U1A4

Repaso de probabilidad

" Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar la incertidumbre." Wasserman

Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.
Interpretación frecuentistas de la probabilidad.
Probabilidad condicional y su relación con la independencia.
La regla de Bayes.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

e.g. Si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[\Omega =\{AS, AS, SA, SS\}\] Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por letras mayúsculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte águila.

\[A = \{AA, AS\}\]

Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo.

e.g. En la carrera de Ing. Química hay 300 hombres y 700 mujeres, la proporción de hombres es:

\[\frac{300}{700+300} =0.3\]

Eventos equiprobables Si todos los eventops en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de reusltados en A dividido entre el nuérmo total de psoibles resultados:

\[P(A)= \frac{\#(A)}{\#(\Omega)}\]

Por lo que solo hace falta contar.

e.g. Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{15}\) hay posibles comités, cada uno la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres.

\[\frac{\dbinom{6}{3} \dbinom {9}{2}} {\dbinom {15}{15}}\]

Y la función para calcular las combinaciones es choose (n, r)

choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose (15, 5)

## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad

Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.

lanzamientos_10 <- sample(c("A","S"),10, replace = TRUE)
lanzamientos_10

##  [1] "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A"

Podemos calcular las secuencia de frecuencias relativas de águila:

cumsum(lanzamientos_10 =="A")##Suma acumulada de águilas

##  [1] 0 0 0 1 2 2 2 2 2 3

Dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10 == "A")/ 1:10, 2)

##  [1] 0.00 0.00 0.00 0.25 0.40 0.33 0.29 0.25 0.22 0.30

Distribuciones de probabilidad

**Funciones en R

En R, cada distribución de probabilidad se nombra mediante una palabra clase o alias. La palabra clave para las distribuciones más importantes son:

Distribución Alias
Distribución binomial bínom
Distribución de Poisson pois
Distribución normal norm
Distribución exponencial exp
Distribución t de Student t
Distribución chi2 chisq
Distribución F f

\[ \begin{array}{l|l|l|c} \text{Función} & \text{Significado} & \text{Uso}& \text{Observación}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{Calcula probabilidades puntuales} & \text{Sólo uso gráfico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución específica} & \text{---}\\ \hline \end{array} \] Distribución Exponencial

curve(dexp(x), from = 0, to = 10)

##Representa la cantidad de una exponencial

Distribución binomial

x <- rbinom(20, 1, 0.5)
# Genera 20 observaciones con distribución B(1, 0.5)
#Genera números aleatorios
x

##  [1] 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Contando éxitos vs fracasos

table (x)

## x
##  0  1 
##  7 13

e.g Distribución normal Sí \(x\) eses una variable aletoria, con distribución normal de media 3, y su desviación típica es de 0.5, la probabilidad de que \(x\) sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, mean=3, sd=0.5)

## [1] 0.8413447

Para calcular el cuartil 0.7 de una v.a. normal estándar Z, es decir, un valor X tal que

qnorm(0.7)

## [1] 0.5244005

Para calcular el mismo cuantil, pero para una v.a. normal de media 0 y DT 0.5

qnorm(0.7, sd = 0.5)

## [1] 0.2622003

El valor \(z_\alpha\) que aparece en muchas de las fórmulas para intervalos y contrastes se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

Para generar una muestra de tamaño 100 de una población normal de media 10 y desviación típica 1 (y guardarla en un vector x):

x <- rnorm(100, mean = 10, sd = 1)
x

##   [1]  9.473663  9.448190  9.519106 10.614637 10.729823 10.195054 11.367604
##   [8] 10.287451  9.393010  8.518032  7.904938 10.555450  9.808645  8.938785
##  [15]  9.774938 11.015334 11.186223  9.825073  9.374188  9.421100 10.214297
##  [22] 10.247108 10.828265 10.072261 10.570602  8.807958  9.064096  9.132162
##  [29]  9.340780  8.989231  9.066287 11.379829  9.709851 10.585113  9.712599
##  [36] 10.465598  8.337342  8.623438  9.799115  9.518940 10.441430  9.307540
##  [43] 10.383802  9.557677  9.242974 10.705085 11.581679 12.278340  9.408568
##  [50]  8.187243  8.963644 10.228166 12.055692 10.020468 10.366035  9.398259
##  [57] 11.505955 10.560782 11.404120 10.336972  7.875121  9.606580 10.534005
##  [64] 10.319187  9.342455 10.443470  9.196625  8.899851  8.857665  9.612940
##  [71]  9.717185 11.088417  9.803647 11.039959  9.111497 10.337811 10.864221
##  [78]  9.561714  9.352077 10.638948 11.120785 10.084240  9.575729  8.992977
##  [85]  9.340278 11.421004 11.467923  8.432445  9.542502  7.218603 10.906076
##  [92] 11.220972  9.134276 10.072269 10.916574 10.372165  9.470064  9.155490
##  [99] 10.812854  9.055002

Para estimar el promedio de x

mean(x)

## [1] 9.922662

Histograma de frecuencias

hist(x)

Gráfico de cajas y bigote

boxplot(x)

Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población:

hist(x, freq = FALSE) # Freq = FALSE, para que el área del histograma sea 1
curve(dnorm(x, mean = 10, sd = 1), from = 7, to = 13, add = TRUE)

Repaso de lo aprendido

Probabilidad: Se refiere a las posibilidades de que pueda ocurrir algo dependiendo de las condiciones en que se encuentre.

Espacio de resultados: Consiste en todos los posibles resultados que se puedan presentar en un experimento aleatorio.

Eventos: Es una parte en particular de los resultados, pero en un contexto específico, es parte del espacio muestral.

Eventos equiprobables: Es la proporción de que ocurra un evento aleatorio.

Combinaciones: Es la manera en que se pueden mezclar objetos sin importar como estén ordenadas, en esta, lo importante el contenido es importante.

Frecuencia relativa: Se refiere a que tan frecuente ocurre algo en un experimento.

Distribución exponencial: Es como se comportan los eventos que suceden.

Distribución binomial: Significa la probabilidad de tener exitos y fracasos existentes en el experimento.

Distribución normal: Se utiliza para determinar con que frecuencia sucede algo.

Histograma de frecuencias: Es una representación gráfica en barras según la frecuencia de los valores encontrados.

Gráfico de cajas y bigote: Ubica los valores, como cuantiles, máximo, minimo y valores extremos de manera gráfica o aticidad.

Histograma de la muestra: Dibuja una curva en el histograma presentado anteriormente.