Probabilidade

Definindo Probabilidade

Os conjuntos de dados trazem informacões sobre fenômenos, ajudando a lidar com as incertezas assocaidas aos fenômenos associados a tais dados. Incertezas costumam ser estudadas por meio de probabilidades de ocorrências. Assim, as Probabilidades auxiliam na compreensão dos fenômenos incorporrando a incerteza e fornecendo probabilidades de desfechos esperados.

Um experimento aleatório é sempre regido por um modelo probabilístico associado, esse mesmo experimento quanto repetido muitas vezes apresente uma configuração ou regularidade observada. Assim, sob as mesmas condições o mesmo experimento pode ser repetido infinitamente. Enbora as repetições quando para o infinito tendam para um valor limite de probabilidade, esse mesmo valor limite é um valor provável, sem nunca ser possível afirmar que este valor corresponde ao valor propriamente dito quando o fenômeno se repetir no mundo real. Ou seja, pode-se listar todos resultados possíveis e suas chances de ocorrência sem conhecer o resultado propriamente dito.

Após esta breve introdução sobre o que vem a ser probabilidade é hora de comecar apresentar elementos e conceitos que constituem o universo do cálculo de probabilidades

A definição de probabilidade é diferente de interpretacão de probabilidade

Espaço Amostral

Finito (Enumerável) \[\Omega = \{1,8,42,5,32,8\} \] Infinito (Inumerável). Ex. tempo até o Brasil obter nobel em medicina. \[\Omega = \{0, \infty \} \] Evento elementar ou simples $\omega$ Evento certo $\Omega$ Evento impossível $\emptyset$

Interpretacão de probabilidade

São três os tipos de interpretacão de probabilidade

Probabilidade Frequentista

Considera a frequência relativa de um evento, também comhecidaa como inferência clássica. Um eventop $A$ copnverge par a $P(A)$

Probabilidade Clássica

Razão de resultados favoráveis entre resultados possíveis, como a teoria dos jogos.

Probabilidade Subjetiva

Baseada em graus de plausibilidade de um evento

*OBS: Não confundir Probabilidade Clássica com Inferência Clássica.

Espaço de Probabilidade

Um espaco de probabilidade é dado pela tupla

\[T \{\Omega, \sigma álgebra, P\}, \, onde \\ \Omega = espaço\, amostral \\ \sigma álgebra = sigma álgebra \\ P = probabilidades \, associadas \] A $\sigma algebra$ é a coleção de todos constituida de toda classe de todos eventos de interesse. Assim se: \[A \in \sigma algebra \to A^c \in \sigma algebra\] Se a $\sigma algebra$ deve possuir todos eventos, ela deve necessariamente conter os eventos, seus complementos, a união de tais eventos e a intereção de tais eventos.

Ao Lançar uma moeda temos o espaço amostral abaixo e desejamos avaliar o evento em que se obtém cara.

\[\Omega = \{C, K\}\, e\, portanto \\ \sigma algebra = \{C, K, CK, \varnothing\} \\ C = evento \\ K = Complemento \\ CK = União \, e \\ \varnothing = Intersecão\] e por vim $P$ que atribui valor no intervalo de zero a um aos eventos contidos na $\sigma algebra$:

\[P \in [0, 1] \forall \omega \in \sigma algebra\]

Definição Axiomática de Probabilidade

Em 1933 Kolgomorov definiu probabilidade $P(a)$ como uma finção que deve retornar números reais $\mathbb R$ contidos no intervalo $[0, 1]$, estabelecendo três regras:

1.)

\[0 \le P(a) \le 1 \forall A \in \sigma algebra \] 2.)

\[P(\Omega) = 1 \] 3.)

Se $A_1, A_2,...,A_n$ são disjuntos então, $P \Bigg( \bigcup\limits_{i=1}^{n} = \Sigma P(A_i) \Bigg)$.

Por isso se pode depreender que para um conjunto não vazio:

\[p(\varnothing = 0) \\ p(A^c) = 1-p(A) \\p(A \cap B^c) = p(A)-P(A \cap B) \\p(A\cup B) = p(A)+p(B)-p(A \cap B) \\\] União de três elementos

\[p(A \cup B \cup C) = p(A)+p(B)+p(C)-p(A \cap B)-p(A \cap C)-p(B \cap C) + p(A \cup B \cup C)\] União de quatro elementos

\[p(A \cup B \cup C \cup D) = p(A)+p(B)+p(C)+p(D)-p(A \cap B)-p(A \cap C)-p(A \cap D)-p(B \cap C)-p(B \cap D)-p(D \cap C)\\ -p(A \cap B \cap C \cap D) + p(A \cup B \cup C) + p(B \cup C \cup D) + p(A \cup C \cup D) + p(B \cup D \cup A)\]

Probabilidade Condicional

A probabilidade condicional trata da probabilidade de um evento A ocorrer, dado que o evento B ocorreu. \[p(A|B) = \frac{p(a \cap B)p(B)}{p(B)}, p(B) \neq 0 \\ p(A^c|B) = 1 - p(A|B)\]

Espaço Amostral $\Omega$

\[\Omega = \{ \omega_1, \omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4,...,\omega_n \}\] Lançamento de dois dados e a soma de suas faces: \[\Omega = \{ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 \}\] Altura alcançado por um projétil: \[\Omega = \{ 0 ,\infty \}\] Os dados acuma nos mostram que existem dois tipos de espaços amostrais:

Cardinalidade dos espaços Amostrais #A

Os espaços amostrais podem possuir cardinalidade finita ou infinita ou discreta e contínua. A cardinalidade recebe a seguinte notação #A.

Discreto

São todos espaços amostrais finitos ou enumeráveis, assim um espaço amostral como dos números naturais $\mathbb N$ se constitui como enumerável \[\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6, \} \to finito \\ P_i \ge 0, \, para\, cada\, evento \\ \therefore p_{\omega1}+p_{\omega2}p_{\omega3}+p_{\omega4}+p_{\omega5}+p_{\omega6}=1\] Como no exemplo de um dado de seis faces (espaço amostram finito): \[P = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6} = 1\] Finito e enumerável como a chance de vencer na mega sena:

\[P = \binom{60}{6}=50063860\, possibilidades\] Ex.: Em um lote com 100 vacinas, 10 se encontram sem data legível. Uma inspecão de 5 unidades, caso encontre 1 com problema de data acarreta a reprovacão de todo lote. Qual a probabilidade do lote ser aceito?

\[P(A^c) = \frac{\binom{90}{5}}{\binom{100}{5}} \frac{43944268}{75287520} = 0.58\]

choose(90, 5)/choose(100, 5)

## [1] 0.5837524

Contínuo

Um conjunto que contenha todos números reais $\mathbb R$ se configura como espaco amostral contínuo, pois as partições que podem ser obtidas são impossíveis de serem enumeradas.

Ex.: Tempo de vida de um equipamento eletrônico $\Omega = \mathbb R^+$

Operações com Conjuntos

Em probabilidade, a operacão com conjuntos envolve a união, interseção e complementar, onde se um conjunto (conjunto das partes) possui $n$ elementos, este mesmo conjunto possui $2^n$ eventos possíveis (sunconjuntos).

Nesses termos a probabilidade se configura como um número atribuível a um evento $A$ de modo a representarr a sua probabilidade ou o quão provável é sua ocorrência, sempre como uma medida de incerteza. Ex.: A frequencia relativa demonstrada pela frequência de caras obtidas em $n$ lançamentos de uma moeda.

Eventos

Um evento é todo subconjunto de um espaço amostral $\Omega$, inclusive o conjunto vazio $\varnothing$.

Se selecionamos um pessoa em uma pesquisa, os dados dessa pessoa constituem um espaço amostral com inúmeros eventos

\[\Omega = \{ Homem ,25 anos, Engenheiro, Gesrenrte de Projetos, 1.77 \}\] Quando tratamos de eventos $\Omega$ representa um evento certo onde o próprio conjunto amostral é um subconjunto de si mesmo e $\omega$ ume evento elementar ou resultado possível dentro do espaço amostral e por fim $\varnothing$ representa um evento impossível.

Ex.:

Dado o espaço amostral resultante de dois lançamentos de uma mesma moeda honesta (ou equilibrada, que também pode ser dito como possuindo resultados equiprováveis e portanto uma distribuição uniforme : \[\Omega = \{CC, CK, KC, KK \}\] Os eventos que fazem parte da $\sigma-algebra$ são:

\[A = \{CC, CK, KC, KK \} \to evento\, certo\] \[B = \{CK\} \to evento\, elementar\] \[C = \{K \} \to evento\, impossível \] \[D = \{CC, KK \} \to evento\, composto\]

Independência de Eventos

Quando a ocorrência do evento B não afeta ou não fornece nenhuma informacão sobre A, dizemos que A é independente de B.

\[p(A)p(B) = p(A \cap B) \\ p(B|A) = p(B)\]

Seja uma população de N indivíduos em uma comunidade onde 55% são brancos e 51% mulheres. Se selecionarmos um indivíduo ao acaso, qual a probabilidade de que ele seja branco (B) e homem (H), assumindo que B é independente de H. \[P(B \cap H) = P(B)P(H) = 0,55*0,49 = 0,2695\]

Dependência de Eventos

Caso fossem eventos independentes, qual seria a probabilidade de $p(F \cap B)$.

Baixo Peso ao Nascer

Dados
	Sim	Não	Total
fumante	275	2144	2419
nfumante	311	4496	4807
total	586	6640	7226

\[p(F \cap B) = \frac{275}{7226} = 0.038\] \[p(F \cap B) = p(F)p(B) = \frac{2419}{7226}\frac{586}{7226} = 0.027\]

Teorema da Probabilidade Total

Quando o e espaço amostral pode ser particionado em $n$ eventos disjuntos $A_1, ...,A_n$, podemos utilizá-los para encontrar a probabilidade de um evento $B$ por meio de probabilidades condicionais.

\[P(F) = \sum_{i=1}^n P(F|A_i)P(A_i)\]

Ex.: Em uma região metropolitana com cinco municípios $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ onde o município $A_1$ possui 40% da populacão da região metropolitanae cada um dos demais 15%.Assumindo que segundo as prefeituras o movimento pendular é de 10% da força de trabalho do município $A_ 1$, 20% do município $A_2$, 30% de $A_3$, 15% de $A_4$ e 5% de $A_5$.
Qual a probabilidade de que um trabalhador da região realize um movimento pendular de trabalho?

\[p(F) = \sum_{i=1}^n p(F|A_i)p(A_i) \\ p(f) = (0.10)(0.15)+(0.20)(0.15)+(0.30)(0.15)+(0.15)(0.15)+(0.05)(0.40) = 0.1325\] o que introduz a ideia do Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes se baseia nas ideias de teorema da probabilidade total e probabilidade condicional \[p(A|B) = \frac{p(B|A)p(A_i)}{p(B)} = \frac{probabilidade\, condicional}{probabilidade \, total} = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}\] \[=\frac{p(B|A_i)p(A_i)}{\sum_{i=1}^n p(B|A_i)p(A_i)}, \, onde \\ \sum_{i=1}^n p(B|A_i)p(A_i) \, é \,a \,soma\,das \,particões \,da \,probabilidade \,total\]

Reaproveitando o exemplo dos deslocamentos pendulares: Quando um trabalhados realiza um movimento pendular, qual é a probabilidade dese ser proveninente de $A_5$?

\[p(A_5|F)=\frac{p(F|A_5)p(A_5)}{p(F)} = \frac{(0.05)(0.40)}{0.1325} = 0.1509\]

(0.05*0.4)/0.1325

## [1] 0.1509434

Dessa forma o Teorema de Bayes acaba sendo a forma mais natural de atualizar uma probabilidade.

Ex.: Confiabilidade de dois circuitos, um com duas lampadas em PARALELO (A) e outro em SÉRIE (B).

O MODELO É DADO POR: \[p(B) = P(L_1 \cap L_2) = p^2 \\ p(A) = p(A)+p(B)-p(A \cap B) = p+p-p^2 = 2p-p^2\]

Ex.: Uma populacão é constituida 50% de mulheres e destas, 10% estão grávidas. Uma pessoa da populacão será selecionada de forma aleatória. qual a probabilidade dos eventos: 1- Ser do sexo feminino 2 - A pessoa estar grávida

\[p(F^c|G = 0) \neq p(F^c) = 0.5 \\ p(F^c|G) = p(F^c|G)p(G) \neq p(F^c)p(G) \\ \therefore p(F^c)\, e \, p(G) \, são\, excludentes, \, mas\, não \, são \, independentes.\]

Teorema de Bayes e o Teorema da Probabilidade total

quando o espaço amostral pode ser particionado em $n$ eventos $B_1, B_2,...B_n$ podemos utilizá-los para a probabilidade de um evento $A$, por meio da probabilidade condicional:

\[p(A) = \sum p(A|B)p(B) \to p(A) = p(A \cap \Omega) \\ \to p(A) = p(A \cap ($B_1, B_2,...B_n))\] \[p(A \cap (\bigcup\limits_{i=1}^{n} B_i)) \\ =p[(A \cap B_1)\cup (A \cap B_1) \cup (A \cap B_1)....(A \cap B_n)] \\ = p(A|B_1)p(B_1)+p(A|B_2)p(B_2)+p(A|B_3)p(B_3)+...p(A|B_n)p(B_n) \\ =\sum_{i=1}^n p(A|B_i)p(B_i)\]

Ex.: Um jovem vai ao médico por acreditar estar com uma doença rara. Sabendo que a doenca é incomum em jóvens, com probabilidade 0.01%. Para tanto o médico solicita um exame em que o resultado é positivo 95% das vezes que o paciente possui a doença e positivo em 5% das vezes em que o paciente é saudável. Se o teste deu positivo, qual a probabilidade atualizada do paciente estar com a doença?

\[p(B) = 0.0001 \\ p(+|D) = 0.95\\ p(+|S) = 0+05 \\ p(D|+) = \frac{p(+|D)p(D)}{p(+)} =\frac{p(+|D)p(D)}{p(+|D)p(D)+p(+|S)p(S)} = \frac{(0.95)(0.0001)}{(0.95)(0.0001)+(0.05)(0.999)}=0.0018\]

((0.95)*(0.0001))/((0.95)*(0.0001)+(0.05)*(0.999))

## [1] 0.001898292

Exemplo do tipo urna

Embora os exemplos do tipo urna ou cesta sejam bastante comuns, muitas vezes as pessoas não compreendem o porque de tais exemplos, o efeito do tipo urna é excelente para apresentar fonômenos condicionais, como a probabilidade de uma bola A dado a retirada de uma bola B.

Ex.: Uma urna contém $v$ bolas vermelhas e $p$ bolas pretas. Extrai-se uma bola e observa-se a sua cor. A seguir a bola é devolvida à urna com mais C bolas da mesma cor da bola sorteada. Este procedimento é repetido outras $(n-1)$ vezes, totalizando $n$ sorteios. Qual a probabilidade de a 2ª bola ser vermelha? Qual a probabilidade de a 3ª bola ser vermelha? Qual a probabilidade de a k-enésima bola ser vermelha?

$R_i$ i-ésimo = r.

\[p(v_2) = partição \, = p(B) \sum p(B|A_i)p(A_i) \\ = p(v_2|v_1)p(v_1)+p(v_2|v_1^c)p(v_1^c) \\ total = r+p\]

\[\therefore \Bigg( \frac{v}{v+p} \Bigg) = v_1 \\ \Bigg( \frac{v+c}{v+p+c}\Bigg) = v_2 \\ \Bigg( \frac{v+c}{v+p+c}\Bigg)\Bigg( \frac{v}{v+p}+\Bigg( \frac{v}{v+p+c}\Bigg)\Bigg( \frac{p}{v+p}\Bigg) \] \[p[v_3] = p[v_3|v_2]p[v_2]+p[v_3|v_2^c]p[v_2^c]\] No entanto a informação sobre $v_2$ não me fornece toda informacão suficiente sobre $v_3$, seria preciso conhecer o que aconteceu em $v_1$ \[p[v_3] = p[v_3|v_1, v_2]p[v_1 \cap v_2]\\ == (v_1 \cap v_2)\cup(v_1 \cap v_2^c)\cup(v_1^c \cap v_2)\cup(v_1^c \cap v_2^c) = \Omega\] \[\Rightarrow p[v_3|v_1, v_2]*p[v_1 \cap v_2]+\\ p[v_3|v_1, v_2^c]*p[v_1 \cap v_2^c]+ \\ p[v_3|v_1^c, v_2]*p[v_1^c \cap v_2]+ \\ p[v_3|v_1^c, v_2^c]*p[v_1^c \cap v_2^c] \\ p[v_3|v_1, v_2]*p[v_1, v_2] = \Bigg( \frac{v+2c}{v+2c+p} \Bigg)*p[v_2|v_1]*p[v_1]\]

Ex.: Um cliente visita uma loja e compra um terno (p=2/5), uma gravata (p=5/12), uma camisa (p=1/2), um terno e gravata (p=2/15), um terno e camisa (p=17/60), uma gravata e camisa (p=1/4) e compra os três ítens (p=1/12).

T = Compra o terno C = Compra a camisa G = Compra a gravata

\[p_1 = p[(T \cup C \cup G)] \\ p_2 = p[(T \cup C \cup G)^c] = 1-p_1\]$ Os eventos $\{T, C, G\}$ não são independentes.

Qual a probabilidade de não comprar nada?

Dado que vai comprar a gravata, qual a probabilidade de comprar o terno?

Dado que vai comprar a gravata, qual a probabilidade de comprar a camisa?

Dado que vai comprar a gravata, qual a probabilidade de comprar gravata e terno?

Análise Combinatória

A análise combinatória é útil para o cálculo de probabilidade em espaços amostrais que tendem ao infinito $\to infty$.

Princípio multiplicativo:

Supondo uma tarefa a ser executada em $r$ etapas com $n_1$ maneiras de serem executadas a primeira etapa, $n_2$ maneiras a etapa dois e assim até a r-ésima etapa. O número total de maneiras de efetual a tarefa é dado por:

\[n_1*n_2*...n_r\]

Ex.: Em uma comunidade de 10 mulheres, cada uma com 3 filhos, de quantas maneiras é possível escolher 1 mulher e 1 filho?

\[10x3 = 30\] Ex.: Quantas placas de carro com três letras e quatyro dígitos podem ser formadas? E se as letras e números não puderem ser repetidos? \[26*26*26*10*10*10*10=175760000 \\ 26*25*24*10*9*8*7 = 78624000\]

Ex.: De quantas maneiras é possível formar subgrupos distintos (ordem importa) de tamanho $k$ dentre uma populaçãso de tamanho $n$. \[n, n-1, n-2, n-k+1 = \frac{n!}{n-k}\]

Permutação

As $n$ maneiras possíveis de permutar um conjunto de $n$ elementos. \[=!\] Notação: $P_n$ ou $P^n$ ou $A_{nn}$

\[n=5,\, k=2 \\ 5*4 = 20\]

Se a ordem importa: Permutar $n=6 $, se a ordem importa: \[6! = \frac{6!}{(6-6)!}=A_{6,6+1}\]

\[(A, B_1, B_2, C)\] \[(A, B_1, B_2 \\ A, B_2, B_1\\ B_2, A, B_1\\ B_2, B_1, A\\ B_1, B_2, A\\ B_1, A, B_2) =\frac{3!}{2!} \\ \therefore \frac{n!}{n_1!n_2!...n_k} = permutacões\, distintas \\ \{n_1!n_2!...n_k\} = elementos repetidos\]

Ex.: Enagrama de ilha: \[4! = 24\] Ex.: Enagrama de paralelepipedo: \[P^{14}= \frac{14!}{3!2!2!3!}\]

Combinação

Subconjuntos nos quais a ordem não importa \[C_{n,k}, c_n^k \, ou\, \binom{n}{k} \\ \frac{n!}{k!(n-k)!} = P_{k,n-k}^n\] Ou seja $n = elementos \, da \, populacão$ e $k = subconjunto \, da \, população$

Ex.: Um comitê de três pessoas precisa ser formado a partir de um grupo de 13 pessoas. Quantos grupos diferentes podem ser formados?

\[\binom{13}{6} = \frac{13!}{3!(13-3)!}=286\]

(factorial(13))/(factorial(3)*factorial(13-3))

## [1] 286

Qual a probabilidade de que pelo menos 2 pessoas façam aniversário no mesmo dia em um grupo de 13 pessoas?

\[ 365**364*,*363*...*,*365-13+1 = n^k = (365)^{13} p=1-p[ninguém]\] \[1-\frac{?}{(365)^{13}}= 1-0.8=0.2 \]

Quantas permutacões existem ente as letras A, B, C, D, E e F?

\[6!\]

Que tem as letras A e B juntas em qualquer ordem? \[ ----BA \\ ----AB \\ \] \[2*fatorial de n-1 \to (6-1)! = 2*5!=240\] Que tem a letre A no 1º lugar ou a letra F no último lugar? Principio da inclusão e exclusão $\cup$, $\cap$.

$$$$

Em que A vem antes de B? \[ -----B = 5*4! \\ ----B- = 4*4! \\ ---B-- = 3*4! \\ --B--- = 2*4! \\ -B---- = 1*4! \] \[(5*4!)+(4*4!)+(3*4!)+(2*4!)(1*4!) = 360\] Ou, o número de possibilidades de $A$ antes é igual a depois:

\[\frac{6!}{2}\]

Em que E não é o último?

Mostre que a desigualdade abaixo é verdadeira: 01
\[\binom{n}{k}\binom{n}{k-1}=\binom{n-1}{k}\] \[\frac{n!}{k!{n-k}!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1!)} \] \[\frac{n!(n-k+1)!+n!k}{k!(n+k+1)!}=\frac{n!(n+1)}{k!(n+k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!((n+1)-k)!} = \binom{n+1}{k}\]

Mostre que a desigualdade abaixo é verdadeira: 02 \[\binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k}=\binom{n}{m}\binom{m}{k}\]

Abrir
\[\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(n-k)!}{(m-k)!(n-m)!}\]

\[ \frac{n!}{k!(m-k)!(n-m)!} = \frac{n!}{k!(m-k)!(n-m)!} \frac{m!}{m!} \] \[\frac{n!m!}{m!(n-m)!k!(m-k)!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}\frac{m!}{k!(m-k)!}\]

\[\frac{n!}{m!(n-m)!} = \binom{n}{m} \\ \frac{m!}{k!(m-k)!} = \binom{m}{k}\]

Binomio do Newton

\[(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^ky^{n-k}\] Demonstracão por inducão:

n=1,

Com $k=0$ tem-se o somatório de dois termos, uma combinação de $1$, $0$a $0$ que é igual a $1$ e uma combinacão de $1$, $1$ a $1$ igual a $1$.

\[\Rightarrow (x+y)^1 = \sum_{k=0}^1 \binom{1}{k}x^ky^{1-k} = y+x \\ k = 0 \Rightarrow x^0 = 0, y ^{1-0} = 0+y = y \\ k = 1 \Rightarrow x^1 = 0, y ^{1-1} = x+0 = x \\ \therefore x + y \] ii. n = 2

\[ (x+y)^2 = \sum_{k=0}^2 \binom{2}{k}x^ky^{2-k} = y^2+2xy+x^2 \\ k = 0 \Rightarrow x^0 = 0, y ^{2-0} = 0+y^2 = y^2 \\ k = 1 \Rightarrow x^1 = x, y ^{2-1} = 2xy = 2xy \\ k = 2 \Rightarrow x^2 = x^2, y ^{2-2} = x^2+0 = x^2 \\ \therefore y^2+2xy+x^2\] iii. se $n \Rightarrow n+1$ \[(x+y)^{n+1}=(x+y)^n(x+y)^1\]

\[= \Bigg( \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}x^ky^{n-k} \Bigg)(x+y)\] \[(x+y)^{n+1}= \Bigg(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{k+1}Y^{n-k}+ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^kY^{n+1-k}\Bigg)(x+y)^{n+1} = (termo\, 01)+(termo\, 02)\] \[(termo\, 01) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{k+1}Y^{n-k} \] Então $\Rightarrow$ mudança $i = k+1$ e $k = i-1$.

\[= \sum_{i=1}^{n+1} \binom{n}{i-1}x^{i}Y^{n+1-i}\] Segundo termo: i = k

\[(termo\, 02) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^kY^{n+1-k}\] Fazendo $i=k$.

\[ = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i}x^{i}Y^{n+1-i}\] \[(x+y)^{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1}\binom{n}{i-1}x^iy^{n+1-i}+\sum_{i=0}^nx^iy^{n+1-i} \]

Extraindo para fora o último termo em $n+1$ do primeiro somatório e o primeiro termo em $n$ do segundo somatório

\[= \binom{n}{m}x^{n+1}Y^0 + \sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i-1}x^iy^{n+1-i} + \binom{n}{0}x^0y^{n+1} + \sum_{i=1}^n \binom{n}{i}x^iy^{n+1-i} \] Colocando em evidência

\[= x^{n+1}Y^0 + \sum_{i=1}^{n}\Bigg(\binom{n}{i-1}+\binom{n}{i} \Bigg)x^iy^{n+1-i}+x^0y^{n+1} \] Note que a demonstracão de igualdade 01 feita acima corresponde ao termo de evidência da expressão:

\[ \binom{n}{i-1}+\binom{n}{i} = \binom{n+1}{i}\]

\[\therefore \binom{n+1}{n+1}x^{n+1}y^0+\sum_{i=1}^n\binom{n+1}{i}x^iy^{n+1-i}+\binom{n+1}{0}x^0y^{n+1}\] \[1(x^{n+1}y^0)+\sum_{i=1}^n\binom{n+1}{i}x^iy^{n+1-i}+1(x^0y^{n+1})\]

Note que o termo \[\binom{n+1}{0}x^0y^{n+1}\] é igual ao primeiro termo do somatório abaixo comecando em $0$ \[\sum_{i=1}^n\binom{n+1}{i}x^iy^{n+1-i}\] e o termo \[\binom{n+1}{n+1}x^{n+1}y^0\] é igual ao somatório abaixo terminando em $n+1$. \[\sum_{i=1}^n\binom{n+1}{i}x^iy^{n+1-i}\] Isso permite reunir os três termos no seguinte somatório começando em $0$ e terminando em $n+1$

\[=\sum_{i=0}^{n+1}\binom{n+1}{i}x^iy^{n+1-i}\] E este somatório é igual ao binômio de newton em $n+1$

\[\therefore \sum_{i=0}^{n+1}\binom{n+1}{i}x^iy^{n+1-i} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^ky^{n-k}\]

Espaço de Probabilidades

Variável aleatória

Uma variável aleatório (v.a.) é sempre uma função. Assim, um efento é a realização de uma v.a.; não apenas de eventos elementares, mas inclusive $\varnothing$. Seja um espaco de probabilidade $(\Omega, \sigma algebra, P)$, uma v.a. $x$ será a funcão definida em $\Omega$ com valores em $\mathbb R$, isto é:

\[x: \Omega \to \mathbb R \\ \omega \to x(\omega)\]

Uma funcão $x$ definida em $\Omega$ que retorna um número $\mathbb R$.

Ex.: Jogar um dado cujas faces são azul, amarelo, verde, vermelho, preto e branco. \[\Omega = \{azul, amarelo, verde, vermelho, preto, branco\} \\ \sigma algebra = conjunto\, das, partes, de \Omega \\ B = \{ cores\, começando\, com\, A = \{azul, amarelo\} \} \\\]

Uma funcão com entrada $\omega$ e uma v.a. como função do resultado: \[x(\omega) = \begin{cases} 1, s, \omega, comeca\, com, A \\ -1, s, \omega, comeca\, com, V \\ 0, s, caso \, contrário \end{cases}\]

Então, qual a probabilidade de $x$ assumir valor 0 ou > 3. \[p[x(\omega)=0] \, ou \, p[x(\omega) > 3] \\ = p[\{\omega \in \Omega|x(\omega)=0\}] \\ = p[\{branco \, e\, preto\}] \\ = p[\{branco \cup preto\}] = \frac{1}{6} +\frac{1}{6} =\frac{2}{6} =\frac{1}{3} \\\] \[= p[\{x(\omega) > 3 \}] \\ = p[\{\omega \in \Omega| x(\omega0)>3 \}]\\ = p[\varnothing] = 0 \\ ]sugma algebra = \{ \varnothing, -1,0,1,\{-1,0\}, \{-1,1\}, \{0,1\}, \{-1,0,1\} \} \\ p = p{\omega} = \frac{1}{6} \forall i \\ a = \{\varnothing, amarelo, (amarelo, azul), ...(preto, branco)\}\]

Então $x(\omega)$ como definido é uma v.a..

Participam de um congresso 15 professores de matemática, 15 professores de estatística. Quantas comissões de 8 professores podem ser formadas? \[\binom{30}{8}\] Com pelo menos 1 professor de matemática? \[pelo\, menos\, um \neq \varnothing \\ \binom{30}{8}-\binom{15}{8} \\ \binom{30}{8} = total \, possível \\ \binom{15}{8} = sem \, nenhum \, matemático\] Com pelo menos 4 professores de matemática e 2 de estatística?

\[nº mat. = 4, nº est. = 2 \\ E = \{\{4 \,mat\, e\, 4 \,est \}, \{5 \,mat\, e\, 3 \,est \}, \{6 \,mat\, e\, 2 \,est \}\} \\ \binom{15}{4}\binom{15}{4}+\binom{15}{5}\binom{15}{3}+\binom{15}{6}\binom{15}{2}\]

De quantas maneiras $n$ pessoas podem ser permutadas em uma roda? \[n! -1\]