1 Objetivo

Determinar medidas de localización basadas en estadísticos cuartiles y percentiles utilizando de un conjunto de datos así como determinar su significado, visualización e interpretación.

2 Descripción

El caso pretende dar a conocer como determinar cuartiles y percentiles de un conjunto de datos.

Los datos será simulados, primero un conjunto de valores numéricos y la segunda parte se hace uso de los datos descargados del promedio de alumnos.

Este caso inicia con la declaración con cargar las librerías, posteriormente, se simulan los datos y se descargan los datos de alumnos, finalmente se aplican los cuartiles y percentiles así como su visualización , se identifica también su significado e interpretación.

3 Marco teórico

Existen además de la media, mediana y moda otras medidas de posición, estas consisten en determinar la ubicación de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales. Estas medidas son los cuartiles, deciles y percentiles. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).

Los cuartiles dividen a un conjunto de observaciones en cuatro partes iguales de en un conjunto de valores ordenados de menor a mayor. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).

Hablando de medida de localización mediana, esta significa que señala el centro de los datos ordenados, es decir al \(50%\) o \(0.50\)

De igual manera, los cuartiles dividen a un conjunto de observaciones en cuatro partes iguales. El primer cuartil, que se representa mediante Q1, es el valor bajo el cual se presenta \(25\%\) o \(0.25\) de las observaciones, y el tercer cuartil, simbolizado por Q3, es el valor bajo el cual se presenta \(75\%\) o \(0.75\) de las observaciones. El cuartil dos 2 es igual al valor que se representa el \(50\%\) es decir igual a la mediana. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).

Hablar de percentiles (porcentaje) significa encontrar el valor de los datos ordenados en una localización porcentual entre \(1\%\) y \(100\%\), es decir al \(20\%\), al \(45\%\), al \(60\%\) al \(85\%\), es decir cualquier valor entre \(1\%\) y \(100\%\) en términos porcentuales o lo que es lo mismo cualquier valor entre \(0\) y \(1\) en términos relativos.

Los deciles significa dividir el conjunto de datos ordenados en 10 partes, de tal forma que el primer decil está al \(10\%\), el segundo al \(20\%\) y así sucesivamente hasta llegar al \(100\%\).

Algunos razonamientos e igualdades sería por ejemplo, el cuartil \(1\) o \(Q_1\) que es el \(25\%\), es igual al percentil \(25\) el decil \(6\) al \(60\%\) es igual al percentil \(60\), y así algunas similitudes de localización.

La interpretación de cuartiles, percentiles y deciles radica en determinar cuántos datos están por encima o por debajo de esa medida de localización.

Por ejemplo como lo menciona Lind (2015), si un promedio general de estudiantes en la universidad se encuentra en el octavo decil, se podría concluir que \(80\%\) de los estudiantes tuvieron un promedio general inferior a ese valor y un \(20\%\) superior al valor encontrado. Si un promedio estuvo en el percentil \(92\), entonces \(92\%\) de los estudiantes tuvo ese promedio general menor al valor encontrado, y solo \(8\%\) de ellos tuvo uno mayor.(Lind, Marchal, and Wathen 2015).

Lo mismo sucede con los cuartiles, significa interpretar y determinar el porcentaje y la cantidad de elementos que está por encima o por debajo del \(25\%\), del \(50\%\) o del \(75\%\)de los datos.

Para determinar el valor de un cuartil o un percentil se puede utilizar la siguiente fórmula

3.1 Fórmula para cuartiles, deciles y percentiles

\[ L_p = (n+1)\times \frac{p}{100} \]

Siendo:

  • \(L_p\) El valor del percentil o del cuartil a buscar

  • \(n\) Es el total de los datos \(p\) Es el valor porcentual \(25,30,50,75,…,\)

  • \(100\) dividido entre cien es el valor relativo

3.2 Visualización de cuartiles

El diagrama de caja permite es una representación gráfica basada en cuartiles que ayuda a presentar un conjunto de datos. Para construir un diagrama de caja solo se necesitan estos estadísticos: valor mínimo, Q1 (primer cuartil), mediana o Q2 (segundo cuartil), Q3 (tercer cuartil) y valor máximo.

3.3 Diagrama de caja o diagrama de bigotes

El diagrama de caja también revele el concepto de rango intercuartil que significa la cantidad o la densidad de elementos que hay entre el \(Q_1\) y \(Q_3\); este rango intercuartil significa que el \(50\%\) de los datos está en ese rango.

Luego existe otro significado del diagrama, se pueden ver cuales son valores atípicos, extraños, muy altos o muy bajos, o outliers en inglés. Un dato atípico se trata de un valor que no concuerda con el resto de los datos. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).

Se define como un valor más de 1.5 veces la amplitud del rango intercuartil más pequeño que Q1, o mayor que Q3. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).

\[ dato.atípico>Q_3=Q_3+1.5\times(Q_3-Q_1) \]

y

\[ dato.atípico<Q_1=Q_1+1.5\times(Q_3-Q_1) \]

estos datos se encuentran a 1.5 veces el valor del rango intercuartil

\[ rango.intercuartil..RI =Q3−Q1 \]

3.4 Función quantile() en R

En Lenguaje R se utiliza la función quantile para determinar tanto cuartiles como percentiles y hasta deciles.

La función tiene un atributo type que permite determinar los cuartiles de acuerdo a autores y cada uno de ellos con sus fórmulas matemáticas para su cálculo, finalmente los valores que da una u otra fórmula son muy similares entre si y lo trascendente es el significado y la interpretación que hay que darle a estas medidas de localización.

4 Desarrollo

El desarrollo del caso utiliza primero datos simulados.

Luego, se utilizan y se descargan los datos de alumnos que existen en la dirección “alumnos.”

Con ambos datos se encuentran cuartiles y percentiles; finalmente se visualizan con diagramas de cajas utilizando la librería ggplot.

Al final del caso se busca la interpretación del mismo.

4.1 Cargar librerías

Se cargan las librerías readr y ggplot2 cuya utilidad es disponer de funciones para importar datos de archivos separados por coma o csv y visualizar diversos tipos de gráficos respectivamente.

library(readr)
library(ggplot2)
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.4

4.2 Datos simulados

4.2.1 Crear datos con sample

Se crean datos con la función sample de tal vez 100 valores de edades de personas entre 18 y 65. La variable datos es un vector que almacena dichos valores.

set.seed(2021)
datos <- sample(18:65, 100, replace = TRUE)
datos
##   [1] 24 55 63 56 29 23 55 55 63 22 64 56 58 40 29 35 20 63 57 43 53 54 39 48 65
##  [26] 51 36 21 39 22 26 55 35 60 23 39 23 32 51 39 33 32 41 34 55 54 37 21 47 25
##  [51] 36 20 19 34 57 58 48 26 46 44 28 53 55 63 32 35 26 36 33 61 51 54 59 61 39
##  [76] 55 44 61 30 50 63 38 42 48 62 28 26 40 60 39 53 47 63 65 24 46 18 36 62 53
n <- length(datos)
n
## [1] 100

4.2.2 Agregando datos atípicos a los datos

datos <- c(datos, c(-13,9,96,150))
datos
##   [1]  24  55  63  56  29  23  55  55  63  22  64  56  58  40  29  35  20  63
##  [19]  57  43  53  54  39  48  65  51  36  21  39  22  26  55  35  60  23  39
##  [37]  23  32  51  39  33  32  41  34  55  54  37  21  47  25  36  20  19  34
##  [55]  57  58  48  26  46  44  28  53  55  63  32  35  26  36  33  61  51  54
##  [73]  59  61  39  55  44  61  30  50  63  38  42  48  62  28  26  40  60  39
##  [91]  53  47  63  65  24  46  18  36  62  53 -13   9  96 150

4.2.3 Ordenando los dados con order

Ordenando y mostrando los datos para luego determinar medidas de localización cuartiles y percentiles.

datos.ordenados <- datos[order(datos)]
datos.ordenados
##   [1] -13   9  18  19  20  20  21  21  22  22  23  23  23  24  24  25  26  26
##  [19]  26  26  28  28  29  29  30  32  32  32  33  33  34  34  35  35  35  36
##  [37]  36  36  36  37  38  39  39  39  39  39  39  40  40  41  42  43  44  44
##  [55]  46  46  47  47  48  48  48  50  51  51  51  53  53  53  53  54  54  54
##  [73]  55  55  55  55  55  55  55  56  56  57  57  58  58  59  60  60  61  61
##  [91]  61  62  62  63  63  63  63  63  63  64  65  65  96 150

4.2.4 Cuartiles conforme a fórmula

\[ L_p=(n+1)\frac{p}{100} \]

Estos valores deberán ser aproximados a utilizar la función quantile() en R

q1 <- datos.ordenados[(n+1) * 25/100]; q1
## [1] 30
q2 <- datos.ordenados[(n+1) * 50/100]; q2
## [1] 41
q3 <- datos.ordenados[(n+1) * 75/100]; q3
## [1] 55

Para el resto del caso se le hará caso a los valores generados por la función quantile().

Cuartiles por medio de la función quantile()

Q1 <- quantile(datos, c(0.25), type = 6); Q1
## 25% 
##  32
Q2 <- quantile(datos, c(0.50), type = 6); Q2
##  50% 
## 43.5
Q3 <- quantile(datos, c(0.75), type = 6); Q3
## 75% 
##  55

La mediana siempre será igual al cuartil del 50% o al segundo cuartil

mediana <- median(datos)
mediana
## [1] 43.5
Q2
##  50% 
## 43.5

4.2.5 Percentiles

Los percentiles es dividir los datos en un porcentaje a decisión del analista, puede ser al 10%, al 20%, al 30%… al 90%

P10 <- quantile(datos, c(0.10)); P10
## 10% 
##  23
percentiles <- quantile(datos, c(0.2, 0.40, 0.50, 0.60, 0.80), type = 6)
percentiles
##  20%  40%  50%  60%  80% 
## 28.0 39.0 43.5 51.0 58.0

4.2.6 Máximos y mínimos

Se determinan los valores mínimos y máximos y se muestran.

La función summary() describe los mismos datos

minimo <- min(datos)
maximo <- max(datos)
 
minimo; Q1; Q2; Q3; maximo
## [1] -13
## 25% 
##  32
##  50% 
## 43.5
## 75% 
##  55
## [1] 150
summary(datos)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  -13.00   32.00   43.50   43.93   55.00  150.00

4.2.7 Convertir a data.frame

El vector de los datos se transforma a estructura data.frame para poderlo tratar con la librería ggplot2.

datos <- data.frame(datos)
datos
##     datos
## 1      24
## 2      55
## 3      63
## 4      56
## 5      29
## 6      23
## 7      55
## 8      55
## 9      63
## 10     22
## 11     64
## 12     56
## 13     58
## 14     40
## 15     29
## 16     35
## 17     20
## 18     63
## 19     57
## 20     43
## 21     53
## 22     54
## 23     39
## 24     48
## 25     65
## 26     51
## 27     36
## 28     21
## 29     39
## 30     22
## 31     26
## 32     55
## 33     35
## 34     60
## 35     23
## 36     39
## 37     23
## 38     32
## 39     51
## 40     39
## 41     33
## 42     32
## 43     41
## 44     34
## 45     55
## 46     54
## 47     37
## 48     21
## 49     47
## 50     25
## 51     36
## 52     20
## 53     19
## 54     34
## 55     57
## 56     58
## 57     48
## 58     26
## 59     46
## 60     44
## 61     28
## 62     53
## 63     55
## 64     63
## 65     32
## 66     35
## 67     26
## 68     36
## 69     33
## 70     61
## 71     51
## 72     54
## 73     59
## 74     61
## 75     39
## 76     55
## 77     44
## 78     61
## 79     30
## 80     50
## 81     63
## 82     38
## 83     42
## 84     48
## 85     62
## 86     28
## 87     26
## 88     40
## 89     60
## 90     39
## 91     53
## 92     47
## 93     63
## 94     65
## 95     24
## 96     46
## 97     18
## 98     36
## 99     62
## 100    53
## 101   -13
## 102     9
## 103    96
## 104   150

4.2.8 Diagrama de caja de los datos

4.2.8.1 Diagrama de caja en función del eje de las x.

ggplot(data = datos, mapping = aes(x=datos)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")

4.2.8.2 Diagrama de caja en función del eje de las y.

ggplot(data = datos, mapping = aes(y=datos)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")

4.3 Datos de alumnos

4.3.1 Importar datos

Se importan los datos de alumnos.

Cabe hacer notar que en este conjunto de datos existen datos en la variable Promedio que son igual a cero, esto se interpreta como datos atípicos o que tal vez no debieran ser considerados en análisis estadísticos.

datos.alumnos <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/datos/promedios%20alumnos/ALUMNOS%20EJ2021.csv")

head(datos.alumnos)
##   NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio  Carrera
## 1         1      1       12          207          19    79.84 SISTEMAS
## 2         2      2       13          226           9    82.55 SISTEMAS
## 3         3      3       10          235          10    95.16 SISTEMAS
## 4         4      4       13          231          14    79.32 SISTEMAS
## 5         5      5       10          235          10    92.67 SISTEMAS
## 6         6      6       10          235          10    91.25 SISTEMAS
tail(datos.alumnos)
##      NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio      Carrera
## 6037       750    750        9          170          20    81.16 ARQUITECTURA
## 6038       751    751        7          103          19    84.43 ARQUITECTURA
## 6039       752    752        4           76          34    92.47 ARQUITECTURA
## 6040       753    753        4           84          26    89.74 ARQUITECTURA
## 6041       754    754        3           52          28    87.75 ARQUITECTURA
## 6042       755    755        2           18          22    86.50 ARQUITECTURA
n <- nrow(datos.alumnos)
n
## [1] 6042

4.3.2 Summary de datos.alumnos

Se factoriza la variable Carrera para que en summary se obtenga la frecuencia de la columna Carrera.

datos.alumnos$Carrera <- factor(datos.alumnos$Carrera)

summary(datos.alumnos)
##    NoControl         Alumno         Semestre       Cr.Aprobados  
##  Min.   :  1.0   Min.   :  1.0   Min.   : 1.000   Min.   :  0.0  
##  1st Qu.:112.0   1st Qu.:112.0   1st Qu.: 3.000   1st Qu.: 53.0  
##  Median :245.0   Median :245.0   Median : 5.000   Median :109.0  
##  Mean   :268.1   Mean   :268.1   Mean   : 5.428   Mean   :114.8  
##  3rd Qu.:394.0   3rd Qu.:394.0   3rd Qu.: 8.000   3rd Qu.:172.0  
##  Max.   :755.0   Max.   :755.0   Max.   :17.000   Max.   :264.0  
##                                                   NA's   :499    
##   Cr.Cursando       Promedio                Carrera    
##  Min.   : 3.00   Min.   :  0.00   ARQUITECTURA  : 755  
##  1st Qu.:23.00   1st Qu.: 82.20   INDUSTRIAL    : 721  
##  Median :27.00   Median : 85.83   CIVIL         : 674  
##  Mean   :26.09   Mean   : 79.33   QUIMICA       : 564  
##  3rd Qu.:30.00   3rd Qu.: 89.50   GESTION       : 557  
##  Max.   :42.00   Max.   :100.00   ADMINISTRACION: 492  
##                                   (Other)       :2279

4.3.3 Cuartiles

Se determinan los cuartiles de la variable Promedio de los datos de alumnos con la función quantile().

cuartiles <- quantile(x = datos.alumnos$Promedio, probs = c(0.25, 0.50, 0.75), type = 6)
cuartiles
##   25%   50%   75% 
## 82.20 85.83 89.50
Q1 <- cuartiles[1]; Q1
##  25% 
## 82.2
Q2 <- cuartiles[2]; Q2
##   50% 
## 85.83
Q3 <- cuartiles[3]; Q3
##  75% 
## 89.5

El \(50\%\) de los datos está entre 82.2 y 89.5. El \(RI\) rango intercuartil es \(Q_3\) \(-Q_1\) o sea 7.3.

Los valores atípicos mayores a \(Q_3\) serán los que estén por encima de 100.45 y los valores atípicos menores a \(Q_1\) serán los que estén por debajo de 71.25

4.3.4 Atípicos mayores. Rango intercuartil

atipicos.mayores <- Q3 + 1.5 * (Q3-Q1)
atipicos.mayores
##    75% 
## 100.45

4.3.5 Atípicos menores. Rango intercuartil

atipicos.menores <- Q1 - 1.5 * (Q3-Q1)
atipicos.menores
##   25% 
## 71.25

4.3.6 Diagramas de cajas con datos atípicos

ggplot(data = datos.alumnos, mapping = aes(y=Promedio)) + geom_boxplot(outlier.colour="red")

En este diagrama de caja se detecta que hay valores atípicos principalemente los que tienen \(0\) en la variable promedio.

Aquí es en donde se hace prudente tomar decisiones de que ¿hacer con esos valores?, por lo pronto la decisión es simple, son alumnos que no tienen promedio en su historia académica, es decir que no han cursado semestre alguno y no han cerrado al menos un periodo escolar.

4.3.7 Limpiando valores atípicos

Por medio de la función subset() vista anteriormente, se eliminan o filtran esos registros.

datos <- subset(datos, Promedio > 0) significa quitar los alumnos que no tienen promedio aún.

datos.alumnos <- subset(datos.alumnos, Promedio > 0)
head(datos.alumnos)
##   NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio  Carrera
## 1         1      1       12          207          19    79.84 SISTEMAS
## 2         2      2       13          226           9    82.55 SISTEMAS
## 3         3      3       10          235          10    95.16 SISTEMAS
## 4         4      4       13          231          14    79.32 SISTEMAS
## 5         5      5       10          235          10    92.67 SISTEMAS
## 6         6      6       10          235          10    91.25 SISTEMAS
tail(datos.alumnos)
##      NoControl Alumno Semestre Cr.Aprobados Cr.Cursando Promedio      Carrera
## 6037       750    750        9          170          20    81.16 ARQUITECTURA
## 6038       751    751        7          103          19    84.43 ARQUITECTURA
## 6039       752    752        4           76          34    92.47 ARQUITECTURA
## 6040       753    753        4           84          26    89.74 ARQUITECTURA
## 6041       754    754        3           52          28    87.75 ARQUITECTURA
## 6042       755    755        2           18          22    86.50 ARQUITECTURA
n<-nrow(datos.alumnos)
n
## [1] 5535

4.3.8 Nuevos cuartiles con datos limpios

cuartiles <- quantile(x = datos.alumnos$Promedio, probs = c(0.25, 0.50, 0.75), type = 6)
cuartiles
##   25%   50%   75% 
## 83.24 86.36 89.83
Q1 <- cuartiles[1]; Q1
##   25% 
## 83.24
Q2 <- cuartiles[2]; Q2
##   50% 
## 86.36
Q3 <- cuartiles[3]; Q3
##   75% 
## 89.83

4.3.9 Diagramas de cajas con datos limpios

summary(datos.alumnos)
##    NoControl         Alumno         Semestre       Cr.Aprobados  Cr.Cursando  
##  Min.   :  1.0   Min.   :  1.0   Min.   : 2.000   Min.   :  4   Min.   : 3.0  
##  1st Qu.:106.0   1st Qu.:106.0   1st Qu.: 3.000   1st Qu.: 53   1st Qu.:23.0  
##  Median :239.0   Median :239.0   Median : 6.000   Median :109   Median :28.0  
##  Mean   :262.2   Mean   :262.2   Mean   : 5.826   Mean   :115   Mean   :26.1  
##  3rd Qu.:388.0   3rd Qu.:388.0   3rd Qu.: 8.000   3rd Qu.:172   3rd Qu.:30.0  
##  Max.   :755.0   Max.   :755.0   Max.   :17.000   Max.   :264   Max.   :42.0  
##                                                                               
##     Promedio                Carrera    
##  Min.   : 70.00   INDUSTRIAL    : 653  
##  1st Qu.: 83.25   ARQUITECTURA  : 633  
##  Median : 86.36   CIVIL         : 594  
##  Mean   : 86.60   GESTION       : 518  
##  3rd Qu.: 89.83   QUIMICA       : 515  
##  Max.   :100.00   ADMINISTRACION: 458  
##                   (Other)       :2164
ggplot(data = datos.alumnos, mapping = aes(y=Promedio)) + geom_boxplot(outlier.colour="red") +
  labs(title = "Promedio de Alumnos",subtitle =  paste("Q1 = ",Q1, ", Q2 = ",Q2, ", Q3 = ",Q3))

Se siguen visualizando datos atípicos, sin embargo estos si son datos extraños pero reales, que significa que hay alumnos con promedio de 100 y alumnos con promedio de 70 aproximadamente.

4.4 Histograma con cuartiles

ggplot(data = datos.alumnos, aes(x=Promedio)) +
    geom_histogram(bins = 30) + 
    geom_vline(aes(xintercept = Q1,
                  color = "Q1"),
              linetype = "dashed",
              size = 1) +
    geom_vline(aes(xintercept = Q2,
                  color = "Q2"),
              linetype = "dashed",
              size = 1) +
    geom_vline(aes(xintercept = Q3,
                  color = "Q3"),
              linetype = "dashed",
              size = 1) +  
  labs(title = "Histograma de Promedio de Alumnos",subtitle =  paste("Cuartil 1 al 25% = ",Q1, ", Cuartil 2 al 50% = ",Q2, ", Cuartil 3 al 75% = ",Q3))

4.5 Interpretación

Los cuartiles dividen a un conjunto de datos en cuatro partes iguales (de ahí cuartiles, de cuarto), generalmente sólo se calcula el primer y tercer cuartil, pues el segundo es la mediana y el cuarto es el 100% o el dato final. El rango intercuartílico es una estimación estadística de la dispersión de una distribución de datos. Consiste en la diferencia entre el tercer y el primer cuartil. Mediante esta medida se eliminan los valores extremadamente alejados.

En la gráfica de promedios y también por el cálculo del segundo cuartil podemos observar que si un alumno tiene un promedio de 80 está por debajo del segundo cuartil (o mediana).

Un diagrama de caja se interpreta como la manera gráfica de ver cuáles son los datos típicos (que están dentro de la caja) y cuáles son los atípicos (los puntos que se encuentran fuera de la caja).

La función summary() describe y presenta la mayoría de los datos estadísticos citados para el caso.}

Este caso me ayudó a reforzar mi conocimiento acerca de los cuartiles, deciles y percentiles, también aprender a calcularlo y simbolizarlo en un lenguaje de programación y a organizar y filtrar la información con un código sencillo de recordar y modificar como lo es: subset(datos, Informacion_A_Comparar> 0), que es necesario revisar los datos cuando los recibamos, pues puede que nos hayan dado registros falsos y que no hay que eliminar todos los datos, solo aquellos que no tengan coherencia, como calificaciones mayores a 100 o iguales a 0, pues no es posible tener más de 100 en ningún lugar del mundo y la misma lógica para el 0, no es posible que no hayas hecho nada en ningún momento.

Nota: Dejé el marco teórico para tener la información accesible y también tener la publicación como respaldo.

4.6 Referencias bibliográficas

Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.

4.7