1. A autorização de despejo para uma indústria requer que a concentração média mensal de COD seja inferior a 50mg/L. A indústria quer que isso seja interpretado como “50mg/L está dentro do intervalo de confiança da média, que vai ser estimada a partir de 2 observações por mês”. Para as 20 observações seguintes, estaria a indústria em conformidade com esta interpretação?

57 60 49 50 51 60 49 53 49 56 64 60 49 52 69 40 44 38 53 66

As hipóteses testadas serão:

Ho: A concentração média mensal de COD é igual a 50 mg/L.

Ha: A concentração média mensal de COD é diferente de 50 mg/L.

COD <- c(57, 60, 49, 50, 51, 60, 49, 53, 49, 56, 64, 60, 49, 52, 69, 40, 44, 38, 53, 66)

sort(COD)
##  [1] 38 40 44 49 49 49 49 50 51 52 53 53 56 57 60 60 60 64 66 69
summary(COD)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   38.00   49.00   52.50   53.45   60.00   69.00
stem(COD)
## 
##   The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |
## 
##   3 | 8
##   4 | 049999
##   5 | 0123367
##   6 | 000469
boxplot(COD)

Através da análise dos gráficos pode-se observar que os dados não apresentam uma distribuição normal. Tal conclusão pode ser obtida devido à assimetria observada.

Portanto, o teste mais indicado seria o Teste de Wilcoxon. Entretanto, faremos também o teste t para confirmação.

Utilizou-se nível de significância (alfa) igual a 5%

t.test(COD, alternative = c("two.sided"), mu = 50, conf.level = 0.95)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  COD
## t = 1.8894, df = 19, p-value = 0.07419
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 50
## 95 percent confidence interval:
##  49.62825 57.27175
## sample estimates:
## mean of x 
##     53.45
wilcox.test(COD, mu = 50, conf.int = TRUE)
## 
##  Wilcoxon signed rank test with continuity correction
## 
## data:  COD
## V = 139, p-value = 0.07905
## alternative hypothesis: true location is not equal to 50
## 95 percent confidence interval:
##  49.00001 58.00001
## sample estimates:
## (pseudo)median 
##       53.66572

Em ambos os casos o p-valor é maior do que o nível de significância, o que indica que - a princípio - a hipótese Ho não deve ser rejeitada.

-A hipótese nula deve ser rejeitada ao nível = 5%, pois - apesar do valor de estar dentro do intervalo de confiança - é muito pouco provável observar uma concentração média menor que 50 mg/L com base na análise das observações.

-O intervalo de confiança obtido pelo Wilcox.test, indica que a análise das observações não são verdadeiras para o limite indicado de 50mg/L.

-Há forte evidência de que a concentração de COD desta empresa assuma valores maiores que 50mg/L.

2. Um protocolo de garantia de qualidade laboratorial exige que as soluções padrão tenham 50 mg/L de COT, tais amostras são inseridas de forma aleatória no fluxo de trabalho. Os analistas são cegos a estas normas. Estime o viés e a precisão das 16 observacões mais recentes deste padrão. O processo de medição de COT em conformidade com o padrão?

50.3, 51.2, 50.5, 50.2, 49.9, 50.2, 50.3, 50.5, 49.3, 50.0, 50.4, 50.1, 51.0, 49.8, 50.7, 50.6

As hipóteses testadas serão:

Ho: A concentração média mensal de COT é igual a 50 mg/L.

Ha: A concentração média mensal de COT é diferente de 50 mg/L.

COT <- c(50.3, 51.2, 50.5, 50.2, 49.9, 50.2, 50.3, 50.5, 49.3, 50.0, 50.4, 50.1,
         51.0, 49.8, 50.7, 50.6)

sort(COT)
##  [1] 49.3 49.8 49.9 50.0 50.1 50.2 50.2 50.3 50.3 50.4 50.5 50.5 50.6 50.7
## [15] 51.0 51.2
summary(COT)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   49.30   50.08   50.30   50.31   50.52   51.20
stem(COT)
## 
##   The decimal point is at the |
## 
##   49 | 3
##   49 | 89
##   50 | 0122334
##   50 | 5567
##   51 | 02
boxplot(COT)

Através da análise dos gráficos pode-se observar que os dados apresentam uma distribuição normal. Tal conclusão pode ser obtida devido à simetria observada.

Portanto, o teste mais indicado seria o teste t. Entretanto, faremos também o Teste de Wilcoxon para confirmação.

Utilizou-se nível de significância (alfa) igual a 5%

t.test(COT, alternative = c("two.sided"), mu = 50, conf.level = 0.95)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  COT
## t = 2.7074, df = 15, p-value = 0.01622
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 50
## 95 percent confidence interval:
##  50.06648 50.55852
## sample estimates:
## mean of x 
##   50.3125
wilcox.test(COT, mu = 50, conf.int = TRUE)
## 
##  Wilcoxon signed rank test with continuity correction
## 
## data:  COT
## V = 102, p-value = 0.01823
## alternative hypothesis: true location is not equal to 50
## 95 percent confidence interval:
##  50.09998 50.59994
## sample estimates:
## (pseudo)median 
##       50.34994

Em ambos os casos o p-valor é menor do que o nível de significância, o que indica que - a princípio - a hipótese Ho deve ser rejeitada.

-A hipótese nula deve ser aceita ao nível = 5% de intervalo de confiança, pois é muito provável observar uma concentração média próxima de 50 mg/L COT baseados na análise das observações realizadas.

-O viés seria a diferença entre o valor esperado (média) e o valor verdadeiro (padrão). Quando não existe enviesamento, estas duas grandezas coincidem e o viés é nulo. O cálculo do viés, baseado no t-test, nos fornece um resultado igual a 0.3125. Portanto, há forte evidência de que o processo utilizado para medição de COT apresenta um erro sistemático que pode conduzir a uma conclusão tendenciosa.

-O teste rejeita Ho, apesar de Ho ser verdadeira (erro do tipo I).

-A precisão é o grau de variação de resultados de uma medição. Ela representa o módulo da diferença entre um dos extremos do intervalo de confiança e a média (erro estatístico). Portanto, baseado no t-test, o resultado obtido será 0.24602. Pode-se dizer que o teste é preciso, apesar de viesado.

-O método necessita de um pequeno ajuste para estar em conformidade como padrão.

3. O gás produzido a partir da fermentação biológica é oferecido para a venda com o garantia de que o teor médio de metano de 72%. Uma amostra aleatória de n = 7 amostras de gás forneceu conteúdo de metano (em %) de 64, 65, 75, 67, 65, 74 e 75.

-efetue testes de hipóteses com níveis de significância de 0,10, 0,05, e 0,01 para determinar se é justo reivindicar uma média de 72.

-Calcular intervalos de confiança de 90%, 95% e 99% para avaliar a alegação de uma média de 72%.

As hipóteses testadas serão:

Ho: O teor médio de metano é igual a 72%.

Ha: O teor médio de metano é diferente de 72%.

MET <- c(64, 65, 75, 67, 65, 74, 75)

sort(MET)
## [1] 64 65 65 67 74 75 75
summary(MET)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   64.00   65.00   67.00   69.29   74.50   75.00
stem(MET)
## 
##   The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |
## 
##   6 | 4
##   6 | 557
##   7 | 4
##   7 | 55
boxplot(MET)

Através da análise do gráfico “boxplot” pode-se observar que os dados são assimétricos.

Portanto, o teste mais indicado seria o Teste de Wilcoxon. Entretanto, faremos também o teste t para confirmação.

t.test(MET, alternative = c("two.sided"), mu = 72, conf.level = 0.90)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  MET
## t = -1.402, df = 6, p-value = 0.2105
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 72
## 90 percent confidence interval:
##  65.52362 73.04781
## sample estimates:
## mean of x 
##  69.28571
t.test(MET, alternative = c("two.sided"), mu = 72, conf.level = 0.95)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  MET
## t = -1.402, df = 6, p-value = 0.2105
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 72
## 95 percent confidence interval:
##  64.54836 74.02306
## sample estimates:
## mean of x 
##  69.28571
t.test(MET, alternative = c("two.sided"), mu = 72, conf.level = 0.99)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  MET
## t = -1.402, df = 6, p-value = 0.2105
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 72
## 99 percent confidence interval:
##  62.10794 76.46349
## sample estimates:
## mean of x 
##  69.28571
wilcox.test(MET, mu = 72, conf.int = TRUE)
## 
##  Wilcoxon signed rank test with continuity correction
## 
## data:  MET
## V = 6, p-value = 0.2033
## alternative hypothesis: true location is not equal to 72
## 90 percent confidence interval:
##  64.99999 74.50002
## sample estimates:
## (pseudo)median 
##       69.50002

-O p-valor encontrados em todos os testes é maior do que o nível de significância, o que indica que a hipótese Ho não deve ser rejeitada.

-Os intervalos de confiança obtidos, também indicam que a análise das observações são verdadeiras para o limite de 72% de metano indicado.

4. Os seguintes dados foram obtidos a partir de medidas pareadas de nitrito em agua e em aguas residuais por eletrodo direto de íon-seletivo e um método colorimétrico. Os dois métodos forneceram resultados consistentes?

ISE - 0.32 0.36 0.24 0.11 0.11 0.44 2.79 2.99 3.47

Colorimetric - 0.36 0.37 0.21 0.09 0.11 0.42 2.77 2.91 3.52

As hipóteses testadas serão:

Ho: Os dois métodos forneceram resultados consistentes.

Ha: Os dois métodos não forneceram resultados consistentes.

ISE <- c(0.32, 0.36, 0.24, 0.11, 0.11, 0.44, 2.79, 2.99, 3.47)
COL <- c(0.36, 0.37, 0.21, 0.09, 0.11, 0.42, 2.77, 2.91, 3.52)

sort(ISE)
## [1] 0.11 0.11 0.24 0.32 0.36 0.44 2.79 2.99 3.47
sort(COL)
## [1] 0.09 0.11 0.21 0.36 0.37 0.42 2.77 2.91 3.52
summary(ISE)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.110   0.240   0.360   1.203   2.790   3.470
summary(COL)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.090   0.210   0.370   1.196   2.770   3.520
stem(ISE)
## 
##   The decimal point is at the |
## 
##   0 | 112344
##   1 | 
##   2 | 8
##   3 | 05
stem(COL)
## 
##   The decimal point is at the |
## 
##   0 | 112444
##   1 | 
##   2 | 89
##   3 | 5
boxplot(ISE)

boxplot(COL)

Através da análise dos gráficos pode-se observar que, em ambos os métodos, os dados não apresentam uma distribuição normal. Tal conclusão pode ser obtida devido à assimetria observada.

t.test(ISE,COL, var.equal = TRUE, conf.level = 0.95)
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  ISE and COL
## t = 0.0116, df = 16, p-value = 0.9909
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -1.414623  1.430179
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  1.203333  1.195556

-O p-valor é maior do que o nível de significância, o que indica que a hipótese Ho não deve ser rejeitada.

-A análise dos dados, também indica que a hipótese nula deve ser aceita, ou seja, os resultados encontrados foram consistentes a analise t.test para duas amostras, indicando intevalos de confiança e médias proximas entre as amostras.

5. Limites extremamente baixos existem agora para metais pesados em limites de aguas residuais de efluentes. Pensa-se frequentemente que, sempre que a concentraçao de metais pesados é demasiado elevada, o problema pode ser corrigido forçando as indústrias a interromper a descarga da substãncia nociva. É possível, no entanto, que a concentração alvo do efluente ser tão baixa que elas podem ser ultrapassadas pela concentração em esgoto doméestico. Amostras de água potável foram coletadas de dois bairros residenciais, um servido pelo abastecimento de água da cidade e outro servido por poços particulares. As concentraçõess de mercúrio observados estão listados na Tabela abaixo. Para estudos futuros sobre concentrações de mercúrio em áreas residenciais, seria conveniente ser capaz de coletar dados em qualquer bairro, sem ter que se preocupar que o abastecimento de água pode afetar o resultado. Existe alguma diferença no teor de mercúrio das duas áreas residenciais?

Cidade (n = 13)- 0.34 0.18 0.13 0.09 0.16 0.09 0.16 0.10 0.14 0.26 0.06 0.26 0.07

Part. (n=10)- 0.26 0.06 0.16 0.19 0.32 0.16 0.08 0.05 0.10 0.13

As hipóteses testadas serão:

Ho: Existe alguma diferença no teor de mercúrio das duas áreas residenciais.

Ha: Não existe diferença alguma no teor de mercúrio das duas áreas residenciais.

CID <- c(0.34, 0.18, 0.13, 0.09, 0.16, 0.09, 0.16, 0.10, 0.14, 0.26, 0.06, 0.26, 0.07)
PART <- c(0.26, 0.06, 0.16, 0.19, 0.32, 0.16, 0.08, 0.05, 0.10, 0.13)

sort(CID)
##  [1] 0.06 0.07 0.09 0.09 0.10 0.13 0.14 0.16 0.16 0.18 0.26 0.26 0.34
sort(PART)
##  [1] 0.05 0.06 0.08 0.10 0.13 0.16 0.16 0.19 0.26 0.32
summary(CID)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  0.0600  0.0900  0.1400  0.1569  0.1800  0.3400
summary(PART)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  0.0500  0.0850  0.1450  0.1510  0.1825  0.3200
stem(CID)
## 
##   The decimal point is 1 digit(s) to the left of the |
## 
##   0 | 6799
##   1 | 034668
##   2 | 66
##   3 | 4
stem(PART)
## 
##   The decimal point is 1 digit(s) to the left of the |
## 
##   0 | 568
##   1 | 03669
##   2 | 6
##   3 | 2
boxplot(CID)

boxplot(PART)

Através da análise dos gráficos pode-se observar que, em ambos os métodos, os dados não apresentam uma distribuição normal. Tal conclusão pode ser obtida devido à assimetria observada.

t.test(CID)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  CID
## t = 6.7039, df = 12, p-value = 2.184e-05
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.1059217 0.2079245
## sample estimates:
## mean of x 
## 0.1569231
t.test(PART)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  PART
## t = 5.4658, df = 9, p-value = 0.0003974
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.08850457 0.21349543
## sample estimates:
## mean of x 
##     0.151
t.test(CID,PART, var.equal = TRUE, conf.level = 0.95)
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  CID and PART
## t = 0.1643, df = 21, p-value = 0.871
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.06902507  0.08087122
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
## 0.1569231 0.1510000

-A análise dos dados obtidos através da avaliação das origens em conjunto, indica que a hipótese nula deve ser aceita, uma vez que o valor-p é maior do que o nível de significância. -A diferença entre os teores de mercúrio nas duas áreas também pode ser confirmada quando se compara os dados obtidos em cada um dos testes t para cada origem (CID e PART).