Ejemplos. Tarea 1.

Ejercicio 1.

Demostrar que las siguientes ecuaciones tienen al menos una solución en los intervalos dados.

\[\begin{equation} x\,\cos x -2x^2+3x-1=0 \qquad [0.2, 0.3]\qquad [1.2, 1.3] \end{equation}\]

f_1a <- function(x){x*cos(x)-2*x^2+3*x-1} #Definir la ecuación.
x_1a <- seq(0, 1.5, by=0.05) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_1a <- f_1a(x_1a)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.

graf_1a <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_1a, y=y_1a), color="chartreuse1", size=1.2)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_gray()

#graf_1a
ggplotly(graf_1a)

El valor de la función en 0.2 es -0.284, el valor de la función en 0.3 es 0.007, por lo tanto existe \(x\) entre 0.2 y 0.3 tal que \(f(x)=0\).

Mientras que el valor de la función en 1.2 es 0.155, el valor de la función en 1.3 es -0.132, por lo tanto existe \(x\) entre 0.2 y 0.3 tal que \(f(x)=0\).

\[\begin{equation} (x-2)^2-ln\,x=0 \qquad [1,2] \qquad [e, 4] \end{equation}\]

f_1b <- function(x){(x-2)^2-log(x)} #Definir la ecuación.
x_1b <- seq(1, 4, by=0.05) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_1b <- f_1b(x_1b)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.

graf_1b <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_1b, y=y_1b), color="aquamarine3", size=1.2)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_gray()

#graf_1b
ggplotly(graf_1b)

El valor de la función en 1 es 1, el valor de la función en 2 es -0.693, por lo tanto existe \(x\) entre 1 y 2 tal que \(f(x)=0\).

Mientras que el valor de la función en e es -0.484, el valor de la función en 4 es 2.614, por lo tanto existe \(x\) entre e y 4 tal que \(f(x)=0\).

\[\begin{equation} 2x\cos(2x)-(x-2)^2=0 \qquad [2,3] \qquad [3, 4] \end{equation}\]

f_1c <- function(x){2*x*cos(2*x)-(x-2)^2} #Definir la ecuación.
x_1c <- seq(0, 4, by=0.05) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_1c <- f_1c(x_1c)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.

graf_1c <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_1c, y=y_1c), color="darkgoldenrod1", size=1.2)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_gray()
  
  #graf_1c
ggplotly(graf_1c)

El valor de la función en 2 es -2.615, el valor de la función en 3 es 4.761, por lo tanto existe \(x\) entre 2 y 3 tal que \(f(x)=0\).

Mientras que el valor de la función en 3 es 4.761, el valor de la función en 4 es -5.164, por lo tanto existe \(x\) entre 3 y 4 tal que \(f(x)=0\).

Ejercicio 2

Demostrar que \(f'(x)=0\) en al menos un punto en los intervalos dados.

\[\begin{equation} f(x)=1-e^x+ (e-1) \sin((\pi/2)x)\qquad [0, 1] \end{equation}\]

f_2a <- function(x){1-exp(x)+(exp(1)-1)*sin(pi*x/2)} #Definir la ecuación.
pe_2a <- c(0.55)

graf_2a <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=seq(0, 1, 0.01), y=f_2a(seq(0, 1, 0.01))), color="lightcoral", size=1.2)+
  geom_point(aes(x=pe_2a, y=f_2a(pe_2a)), color="red", size=4)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_minimal()

#graf_2a
ggplotly(graf_2a)

Sabemos que para que \(f'(x)=0\) es necesario optener los puntos críticos, y en esta función, si hay un punto crítico en el intervalo dado, por lo tanto si hay un punto donde \(f'(x)=0\).Este punto está aproximadamente en \((0.55,0.57)\).

\[\begin{equation} f(x)=(x-1)\tan x+x\sin(\pi x) \qquad [0, 1] \end{equation}\]

f_2b <- function(x){(x-1)*tan(x)+x*sin(pi*x)} #Definir la ecuación.
pe_2b <- c(0.125)
pe_2bb <- c(0.675)

graf_2b <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=seq(0, 1, 0.01), y=f_2b(seq(0, 1, 0.01))), color="cadetblue4", size=1.2)+
  geom_point(aes(x=pe_2b, y=f_2b(pe_2b)), color="red", size=4)+
  geom_point(aes(x=pe_2bb, y=f_2b(pe_2bb)), color="red", size=4)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_minimal()

#graf_2b
ggplotly(graf_2b)

En esta función, hay dos puntos críticos en el intervalo dado, por lo tanto si hay puntos donde \(f'(x)=0\). Estos puntos están aproximadamente en \((0.125,-0.062)\) y en \((0.675,0.315)\).

\[\begin{equation} f(x)=(x-2)\sin x\,\, ln(x+2) \qquad [0, 1] \end{equation}\]

f_2c <- function(x){(x-2)*sin(x)*log(x+2)} #Definir la ecuación.
pe_2c <- c(0.97)

graf_2c <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=seq(0, 1.5, 0.01), y=f_2c(seq(0, 1.5, 0.01))), color="antiquewhite4", size=1.2)+
  geom_point(aes(x=pe_2c, y=f_2c(pe_2c)), color="red", size=4)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_minimal()

#graf_2c
ggplotly(graf_2c)

En esta función, si hay un punto crítico en el intervalo dado, por lo tanto si hay un punto donde \(f'(x)=0\).Este punto está aproximadamente en \((0.97,-0.092)\).

Ejercicio 3.

Determina \(\max_{a\leq x\leq b} |f(x)|\) para las siguientes funciones en los intervalos dados.

\[\begin{equation} f(x)=\frac{2x}{x^2+1} \qquad [0, 2] \end{equation}\]

f_3a <- function(x){(2*x)/(x^2+1)} #Definir la ecuación.
x_3a <- seq(0, 2.5, by=0.01) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_3a <- f_3a(x_3a)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.
pe_3a <- c(1)

graf_3a <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_3a, y=y_3a), color="coral", size=1.2)+
  geom_point(aes(x=pe_3a, y=f_3a(pe_3a)), color="red", size=4)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_light()
  
  #graf_3a
ggplotly(graf_3a)

El \(\max_{0\leq x\leq 2} |f(x)|\) es aproximadamente \(x=1\).

\[\begin{equation} f(x)=x^2\sqrt{4-x} \qquad [0, 4] \end{equation}\]

f_3b <- function(x){x^2*sqrt(4-x)} #Definir la ecuación.
x_3b <- seq(0, 4.5, by=0.01) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_3b <- f_3b(x_3b)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.

## Warning in sqrt(4 - x): Se han producido NaNs

pe_3b <- c(3.2)

graf_3b <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_3b, y=y_3b), color="darkblue", size=1.2)+
  geom_point(aes(x=pe_3b, y=f_3b(pe_3b)), color="red", size=4)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_light()
  
  #graf_3b
ggplotly(graf_3b)

El \(\max_{0\leq x\leq 4} |f(x)|\) es aproximadamente \(x=3.2\).

\[\begin{equation} f(x)=x^3-4x+2 \qquad [1, 2] \end{equation}\]

f_3c <- function(x){x^3-4*x+2} #Definir la ecuación.
x_3c <- seq(0, 2.5, by=0.01) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_3c <- f_3c(x_3c)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.
pe_3c <- c(2)

graf_3c <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_3c, y=y_3c), color="chartreuse3", size=1.2)+
  geom_point(aes(x=pe_3c, y=f_3c(pe_3c)), color="red", size=4)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_light()
  
  #graf_3c
ggplotly(graf_3c)

El \(\max_{1\leq x\leq 2} |f(x)|\) es aproximadamente \(x=2\).

Ejercicio 4.

Determina \(\max_{a\leq x\leq b} |f(x)|\) para las siguientes funciones en los intervalos dados.

\[\begin{equation} f(x)=\frac{2-e^x+2x}{3} \qquad [0, 1] \end{equation}\]

f_4a <- function(x){(2-exp(1)^x+2*x)/3} #Definir la ecuación.
x_4a <- seq(0, 2, by=0.01) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_4a <- f_4a(x_4a)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.
pe_4a <- c(0.75)

graf_4a <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_4a, y=y_4a), color="burlywood4", size=1.2)+
  geom_point(aes(x=pe_4a, y=f_4a(pe_4a)), color="red", size=4)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_light()
  
  #graf_4a
ggplotly(graf_4a)

El \(\max_{0\leq x\leq 1} |f(x)|\) es aproximadamente \(x=0.75\).

\[\begin{equation} f(x)=\frac{4x-3}{x^2-2x} \qquad [1/2, 1] \end{equation}\]

f_4b <- function(x){(4*x-3)/(x^2-2*x)} #Definir la ecuación.
x_4b <- seq(0, 1, by=0.02) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_4b <- f_4b(x_4b)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.
pe_4b <- c(0.5)

graf_4b <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_4b, y=y_4b), color="aquamarine4", size=1.2)+
  geom_point(aes(x=pe_4b, y=f_4b(pe_4b)), color="red", size=4)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_light()
  
  #graf_4b
ggplotly(graf_4b)

El \(\max_{1/2\leq x\leq 1} |f(x)|\) es aproximadamente \(x=0.5\).

\[\begin{equation} f(x)=2x \cos(2x) - (x-2)^2 \qquad [2, 4] \end{equation}\]

f_4c <- function(x){2*x*cos(2*x)-(x-2)^2} #Definir la ecuación.
x_4c <- seq(0, 4, by=0.01) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_4c <- f_4c(x_4c)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.
pe_4c <- c(3.13)

graf_4c <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_4c, y=y_4c), color="darkorange2", size=1.2)+
  geom_point(aes(x=pe_4c, y=f_4c(pe_4c)), color="red", size=4)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_light()
  
  #graf_4c
ggplotly(graf_4c)

El \(\max_{2\leq x\leq 4} |f(x)|\) es aproximadamente \(x=3.13\).

Ejercicio 5

Usa el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para mostrar que la gráfica de \[\begin{equation} f(x)= x^3+2x+k \end{equation}\] cruza el eje \(x\) exactamente una vez, sin importar el valor de la constante \(k\).

f_5 <- function(x,k){x^3+2*x+k} #Definir la ecuación.
f_5a <- function(x,k){x^3+2*x-k} #Definir la ecuación.
x_5 <- seq(-5, 5, by=0.05) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_5_0 <- f_5(x_5,0)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.
y_5_100 <- f_5(x_5,100)
y_5_50 <- f_5(x_5,50)
y_5_25 <- f_5(x_5,25)
y_5a_50 <- f_5a(x_5,50)
y_5a_100 <- f_5a(x_5,100)
y_5a_25 <- f_5a(x_5,25)




graf_5 <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_5, y=y_5_0), color="darkorange", size=1)+
  geom_line(aes(x=x_5, y=y_5_100), color="red", size=1)+
  geom_line(aes(x=x_5, y=y_5_50), color="darksalmon", size=1)+
  geom_line(aes(x=x_5, y=y_5_25), color="gray", size=1)+
  geom_line(aes(x=x_5, y=y_5a_50), color="green", size=1)+
  geom_line(aes(x=x_5, y=y_5a_100), color="black", size=1)+
  geom_line(aes(x=x_5, y=y_5a_25), color="coral4", size=1)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_bw()
  
  #graf_5
ggplotly(graf_5)

Como se puede observar en la gráfica, sin importar el valor de \(k\) la función solo cruza una vez el eje \(x\), Si \(k>0\) entonces el cruce será a la izquierda; si \(k=0\) el cruce será en \((0,0)\). Por último, si \(k<0\) el cruce será a la derecha.

Ejercicio 6

Sea \(f(x)=x^3\).

f_6 <- function(x){x^3} #Definir la ecuación.
x_6 <- seq(0, 2, by=0.01) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_6 <- f_6(x_6)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.

pt_6 <- function(x){3*x^2-3*x+1} #Polinomio de Taylor de grado 2 alrededor de uno
yt_6 <- pt_6(x_6)

pe_6 <- c(0.5)

graf_6 <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_6, y=y_6), color="cadetblue", size=1)+
  geom_line(aes(x=x_6, y=yt_6), color="antiquewhite4", size=1)+
  geom_point(aes(x=pe_6, y=f_6(pe_6)), color="red", size=3)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_light()

  #graf_6
ggplotly(graf_6)

1. Determina el segundo polinomio de Taylor \(P_2(x)\) en torno a \(x_0=0\).

\(P_2(x)=0\) en torno a \(x_0=0\).

2. Calcula \(R_2(0.5)\) y el error real al usar \(P_2(0.5)\) para aproximar \(f(0.5)\).

\(R_2(0.5)= 1/8\) y el error real es lo mismo.

3. Repite el inciso (a) usando \(x_0=1\)

\(P_2(x)=3x^2-3x+1\) en torno a \(x_0=1\).

4. Repite el inciso (b) con el polinomio del inciso (c).

\(R_2(0.5)= 3/8\) y el error real es \(1/8\).

Ejercicio 7.

Obtenga el polinomio de Taylor \(P_3(x)\) para la función \(f(x)=\sqrt{x+1}\) en torno a \(x_0=0\). Aproxima \(\sqrt{0.5}\), \(\sqrt{0.75}\), \(\sqrt{1.25}\) y \(\sqrt{1.5}\) usando \(P_3(x)\) y calcule los errores reales.

f_7 <- function(x){sqrt(x+1)} #Definir la ecuación.
x_7 <- seq(-1, 1, by=0.01) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_7 <- f_7(x_7)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.

pt_7 <- function(x){1+x/2-x^2/8+x^3/16} #Polinomio de Taylor de grado 3 alrededor del cero
yt_7 <- pt_7(x_7)

pe_7 <- c(-0.5, -0.25, 0.25, 0.5)


graf_7 <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_7, y=y_7), color="deeppink4", size=1)+
  geom_line(aes(x=x_7, y=yt_7), color="blue")+
  geom_point(aes(x=pe_7, y=f_7(pe_7)), color="gold", size=4)+
  geom_point(aes(x=pe_7, y=pt_7(pe_7)), color="cyan", size=2)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_light()

ggsave("figura_e7.jpg", dpi="retina")

## Saving 7 x 5 in image

  #graf_7
ggplotly(graf_7)

\[\begin{equation} P_2(x)=1+\frac{x}{2}{-\frac{x^2}{8}}+{\frac{x^3}{16}}, \quad x_0=0\ \end{equation}\]

\(P_3(\sqrt{0.5})≈1.3131\) y el error real es aproximadamente \(0.0097\)

\(P_3(\sqrt{0.75})≈1.3798\) y el error real es aproximadamente \(0.0219\)

\(P_3(\sqrt{1.25})≈1.4901\) y el error real es aproximadamente \(0.0610\)

\(P_3(\sqrt{1.5})≈1.5396\) y el error real es aproximadamente \(0.0878\)

Ejercicio 8.

Determina el segundo polinomio de Taylor \(P_2(x)\) para la función \(f(x)=e^x\,\cos x\) en torno a \(x_0=0\).

\[\begin{equation} P_2(x)=1+x, \quad x_0=0\ \end{equation}\]

f_8 <- function(x){exp(x)*cos(x)} #Definir la ecuación.
x_8 <- seq(-1, 1, by=0.01) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_8 <- f_8(x_8)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.

pt_8_2 <- taylor((f_8), 0, 2) #Polinomio de Taylor de grado 2 alrededor del cero
pt_8_3 <- taylor((f_8), 0, 3) #Polinomio de Taylor de grado 3 alrededor del cero
pt_8_4 <- taylor((f_8), 0, 4) #Polinomio de Taylor de grado 4 alrededor del cero
pt_8_5 <- taylor((f_8), 0, 5) #Polinomio de Taylor de grado 5 alrededor del cero



graf_8 <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_8, y=y_8), color="chartreuse3", size=1)+
  geom_line(aes(x=x_8, y=polyval(pt_8_2, x_8)), color="coral2")+
  geom_point(aes(x=x_8, y=polyval(pt_8_3, x_8)), color="darkgoldenrod1", size=1)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_light()

polyval(pt_8_2, 0.5)

## [1] 1.5

#graf_8
ggplotly(graf_8)

1. Usa \(P_2(0.5)\) para aproximar \(f(0.5)\). Determina una cota superior para el error \(|f(0.5)-P_2(0.5)|\) por medio de la fórmula para el error y compáralo con el error real.

Tenemos que \(f(0.5)=1.4468\) y \(P_2(0.5)=1.5\) por lo tanto \(|1.4468-1.5|≈0.0532\) mientras que el error real es \(0.0416\), en comparación se tiene una diferencia de \(0.0116\).

2. Calcula una cota para el error \(|f(x)-P_2(x)|\) al usar \(P_2(x)\) para aproximar \(f(x)\) en el intervalo \([0,1]\).

La cota superior en el intervalo es \(1\), y el error real es \(1.2520\).

3. Aproxima \(\int_0^1 f(x) dx\) por medio de \(\int_0^1 P_2(x) dx\).

\(\int_0^1 P_2(x) dx=1.5\).

Ejercicio 9.

Sea \(f(x)=2x\, \cos (2x) -(x-2)^2\) y \(x_0=0\).

1. Determina el tercer polinomio de Taylor \(P_3(x)\) y úsalo para aproximar \(f(0.4)\).

\[\begin{equation} P_3(x)=-4+6x-x^2-4x^3, \quad x_0=0\ \end{equation}\]

\(P_3(0.4)=2.016\)

2. Usa la fórmula del error en el teorema de Taylor y determina con ella una cota superior para el error \(|f(0.4)-P_3(0.4)|\).

La cota superior es \(0.4\), y el error es \(|f(0.4)-P_3(0.4)|≈ 0.0134\); mientras que el error real es \(0.0581\).

3. Determina el cuarto polinomio de Taylor \(P_4(x)\) y úsalo para aproximar \(f(0.4)\).

\[\begin{equation} P_4(x)=-4+6x-x^2-4x^3, \quad x_0=0\ \end{equation}\]

\(P_4(0.4)=-2.016\).

4. Usa la fórmula del error en el teorema de Taylor y determina con ella una cota superior para el error \(|f(0.4)-P_4(0.4)|\).

La cota superior es \(0.4\), y el error es \(|f(0.4)-P_4(0.4)|≈ 0.0134\); mientras que el error real es \(0.0079\).

f_9 <- function(x){2*x*cos(2*x) -(x-2)^2} #Definir la ecuación.
x_9 <- seq(-1, 1, by=0.01) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_9 <- f_9(x_9)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.

pt_9_3 <- taylor(f_9, 0, 3) #Polinomio de Taylor de grado 3 alrededor del cero
pt_9_4 <- taylor(f_9, 0, 4)
#yt_7 <- pt_7(x_7)

#pe_7 <- c(-0.5, -0.25, 0.25, 0.5)


graf_9 <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_9, y=y_9), color="deeppink4", size=1)+
  geom_line(aes(x=x_9, y=polyval(pt_9_3, x_9)), color="blue", size=1.5)+
  geom_line(aes(x=x_9, y=polyval(pt_9_4, x_9)), color="green")+
  #geom_point(aes(x=pe_7, y=f_7(pe_7)), color="gold", size=4)+
  #geom_point(aes(x=pe_7, y=pt_7(pe_7)), color="cyan", size=2)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_light()

ggsave("figura_e9.jpg", dpi="retina")

## Saving 7 x 5 in image

  #graf_9
ggplotly(graf_9)

Ejercicio 10.

Calcula el cuarto polinomio de Taylor \(P_4(x)\) para la función \(f(x)=x\,e^{x^2}\) en torno a \(x_0=0\).

\[\begin{equation} P_3(x)=x+x^3, \quad x_0=0\ \end{equation}\]

1. Calcula una cota superior para \(|f(x)-P_4(x)|\), con \(0\leq x\leq 0.4\).

La cota superior es \(0.4\), y el error es \(|f(0.4)-P_3(0.4)|≈ 0.1327\).

2. Aproxima \(\int_0^{0.4} f(x) dx\) usando \(\int_0^{0.4} P_4(x) dx\)

\(\int_0^{0.4} P_4(x) dx=0.0864\).

f_10 <- function(x){x*exp(x^2)} #Definir la ecuación.
x_10 <- seq(-1, 1, by=0.01) # Creamos una sucesión en el dominio de la función
y_10<- f_10(x_10)  #Evaluamos la función en los valores del dominio.

pt_10_3 <- taylor(f_10, 0, 3)
pt_10_4 <- taylor(f_10, 0, 4)
#yt_7 <- pt_7(x_7)

#pe_7 <- c(-0.5, -0.25, 0.25, 0.5)


graf_10 <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", size=0.5)+
  geom_line(aes(x=x_10, y=y_10), color="deeppink4", size=1)+
  geom_line(aes(x=x_10, y=polyval(pt_10_3, x_10)), color="blue")+
  geom_line(aes(x=x_10, y=polyval(pt_10_4, x_10)), color="green", linetype="dashed")+
  #geom_point(aes(x=pe_7, y=f_7(pe_7)), color="gold", size=4)+
  #geom_point(aes(x=pe_7, y=pt_7(pe_7)), color="cyan", size=2)+
  xlab("Dominio de la función")+
  ylab("Valores de la función")+
  theme_light()


ggsave("figura_e10.jpg", dpi="retina")

## Saving 7 x 5 in image

  #graf_10
ggplotly(graf_10)