

df %>% 
  # criar a função média da random walk
  mutate(funcao_media_random_walk = .2*x) %>% 
  ggplot(aes(x = x)) + 
  geom_line(aes(y = random_walk_drift, color = "Random Walk com Drift")) +
  geom_line(aes(y = funcao_media_random_walk, color = "Função Média"), linetype = 2, size = 1.5) +
  ggthemes::theme_fivethirtyeight() + 
  labs(x = "Tempo", y = "",
       title = "Random Walk com Drift Delta = 0.2",
       subtitle = "Quanto maior o t, maior a distância entre a Série e sua Função Média",
       color = "Modelo:")

A Função de Autocorrelação (FAC)

A função de autocorrelação é definida como

\[\rho (s,t) = \frac{\gamma(s,t)}{\sqrt{\gamma(s,s)\gamma(t,t)}}\]

A FAC, ou ACF em inglês, mede a previsibilidade linear da série no tempo \(t\), usando apenas os valores de \(y_s\). Os valores de \(\rho\) estão no intervalo \([-1,1]\). Se pudermos prever \(y_t\) perfeitamente a partir de \(y_s\) através de uma relação linear \(y_t = \beta_0 + \beta_1 y_s\), então a correlação será \(+1\) quando \(\beta_1 > 0\), e a correlação será \(-1\) quando \(\beta_1 <0\). Portanto, temos uma medida grosseira da nossa habilidade de prever a série no tempo \(t\) utilizando os valores no tempo \(s\).

A Função de Covariância-Cruzada e de Correlação-Cruzada

De maneira geral, gostariamos de medir a previsibilidade de uma outra série \(y_t\) a partir da série \(x_s\). Assumindo que ambas as séries tem variância finita, nós temos a seguinte definição para a função de covariância cruzada:

\[\gamma_{x,y}(s,t) = cov(x_s, y_t) = E[(x_s - \mu_{xs}\]

A função de correlação cruzada (FCC) é dada por:

\[\rho_{xy}(s,t) = \frac{\gamma_{xt}(s,t)}{\sqrt{\gamma_{x}(s,s) \gamma_{y}(t,t)}}\]

Podemos inclusive extender a ideia acima para o caso de mais de duas séries.