On étudie la fonction suivante définie sur \(\mathcal D = ]0; + \infty [\)
\[ \varphi(x)=e^{x}-x e^{\frac{1}{x}} \]
0. Graphe de la fonction
1. Calculer \(\varphi'\), \(\varphi''\) et \(\varphi'''\)
On utilise les cinq théorèmes suivants :
- \((\varphi_1 + \varphi_2)' = \varphi_1' + \varphi_2'\)
- \((uv)' = u'v + uv'\)
- \((g \circ f)' = f'.(g'\circ f)\)
- la dérivée de \(x^{n}\) est \(nx^{n-1}\) (avec \(n\) un entier négatif)
- la dérivée de \(e^x\) est \(e^x\)
Dans la suite , nous utiliserons le résultat intermédiaire suivant (obtenu grâce aux théorèmes précédents) : la dérivée de la fonction \(h(x) = e^{\frac{1}{x}}\) est \[ h'(x) = -\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} \]
1.1 Calcul de la dérivée première
Pour la dérivée première, on obtient :
\[\begin{align} \varphi'(x) & = e^x - \left( e^\frac{1}{x} + x \frac{-1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} \right)\\ & = e^x - e^\frac{1}{x} + \frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}} \\ \end{align}\]
1.2 Dérivée seconde
Pour la dérivée seconde, on se sert du résultat précédent :
\[\begin{align} \varphi''(x) & = e^x - \left(-\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}\right) + \frac{-1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} + \frac{1}{x}\left(-\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}\right) \\ & = e^x + \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} -\frac{1}{x^3}e^{\frac{1}{x}} \\ & = e^x -\frac{1}{x^3}e^{\frac{1}{x}} \end{align}\]
1.3 Dérivée troisième
Pour la dérivée troisième, on se sert de nouveau du résultat précédent.
\[\begin{align} \varphi'''(x) & = e^x -\left( \frac{-3}{x^4} e^{\frac{1}{x}} + \frac{1}{x^3} \left( -\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}\right)\right) \\ & = e^x + \left( \frac{3}{x^4} + \frac{1}{x^5}\right) e^{\frac{1}{x}} \\ & = e^x + \frac{3x + 1}{x^5} e^{\frac{1}{x}} \end{align}\]
2 Sens de variation de \(\varphi''\)
On rappelle l’expression de \(\varphi''\) : \[ \varphi''(x) = e^x -\frac{1}{x^3}e^{\frac{1}{x}} \]
- La limite de \(\varphi''(x)\) quand \(x \rightarrow 0^+\) est \(-\infty\) et la limite de \(\varphi''(x)\) quand \(x \rightarrow +\infty\) est \(+\infty\).
- La fonction \(\varphi'''\) est positive sur \(\mathcal D\), donc la fonction \(\varphi''\) est croissante sur \(\mathcal D\).
- \(\varphi''(1) = 0\) (\(\varphi\)a un point d’inflexion en \(x=1\)).
- La fonction \(\varphi''\) est continue sur \(\mathcal D\).
Donc \(\varphi''\) est croissante sur \(\mathcal D\), varie de \(-\infty\) à \(+\infty\), est négative sur \(]0;1[\), nulle en \(x=1\) et positive sur \(]1;+\infty[\).
3 Sens de variation de \(\varphi'\)
On rappelle l’expression de \(\varphi'\) : \[ \varphi'(x) = e^x + \frac{1-x}{x}e^{\frac{1}{x}} \]
- La limite de \(\varphi'(x)\) quand \(x \rightarrow 0^+\) est \(+\infty\) et la limite de \(\varphi'(x)\) quand \(x \rightarrow +\infty\) est \(+\infty\).
- La fonction \(\varphi'\) est décroissante sur \(]0;1[\) puis croissante sur \(]1;+\infty[\).
- \(\varphi'(1) = e (>0)\)
Nécessairement, \(\varphi'\) est positive sur \(\mathcal D\), et prends des valeurs supérieures à \(e\) sur tout son doaine de définition.