Enunciado 1

Escolhe-se um número \(x\), ao acaso, no intervalo \((0,1)\). Em seguida, escolhe-se um segundo número , ao acaso, no intervalo \((0,x)\). Seja \((X,Y)\) o resultado do experimento (ponto escolhido). Determine a densidade e esperança condicional de \(X\) dado \(Y=y\).

Solução 1

Função de Densidade

Encontramos a função de densidade conjunta: \[ f(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_X(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & \text{se} \;\; 0< x <1 \;\; \wedge \;\; 0<y\leq x,\\\\ 0, & \text{se}\;\; x\notin (0,1)\;\; \vee \;\; y\notin (0,x]. \end{cases} \] A partir da conjunta, calculamos a marginal, conforme segue:

\[\begin{align} f(y)&=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\;dx=\int\limits_{y}^{1}\frac{1}{x}\;dx\\\\ &=ln(|x|)\bigg|_{x\to y}^{x\to 1}=-ln(y). \end{align}\]

\[ f_Y(y)=\begin{cases} -ln(y), & \text{se} \;\; 0<y\leq 1,\\\\ 0, & \text{se}\;\; y \notin (0,1]. \end{cases} \] Portanto,

\[ f_{X|Y}(x|y)=\begin{cases} -\dfrac{1}{x\;ln(y)}\;, & \text{se}\;\; 0<x< 1 \;\;\wedge \;\; 0<y\leq x,\\\\ 0, & \text{se}\;\; x\notin (0,1) \;\;\vee \;\; y\notin (0, x]. \end{cases} \]

Esperança Matemática

\[\begin{align} E[X\;|\;Y=y]&=\int\limits_{\mathbb{R}}xf_{X|Y}(x|y)\;dx=\int\limits_{y}^{1}x\big(-\frac{1}{x\;ln(y)}\big)\;dx\\ &=-\frac{1}{ln(y)}\int\limits_{y}^{1}1\;dx=-\frac{1}{ln(y)}x\;\bigg|_{x\to y}^{x\to 1}=\frac{y-1}{ln(y)}, \quad y\in (0,1).\\\\ \therefore \;\;E[X\;|\;Y]&=\frac{Y-1}{ln(Y)}. \end{align}\]

Simulação Monte Carlo

A programação para simulação foi realizada na linguagem R (https://www.r-project.org/), utilizando o IDE RStudio (link).

IDE é o ambiente de desenvolvimento integrado (Em inglês, Integrated Development Environment).

Fundamentação Teórica

Aplicaremos o método da transformação inversa.

Transformação Integral de Probabilidade : Se X é uma v.a com função de distribuição acumulada \(F_X(x)\), então \[U=F_X(X)\sim U(0,1).\]

O método da transformação inversa para geração de amostra aleatória aplica a Transformação Integral de Probabilidade.

Defina-se a transformação inversa

\[F_{X}^{-1}(u):=inf\{u: F_X(x)=u\},\;\; \forall\;u\in(0,1).\] Agora, se \(U\sim(0,1)\), então, para todo \(x\in \mathbb{R}\), segue que

\[\begin{align} P(F_{X}^{-1}(U)\leq x)&=P(inf\{s:F_X(s)=U\}\leq x)\\ &=P(U\leq F_X(x))\\ &=F_U(F_X(x))\\ &=F_X(x). \end{align}\]

Consequentemente, \(F_{X}^{-1}(U)\) e \(X\) tem a mesma distribuição.

Com isso, para gerar uma observação da variável aleatória \(X\), determine a inversa \(F_{X}^{-1}(\cdot)\); gere uma observação \(u\) da distribuição Uniforme sobre \((0,1)\) e calcule \(x=F_{X}^{-1}(u)\).

\[\begin{align} F_{X|Y}(x\;|\;y)&=\int\limits_{-\infty}^{x}f_{X|Y}(z|y)\;dz=\int\limits_{y}^{x}-\frac{1}{z\;ln(y)}\;dz\\ &=-\frac{1}{ln(y)}ln(z)\;\bigg|_{z\to y}^{z\to x}=1-\frac{ln(x)}{ln(y)}. \end{align}\]

A inversa de \(F_{X|Y}(\cdot\;|\;y)\) aplicada em \(t\) é

\[F_{X|Y}^{-1}(t\;|\;y)=y^{1-t}\] Portanto, a observação \(x\) da distribuicao condicional é o valor \(y^{1-u}\).

Programação da Esperança I

set.seed(12345)
# Escolhendo um valor para y (fixando y)

y<-0.5

# Gerando uma amostra aleatória (u_1,u_2...,u_m) de tamanho m=1x10^6 da Uniforme(0,1)

u<-runif(1e6,min=0,max=1) 

# Gerando uma amostra aleatória (x_1,x_2,...,x_m) de tamanho m=1x10^6 da F_{X|Y=y}(.|y).

x<-y^(1-u) 

## valores Obtidos

Media_Amostral<-mean(x) #----------- Valor simulado (Convergencia garantida pela LGN)

Media_Pop<-(y-1)/log(y) #-- Valor Teorico encontrado

setNames(c(Media_Amostral,Media_Pop),
         c("Esp.Condicional Simulada ","Esp.Condicional Teórica"))
## Esp.Condicional Simulada    Esp.Condicional Teórica 
##                 0.7213661                 0.7213475

Programação da Esperança II

set.seed(12345) # fixando a semente de numeros aleatorios

simula1<-function(y,m){ 
            
            if (y<=0 | y>=1) {stop("o valor de y deve maior que 0 (zero) e menor que 1 (um)")
              
                }else { 
                        u<-runif(n=m,min=0,max=1) 

                        x<-y^(1-u) 

                        Media_Amostral<-mean(x)
                        
                        Media_Pop<-(y-1)/log(y) 
                     }

return(setNames(c(Media_Amostral,Media_Pop),
                 c("Esp.Condicional Simulada ","Esp.Condicional Teórica")))
}
# Exemplo 1: funcao acima aplicada em (y=0.5 e m=1x10^6)
set.seed(12345)
simula1(0.5,1e6)
## Esp.Condicional Simulada    Esp.Condicional Teórica 
##                 0.7213661                 0.7213475
# Exemplo 2: funcao acima aplicada em (y=0.2, e m=1x10^6)
simula1(0.2,1e6)
## Esp.Condicional Simulada    Esp.Condicional Teórica 
##                 0.4970598                 0.4970679

Enunciado 2

Sejam \(X\) e \(Y\) variáveis aleatórias independentes. Sabendo que \(X\sim Poi(\lambda_1)\) e \(Y\sim Poi(\lambda_2)\), determine a função de probabilidade condicional e a esperança condicional de \(X\) dado \(X+Y\).

Solução 2

Função de Probabilidade

Por hipótese, \(X\) e \(Y\) são independentes tais que \(X\sim Poi(\lambda_1)\) e \(Y\sim Poi(\lambda_2)\).

\[\begin{align} P(X=x|X+Y=z)&=\frac{P(X=x ; X+Y=z)}{P(X+Y=z)}\\ &=\frac{P(X+Y=z|X=x)P(X=x)}{P(X+Y=z)}\\ &\underset{(ind.)}{\overset{(P.subs.)}{=}}\frac{P(Y=z-x)P(X=x)}{P(X+Y=z)}\\ &=\frac{ e^{-\lambda_2}\lambda_2^{z-x}}{(z-x)!} \frac{e^{-\lambda_1} \lambda_1^{x}}{x!} \bigg/ \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}(\lambda_1+\lambda_2)^{z} } {z!} \\ &=\binom{z}{x}\bigg(\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}\bigg)^z \bigg(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\bigg)^x\\ &=\binom{z}{x}\bigg(\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\bigg)^x \bigg(1-\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\bigg)^{z-x},\;\; x\in\{0,1,\ldots,z\}. \end{align}\]

Esperança Matemática

Como, pelo item anterior, \(X\;|\;X+Y=z\sim Bin\bigg(z,\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\bigg)\), então \[\begin{align} E(X\;|\;X+Y=z)&=\frac{z\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}.\\\\ \therefore \quad E(X\;|\;X+Y)&=\frac{(X+Y)\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}. \end{align}\]

Simulação Monte Carlo

Programação da Esperança I

set.seed(12345) # fixando a semente de numeros aleatorios

l1<-2 ; l2<-3 # Taxas lambda 1 e lambda 2

p<-l1/(l1+l2)      # probalidade p 

z<-rpois(n=1,lambda=l1+l2)  # gerando um valor da v.a Z~ Poisson(l1+l2)

Esp.Teorica<-z*p   # Esperanca de uma Binomial(z,p)

#---------------------------------------------------------------------------------#

x<-rbinom(n=1e6,size=z,prob=p) # Gerando 1x10^6 valores de uma dist. Binomial(z,p)

Esp.Simulada<-mean(x)  # Media Amostral


# Apresentação das esperancas Condicionais

setNames( c(Esp.Teorica,Esp.Simulada), 
          c("Esp.Cond. Teórica ","Esp.Cond. Simulada") )
## Esp.Cond. Teórica  Esp.Cond. Simulada 
##           2.400000           2.399889

Programação da Esperança II

simula2<-function(m,l1,l2){
             
      # m: tamanho da amostra observada (gerada)
      # l1: taxa do primeiro processo de Poisson (X~Poi(l1))
      # l2: taxa do segundo processo  de Poisson (Y~Poi(l2))
   
      p<-l1/(l1+l2)  # probabilidade
          
      z<-rpois(1,l1+l2)  # Gerando um valor da v.a Z~Poisson(l1+l2)
          
      Esp.Teorica<-z*p   # Esperanca Condicional Teórica (Resultado do Exercício)
          
      x<-rbinom(n=m,size=z,prob=p) # Gerando m valores de uma dist. Binomial(z,p)
          
      Esp.Simulada<-mean(x) # Media Amostral 
          
return(setNames( c(Esp.Teorica,Esp.Simulada) , 
                 c("Esp.Cond. Teórica"," Esp.Cond. Simulada") ))
}
set.seed(12345)

# Exemplo 1: funcao aplicada em (m=1e6,l1=2,l2=3)
simula2(1e6,2,3)
##   Esp.Cond. Teórica  Esp.Cond. Simulada 
##            2.400000            2.399889
set.seed(12345)

# Exemplo 2: funcao aplicada em (m=1x10^6,l1=4,l2=6)
simula2(1e6,4,6)
##   Esp.Cond. Teórica  Esp.Cond. Simulada 
##            4.400000            4.399952

Bibliografia