La diferència entre el que veiem a la mostra i el que suposem de la població pot ser:

• Un efecte aleatori no significatiu
• Un canvi significatiu

Castanyera: Un 10% de les castanyes estan corcades.

\[\left \{ \begin{matrix} H_0: p = 0,1 \\ H_1: p > 0,1 \end{matrix} \right. \]

La primera castanya surt corcada.

dbinom(x=1,size=1,prob=0.1)

## [1] 0.1

Ens podem creure la castanyera?

La segona castanya surt corcada.

dbinom(x=2,size=2,prob=0.1)

## [1] 0.01

Ens seguim creient la castanyera?

La tercera castanya surt corcada.

dbinom(x=3,size=3,prob=0.1)

## [1] 0.001

Encara ens seguim creient la castanyera?

• Hipòtesis (hipòtesi nul·la i hipòtesi alternativa)
• Estadístic de contrast
• p-valor
• Significació

Bilateral

\[\left \{ \begin{matrix} H_0: \mu = \mu_0 \\ H_1: \mu \ne \mu_0 \end{matrix} \right. \] Unilaterals

\[\left \{ \begin{matrix} H_0: \mu = \mu_0 \\ H_1: \mu > \mu_0 \end{matrix} \right. \] \[\left \{ \begin{matrix} H_0: \mu = \mu_0 \\ H_1: \mu < \mu_0 \end{matrix} \right. \]

Suposem:

• \(X \sim N(\mu,\sigma)\) (amb \(\sigma\) coneguda)
• Traiem una mostra amb \(n\) observacions independents.

Aleshores:

\[\bar{X} \sim N\bigg(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\bigg)\]

O equivalentment:

\[Z^*=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)\]

Exemple:

• Per poder homologar els récords, una piscina olímpica no pot fer menys de 50 metres.
• Tenim un distanciòmetre que fa mesures distribuïdes normalment al voltant de la mida real i amb una desviació estàndard de 2 mm.
• 8 mesures d’una piscina han donat 49.9921, 49.9981, 49.9982, 49.9992, 49.9997, 50.0001, 50.0008 i 50.0012 m.

Tenim motius per dubtar que la piscina fa com a mínim 50 m?

\[\left \{ \begin{matrix} H_0: \mu = 50 \\ H_1: \mu < 50 \end{matrix} \right. \]

Estadístics de la mostra.

mostrapiscina<-c(49.9958, 49.9971, 49.9978, 49.9992, 
          49.9995, 50.0001, 50.0004, 50.0012)
mean(mostrapiscina)

## [1] 49.99889

stripchart(mostrapiscina)
abline(v=50,col="red")

mu<-50; sigma<-.002; n<-length(mostrapiscina)
(z<-(mean(mostrapiscina)-mu)/(sigma/sqrt(n))) #estadístic de contrast

## [1] -1.573313

pnorm(z) #p-valor

## [1] 0.05782323

qnorm(0.05) #valor crític

## [1] -1.644854

Bilateral

\[\left \{ \begin{matrix} H_0: p = p_0 \\ H_1: p \ne p_0 \end{matrix} \right. \] Unilaterals

\[\left \{ \begin{matrix} H_0: p = p_0 \\ H_1: p > p_0 \end{matrix} \right. \] \[\left \{ \begin{matrix} H_0: p = p_0 \\ H_1: p < p_0 \end{matrix} \right. \]

• Mostres aparellades
• Mostres independents

Bilateral:

\[\left \{ \begin{matrix} H_0: \mu_1 = \mu_2 \\ H_1: \mu_1 \ne \mu_2 \end{matrix} \right. \] Unilaterals:

\[\left \{ \begin{matrix} H_0: \mu_1 = \mu_2 \\ H_1: \mu_1 > \mu_2 \end{matrix} \right. \] \[\left \{ \begin{matrix} H_0: \mu_1 = \mu_2 \\ H_1: \mu_1 < \mu_2 \end{matrix} \right. \]

Bilateral

\[\left \{ \begin{matrix} H_0: p_1 = p_2 \\ H_1: p_1 \ne p_2 \end{matrix} \right. \] Unilaterals

\[\left \{ \begin{matrix} H_0: p_1 = p_2 \\ H_1: p_1 > p_2 \end{matrix} \right. \] \[\left \{ \begin{matrix} H_0: p_1 = p_2 \\ H_1: p_1 < p_2 \end{matrix} \right. \]

• Independència

\[\left \{ \begin{matrix} H_0: \text{les variables són independents} \\ H_1: \text{les variables no són independents} \end{matrix} \right. \]

• Homogeneïtat

\[\left \{ \begin{matrix} H_0: \text{la distribució és la mateixa a les diferents poblacions} \\ H_1: \text{la distribució no és la mateixa a les diferents poblacions} \end{matrix} \right. \]

A la població, \(y = \alpha + \beta x\)

\[\left \{ \begin{matrix} H_0: \beta = 0 \\ H_1: \beta \ne 0 \end{matrix} \right. \]