Apicultura aplicada en cadenas de Markov

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Abejas

setwd("~/EAMJ1130/u1a9")

Cadena de Markov

Aplicaremos el uso de la cadena de markov para predecir alguna probabilidad planteada para el caso de las abejas, en este caso vamos a encontrar la probabilidad si las condiciones del clima estan afectectando la desaparición de las abejas.

1. Creamos la matriz de transición P:

Asumamos que tenemos una cadena de markov

\(X = \lbrace X_{1},X_{2},\ldots \rbrace\) definida en el espacio de estados \(S = \lbrace soleado,nublado,lluvioso \rbrace\) y cuya matriz de transición es:

\[ P = \left( {\begin{array}{ccc} 0.7 & 0.2 & 0.1 \\ 0.3 & 0.4 & 0.3 \\ 0.2 & 0.45 & 0.35 \\ \end{array} } \right) \]

P <- matrix(c(0.7,0.2,0.1,0.3,0.4,0.3,0.2,0.45,0.35),nrow=3, byrow=TRUE)
P

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  0.7 0.20 0.10
## [2,]  0.3 0.40 0.30
## [3,]  0.2 0.45 0.35

2. Crear la matriz de transición, almacenada en el objeto “markovchain” de la siguiente manera.

library(markovchain)

## Package:  markovchain
## Version:  0.8.5-4
## Date:     2021-01-07
## BugReport: https://github.com/spedygiorgio/markovchain/issues

mc <- new("markovchain", transitionMatrix=P, states=c("Soleado","Nublado","Lluvioso"),name="Cadena 1" )

La estructura del objeto mc es:

str(mc)

## Formal class 'markovchain' [package "markovchain"] with 4 slots
##   ..@ states          : chr [1:3] "Soleado" "Nublado" "Lluvioso"
##   ..@ byrow           : logi TRUE
##   ..@ transitionMatrix: num [1:3, 1:3] 0.7 0.3 0.2 0.2 0.4 0.45 0.1 0.3 0.35
##   .. ..- attr(*, "dimnames")=List of 2
##   .. .. ..$ : chr [1:3] "Soleado" "Nublado" "Lluvioso"
##   .. .. ..$ : chr [1:3] "Soleado" "Nublado" "Lluvioso"
##   ..@ name            : chr "Cadena 1"

El resumen de la cadena es:

summary(mc)

## Cadena 1  Markov chain that is composed by: 
## Closed classes: 
## Soleado Nublado Lluvioso 
## Recurrent classes: 
## {Soleado,Nublado,Lluvioso}
## Transient classes: 
## NONE 
## The Markov chain is irreducible 
## The absorbing states are: NONE

Para visualizar el diagrama de transición de la cadena lo realizamos con la función plot

plot(mc)

Para la cadena de markov definida se obtiene que:

recurrentClasses(mc)

## [[1]]
## [1] "Soleado"  "Nublado"  "Lluvioso"

transientStates(mc)

## character(0)

absorbingStates(mc)

## character(0)

Análisis probabilístico

Para conocer la probabilidad de transición en 1 paso entre un estado y otro basta con utilizar la función transitionProbability(), con los argumentos:

• object: la cadena de markov

• t0: el estado en el tiempo 0

• t1: el estado en el tiempo 1

La probabilidad de transicion en un paso del estado “Soleado” al estado “Luvioso” es:

transitionProbability(object=mc,t0="Soleado",t1="Luvioso")

## [1] NA

Recuerde que dicha probabilidad es un elemento de la matriz de transición P, por lo tanto, la probabilidad de transicion del estado “Soleado” al estado “Nublado” es simplemente.

mc[2,3]

## [1] 0.3

Es posible computar la matriz de transición en n pasos, simplemente computando la n-ésima potencia de la matriz de transición P, como ejemplo calcularemos la matriz de transición en n = 5 pasos.

n = 5 # Número de pasos al futuro
mc**n

## Cadena 1^5 
##  A  3 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states: 
##  Soleado, Nublado, Lluvioso 
##  The transition matrix  (by rows)  is defined as follows: 
##            Soleado   Nublado  Lluvioso
## Soleado  0.4733287 0.3133356 0.2133356
## Nublado  0.4569262 0.3215369 0.2215369
## Lluvioso 0.4528256 0.3235872 0.2235872

Conclusión

En conclusión, decimos que las cadenas de Markov son una herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos estocásticos, esto es, procesos que evolucionan de forma no determinística a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados. Entonces decimos que en las cadenas de Markov, la probabilidad que ocurra un evento dependerá solo del evento anterior. Por consecuente se logró confirmar que el cambio del clima si está afectando de una manera muy negativa a la desaparición de las abejas, ya que entre los múltiples males que están provocando el decadencia de las abejas, se debe al cambio climático, ya que provoca un aumento de diversos impactos que afectan a las abejas: incremento de las temperaturas y de los fenómenos naturales extremos, escasas e irregulares lluvias, expansión de las patologías que las dañan o de especies invasoras, como la avispa asiática, o disminución de la floración y del contenido alimenticio del polen.