Exemplo: Suponha que desejamos estimar \(\theta\), a probabilidade de observar cara (C) no lançamento de uma moeda e que, para um determinado experimento, observou-se: \[ \{C,\bar{C},\bar{C},C,C,\bar{C},\bar{C},\bar{C},\bar{C},C\} \] Entre outras possibilidades, os dados acima podem ter sido gerados a partir dos seguintes experimentos:
Seja \(X\) o número de caras em \(10\) lançamentos da moeda: \[ X \sim \text{ Binomial }(10,\theta), \text{ e os resultados poderiam ser: } X = 0,1,2,\ldots,10. \]
Seja \(Y\) o número de lançamentos da moeda até a obtenção de \(4\) caras: \[ Y \sim \text{ Binomial Negativa }(4,\theta), \text{ e os resultados poderiam ser: } Y = 4,5,6,\ldots \]
Considerando os resultados do experimento no modelo Binomial:
\[ \begin{array}{lll} &&P(X = 4 \mid \theta) = \left(\begin{array}{l l}10\\4\end{array}\right) \theta^4 (1 - \theta)^{10-4}, \\ \end{array} \]
de modo que a função de verossimilhança será: \(L(\theta \mid \text{ x} ) \propto \theta^4 (1 - \theta)^6\);
\[ \begin{array}{lll} && P(Y = 10 \mid \theta) = \left(\begin{array}{l l}10-1\\4-1\end{array}\right) \theta^4 (1 -\theta)^{10-4},\\ && \text{ de modo que a função de verossimilhança será: } L(\theta \mid \text{ y} ) \propto \theta^4 (1 - \theta)^6; \end{array} \]
\(X\) Sob a mesma priori para \(\theta\), a posteriori obtida a partir do modelo Binomial é igual à posteriori obtida a partir do modelo Binomial-Negativa.
Porém, as estimativas de máxima verossimilhança sob cada um dos modelos são diferentes. Tarefa: justificar esta afirmação;
Formalmente: Se temos dois vetores aleatórios pertencentes a um mesmo espaço amostral, que dependem do mesmo parâmetro \(\theta\) e que possuem verossimilhancas distintas, diferindo apenas por uma constante que não depende de \(\theta\), Então as posterioris obtidas a partir destes dois vetores são iguais.
Em outras palavras, a inferência Bayesiana é a mesma quando a condição de proporcionalidade das verossimilhanças é satisfeita.