Ejemplo 1

Para calcular la mediana del siguiente conjunto de números \(\{8, 10, 8, 3, 4, 8, 5, 6, 4\}\) es necesario:

• Ordenar el conjunto: \(\{3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10\}\) o \(\{10, 8, 8, 8, 6, 5, 4, 4, 3\}\)
• Contar el número de elementos: \(9\)
• Dado que \(9\) es impar tenemos un valor central, en este caso es el \(6\) que deja 4 números del lado izquierdo (menores) y 4 del lado derecho (mayores).

De acuerdo a la definición, la mediana es el valor que se encuentra en la posición \(\frac{9 + 1}{2} = 5\) que como podemos fácilmente comprobar corresponde al \(6\).

Ya sea usando la definición o siguiendo los pasos anteriormente descritos, encontraremos el valor correcto de la mediana de un conjunto de números. Siéntase libre de usar el método que más se se le facilite.

Ejemplo 2

Calculemos la mediana del siguiente conjunto de números \(\{5, 7, 18, 5, 11, 9, 12, 15\}\) es necesario:

• Ordenar el conjunto: \(\{5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18\}\) o \(\{18, 15, 12, 11, 9, 7, 5, 5\}\)
• Contar el número de elementos: \(8\)
• Ya que \(8\) es par no tendremos un valor central. Cualquier número del conjunto que tomemos dejará una cantidad distinta de números del lado izquierdo (menores) que del lado derecho (mayores). Por ello, la mediana es la media de los dos valores centrales, en este caso \(9\) y \(11\). Por lo tanto, \(\tilde{x} = \frac{9 + 11}{2} = 10\)

De acuerdo a la definición y dado que \(n = 8\) es par, la mediana será la media aritmética de los números que se encuentran en la posición \(\frac{8}{2} = 4\) y en la \(\frac{8}{2} + 1 = 5\), es decir, la media aritmética de \(9\) y \(11\). Así, \(\tilde{x} = \frac{9 + 11}{2} = 10\)

Nota: Para aplicar la definición es necesario que los números ya estén ordenados.

Ejemplo

Calculemos la Mediana para el mismo conjunto de salarios del ejemplo en la diapositiva 3 del tema Media Aritmética.

Si tenemos \(500\) personas con un salario diario de \(112\) USD y otras \(500\) que perciben \(120\) USD. La mediana salarial sería:

\[\tilde{x} = \frac{x_{500} + x_{501}}{2} = \frac{112 + 120}{2} = 116\]

Si agregamos a Bill Gates al conjunto tendríamos 1001 datos, así la mediana pasaría a ser:

\[\tilde{x} = x_{501} = 120\]

Con este ejemplo podemos ver que la Mediana es una Medida de Tendencia Central mucho más robusta ante valores extremos que la Media Aritmética.

Ejemplo

Si las calificaciones que obtuvo un alumno son las siguientes \(\{9, 6, 9, 9, 6, 8\}\). La mediana de calificaciones es:

\[\tilde{x} = \frac{8 + 9}{2} = 8.5\]

Nota: Recuerde que es necesario ordenar el conjunto (\(\{6, 6, 8, 9, 9, 9\}\))

A diferencia de la media aritmética, la interpretación de la mediana es muy sencilla sin importar la naturaleza de los datos. En este ejemplo, usando la mediana podemos afirmar que 50% de las calificaciones del alumno fueron menores a 8.5 mientras que el otro 50% fueron mayores a este valor.

Como ejercicio, busque una interpretación tan sencilla para la media aritmética de este conjunto \(\bar{x} = 7.83\).

Ejemplo

Tomemos la cantidad de refrescos que se consumen por día de la semana en tres hogares diferentes:

Las medianas de consumo para cada hogar son iguales, \(\tilde{x} = 1\). Sin embargo realizar una afirmación al respecto sería erróneo ya que claramente podemos notar diferencias en los consumos.

Esto sucede ya que para el cálculo de la Mediana no se toman en cuenta las magnitudes de todos y cada uno de los datos sino solamente importa su orden y la magnitud de los valores centrales.

La pregunta que buscamos responder con nuestro análisis junto con el contexto que la acompaña son la base para elegir la métrica (o métricas) más adecuada.

Ejemplo

Los ingresos mensuales en MXN de los habitantes de dos familias son los siguientes:

\(A : \{6300, 7800, 8000, 10000, 12600, 15800\}\)

\(B : \{4200, 5500, 6000, 7400, 35100\}\)

Al respecto se podría plantear la pregunta, ¿Qué familia posee mejores ingresos?

Demos una respuesta usando 3 métricas distintas:

• Suma: La familia \(A\) tiene unos ingresos totales de \(\$60500\) mientras que en la \(B\) son de \(\$58200\), así, la respuesta sería la familia \(A\).

• Media: La familia \(A\) tiene un ingreso medio de \(\frac{60500}{6} = \$10083.33\) mientras que en la \(B\) es de \(\frac{58200}{5} = \$11640\). Con base en esta métrica, la respuesta sería la familia \(B\).

• Mediana: En la familia \(A\) se tiene una mediana salarial de \(\frac{8000 + 10000}{2} = \$9000\), en la \(B\) es de \(\$6000\). Luego, la familia con mejores ingresos es la \(A\).

Todas las respuestas anteriores son correctas pero ¿Cuál deberíamos elegir?

Depende del contexto del problema…

Si solamente nos importa comparar los ingresos totales de una familia, la respuesta sería usar la suma. Sin embargo, al usar esta métrica no se toma en cuenta el número de integrantes de cada familia.

La media tiene en cuenta tanto los ingresos totales como el número de integrantes. Este último puede ser importante ya que no es lo mismo para una familia de 2 personas tener un ingreso total de \(\$30000\) que para una de 12 personas.

La mediana nos refleja que en general los integrantes de la familia \(A\) tienen mayores salarios, sin embargo la media no refleja esto debido a la presencia de un valor muy alto en los salarios de la familia \(B\). Incluir o no la perturbación que provocan los valores extremos nos permite la elección entre estas dos métricas.