1 Objetivo

Determinar medidas de localización basadas en estadísticos cuartiles y percentiles utilizando de un conjunto de datos así como determinar su significado, visualización e interpretación.

2 Descripción

El caso pretende dar a conocer como determinar cuartiles y percentiles de un conjunto de datos.

Los datos será simulados, primero un conjunto de valores numéricos y la segunda parte se hace uso de los datos descargados del promedio de alumnos.

Este caso inicia con la declaración con cargar las librerías, posteriormente, se simulan los datos y se descargan los datos de alumnos, finalmente se aplican los cuartiles y percentiles así como su visualización , se identifica también su significado e interpretación.

3 Marco teórico

Pendiente…..

3.1 Fórmula para cuartiles, deciles y percentiles

\[ L_p = (n+1) \cdot \frac{p}{100} \]

Siendo:

Lp El valor del percentil o del cuartil a buscar
n Es el total de los datos p Es el valor porcentual 25,30,50,75,….
100 dividido entre cien es el valor relativo

3.2 Visualización de cuartiles

El diagrama de caja permite es una representación gráfica basada en cuartiles que ayuda a presentar un conjunto de datos. Para construir un diagrama de caja solo se necesitan estos estadísticos: valor mínimo, Q1 (primer cuartil), mediana o Q2 (segundo cuartil), Q3 (tercer cuartil) y valor máximo.

Diagrama de caja o diagrama de bigotes

El diagrama de caja también revele el concepto de rango intercuartil que significa la cantidad o la densidad de elementos que hay entre el Q1Q1 y Q3Q3; este rango inercuartil significa que el 50%50% de los datos está en ese rango.

Luego existe otro significado del diagrama, se pueden ver cuales son valores atípicos, extraños, muy altos o muy bajos, o outliers en inglés. Un dato atípico se trata de un valor que no concuerda con el resto de los datos. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).

Se define como un valor más de 1.5 veces la amplitud del rango intercuartil más pequeño que Q1, o mayor que Q3. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).

\[ \text{dato antípico > Q3}=Q3 + 1.5\cdot(Q3-Q1)) \]

\[ \text {dato antípico <Q1}=Q1 - 1.5\cdot(Q3-Q1)) \]

estos datos se encuentran a 1.5 veces el valor del rango entercuartil

\[ \text{rango intercuartil RI=}Q3 - Q1 \]

**3.3 Función quantile() en R**

En Lenguaje R se utiliza la función quantile para determinar tanto cuartiles como percentiles y hasta deciles.

La función tiene un atributo type que permite determinar los cuartiles de acuerdo a autores y cada uno de ellos con sus fórmulas matemáticas para su cálculo, finalmente los valores que da una u otra fórmula son muy similares entre si y lo trascendente es el significado y la interpretación que hay que darle a estas medidas de localización.

4 Desarrollo

El desarrollo del caso utiliza primero datos simulados.

Luego, se utilizan y se descargan los datos de alumnos que existen en la dirección “alumnos.”

Con ambos datos se encuentran cuartiles y percentiles; finalmente se visualizan con diagramas de cajas utilizando la librería ggplot.

Al final del caso se busca la interpretación del mismo.

4.1 Cargar librerías

Se cargan las librerías readr y ggplot2 cuya utilidad es disponer de funciones para importar datos de archivos separados por coma o csv y visualizar diversos tipos de gráficos respectivamente.

library(readr)
library(ggplot2)

4.2 Datos simulados

4.2.1 Crear datos con sample

Se crean datos con la función sample de tal vez 100 valores de edades de personas entre 18 y 65. La variable datos es un vector que almacena dichos valores

set.seed(2021)
datos <- sample(18:65, 100, replace = TRUE)
datos

##   [1] 24 55 63 56 29 23 55 55 63 22 64 56 58 40 29 35 20 63 57 43 53 54 39 48 65
##  [26] 51 36 21 39 22 26 55 35 60 23 39 23 32 51 39 33 32 41 34 55 54 37 21 47 25
##  [51] 36 20 19 34 57 58 48 26 46 44 28 53 55 63 32 35 26 36 33 61 51 54 59 61 39
##  [76] 55 44 61 30 50 63 38 42 48 62 28 26 40 60 39 53 47 63 65 24 46 18 36 62 53

n <- length(datos)
n

## [1] 100

4.2.2 Agregando datos atípicos a los datos

datos <- c(datos, c(-13,9,96,150))
datos

##   [1]  24  55  63  56  29  23  55  55  63  22  64  56  58  40  29  35  20  63
##  [19]  57  43  53  54  39  48  65  51  36  21  39  22  26  55  35  60  23  39
##  [37]  23  32  51  39  33  32  41  34  55  54  37  21  47  25  36  20  19  34
##  [55]  57  58  48  26  46  44  28  53  55  63  32  35  26  36  33  61  51  54
##  [73]  59  61  39  55  44  61  30  50  63  38  42  48  62  28  26  40  60  39
##  [91]  53  47  63  65  24  46  18  36  62  53 -13   9  96 150

4.2.3 Ordenando los dados con order

Ordenando y mostrando los datos para luego determinar medidas de localización cuartiles y percentiles

datos.ordenados <- datos[order(datos)]
datos.ordenados

##   [1] -13   9  18  19  20  20  21  21  22  22  23  23  23  24  24  25  26  26
##  [19]  26  26  28  28  29  29  30  32  32  32  33  33  34  34  35  35  35  36
##  [37]  36  36  36  37  38  39  39  39  39  39  39  40  40  41  42  43  44  44
##  [55]  46  46  47  47  48  48  48  50  51  51  51  53  53  53  53  54  54  54
##  [73]  55  55  55  55  55  55  55  56  56  57  57  58  58  59  60  60  61  61
##  [91]  61  62  62  63  63  63  63  63  63  64  65  65  96 150

4.2.4 Cuartiles conforme a fórmula

\[ L_p = (n+1) \cdot \frac{p}{100}\]

Estos valores deberán ser aproximados a utilizar la función quantile() en R

q1 <- datos.ordenados[(n+1) * 25/100]; q1

## [1] 30

q2 <- datos.ordenados[(n+1) * 50/100]; q2

## [1] 41

q3 <- datos.ordenados[(n+1) * 75/100]; q3

## [1] 55

Para el resto del caso se le hará caso a los valores generados por la función quantile().

4.2.5 Cuartiles por medio de la función quantile()

Q1 <- quantile(datos, c(0.25), type = 6); Q1

## 25% 
##  32

Q2 <- quantile(datos, c(0.50), type = 6); Q2

##  50% 
## 43.5

Q3 <- quantile(datos, c(0.75), type = 6); Q3

## 75% 
##  55

La mediana siempre será igual al cuartil del 50% o al segundo cuartil

mediana <- median(datos)
mediana

## [1] 43.5

Q2

##  50% 
## 43.5

4.2.6 Percentiles

Los percentiles es dividir los datos en un procentaje a decisión del analista, puede ser al 10%, al 20%, al 30%… al 90%

P10 <- quantile(datos, c(0.10)); P10

## 10% 
##  23

percentiles <- quantile(datos, c(0.2, 0.40, 0.50, 0.60, 0.80), type = 6)
percentiles

##  20%  40%  50%  60%  80% 
## 28.0 39.0 43.5 51.0 58.0

4.2.7 Máximos y mínimos

Se determinan los valores mínimos y máximos y se muestran.

La función summary() describe los mismos datos

minimo <- min(datos)
maximo <- max(datos)
 
minimo; Q1; Q2; Q3; maximo

## [1] -13

## 25% 
##  32

##  50% 
## 43.5

## 75% 
##  55

## [1] 150

summary(datos)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  -13.00   32.00   43.50   43.93   55.00  150.00

4.2.8 Convertir a data.frame

El vector de los datos se transforma a estructura data.frame para poderlo tratar con la libería ggplot2.

datos <- data.frame(datos)
datos

##     datos
## 1      24
## 2      55
## 3      63
## 4      56
## 5      29
## 6      23
## 7      55
## 8      55
## 9      63
## 10     22
## 11     64
## 12     56
## 13     58
## 14     40
## 15     29
## 16     35
## 17     20
## 18     63
## 19     57
## 20     43
## 21     53
## 22     54
## 23     39
## 24     48
## 25     65
## 26     51
## 27     36
## 28     21
## 29     39
## 30     22
## 31     26
## 32     55
## 33     35
## 34     60
## 35     23
## 36     39
## 37     23
## 38     32
## 39     51
## 40     39
## 41     33
## 42     32
## 43     41
## 44     34
## 45     55
## 46     54
## 47     37
## 48     21
## 49     47
## 50     25
## 51     36
## 52     20
## 53     19
## 54     34
## 55     57
## 56     58
## 57     48
## 58     26
## 59     46
## 60     44
## 61     28
## 62     53
## 63     55
## 64     63
## 65     32
## 66     35
## 67     26
## 68     36
## 69     33
## 70     61
## 71     51
## 72     54
## 73     59
## 74     61
## 75     39
## 76     55
## 77     44
## 78     61
## 79     30
## 80     50
## 81     63
## 82     38
## 83     42
## 84     48
## 85     62
## 86     28
## 87     26
## 88     40
## 89     60
## 90     39
## 91     53
## 92     47
## 93     63
## 94     65
## 95     24
## 96     46
## 97     18
## 98     36
## 99     62
## 100    53
## 101   -13
## 102     9
## 103    96
## 104   150

4.2.9 Diagrama de caja de los datos

4.2.9.1 Diagrama de caja en función del eje de las x.

ggplot(data = datos, mapping = aes(x=datos)) + geom_boxplot(outlier.colour="turquoise")

4.2.9.2 Diagrama de caja en función del eje de las y.

ggplot(data = datos, mapping = aes(y=datos)) + geom_boxplot(outlier.colour="green")

4.3 Datos de alumnos

4.3.1 Importar datos

Se importan los datos de alumnos.

Cabe hacer notar que en este conjunto de datos existen datos en la variable Promedio que son igual a cero, esto se interpreta como datos atípicos o que tal vez no debieran ser considerados en análisis estadísticos.

datos.alumnos <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/datos/promedios%20alumnos/ALUMNOS%20EJ2021.csv")

head(datos.alumnos)

##   NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio  Carrera
## 1         1      1       12          207          19    79.84 SISTEMAS
## 2         2      2       13          226           9    82.55 SISTEMAS
## 3         3      3       10          235          10    95.16 SISTEMAS
## 4         4      4       13          231          14    79.32 SISTEMAS
## 5         5      5       10          235          10    92.67 SISTEMAS
## 6         6      6       10          235          10    91.25 SISTEMAS

tail(datos.alumnos)

##      NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio      Carrera
## 6037       750    750        9          170          20    81.16 ARQUITECTURA
## 6038       751    751        7          103          19    84.43 ARQUITECTURA
## 6039       752    752        4           76          34    92.47 ARQUITECTURA
## 6040       753    753        4           84          26    89.74 ARQUITECTURA
## 6041       754    754        3           52          28    87.75 ARQUITECTURA
## 6042       755    755        2           18          22    86.50 ARQUITECTURA

n <- nrow(datos.alumnos)
n

## [1] 6042

4.3.2 Summary de datos.alumnos

Se factoriza la variable Carrera para que en summary se obtenga la frecuencia de la columna Carrera.

datos.alumnos$Carrera <- factor(datos.alumnos$Carrera)

summary(datos.alumnos)

##    NoControl         Alumno         Semestre       Cr.Aprobados  
##  Min.   :  1.0   Min.   :  1.0   Min.   : 1.000   Min.   :  0.0  
##  1st Qu.:112.0   1st Qu.:112.0   1st Qu.: 3.000   1st Qu.: 53.0  
##  Median :245.0   Median :245.0   Median : 5.000   Median :109.0  
##  Mean   :268.1   Mean   :268.1   Mean   : 5.428   Mean   :114.8  
##  3rd Qu.:394.0   3rd Qu.:394.0   3rd Qu.: 8.000   3rd Qu.:172.0  
##  Max.   :755.0   Max.   :755.0   Max.   :17.000   Max.   :264.0  
##                                                   NA's   :499    
##   Cr.Cursando       Promedio                Carrera    
##  Min.   : 3.00   Min.   :  0.00   ARQUITECTURA  : 755  
##  1st Qu.:23.00   1st Qu.: 82.20   INDUSTRIAL    : 721  
##  Median :27.00   Median : 85.83   CIVIL         : 674  
##  Mean   :26.09   Mean   : 79.33   QUIMICA       : 564  
##  3rd Qu.:30.00   3rd Qu.: 89.50   GESTION       : 557  
##  Max.   :42.00   Max.   :100.00   ADMINISTRACION: 492  
##                                   (Other)       :2279

4.3.3 Cuartiles

Se determinan los cuartiles de la variable Promedio de los datos de alumnos con la función quantile().

cuartiles <- quantile(x = datos.alumnos$Promedio, probs = c(0.25, 0.50, 0.75), type = 6)
cuartiles

##   25%   50%   75% 
## 82.20 85.83 89.50

Q1 <- cuartiles[1]; Q1

##  25% 
## 82.2

Q2 <- cuartiles[2]; Q2

##   50% 
## 85.83

Q3 <- cuartiles[3]; Q3

##  75% 
## 89.5

El 50%de los datos está entre 82.2 y 89.5. El RI rango intercuartil es Q3−Q1 sea 7.3.

Los valores atípicos mayores a Q3 serán los que estén por encima de 100.45 y los valores atípicos menores a Q1 serán los que estén por debajo de 71.25

4.3.4 Atípicos mayores. Rango intercuartil

atipicos.mayores <- Q3 + 1.5 * (Q3-Q1)
atipicos.mayores

##    75% 
## 100.45

4.3.5 Atípicos menores. Rango intercuartil

atipicos.menores <- Q1 - 1.5 * (Q3-Q1)
atipicos.menores

##   25% 
## 71.25

4.3.6 Diagramas de cajas con datos atípicos

ggplot(data = datos.alumnos, mapping = aes(y=Promedio)) + geom_boxplot(outlier.colour="violet")

En este diagrama de caja se detecta que hay valores atípicos principalemente los que tienen 00 en la variable promedio.

Aquí es en donde se hace prudente tomar decisiones de que ¿hacer con esos valores?, por lo pronto la decisión es simple, son alumnos que no tienen promedio en su historia académica, es decir que no han cursado semestre alguno y no han cerrado al menos un periodo escolar.

4.3.7 Limpiando valores atípicos

Por medio de la función subset() vista anteriormente, se eliminan o filtran esos registros.

datos <- subset(datos, Promedio > 0) significa quitar los alumnos que no tienen promedio aún

datos.alumnos <- subset(datos.alumnos, Promedio > 0)
head(datos.alumnos)

##   NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio  Carrera
## 1         1      1       12          207          19    79.84 SISTEMAS
## 2         2      2       13          226           9    82.55 SISTEMAS
## 3         3      3       10          235          10    95.16 SISTEMAS
## 4         4      4       13          231          14    79.32 SISTEMAS
## 5         5      5       10          235          10    92.67 SISTEMAS
## 6         6      6       10          235          10    91.25 SISTEMAS

tail(datos.alumnos)

##      NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio      Carrera
## 6037       750    750        9          170          20    81.16 ARQUITECTURA
## 6038       751    751        7          103          19    84.43 ARQUITECTURA
## 6039       752    752        4           76          34    92.47 ARQUITECTURA
## 6040       753    753        4           84          26    89.74 ARQUITECTURA
## 6041       754    754        3           52          28    87.75 ARQUITECTURA
## 6042       755    755        2           18          22    86.50 ARQUITECTURA

n<-nrow(datos.alumnos)
n

## [1] 5535

4.3.8 Nuevos cuartiles con datos limpios

cuartiles <- quantile(x = datos.alumnos$Promedio, probs = c(0.25, 0.50, 0.75), type = 6)
cuartiles

##   25%   50%   75% 
## 83.24 86.36 89.83

Q1 <- cuartiles[1]; Q1

##   25% 
## 83.24

Q2 <- cuartiles[2]; Q2

##   50% 
## 86.36

Q3 <- cuartiles[3]; Q3

##   75% 
## 89.83

4.3.9 Diagramas de cajas con datos limpios

summary(datos.alumnos)

##    NoControl         Alumno         Semestre       Cr.Aprobados  Cr.Cursando  
##  Min.   :  1.0   Min.   :  1.0   Min.   : 2.000   Min.   :  4   Min.   : 3.0  
##  1st Qu.:106.0   1st Qu.:106.0   1st Qu.: 3.000   1st Qu.: 53   1st Qu.:23.0  
##  Median :239.0   Median :239.0   Median : 6.000   Median :109   Median :28.0  
##  Mean   :262.2   Mean   :262.2   Mean   : 5.826   Mean   :115   Mean   :26.1  
##  3rd Qu.:388.0   3rd Qu.:388.0   3rd Qu.: 8.000   3rd Qu.:172   3rd Qu.:30.0  
##  Max.   :755.0   Max.   :755.0   Max.   :17.000   Max.   :264   Max.   :42.0  
##                                                                               
##     Promedio                Carrera    
##  Min.   : 70.00   INDUSTRIAL    : 653  
##  1st Qu.: 83.25   ARQUITECTURA  : 633  
##  Median : 86.36   CIVIL         : 594  
##  Mean   : 86.60   GESTION       : 518  
##  3rd Qu.: 89.83   QUIMICA       : 515  
##  Max.   :100.00   ADMINISTRACION: 458  
##                   (Other)       :2164

ggplot(data = datos.alumnos, mapping = aes(y=Promedio)) + geom_boxplot(outlier.colour="maroon") +
  labs(title = "Promedio de Alumnos",subtitle =  paste("Q1 = ",Q1, ", Q2 = ",Q2, ", Q3 = ",Q3))

Se siguen visualizando datos atípicos, sin embargo estos si son datos extraños pero reales, que significa que hay alumnos con promedio de 100 y alumnos con promedio de 70 aproximadamente.

4.4 Histograma con cuartiles

ggplot(data = datos.alumnos, aes(x=Promedio)) +
    geom_histogram(bins = 30) + 
    geom_vline(aes(xintercept = Q1,
                  color = "Q1"),
              linetype = "dashed",
              size = 1) +
    geom_vline(aes(xintercept = Q2,
                  color = "Q2"),
              linetype = "dashed",
              size = 1) +
    geom_vline(aes(xintercept = Q3,
                  color = "Q3"),
              linetype = "dashed",
              size = 1) +  
  labs(title = "Histograma de Promedio de Alumnos",subtitle =  paste("Cuartil 1 al 25% = ",Q1, ", Cuartil 2 al 50% = ",Q2, ", Cuartil 3 al 75% = ",Q3))

4.5 Interpretación

¿Qué significan los cuartiles en un conjunto de datos?

Medidas de posición en una lista de datos que tienen la propiedad de dividir la serie estadística en cuatro grupos de números en partes iguales.

¿Qué significa el rango intercuartil y para qué sirve?

Es la diferencia entre el tercer y primer intercuartil de una distribución. es una medida de la dispersión estadística.

En el conjunto de datos de alumnos si un alumno tiene promedio de 80 ¿está por encima o por debajo del segundo cuartil?

Esta por debajo

¿Cómo se interpreta el diagrama de caja?

Es una manera conveniente de mostrar visualmente grupos de datos numéricos a través de sus cuartiles.

Las puntuaciones que contiene las variables son:

Mediana: es la línea negra más gruesa que está dentro de la caja azul. Es su valor central.
Cuartiles: el primer cuartil y el tercer cuartil delimitan los límites, inferior el primer cuartil y superior el tercer cuartil de la caja. Los cuartiles dividen la muestra en 4 partes iguales: primer cuartil: valor hasta el primer 25%; De la muestra, segundo cuartil: valor hasta el 50% de la muestra; tercer cuartil: valor hasta el 75% de la muestra.

¿Qué describe la función summary() y como se interpreta?

Este comando muestra un resumen general sobre las variables del data frame.

Se interpreta de forma de resumen general mínimo, máximo, media, mediana, primer y tercer cuartil.

¿Qué les deja el caso?

Que existen otras medias de posición a demás de la media, mediana y moda, las cuales nos ayudan a determinar la ubicación de los valores de un conjunto en partes iguales, las cuales son los cuartiles, deciles y percentiles. Nos sirven para separar la magnitud de los datos. También que los cuartiles nos ayudan a dividir conjuntos en cuatro partes iguales, ordenandolos de menor a mayor. También comprendí que los percentiles nos ayudan a dividir los datos a criterio nuestro. También entendí que los cuartiles pueden ser representados gráficamente por un diagrama de caja sus datos numéricos.

Describir con sus palabras …80 a 100 palabras ….

Referencias bibliográficas

Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.

Caso 5: Cuartiles y Percentiles

Anahy Borjas Garcia

11/3/2021