Struktur peluang tabel kontingensi

Tabel kontingensi memuat segugus pengamatan acak berukuran n, dimana pada masing-masing pengamatan dicatat dua peubah katagorik \(X_{(1,2)}\) dan \(Y_{(1,2)}\). Tabel kontingensi 2×2 menggambarkan sebaran peluang bersama {\(\pi_{11}, \pi_{12}, \pi_{21},\pi_{22}\)}.

• Peluarng Y bersyarat X ditulis P(Y=y|X=x) = \(\pi_{y|x}\)

\[\pi_{y|x} = \frac{\pi_{xy}}{\pi_x}\]

• Jik \(n_{ij}\) adalah banyaknya pengamatan yang terdapat pada baris-i dan kolom-j, penduga kemungkinan maksimum bagi peluang bersama \(\pi_{ij}\) adalah \[\hat{\pi_{ij}} = p_{ij}=\frac{n_{ij}}{n}\]

• Penduga bagi peluang bersyarat \(\pi_{j|i}\) \[\hat{\pi_{j|i}} = p_{j|i}=\frac{p_{ij}}{p_{i}}=\frac{n_{ij}/n}{n_i/n}=\frac{n_{ij}}{n_i}\]

Contoh 1

Misal terdapat data jenis kelamin dan pilihan kandidat presiden sebagai berikut:

Tentukan peluang bagi: a. Yang memilih Clinton b. Yang memilih Obama c. Yang memilih Clinton jika ybs laki-laki d. Yang memilih Clinton jika ybs perempuan e. Yang memilih Obama jika ybs laki-laki f. Yang memilih Obama jika ybs perempuan

Jawab :

#----INPUT DATA----#
pilpres<-matrix(c(200,406,418,418), nrow=2,byrow=TRUE)
colnames(pilpres)<-c("clinton","obama")
rownames(pilpres)<-c("M","F")
tabelpilpres<-as.table(pilpres)
tabelpilpres

##   clinton obama
## M     200   406
## F     418   418

datapilpres<-as.data.frame(pilpres)
datapilpres

##   clinton obama
## M     200   406
## F     418   418

#----jawab contoh 1---#
addmargins(tabelpilpres)

##     clinton obama  Sum
## M       200   406  606
## F       418   418  836
## Sum     618   824 1442

#a
a<-618/1442
a

## [1] 0.4285714

#b
b<-824/1442
b

## [1] 0.5714286

prop.table(tabelpilpres)

##     clinton     obama
## M 0.1386963 0.2815534
## F 0.2898752 0.2898752

#c-f
prop.table(tabelpilpres,margin=1)

##    clinton    obama
## M 0.330033 0.669967
## F 0.500000 0.500000

Contoh 2

Berapa nilai sensitifitas dan spesifisitas dari kasus di atas?

Jawab :

#----INPUT DATA SAKIT----#
sakit<-matrix(c(1,12,0,87), nrow=2,byrow=TRUE)
predicted<-rownames(sakit)<-c("pos","neg")
actual<-colnames(sakit)<-c("sakit","sehat")
tabelsakit<-as.table(sakit)
tabelsakit

##     sakit sehat
## pos     1    12
## neg     0    87

Jika Anda belum menginstall Package epiR, silahkan install terlebih dahulu.

install.packages("epiR")

#---jawab contoh 2---#
library("epiR")

## Loading required package: survival

## Package epiR 2.0.19 is loaded

## Type help(epi.about) for summary information

## Type browseVignettes(package = 'epiR') to learn how to use epiR for applied epidemiological analyses

## 

epi.tests(tabelsakit,conf.level=0.95)

##           Outcome +    Outcome -      Total
## Test +            1           12         13
## Test -            0           87         87
## Total             1           99        100
## 
## Point estimates and 95 % CIs:
## ---------------------------------------------------------
## Apparent prevalence                    0.13 (0.07, 0.21)
## True prevalence                        0.01 (0.00, 0.05)
## Sensitivity                            1.00 (0.02, 1.00)
## Specificity                            0.88 (0.80, 0.94)
## Positive predictive value              0.08 (0.00, 0.36)
## Negative predictive value              1.00 (0.96, 1.00)
## Positive likelihood ratio              8.25 (4.85, 14.02)
## Negative likelihood ratio              0.00 (0.00, NaN)
## ---------------------------------------------------------

Relative risk

• Resiko relatif adalah nisbah peluang sukses baris pertama pada peluang sukses baris kedua:

\(r = \frac{\pi_1}{\pi_2}\)

• Resiko relatif bernilai satu, r=1 menunjukkan kebebasan antara peubah baris dengan peubah kolom.

• Pada keadaan tertentu resiko relatif lebih bermakna untuk pembandingan peluang sukses. Selisih peluang 0.610−0.601 dan selisih peluang 0.010−0.001 sebesar 0.009 (meskipun dengan menunjukkan hasil uji yang berbeda), tetapi nisbah peluang 0.610/0.601 dan 0.010/0.001 adalah sangat berbeda, masing-masing adalah 1.01 dan 10.

• Inferensia untuk resiko relatif tidak sederhana

prop.out <- prop.table(tabelpilpres, margin = 1)
# relative risk of male vs. female
prop.out[1,1]/prop.out[2,1]

## [1] 0.660066

Rasio odds

• Pada suatu tabel 2×2, dengan odds pada baris-1 dan baris-2 masing-masing \(odds_1= \frac{\pi_1}{1− \pi_1}\)dan \(odds_2= \frac{\pi_2}{1− \pi_2}\), nisbah odds baris-1 atas odds baris-2 adalah:

• Penduga kemungkinan maksimum bagi rasio odds adalah:

• Sifat-sifat rasio odds

Pada tabel kontingensi 2×2 dengan π1 dan π2 masing-masing adalah peluang sukses pada baris-1 dan baris-2,

1. Keadaan \(\pi_1 = \pi_2\) menyebabkan odds1=odds2 sehingga \(\theta=1\), menunjukkan kebebasan antara peubah baris dan peubah kolom. \(\theta>1\) menunjukkan \(\pi_1 > \pi_2\), dan . \(\theta<1\) menunjukkan \(\pi_1 < \pi_2\).

2. Nilai \(\theta\) sekecil-kecilnya adalah 0 dan sebesar-besarnya adalah infinite, semakin jauh \(\theta\) dari 1 semakin kuat keterkaitan antara peubah kolom pada peubah baris. Dua nilai rasio odds \(\theta_1\) dan \(\theta_2\) menunjukkan kekuatan keterikatan yang sama besar apabila \(\theta_1 = \frac{1}{\theta_2}\)

3. Pertukaran posisi baris atau kolom tidak menyebabkan gambaran kekuatan keterikatan baris dan kolom berubah; dengan pertukaran ini akan diperoleh \(\theta\) baru yang nilainya sebesar \(\frac{1}{\theta}\) .

4. Nilai nisbah odds tidak perubah apabila tabel ditranspose sehingga posisi baris dan kolomnya dipertukarkan.

• Inferensi rasio odds

1. Transformasi logaritma (logaritma berbasis e) atas nisbah odds, dapat diperoleh sebaran yang simetris mendekati sebaran Normal; Nilai \(\theta = 1\) bersesuaian dengan \(ln \theta=0\), menunjukkan kebebasan; Jika \(\theta_1 = \frac{1}{\theta_2}\) maka \(ln \theta_1 = - ln \theta_2\) menunjukkan kekuatan keterikatan yang sama tetapi berbeda arah.

2. Simpangan baku bagi statistik logaritma nisbah odds adalah:

3. Selang kepercayaan \((1-\alpha)100%\) bagi \(ln \theta\)adalah:

4. Batas bawah dan batas atas selang kepercayaan bagi \(\theta\) masing-masing diperoleh sebagai eksponen batas bawah dan eksponen batas atas selang kepercayaan bagi \(ln \theta\).

Contoh 4. Misal terdapat data jenis kelamin dan pilihan kandidat presiden sebagai berikut:

1. Tentukan odds laki-laki

2. Tentukan odds perempuan

3. Hitung rasio odds berdasarkan poin a dan b, interpretasikan nilai rasio odds tersebut

4. Tentukan selang kepercayaan dari rasio odds yang telah Anda peroleh pada butir a

5. Berdasarkan nilai rasio odds tersebut apakah terdapat hubungan antara jenis kelamin dengan pilihan presiden?

Jawab

1. P(C|M)=0.330033; P(O|M)=0.669967; odds(M)=0.330033/0.669967=0.492611, nilai odds ini berarti peluang laki-laki memilih Clinton 0.499 kali dari peluang laki-laki memilih Obama.

2. P(C|F)=0.5; P(O|F)=0.5; odds(F)=0.5/0.5=1, nilai odds ini berarti, peluangg wanita untuk memilih Clinton sama dengan peluang wanita untuk memilih Obama.

3. OR=0.492611/1=0.492611, artinya odds laki-laki 0.49 kali dari odds wanita.

4. S=(1/200+1/406+1/418+1/418)=0.012248 ln⁡(θ)±Z_(0.05/2) s=ln⁡(0.492611)±1.96√((0.012248) ) -0.92495<ln⁡(θ)<-0.49112 0.396552<θ<0.611938

5. Berdasarkan nilai dari rasio odds terdapat hubungan antara jenis kelamin dengan pilihan presiden, karena nilai 1 (satu) tidak masuk pada selang kepercayaan θ.

#---jawab contoh 4---#
# odds of Male
prop.out[1,1]/prop.out[1,2]

## [1] 0.4926108

# odds of Female
prop.out[2,1]/prop.out[2,2]

## [1] 1

# install.packages("epitools")
library("epitools")

## 
## Attaching package: 'epitools'

## The following object is masked from 'package:survival':
## 
##     ratetable

or.out <- oddsratio(tabelpilpres, rev="b")
or.out$measure

##                         NA
## odds ratio with 95% C.I.  estimate     lower     upper
##                        F 1.0000000        NA        NA
##                        M 0.4929825 0.3963827 0.6119071

HUBUNGAN ANTARA RASIO ODDS DAN RESIKO RELATIF

Perhatikan bahwa rasio odds adalah hasil kali resiko relatif dengan \(\frac{(1-\pi_2)}{(1-\pi_1)}\). Dalam keadaan \(\pi_1\) dan \(\pi_2\) yang sangat kecil, maka \(\frac{(1-\pi_2)}{(1-\pi_1)}\pi\) ~ 1.

Dalam keadaan \(\pi_1\) dan \(\pi_2\) yang sangat kecil, rasio odds praktis sama dengan, atau dapat diinterpratesikan sebagai resiko relatif.