U1A9

Jonathan Velazquez

1/3/2021

Usos de cadenas de markov en la apicultura

Introducción

En este tema abordaremos acerca de los principales pesticidas que afectan en la extincion de las abejas. En los ultimas decadas ha habido un decenso masivo de la vida de las abejas en el mundo aproximadamente un 25% y uno de los eventos que permiten ese decenso son los pesticidas que se utilizan a menudo, por ello se analizaran esos estados donde intervienen algunos pesticidas y dan lugar a una serie de eventos que pueden estar acabando con la especie. Se utilizara las cadenas de markov en un tiempo discreto para predecir la probabilidad y transicion de los eventos.

Cadena de markov

Definimos nuestro espacio de eventos:

  1. evento A: Contaminación del polen

  2. evento B: Abejas obreras infectadas

  3. evento C: contaminación al medio ambiente

  4. evento D: Colmena afectada

\(S = \lbrace A,B,C,D \rbrace\)

\[ P = \left( {\begin{array}{cccc} 0.3 & 0.3 & 0.2 & 0.2 \\ 0.5 & 0.1 & 0.2 & 0.2 \\ 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 \\ 0.1 & 0.4 & 0.3 & 0.2 \\ \end{array} } \right) \]

Almacenamos la variable P los eventos

P <- matrix(data = c(0.3,0.3,0.2,0.2,0.5,0.1,0.2,0.2,0.1,0.2,0.3,0.4,0.1,0.4,0.3,0.2),nrow = 4,byrow = TRUE)
P
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]  0.3  0.3  0.2  0.2
## [2,]  0.5  0.1  0.2  0.2
## [3,]  0.1  0.2  0.3  0.4
## [4,]  0.1  0.4  0.3  0.2

Ahora, la cadena de Markov clasificada:

library(markovchain)
## Package:  markovchain
## Version:  0.8.5-4
## Date:     2021-01-07
## BugReport: https://github.com/spedygiorgio/markovchain/issues
X <- new("markovchain",transitionMatrix =P, states = c("A","B","C","D") )

El resumen de la cadena es:

summary(X)
## Unnamed Markov chain  Markov chain that is composed by: 
## Closed classes: 
## A B C D 
## Recurrent classes: 
## {A,B,C,D}
## Transient classes: 
## NONE 
## The Markov chain is irreducible 
## The absorbing states are: NONE

La estructura del objeto mc es:

str(X)
## Formal class 'markovchain' [package "markovchain"] with 4 slots
##   ..@ states          : chr [1:4] "A" "B" "C" "D"
##   ..@ byrow           : logi TRUE
##   ..@ transitionMatrix: num [1:4, 1:4] 0.3 0.5 0.1 0.1 0.3 0.1 0.2 0.4 0.2 0.2 ...
##   .. ..- attr(*, "dimnames")=List of 2
##   .. .. ..$ : chr [1:4] "A" "B" "C" "D"
##   .. .. ..$ : chr [1:4] "A" "B" "C" "D"
##   ..@ name            : chr "Unnamed Markov chain"

El diagrama de transición es:

plot(X)

Otras funciones importantes son:

  • absorbingStates(): Identifica los estados Absorbentes

  • transientStates(): Identifica los estados Transitorios

  • recurrentClasses(): Identifica las clases recurrentes

Para la cadena de markov definida se obtiene que:

recurrentClasses(X)
## [[1]]
## [1] "A" "B" "C" "D"
transientStates(X)
## character(0)
absorbingStates(X)
## character(0)

Análisis probabilístico

Para conocer la probabilidad de transición en 1 paso entre un estado y otro basta con utilizar la función transitionProbability(), con los argumentos:

  • object: la cadena de markov

  • t0: el estado en el tiempo 0

  • t1: el estado en el tiempo 1

La probabilidad de transicion en un paso del estado “A” al estado “D” es:

transitionProbability(object=X,t0="A",t1="D")
## [1] 0.2

Recuerde que dicha probabilidad es un elemento de la matriz de transición P, por lo tanto, la probabilidad de transicion del estado “A” al estado “D” es simplemente \(P24\)

X[2,4]
## [1] 0.2

Es posible computar la matriz de transición en n pasos, simplemente computando la n-ésima potencia de la matriz de transición P, como ejemplo calcularemos la matriz de transición en n = 5 pasos.

n = 5 # Número de pasos al futuro
X**n
## Unnamed Markov chain^5 
##  A  4 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states: 
##  A, B, C, D 
##  The transition matrix  (by rows)  is defined as follows: 
##         A       B       C       D
## A 0.25008 0.25008 0.24992 0.24992
## B 0.25040 0.24976 0.24992 0.24992
## C 0.24996 0.24977 0.25013 0.25014
## D 0.24956 0.25039 0.25003 0.25002

Conclusión

Con la aplicacion de la cadena de Markov que es un proceso estocástico discreto se concluye que las abejas son infectadas un 50% de probabilidad con los pesticidas rociadas en las plantas que presentan contaminación del polen y existe un 40% que sea afectada la colmena cuando las abejas obreras son infectadas por lo que puede ser una de las mayores causas de la extinción en la poblacion de las abejas, pues estos eventos son recurrentes entre si.