Introducción a la probabilidad

Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar la incertidumbre. Wasserman

Terminolgía de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funcionesde probabilidad, etc.
Interpretación frecuencista de la probabilidad.
Probabilidad condicional y su relación con la independencia.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio.

e.g. Si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[\Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \]

Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayúsculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte águila.

\[ A=\{AA, AS\} \] Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción o cociente de una parte, con respecto a un todo.

e.g. En la carrera de ingeniería química hay 300 hombres y 700 mujeres, la proporción de hombres es:

\[\frac{300}{700+300} =0.3 \] Eventos equiprobables si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \] Por lo que solo hace falta contar.

e.g. Combinaciones, maneras en las que se puede combinar objetos independientes de su orden

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombre y 9 mujeres, si la selección es aleatoria, ¿Cuál es la probabilidad de que el cómite este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay 9 mujeres de las cuales se van a seleccionar 2. \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \]

Función total a calcular las combinaciones es choose (n, r)

choose(6, 3) *choose(9, 2) / choose(15, 5)

## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad

Una frecuenca relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.

lanzamientos_10 <- sample(c("A","S"),10, replace = TRUE )
lanzamientos_10

##  [1] "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A"

Podemos calcular las secuencias de frecuencias relativas de águila:

cumsum(lanzamientos_10 =="A") # suma acumulada de águilas

##  [1] 0 0 1 2 2 2 2 2 3 4

Dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2)

##  [1] 0.00 0.00 0.33 0.50 0.40 0.33 0.29 0.25 0.33 0.40

Distribuciones de probabilidad

Funciones en R

En R, cada distribución de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias. Las palabras clave para las ditribuciones más importantes son:

Distribución Alias
Distribución binominial binom
Distribución de Poisson pois
Distribución nomrla norm
Distribución exponencial exp
Distribución t de Student t
Distribución chi2 chisq
Distribución F f

\[ \begin{array}{l|l|l|c} \text{Función} & \text{Significado} & \text{Uso} & \text{Observación}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{destiny} & \text{Calcula probabilidades puntuales} & \text{Sólo uso gráfico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución específica} & \text{---}\\ \hline \end{array} \] Distribución exponencial

curve(dexp(x), from=0, to=10)

#representa la densidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10

Distribución binomial

x <- rbinom(20, 1, 0.5)
x

##  [1] 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0

#Genera 20 observaciones con distribuciones  B(1,0.5)

Contando éxitos vs fracasos

table(x)

## x
##  0  1 
## 12  8

e.g. Distribución normal

si \(x\) es una variable aleatoria con distribución normal de media 3, y su desviación tipica es de 0.5, la probabilidad de que x, sea menor que 3.5, se calcula en R de esta forma.

pnorm(3.5, mean=3, sd=0.5)

## [1] 0.8413447

Para calcular el cuantil 0.7 una v.a. normal estándar z, es decir, un valor x tal que

qnorm(0.7)

## [1] 0.5244005

Para calcular el mismo cuantil pero con una variable aleatoria normal de media 0 y una d.t. 0.5

qnorm(0.7, sd=0.5)

## [1] 0.2622003

El valor \(z_\alpha\) que aparece en muchas de las fórmulas para intervalos y contrastes se obtiene con comando qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

Para generar una muestra de tamaño 100 de una población normal de media 10 y desviación típica 1 (guardarla en un vector x):

x <- rnorm(100, mean=10, sd=1 )
x

##   [1]  8.682609 11.556450  7.617965  9.672991  9.809126  8.574790  9.633374
##   [8]  7.875595 10.819505 10.193454 10.853282  9.630575 10.780271  9.529485
##  [15] 11.185185  8.988837 10.400929  8.976920 11.777080 11.880323  9.483454
##  [22]  9.138148  8.576987  9.751603  9.527811 10.573843 11.386658 10.831596
##  [29] 10.021710  9.373192 10.072119 11.090345 10.703844 10.237872 10.688068
##  [36]  7.864581 10.349279  9.319652 11.281137  9.791508  9.828318 11.017455
##  [43]  9.814085 10.394201 10.848624  8.677829  9.931122  9.032851  9.225243
##  [50]  8.854700  8.622363 10.483206 10.891469 10.162869  9.733380 10.540208
##  [57] 10.612373 10.102096 11.160468  8.912760 10.285545  8.525718 10.574372
##  [64]  8.708713  8.813411  9.456447  9.371796 10.478063 10.797184 11.447279
##  [71]  8.094050 10.271786  8.430838 10.373132  9.711920 10.353378 10.457232
##  [78]  9.529831 10.213375 10.396319  8.363004  9.905362  7.019845  8.866949
##  [85] 10.537382  7.852320  9.952800 11.055100  9.650393 10.827992 10.414363
##  [92] 10.822050  8.945944  9.613915 10.951380 11.078956  8.315658 11.105013
##  [99]  9.567884 10.906848

Para estimar el promedio de x

mean(x)

## [1] 9.893913

Histograma de frecuencias

hist(x)

Gráfico de cajas y bigote

boxplot(x)

Histograma de la muestra (normalizado para que las sums de las áreas de los rectágulos sea 1) junto con la densidad de la población:

hist(x, freq=FALSE) #Freq=FALSE, para que el área del histograma sea 1
curve(dnorm(x, mean=10, sd=1), from=7, to=13, add=TRUE)

EJERCICIOS

Si \(z\) es un varible con distribución norma estándar, cálcula \(\mathbb{P}(-2,34 < Z < 4.78\))

P=pnorm(4.78, mean = 0, sd = 1) - (pnorm(-2.34, mean = 0, sd = 1))
P

## [1] 0.9903573

\[ P={0.9903573} \]

Calcule el rango intercuartílico de una póblación normal estándar.

f <- c(1,4,4,4,5,5,6,6,6,6,7,8,8,9)
summary(f)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   1.000   4.250   6.000   5.643   6.750   9.000

\[ IQR= {3rd Qu - 1st Qu} \]

\[ IQR= {6.450 - 4.250}= 2.5 \]

Genera una muestra de tamaño 10 de una población normal estándar. ¿Cuál es la diferencia entre la media mestrañ y la población? Repetir el ejercicio 3 veces y anotar las 3 diferencias.

x <- rnorm(10, mean=3, sd=1 )
x

##  [1] 3.8212243 3.5461161 3.1938525 3.9116741 2.3114101 3.5878809 3.1340635
##  [8] 2.9844777 3.4171606 0.3883939

x <- rnorm(10, mean=3, sd=1 )
x

##  [1] 2.008028 5.594113 3.146945 3.526132 3.603005 3.391986 2.908497 4.960434
##  [9] 1.024461 3.018247

x <- rnorm(10, mean=3, sd=1 )
x

##  [1] 3.110097 3.340379 2.958168 2.584778 3.474555 2.918591 2.999310 3.834264
##  [9] 4.016007 2.958430

Las diferencias que observo es que por como se muestra en los resultados, cada vez nos arroja números diferentes, esto debido a que esta función trabaja en modo aleatorio

Genera 1,000 números con distribución de Poisson de parámetro \(\lambda = 1\). Representar el gráfico de barras de los números obtenidos. Calcula la media y la varianza de los números obtenidos. ¿Se parecen a los valores teóricos?

Po <- rpois(1000, 1)
Po

##    [1] 0 1 0 1 0 2 1 1 2 3 2 1 0 0 0 0 0 0 5 1 2 1 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 3 0 2 1
##   [38] 2 3 2 1 2 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 5 0 2 1 1 0 1 0 0 1 0
##   [75] 0 1 1 2 1 6 0 2 2 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 1 1 3 0 2 0 0 1 1
##  [112] 0 1 0 0 1 0 3 0 0 1 4 2 1 3 0 3 0 0 2 0 1 1 0 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
##  [149] 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 2 0 2 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 0 1 1 0 2 0 1 1 2 1 0 0
##  [186] 0 1 2 2 0 1 1 2 1 1 0 0 1 0 0 3 1 1 0 0 2 1 1 1 1 0 3 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0
##  [223] 1 1 0 2 0 2 1 2 1 0 2 0 1 0 0 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 0 1 1 2 1 0 0 2 0 1 0 2
##  [260] 0 0 1 1 2 1 1 1 0 0 1 0 1 3 1 1 3 1 0 0 0 1 0 2 0 1 0 2 4 1 1 1 0 1 1 1 0
##  [297] 1 0 2 0 0 2 1 0 0 2 1 1 1 0 0 2 1 1 1 2 1 1 0 0 1 2 2 1 1 1 2 1 0 1 1 2 0
##  [334] 2 1 1 1 3 1 1 2 0 1 3 1 0 2 1 2 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 2 2 0 1 3 1 1 2 0
##  [371] 1 2 1 3 1 3 1 0 2 0 2 3 1 3 1 3 1 1 0 0 4 2 1 0 0 0 0 1 1 1 2 1 0 1 3 0 0
##  [408] 2 1 1 0 1 0 1 1 3 3 0 1 3 4 0 5 0 0 2 0 1 1 1 3 1 0 0 1 2 0 1 1 0 0 1 1 1
##  [445] 3 0 0 1 0 0 0 1 0 2 2 0 1 1 0 0 0 0 1 2 2 1 1 1 2 0 0 3 0 0 1 0 1 0 1 3 0
##  [482] 1 3 0 2 2 2 1 1 1 0 2 0 0 1 1 1 2 0 1 0 2 0 0 1 0 1 3 1 0 0 3 0 2 2 1 1 2
##  [519] 0 1 0 1 1 3 3 1 1 0 0 0 2 3 2 1 0 1 1 1 1 1 1 2 0 2 3 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0
##  [556] 0 0 1 1 3 0 0 2 2 1 1 0 0 2 0 1 0 2 0 3 0 1 2 1 1 1 2 3 2 1 0 1 0 4 2 0 2
##  [593] 0 1 0 1 0 1 2 3 2 1 1 0 1 1 1 2 0 2 2 1 3 0 2 1 1 2 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 1
##  [630] 2 1 2 0 0 4 1 1 0 0 1 2 3 1 4 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 4 3 0 1 1 0 1 0 2 2 0 3
##  [667] 0 1 0 1 0 0 1 0 2 0 2 1 0 2 1 1 2 1 1 4 0 2 2 1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 1 1 2 0
##  [704] 0 0 1 0 0 2 2 3 0 0 2 2 0 0 3 3 4 1 1 1 0 0 1 2 0 1 0 0 3 0 3 2 1 0 1 0 0
##  [741] 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 2 1 0 1 0 1 0 0 2 0 0 3 1 1 0 0 3 0 2 3 1 0 3 1 0 0 0
##  [778] 1 1 0 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 2 2 2 1 0 0 1 0 3 0 1 3 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0
##  [815] 1 1 0 1 1 0 2 2 0 1 0 1 5 0 0 1 0 2 1 0 2 0 2 0 0 1 1 1 1 0 5 2 1 0 1 0 0
##  [852] 1 0 3 0 4 0 1 1 1 2 0 0 0 0 1 3 2 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 0 0 2 2 1 0
##  [889] 0 1 3 0 1 2 1 1 1 1 1 0 0 2 2 0 1 1 1 0 0 1 1 1 2 1 1 0 1 0 0 5 2 1 0 0 3
##  [926] 0 0 2 0 1 1 0 1 1 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 2 0 4 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 4 1 0
##  [963] 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 1 1 2 0 0 1 1 4 3 1 0 2 0 0 1 0 0 2 1 2 2
## [1000] 2

Para estimar el promedio de Po

mean(Po)

## [1] 0.96

var(Po)

## [1] 1.031431

Histograma de frecuencia

hist(Po, xlab= "Dist. de Poisson", ylab = "Frecuencia", main = paste ("Histograma de Poisson"))

Los números obtenidos con la distribución de Poisson no se parecen tanto a los valores teóricos, debido a que son diferentes parámetros utilizados, los números teóricos arrojan más decimales, mientras que Poisson número enteros

Probabilidad

Andrea Higuera

11/2/2021

Introducción a la probabilidad

Espacio de resultados y eventos

Interpretación frecuentista de la probabilidad

Distribuciones de probabilidad

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