Caso 5. Cuartiles Y Percentiles
Jose Miguel Cabrales Guerrero
11/03/2021
1 Objetivo
Determinar medidas de localización basadas en estadísticos cuartiles y percentiles utilizando de un conjunto de datos así como determinar su significado, visualización e interpretación
2 Descripción
El caso pretende dar a conocer como determinar cuartiles y percentiles de un conjunto de datos.
Los datos será simulados, primero un conjunto de valores numéricos y la segunda parte se hace uso de los datos descargados del promedio de alumnos.
Este caso inicia con la declaración con cargar las librerías, posteriormente, se simulan los datos y se descargan los datos de alumnos, finalmente se aplican los cuartiles y percentiles así como su visualización, se identifica también su significado e interpretación.
3 Marco Teórico
Pendiente
4 Desarrollo
El desarrollo del caso utiliza primero datos simulados.
Luego, se utilizan y se descargan los datos de alumnos que existen en la dirección “alumnos.”
Con ambos datos se encuentran cuartiles y percentiles; finalmente se visualizan con diagramas de cajas utilizando la librería ggplot.
Al final del caso se busca la interpretación del mismo.
4.1 Cargar Librerías
Se cargan las librerías readr y ggplot2 cuya utilidad es disponer de funciones para importar datos de archivos separados por coma o csv y visualizar diversos tipos de gráficos respectivamente.
library(readr)
library(ggplot2)4.2 Datos Simulados
4.2.1 Crear Datos Con Sample
Se crean datos con la función sample de tal vez 100 valores de edades de personas entre 18 y 65. La variable datos es un vector que almacena dichos valores
set.seed(2021)
datos <- sample(18:65, 100, replace = TRUE)
datos## [1] 24 55 63 56 29 23 55 55 63 22 64 56 58 40 29 35 20 63 57 43 53 54 39 48 65
## [26] 51 36 21 39 22 26 55 35 60 23 39 23 32 51 39 33 32 41 34 55 54 37 21 47 25
## [51] 36 20 19 34 57 58 48 26 46 44 28 53 55 63 32 35 26 36 33 61 51 54 59 61 39
## [76] 55 44 61 30 50 63 38 42 48 62 28 26 40 60 39 53 47 63 65 24 46 18 36 62 53n <- length(datos)
n## [1] 1004.2.2 Agregando Datos Atípicos A Los Datos
datos <- c(datos, c(-13,9,96,150))
datos## [1] 24 55 63 56 29 23 55 55 63 22 64 56 58 40 29 35 20 63
## [19] 57 43 53 54 39 48 65 51 36 21 39 22 26 55 35 60 23 39
## [37] 23 32 51 39 33 32 41 34 55 54 37 21 47 25 36 20 19 34
## [55] 57 58 48 26 46 44 28 53 55 63 32 35 26 36 33 61 51 54
## [73] 59 61 39 55 44 61 30 50 63 38 42 48 62 28 26 40 60 39
## [91] 53 47 63 65 24 46 18 36 62 53 -13 9 96 1504.2.3 Ordenando Los Dados Con Order
Ordenando y mostrando los datos para luego determinar medidas de localización cuartiles y percentiles
datos.ordenados <- datos[order(datos)]
datos.ordenados## [1] -13 9 18 19 20 20 21 21 22 22 23 23 23 24 24 25 26 26
## [19] 26 26 28 28 29 29 30 32 32 32 33 33 34 34 35 35 35 36
## [37] 36 36 36 37 38 39 39 39 39 39 39 40 40 41 42 43 44 44
## [55] 46 46 47 47 48 48 48 50 51 51 51 53 53 53 53 54 54 54
## [73] 55 55 55 55 55 55 55 56 56 57 57 58 58 59 60 60 61 61
## [91] 61 62 62 63 63 63 63 63 63 64 65 65 96 1504.2.4 Cuartiles Conforme A Fórmula
\[L_p = (n+1) \cdot \frac{p}{100}\] Estos valores deberán ser aproximados a utilizar la función quantile() en R
q1 <- datos.ordenados[(n+1) * 25/100]; q1## [1] 30q2 <- datos.ordenados[(n+1) * 50/100]; q2## [1] 41q3 <- datos.ordenados[(n+1) * 75/100]; q3## [1] 55Para el resto del caso se le hará caso a los valores generados por la función quantile().
4.2.5 Cuartiles Por Medio De La Función quantile()
Q1 <- quantile(datos, c(0.25), type = 6); Q1## 25%
## 32Q2 <- quantile(datos, c(0.50), type = 6); Q2## 50%
## 43.5Q3 <- quantile(datos, c(0.75), type = 6); Q3## 75%
## 55La mediana siempre será igual al cuartil del 50% o al segundo cuartil
mediana <- median(datos)
mediana## [1] 43.5Q2## 50%
## 43.54.2.6 Percentiles
Los percentiles es dividir los datos en un procentaje a decisión del analista, puede ser al 10%, al 20%, al 30%… al 90%
P10 <- quantile(datos, c(0.10)); P10## 10%
## 23percentiles <- quantile(datos, c(0.2, 0.40, 0.50, 0.60, 0.80), type = 6)
percentiles## 20% 40% 50% 60% 80%
## 28.0 39.0 43.5 51.0 58.04.2.7 Máximos Y Mínimos
Se determinan los valores mínimos y máximos y se muestran.
La función summary() describe los mismos datos
minimo <- min(datos)
maximo <- max(datos)
minimo; Q1; Q2; Q3; maximo## [1] -13## 25%
## 32## 50%
## 43.5## 75%
## 55## [1] 150summary(datos)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## -13.00 32.00 43.50 43.93 55.00 150.004.2.8 Convertir A data.frame
El vector de los datos se transforma a estructura data.frame para poderlo tratar con la librería ggplot2.
datos <- data.frame(datos)
datos## datos
## 1 24
## 2 55
## 3 63
## 4 56
## 5 29
## 6 23
## 7 55
## 8 55
## 9 63
## 10 22
## 11 64
## 12 56
## 13 58
## 14 40
## 15 29
## 16 35
## 17 20
## 18 63
## 19 57
## 20 43
## 21 53
## 22 54
## 23 39
## 24 48
## 25 65
## 26 51
## 27 36
## 28 21
## 29 39
## 30 22
## 31 26
## 32 55
## 33 35
## 34 60
## 35 23
## 36 39
## 37 23
## 38 32
## 39 51
## 40 39
## 41 33
## 42 32
## 43 41
## 44 34
## 45 55
## 46 54
## 47 37
## 48 21
## 49 47
## 50 25
## 51 36
## 52 20
## 53 19
## 54 34
## 55 57
## 56 58
## 57 48
## 58 26
## 59 46
## 60 44
## 61 28
## 62 53
## 63 55
## 64 63
## 65 32
## 66 35
## 67 26
## 68 36
## 69 33
## 70 61
## 71 51
## 72 54
## 73 59
## 74 61
## 75 39
## 76 55
## 77 44
## 78 61
## 79 30
## 80 50
## 81 63
## 82 38
## 83 42
## 84 48
## 85 62
## 86 28
## 87 26
## 88 40
## 89 60
## 90 39
## 91 53
## 92 47
## 93 63
## 94 65
## 95 24
## 96 46
## 97 18
## 98 36
## 99 62
## 100 53
## 101 -13
## 102 9
## 103 96
## 104 1504.2.9 Diagrama De Caja De Los Datos
4.2.9.1 Diagrama De Caja En Función Del Eje De Las X.
ggplot(data = datos, mapping = aes(x=datos)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")
4.2.9.2 Diagrama De Caja En Función Del Eje De Las Y.
ggplot(data = datos, mapping = aes(y=datos)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")
4.3 Datos De Alumnos
4.3.1 Importar Datos
Se importan los datos de alumnos.
Cabe hacer notar que en este conjunto de datos existen datos en la variable Promedio que son igual a cero, esto se interpreta como datos atípicos o que tal vez no debieran ser considerados en análisis estadísticos.
datos.alumnos <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/datos/promedios%20alumnos/ALUMNOS%20EJ2021.csv")
head(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio Carrera
## 1 1 1 12 207 19 79.84 SISTEMAS
## 2 2 2 13 226 9 82.55 SISTEMAS
## 3 3 3 10 235 10 95.16 SISTEMAS
## 4 4 4 13 231 14 79.32 SISTEMAS
## 5 5 5 10 235 10 92.67 SISTEMAS
## 6 6 6 10 235 10 91.25 SISTEMAStail(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio Carrera
## 6037 750 750 9 170 20 81.16 ARQUITECTURA
## 6038 751 751 7 103 19 84.43 ARQUITECTURA
## 6039 752 752 4 76 34 92.47 ARQUITECTURA
## 6040 753 753 4 84 26 89.74 ARQUITECTURA
## 6041 754 754 3 52 28 87.75 ARQUITECTURA
## 6042 755 755 2 18 22 86.50 ARQUITECTURAn <- nrow(datos.alumnos)
n## [1] 60424.3.2 Summary De datos.alumnos
Se factoriza la variable Carrera para que en summary se obtenga la frecuencia de la columna Carrera.
datos.alumnos$Carrera <- factor(datos.alumnos$Carrera)
summary(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados
## Min. : 1.0 Min. : 1.0 Min. : 1.000 Min. : 0.0
## 1st Qu.:112.0 1st Qu.:112.0 1st Qu.: 3.000 1st Qu.: 53.0
## Median :245.0 Median :245.0 Median : 5.000 Median :109.0
## Mean :268.1 Mean :268.1 Mean : 5.428 Mean :114.8
## 3rd Qu.:394.0 3rd Qu.:394.0 3rd Qu.: 8.000 3rd Qu.:172.0
## Max. :755.0 Max. :755.0 Max. :17.000 Max. :264.0
## NA's :499
## Cr.Cursando Promedio Carrera
## Min. : 3.00 Min. : 0.00 ARQUITECTURA : 755
## 1st Qu.:23.00 1st Qu.: 82.20 INDUSTRIAL : 721
## Median :27.00 Median : 85.83 CIVIL : 674
## Mean :26.09 Mean : 79.33 QUIMICA : 564
## 3rd Qu.:30.00 3rd Qu.: 89.50 GESTION : 557
## Max. :42.00 Max. :100.00 ADMINISTRACION: 492
## (Other) :22794.3.3 Cuartiles
Se determinan los cuartiles de la variable Promedio de los datos de alumnos con la función quantile().
cuartiles <- quantile(x = datos.alumnos$Promedio, probs = c(0.25, 0.50, 0.75), type = 6)
cuartiles## 25% 50% 75%
## 82.20 85.83 89.50Q1 <- cuartiles[1]; Q1## 25%
## 82.2Q2 <- cuartiles[2]; Q2## 50%
## 85.83Q3 <- cuartiles[3]; Q3## 75%
## 89.5El \(50%\) de los datos está entre 82.2 y 89.5. El \(RI\) rango intercuartil es \(Q3−Q1\) o sea 7.3.
Los valores atípicos mayores a \(Q3\) serán los que estén por encima de 100.45 y los valores atípicos menores a \(Q1\) serán los que estén por debajo de 71.25
4.3.4 Atípicos Mayores. Rango Intercuartil
atipicos.mayores <- Q3 + 1.5 * (Q3-Q1)
atipicos.mayores## 75%
## 100.454.3.5 Atípicos Menores. Rango Intercuartil
atipicos.menores <- Q1 - 1.5 * (Q3-Q1)
atipicos.menores## 25%
## 71.254.3.6 Diagramas De Cajas Con Datos Atípicos
ggplot(data = datos.alumnos, mapping = aes(y=Promedio)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")
En este diagrama de caja se detecta que hay valores atípicos principalmente los que tienen \(0\) en la variable promedio.
Aquí es en donde se hace prudente tomar decisiones de que ¿hacer con esos valores?, por lo pronto la decisión es simple, son alumnos que no tienen promedio en su historia académica, es decir que no han cursado semestre alguno y no han cerrado al menos un periodo escolar.
4.3.7 Limpiando Valores Atípicos
Por medio de la función subset() vista anteriormente, se eliminan o filtran esos registros.
datos <- subset(datos, Promedio > 0) significa quitar los alumnos que no tienen promedio aún.
datos.alumnos <- subset(datos.alumnos, Promedio > 0)
head(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio Carrera
## 1 1 1 12 207 19 79.84 SISTEMAS
## 2 2 2 13 226 9 82.55 SISTEMAS
## 3 3 3 10 235 10 95.16 SISTEMAS
## 4 4 4 13 231 14 79.32 SISTEMAS
## 5 5 5 10 235 10 92.67 SISTEMAS
## 6 6 6 10 235 10 91.25 SISTEMAStail(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio Carrera
## 6037 750 750 9 170 20 81.16 ARQUITECTURA
## 6038 751 751 7 103 19 84.43 ARQUITECTURA
## 6039 752 752 4 76 34 92.47 ARQUITECTURA
## 6040 753 753 4 84 26 89.74 ARQUITECTURA
## 6041 754 754 3 52 28 87.75 ARQUITECTURA
## 6042 755 755 2 18 22 86.50 ARQUITECTURAn<-nrow(datos.alumnos)
n## [1] 55354.3.8 Nuevos Cuartiles Con Datos Limpios
cuartiles <- quantile(x = datos.alumnos$Promedio, probs = c(0.25, 0.50, 0.75), type = 6)
cuartiles## 25% 50% 75%
## 83.24 86.36 89.83Q1 <- cuartiles[1]; Q1## 25%
## 83.24Q2 <- cuartiles[2]; Q2## 50%
## 86.36Q3 <- cuartiles[3]; Q3## 75%
## 89.834.3.9 Diagramas De Cajas Con Datos Limpios
summary(datos.alumnos)## NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando
## Min. : 1.0 Min. : 1.0 Min. : 2.000 Min. : 4 Min. : 3.0
## 1st Qu.:106.0 1st Qu.:106.0 1st Qu.: 3.000 1st Qu.: 53 1st Qu.:23.0
## Median :239.0 Median :239.0 Median : 6.000 Median :109 Median :28.0
## Mean :262.2 Mean :262.2 Mean : 5.826 Mean :115 Mean :26.1
## 3rd Qu.:388.0 3rd Qu.:388.0 3rd Qu.: 8.000 3rd Qu.:172 3rd Qu.:30.0
## Max. :755.0 Max. :755.0 Max. :17.000 Max. :264 Max. :42.0
##
## Promedio Carrera
## Min. : 70.00 INDUSTRIAL : 653
## 1st Qu.: 83.25 ARQUITECTURA : 633
## Median : 86.36 CIVIL : 594
## Mean : 86.60 GESTION : 518
## 3rd Qu.: 89.83 QUIMICA : 515
## Max. :100.00 ADMINISTRACION: 458
## (Other) :2164ggplot(data = datos.alumnos, mapping = aes(y=Promedio)) + geom_boxplot(outlier.colour="red") +
labs(title = "Promedio de Alumnos",subtitle = paste("Q1 = ",Q1, ", Q2 = ",Q2, ", Q3 = ",Q3))
Se siguen visualizando datos atípicos, sin embargo estos si son datos extraños pero reales, que significa que hay alumnos con promedio de 100 y alumnos con promedio de 70 aproximadamente.
4.4 Histograma Con Cuartiles
ggplot(data = datos.alumnos, aes(x=Promedio)) +
geom_histogram(bins = 30) +
geom_vline(aes(xintercept = Q1,
color = "Q1"),
linetype = "dashed",
size = 1) +
geom_vline(aes(xintercept = Q2,
color = "Q2"),
linetype = "dashed",
size = 1) +
geom_vline(aes(xintercept = Q3,
color = "Q3"),
linetype = "dashed",
size = 1) +
labs(title = "Histograma de Promedio de Alumnos",subtitle = paste("Cuartil 1 al 25% = ",Q1, ", Cuartil 2 al 50% = ",Q2, ", Cuartil 3 al 75% = ",Q3))
5 Interpretación
1.- ¿Qué significan los cuartiles en un conjunto de datos?
R= Los cuartiles son los que dividen a un conjunto de observaciones o de datos en cuatro partes iguales de en un conjunto de valores ordenados de menor a mayor.
2.- ¿Qué significa el rango intercuartil y para qué sirve?
R= El rango intercuartílico es una medida de variabilidad adecuada cuando la medida de posición central empleada ha sido la mediana. Se define como la diferencia entre el tercer cuartil (Q3) y el primer cuartil (Q1), es decir: RQ = Q3 - Q1. El rango intercuartílico se usa para construir los diagramas de caja y bigote (box plots) que sirven para visualizar la variabilidad de una variable y comparar distribuciones de la misma variable, además de ubicar valores extremos. Este rango inercuartil significa que el 50% de los datos está en ese rango.
3.- En el conjunto de datos de alumnos si un alumno tiene promedio de 80 ¿Está por encima o por debajo del segundo cuartil?
R= Esta por debajo ya que el segundo cuartil es de 85.83.
4.- ¿Cómo se interpreta el diagrama de caja?
R= El diagrama de caja es una representación gráfica basada en cuartiles que ayuda a presentar un conjunto de datos. Para construir un diagrama de caja solo se necesitan estos datos estadísticos: valor mínimo, Q1 (primer cuartil), mediana o Q2 (segundo cuartil), Q3 (tercer cuartil) y valor máximo. El diagrama de caja también revela el concepto de rango intercuartil, ademas existe otro significado del diagrama, se pueden ver cuales son valores atípicos, extraños, muy altos o muy bajos, o outliers en inglés. Un dato atípico se trata de un valor que no concuerda con el resto de los datos. Se define como un valor más de 1.5 veces la amplitud del rango intercuartil más pequeño que Q1, o mayor que Q3.
5.- ¿Qué describe la función summary() y como se interpreta?
R= La función summary es muy utilizada y esta describe y presenta la mayoría de los datos estadísticos citados para el caso, esta además identifica los valores mínimo, máximo, media y mediana de un conjunto de datos.
6.- ¿Qué les deja el caso? Describir con sus palabras (80 a 100 palabras)
R= En este caso lo que me deja a mí principalmente, es el retomar los conocimientos vistos en los anteriores casos, como por ejemplo usar las funciones de summary, sample o order, o el usar librerias para darle mejor visibilidad al caso, también los histogramas para representar de una mejor manera los datos del caso, y además en este temas vimos nuevas funciones como lo es sacar Cuartiles, Deciles y Percentiles, y con estos poder calcular el rango intercuartil, y por último también vimos un nuevo tipo de diagrama llamado “Diagrama de caja o Diagrama de bigotes” por lo que es un tipo de diagrama que nos ayuda a representar de una mejor manera los Cuartiles, Deciles y Percentiles.
6 Referencias Bibliográficas
Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.