Chapter 2: Discrete random variables

Binomial Distribution

• A binomial experiment consists of a fixed number of \(n\) trials.
• Each trial has two possible outcomes: success, failure.
• The probability of success is denoted by \(p,\:0\leq p\leq 1\).
• The probability of failure is \(1-p\).
• The trials are assumed independent:
• the outcome of one trial does not affect the outcome probability of any other trial.

percent(dbinom(2,10,.2))

[1] 30.20%

(0:10-2)^2%*%dbinom(0:10,10,.2)

     [,1]
[1,]  1.6

10*.2*.8

[1] 1.6

Exercice 7.84

On a \(n=10\) er \(p=0.3\).

1. Calculer \(\Pr(X=3)\).

round(dbinom(3,10,0.3),4)

[1] 0.2668

2. Calculer \(\Pr(X=5)\).

round(dbinom(5,10,0.3),4)

[1] 0.1029

3. Calculer \(\Pr(X=8)\).

round(dbinom(8,10,0.3),4)

Obtenir les 3 résulats d’un coup.

round(dbinom(c(3,5,8),10,0.3),4)

Executer le Chunk en ligne de manière transparente

1. Calculer \(\Pr(X=3)\). On trouve \(\Pr(X=3)=\) 0.2668.

Exercice 7.92

dbinom(1,4,1/4)

[1] 0.421875

dbinom(2,8,1/4)

[1] 0.3114624

dbinom(3,12,1/4)

[1] 0.2581036

Taper un code en ligne. Un exemple simple 346.

7.101 b.

\[E(X)=100\times \frac{244}{495}\]

On trouve 49. Il gagne environ en moyenne 49 parties pour 100 parties jouées.

Exercice 7.138

Soit \(X\) le nombre de faux-positifs pour 10 ans de mammographie. On a \(X\) suit une loi \(\mathcal{B}(10,p)\) où \(p\) est inconnu. On sait que \(\Pr(X\geq 1)=0.6\). On doit trouver \(p\).

On a \[Pr(X \geq 1) = 1 - Pr(X=0)\] Soit :

\[ 1-(1-p)^{10}=0.60. \] Cela revient à résoudre l’équation suivante : \[ (1-p)^{10}=0.4, \] qui donne \[ 1-p = 0.4^{1/10} \]. Ainsi, \[p = 1 - 0.4^{1/10} \] Chaque année la probabilité qu’une femme qui passe une mamographie obtienne un faux positif s’élève à 8.8%.