Teorema de Bayes
El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el matemático inglés Thomas Bayes (1702-1761)1 y publicada póstumamente en 1763, que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de solo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir, por ejemplo, que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. Muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
Formula de Bayes
Con base en la definición de probabilidad condicionada se obtiene la Fórmula de Bayes, también conocida como Regla de Bayes:
Ejercicio
tabla=sample(0:1, 10, replace=TRUE)
print(tabla)## [1] 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1prop.table(table(tabla))## tabla
## 0 1
## 0.4 0.6lanza_moneda=function(n){
tabla=sample(0:1, n, replace=TRUE)
p=prop.table(table(tabla))
return(p[1])
}
lanza_moneda(10)## 0
## 0.5p=sapply(10:1000, lanza_moneda)
n=10:1000
plot(n,p,type="l")
abline(h=0.5,col="purple")
Probabilidad condicional
a=85
b=65
c=45
d=55Probabilidad de seleccionar un hombre
hombres=a+b
mujeres=c+d
alcohol=a+c
Nalcohol=b+d
n=a+b+c+d
h=hombres/n
h## [1] 0.6Probabilidad de consumir alcohol
al=alcohol/n
al## [1] 0.52Probabilidad de seleccionar una mujer
m=1-(hombres/n)
m## [1] 0.4Probabilidad de no consumir alcohol
Nal=1-(alcohol/n)
Nal## [1] 0.48Probabilidad de seleccionar un hombre o un consumidor de alcohol
p1=h+al-(a/n)
p1## [1] 0.78Probabilidad de seleccionar una mujer o una persona que no consuma alcohol
p2=m+Nal-(d/n)
p2## [1] 0.66Dado que se seleccionó una mujer, cuál es la probabilidad de que consuma alcohol
p3=(c/n)/m
p3## [1] 0.45Valores predictivos
library(epiR)## Loading required package: survival## Package epiR 2.0.19 is loaded## Type help(epi.about) for summary information## Type browseVignettes(package = 'epiR') to learn how to use epiR for applied epidemiological analyses## a=72
b=100
c=18
d=150
matrix(c(a,b,c,d), nrow=2, byrow=TRUE)## [,1] [,2]
## [1,] 72 100
## [2,] 18 150tabla=as.table(matrix(c(a,b,c,d), nrow=2, byrow=TRUE))
colnames(tabla)=c("Enfermo", "Sano")
rownames(tabla)=c("Positivo", "Negativo")
tabla## Enfermo Sano
## Positivo 72 100
## Negativo 18 150Probabilidades=epi.tests(tabla, conf.level=0.95)
Probabilidades## Outcome + Outcome - Total
## Test + 72 100 172
## Test - 18 150 168
## Total 90 250 340
##
## Point estimates and 95 % CIs:
## ---------------------------------------------------------
## Apparent prevalence 0.51 (0.45, 0.56)
## True prevalence 0.26 (0.22, 0.31)
## Sensitivity 0.80 (0.70, 0.88)
## Specificity 0.60 (0.54, 0.66)
## Positive predictive value 0.42 (0.34, 0.50)
## Negative predictive value 0.89 (0.84, 0.94)
## Positive likelihood ratio 2.00 (1.66, 2.40)
## Negative likelihood ratio 0.33 (0.22, 0.51)
## ---------------------------------------------------------a=120
b=140
c=480
d=260
matrix(c(a,b,c,d), nrow=2, byrow=TRUE)## [,1] [,2]
## [1,] 120 140
## [2,] 480 260tabla1=as.table(matrix(c(a,b,c,d), nrow=2, byrow=TRUE))
colnames(tabla1)=c("niña", "niño")
rownames(tabla1)=c("menor24", "mayor24")
tabla1## niña niño
## menor24 120 140
## mayor24 480 260Probabilidades1=epi.tests(tabla1, conf.level=0.95)
Probabilidades1## Outcome + Outcome - Total
## Test + 120 140 260
## Test - 480 260 740
## Total 600 400 1000
##
## Point estimates and 95 % CIs:
## ---------------------------------------------------------
## Apparent prevalence 0.26 (0.23, 0.29)
## True prevalence 0.60 (0.57, 0.63)
## Sensitivity 0.20 (0.17, 0.23)
## Specificity 0.65 (0.60, 0.70)
## Positive predictive value 0.46 (0.40, 0.52)
## Negative predictive value 0.35 (0.32, 0.39)
## Positive likelihood ratio 0.57 (0.46, 0.70)
## Negative likelihood ratio 1.23 (1.13, 1.34)
## ---------------------------------------------------------