1 Objetivo

Determinar medidas de localización basadas en estadísticos cuartiles y percentiles utilizando de un conjunto de datos así como determinar su significado, visualización e interpretación.

2 Descripción

El caso pretende dar a conocer como determinar cuartiles y percentiles de un conjunto de datos.

Los datos será simulados, primero un conjunto de valores numéricos y la segunda parte se hace uso de los datos descargados del promedio de alumnos.

Este caso inicia con la declaración con cargar las librerías, posteriormente, se simulan los datos y se descargan los datos de alumnos, finalmente se aplican los cuartiles y percentiles así como su visualización , se identifica también su significado e interpretación.

3 Desarrollo

El desarrollo del caso utiliza primero datos simulados.

Luego, se utilizan y se descargan los datos de alumnos que existen en la dirección “alumnos.”

Con ambos datos se encuentran cuartiles y percentiles; finalmente se visualizan con diagramas de cajas utilizando la librería ggplot.

Al final del caso se busca la interpretación del mismo.

3.1 Cargar librerías

Se cargan las librerías readr y ggplot2 cuya utilidad es disponer de funciones para importar datos de archivos separados por coma o csv y visualizar diversos tipos de gráficos respectivamente.

library(readr)
library(ggplot2)
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.4

3.2 Datos simulados

3.2.1 Crear datos con sample

Se crean datos con la función sample de tal vez 100 valores de edades de personas entre 18 y 65. La variable datos es un vector que almacena dichos valores

set.seed(2002)
datos <- sample(18:65, 100, replace = TRUE)
datos
##   [1] 52 42 50 53 49 65 25 39 64 34 33 43 21 35 44 40 52 60 33 57 25 22 32 44 23
##  [26] 47 25 27 29 55 60 27 20 33 46 21 23 56 46 32 58 34 61 25 31 20 55 37 61 64
##  [51] 36 45 59 45 53 63 24 35 52 42 29 60 38 36 47 51 23 60 47 52 21 21 63 59 23
##  [76] 35 22 49 57 64 27 62 22 23 62 63 18 32 60 65 29 20 52 42 45 43 39 52 54 30
n <- length(datos)
n
## [1] 100

3.2.2 Agregando datos atípicos a los datos

datos <- c(datos, c(-13,9,96,150))
datos
##   [1]  52  42  50  53  49  65  25  39  64  34  33  43  21  35  44  40  52  60
##  [19]  33  57  25  22  32  44  23  47  25  27  29  55  60  27  20  33  46  21
##  [37]  23  56  46  32  58  34  61  25  31  20  55  37  61  64  36  45  59  45
##  [55]  53  63  24  35  52  42  29  60  38  36  47  51  23  60  47  52  21  21
##  [73]  63  59  23  35  22  49  57  64  27  62  22  23  62  63  18  32  60  65
##  [91]  29  20  52  42  45  43  39  52  54  30 -13   9  96 150

3.2.3 Ordenando los dados con order

Ordenando y mostrando los datos para luego determinar medidas de localización cuartiles y percentiles

datos.ordenados <- datos[order(datos)]
datos.ordenados
##   [1] -13   9  18  20  20  20  21  21  21  21  22  22  22  23  23  23  23  23
##  [19]  24  25  25  25  25  27  27  27  29  29  29  30  31  32  32  32  33  33
##  [37]  33  34  34  35  35  35  36  36  37  38  39  39  40  42  42  42  43  43
##  [55]  44  44  45  45  45  46  46  47  47  47  49  49  50  51  52  52  52  52
##  [73]  52  52  53  53  54  55  55  56  57  57  58  59  59  60  60  60  60  60
##  [91]  61  61  62  62  63  63  63  64  64  64  65  65  96 150

3.2.4 Cuartiles conforme a fórmula

\[ L_p = (n+1) \cdot \frac{p}{100} \]

Estos valores deberán ser aproximados a utilizar la función quantile() en R

q1 <- datos.ordenados[(n+1) * 25/100]; q1
## [1] 27
q2 <- datos.ordenados[(n+1) * 50/100]; q2
## [1] 42
q3 <- datos.ordenados[(n+1) * 75/100]; q3
## [1] 53

Para el resto del caso se le hará caso a los valores generados por la función quantile().

3.2.5 Cuartiles por medio de la función quantile()

Q1 <- quantile(datos, c(0.25), type = 6); Q1
##  25% 
## 27.5
Q2 <- quantile(datos, c(0.50), type = 6); Q2
##  50% 
## 42.5
Q3 <- quantile(datos, c(0.75), type = 6); Q3
## 75% 
##  55

La mediana siempre será igual al cuartil del 50% o al segundo cuartil

mediana <- median(datos)
mediana
## [1] 42.5
Q2
##  50% 
## 42.5

3.2.6 Percentiles

Los percentiles es dividir los datos en un procentaje a decisión del analista, puede ser al 10%, al 20%, al 30%… al 90%

P10 <- quantile(datos, c(0.10)); P10
## 10% 
##  22
percentiles <- quantile(datos, c(0.2, 0.40, 0.50, 0.60, 0.80), type = 6)
percentiles
##  20%  40%  50%  60%  80% 
## 25.0 35.0 42.5 47.0 59.0

3.2.7 Máximos y mínimos

Se determinan los valores mínimos y máximos y se muestran.

La función summary() describe los mismos datos

minimo <- min(datos)
maximo <- max(datos)
 
minimo; Q1; Q2; Q3; maximo
## [1] -13
##  25% 
## 27.5
##  50% 
## 42.5
## 75% 
##  55
## [1] 150
summary(datos)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  -13.00   28.50   42.50   42.53   55.00  150.00

3.2.8 Convertir a data.frame

El vector de los datos se transforma a estructura data.frame para poderlo tratar con la libería ggplot2.

datos <- data.frame(datos)
datos
##     datos
## 1      52
## 2      42
## 3      50
## 4      53
## 5      49
## 6      65
## 7      25
## 8      39
## 9      64
## 10     34
## 11     33
## 12     43
## 13     21
## 14     35
## 15     44
## 16     40
## 17     52
## 18     60
## 19     33
## 20     57
## 21     25
## 22     22
## 23     32
## 24     44
## 25     23
## 26     47
## 27     25
## 28     27
## 29     29
## 30     55
## 31     60
## 32     27
## 33     20
## 34     33
## 35     46
## 36     21
## 37     23
## 38     56
## 39     46
## 40     32
## 41     58
## 42     34
## 43     61
## 44     25
## 45     31
## 46     20
## 47     55
## 48     37
## 49     61
## 50     64
## 51     36
## 52     45
## 53     59
## 54     45
## 55     53
## 56     63
## 57     24
## 58     35
## 59     52
## 60     42
## 61     29
## 62     60
## 63     38
## 64     36
## 65     47
## 66     51
## 67     23
## 68     60
## 69     47
## 70     52
## 71     21
## 72     21
## 73     63
## 74     59
## 75     23
## 76     35
## 77     22
## 78     49
## 79     57
## 80     64
## 81     27
## 82     62
## 83     22
## 84     23
## 85     62
## 86     63
## 87     18
## 88     32
## 89     60
## 90     65
## 91     29
## 92     20
## 93     52
## 94     42
## 95     45
## 96     43
## 97     39
## 98     52
## 99     54
## 100    30
## 101   -13
## 102     9
## 103    96
## 104   150

3.2.9 Diagrama de caja de los datos

3.2.9.1 Diagrama de caja en función del eje de las x.

ggplot(data = datos, mapping = aes(x=datos)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")

3.2.9.2 Diagrama de caja en función del eje de las y.

ggplot(data = datos, mapping = aes(y=datos)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")

3.2.10 Datos de alumnos

3.2.10.1 Importar datos

Se importan los datos de alumnos.

Cabe hacer notar que en este conjunto de datos existen datos en la variable Promedio que son igual a cero, esto se interpreta como datos atípicos o que tal vez no debieran ser considerados en análisis estadísticos.

datos.alumnos <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/datos/promedios%20alumnos/ALUMNOS%20EJ2021.csv")

head(datos.alumnos)
##   NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio  Carrera
## 1         1      1       12          207          19    79.84 SISTEMAS
## 2         2      2       13          226           9    82.55 SISTEMAS
## 3         3      3       10          235          10    95.16 SISTEMAS
## 4         4      4       13          231          14    79.32 SISTEMAS
## 5         5      5       10          235          10    92.67 SISTEMAS
## 6         6      6       10          235          10    91.25 SISTEMAS
tail(datos.alumnos)
##      NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio      Carrera
## 6037       750    750        9          170          20    81.16 ARQUITECTURA
## 6038       751    751        7          103          19    84.43 ARQUITECTURA
## 6039       752    752        4           76          34    92.47 ARQUITECTURA
## 6040       753    753        4           84          26    89.74 ARQUITECTURA
## 6041       754    754        3           52          28    87.75 ARQUITECTURA
## 6042       755    755        2           18          22    86.50 ARQUITECTURA
n <- nrow(datos.alumnos)
n
## [1] 6042

Summary de datos.alumnos

Se factoriza la variable Carrera para que en summary se obtenga la frecuencia de la columna Carrera.

datos.alumnos$Carrera <- factor(datos.alumnos$Carrera)

summary(datos.alumnos)
##    NoControl         Alumno         Semestre       Cr.Aprobados  
##  Min.   :  1.0   Min.   :  1.0   Min.   : 1.000   Min.   :  0.0  
##  1st Qu.:112.0   1st Qu.:112.0   1st Qu.: 3.000   1st Qu.: 53.0  
##  Median :245.0   Median :245.0   Median : 5.000   Median :109.0  
##  Mean   :268.1   Mean   :268.1   Mean   : 5.428   Mean   :114.8  
##  3rd Qu.:394.0   3rd Qu.:394.0   3rd Qu.: 8.000   3rd Qu.:172.0  
##  Max.   :755.0   Max.   :755.0   Max.   :17.000   Max.   :264.0  
##                                                   NA's   :499    
##   Cr.Cursando       Promedio                Carrera    
##  Min.   : 3.00   Min.   :  0.00   ARQUITECTURA  : 755  
##  1st Qu.:23.00   1st Qu.: 82.20   INDUSTRIAL    : 721  
##  Median :27.00   Median : 85.83   CIVIL         : 674  
##  Mean   :26.09   Mean   : 79.33   QUIMICA       : 564  
##  3rd Qu.:30.00   3rd Qu.: 89.50   GESTION       : 557  
##  Max.   :42.00   Max.   :100.00   ADMINISTRACION: 492  
##                                   (Other)       :2279

3.2.11 Cuartiles

Se determinan los cuartiles de la variable Promedio de los datos de alumnos con la función quantile().

cuartiles <- quantile(x = datos.alumnos$Promedio, probs = c(0.25, 0.50, 0.75), type = 6)
cuartiles
##   25%   50%   75% 
## 82.20 85.83 89.50
Q1 <- cuartiles[1]; Q1
##  25% 
## 82.2
Q2 <- cuartiles[2]; Q2
##   50% 
## 85.83
Q3 <- cuartiles[3]; Q3
##  75% 
## 89.5

El \(50\%\) de los datos está entre 82.2 y 89.5. El \(RI\) rango intercuartil es \(Q3−Q1\) o sea 7.3.

Los valores atípicos mayores a \(Q3\) serán los que estén por encima de 100.45 y los valores atípicos menores a \(Q1\) serán los que estén por debajo de 71.25

3.2.12 Atípicos mayores. Rango intercuartil

atipicos.mayores <- Q3 + 1.5 * (Q3-Q1)
atipicos.mayores
##    75% 
## 100.45

3.2.13 Atípicos menores. Rango intercuartil

atipicos.menores <- Q1 - 1.5 * (Q3-Q1)
atipicos.menores
##   25% 
## 71.25

3.2.14 Diagramas de cajas con datos atípicos

ggplot(data = datos.alumnos, mapping = aes(y=Promedio)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")

En este diagrama de caja se detecta que hay valores atípicos principalemente los que tienen \(0\) en la variable promedio.

Aquí es en donde se hace prudente tomar decisiones de que ¿hacer con esos valores?, por lo pronto la decisión es simple, son alumnos que no tienen promedio en su historia académica, es decir que no han cursado semestre alguno y no han cerrado al menos un periodo escolar.

3.2.15 Limpiando valores atípicos

Por medio de la función subset() vista anteriormente, se eliminan o filtran esos registros.

datos <- subset(datos, Promedio > 0) significa quitar los alumnos que no tienen promedio aún.

datos.alumnos <- subset(datos.alumnos, Promedio > 0)
head(datos.alumnos)
##   NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio  Carrera
## 1         1      1       12          207          19    79.84 SISTEMAS
## 2         2      2       13          226           9    82.55 SISTEMAS
## 3         3      3       10          235          10    95.16 SISTEMAS
## 4         4      4       13          231          14    79.32 SISTEMAS
## 5         5      5       10          235          10    92.67 SISTEMAS
## 6         6      6       10          235          10    91.25 SISTEMAS
tail(datos.alumnos)
##      NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio      Carrera
## 6037       750    750        9          170          20    81.16 ARQUITECTURA
## 6038       751    751        7          103          19    84.43 ARQUITECTURA
## 6039       752    752        4           76          34    92.47 ARQUITECTURA
## 6040       753    753        4           84          26    89.74 ARQUITECTURA
## 6041       754    754        3           52          28    87.75 ARQUITECTURA
## 6042       755    755        2           18          22    86.50 ARQUITECTURA
n<-nrow(datos.alumnos)
n
## [1] 5535

3.2.16 Nuevos cuartiles con datos limpios

cuartiles <- quantile(x = datos.alumnos$Promedio, probs = c(0.25, 0.50, 0.75), type = 6)
cuartiles
##   25%   50%   75% 
## 83.24 86.36 89.83
Q1 <- cuartiles[1]; Q1
##   25% 
## 83.24
Q2 <- cuartiles[2]; Q2
##   50% 
## 86.36
Q3 <- cuartiles[3]; Q3
##   75% 
## 89.83

3.2.17 Diagramas de cajas con datos limpios

summary(datos.alumnos)
##    NoControl         Alumno         Semestre       Cr.Aprobados  Cr.Cursando  
##  Min.   :  1.0   Min.   :  1.0   Min.   : 2.000   Min.   :  4   Min.   : 3.0  
##  1st Qu.:106.0   1st Qu.:106.0   1st Qu.: 3.000   1st Qu.: 53   1st Qu.:23.0  
##  Median :239.0   Median :239.0   Median : 6.000   Median :109   Median :28.0  
##  Mean   :262.2   Mean   :262.2   Mean   : 5.826   Mean   :115   Mean   :26.1  
##  3rd Qu.:388.0   3rd Qu.:388.0   3rd Qu.: 8.000   3rd Qu.:172   3rd Qu.:30.0  
##  Max.   :755.0   Max.   :755.0   Max.   :17.000   Max.   :264   Max.   :42.0  
##                                                                               
##     Promedio                Carrera    
##  Min.   : 70.00   INDUSTRIAL    : 653  
##  1st Qu.: 83.25   ARQUITECTURA  : 633  
##  Median : 86.36   CIVIL         : 594  
##  Mean   : 86.60   GESTION       : 518  
##  3rd Qu.: 89.83   QUIMICA       : 515  
##  Max.   :100.00   ADMINISTRACION: 458  
##                   (Other)       :2164
ggplot(data = datos.alumnos, mapping = aes(y=Promedio)) + geom_boxplot(outlier.colour="red") +
  labs(title = "Promedio de Alumnos",subtitle =  paste("Q1 = ",Q1, ", Q2 = ",Q2, ", Q3 = ",Q3))

Se siguen visualizando datos atípicos, sin embargo estos si son datos extraños pero reales, que significa que hay alumnos con promedio de 100 y alumnos con promedio de 70 aproximadamente.

3.3 Histograma con cuartiles

ggplot(data = datos.alumnos, aes(x=Promedio)) +
    geom_histogram(bins = 30) + 
    geom_vline(aes(xintercept = Q1,
                  color = "Q1"),
              linetype = "dashed",
              size = 1) +
    geom_vline(aes(xintercept = Q2,
                  color = "Q2"),
              linetype = "dashed",
              size = 1) +
    geom_vline(aes(xintercept = Q3,
                  color = "Q3"),
              linetype = "dashed",
              size = 1) +  
  labs(title = "Histograma de Promedio de Alumnos",subtitle =  paste("Cuartil 1 al 25% = ",Q1, ", Cuartil 2 al 50% = ",Q2, ", Cuartil 3 al 75% = ",Q3))

3.4 Interpretación

En el caso se evalúan las herramientas de los cuartiles y percentiles, los cuartiles son una herramienta que usamos en la estadística y que nos sirve para administrar y tener control de los grupos de datos que previamente fueron ordenados. Tenemos también el rango intercuartil que expresa la diferencia o la distancia entre el primer y el tercer cuartil. Mediante esta medida se eliminan los valores extremadamente alejados. En el caso de que algún alumno obtenga un promedio de 80 estaría por debajo del segundo cuartil, ya que este tiene un valor de 85.83. Con el diagrama de caja se representan varios estadísticos descriptivos de las puntuaciones que contiene la variable, como lo es la mediana y los cuartiles. En este diagrama se nos representa el valor mínimo y máximo con líneas verticales, siendo el cuartil 1 y el cuartil 3, dentro de la figura, llamada caja, está una línea que la atraviesa y esa representa la mediana. La función summary describe y presenta la mayoría de los estadísticos citados para caso; identifica los valores mínimo, máximo, media y mediana de un conjunto de datos. En el caso se trataron nuevos temas como vienen siendo los cuartiles y los percentiles, entendiendo los conceptos y poniéndolos en práctica, al igual que saber cómo utilizar las diferentes herramientas que nos brinda R con respecto a los mismos, es otra manera diferente de controlar y analizar grandes conjuntos de datos. Se conoció otro tipo de gráfica, la gráfica de caja que, si bien es una herramienta muy útil para visualizar los conjuntos, tiene una difícil interpretación.

4 Referencias bibliográficas

Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.