Enunciado

Escolhe-se um número \(x\), ao acaso, no intervalo \((0,1)\). Em seguida, escolhe-se um segundo número , ao acaso, no intervalo \((0,x)\). Seja \((X,Y)\) o resultado do experimento (ponto escolhido). Determine a densidade e esperança condicional de \(X\) dado \(Y=y\).

Solução Teórica

Função de Densidade

Encontramos a função de densidade conjunta: \[ f(x,y)=f_{Y|X}(x|y)f_X(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & \text{se} \;\; 0< x <1 \;\; \wedge \;\; 0<y\leq x,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases} \] A partir da conjunta, calculamos a marginal: $$ \[\begin{align} f(y)&=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\;dx=\int\limits_{y}^{1}\frac{1}{x}\;dx\\\\ &=ln(|x|)\bigg|_{x\to y}^{x\to 1}=-ln(y). \end{align}\] $$

\[ f_Y(y)=\begin{cases} -ln(y), & \text{se} \;\; 0<y\leq 1,\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases} \] Portanto,

\[ f_{Y|X}(x|y)=\begin{cases} -\dfrac{1}{x\;ln(y)}\;, & \text{se}\;\; 0<x\leq 1 \;\;\wedge \;\; 0<y\leq x,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases} \]

Esperança Matemática

[ \[\begin{align} E[X\;|\;Y=y]&=\int\limits_{\mathbb{R}}xf_{X|Y}(x|y)\;dx=\int\limits_{y}^{1}x\big(-\frac{1}{xln(y)}\big)\;dx\\ &=-\frac{1}{ln(y)}\int\limits_{y}^{1}1\;dx=-\frac{1}{ln(y)}x\;\bigg|_{x\to y}^{x\to 1}=\frac{y-1}{ln(y)}.\\\\ \therefore \;\;E[X\;|\;Y]&=\frac{Y-1}{ln(Y)}. \end{align}\] ]

Simulação da Esperança

A programação para simulação foi realizada na linguagem R (https://www.r-project.org/), utilizando o IDE RStudio (link).

IDE é o ambiente de desenvolvimento integrado (Em inglês, Integrated Development Environment).

Fundamentação Teórica

Aplicaremos o método da transformação inversa.

Transformação Integral de Probabilidade : Se X é uma v.a com função de distribuição acumulada \(F_X(x)\), então \[U=F_X(X)\sim U(0,1).\]

O método da transformação inversa para geração de amostra aleatória aplica a Transformação Integral de Probabilidade.

Defina-se a transformação inversa \[F_{X}^{-1}(u):=inf\{u: F_X(x)=u\},\;\; \forall\;u\in(0,1).\] Agora, se \(U\sim(0,1)\), então, para todo \(x\in \mathbb{R}\), segue que

[ \[\begin{align} P(F_{X}^{-1}(U)\leq x)&=P(inf\{s:F_X(s)=U\}\leq x)\\ &=P(U\leq F_X(x))\\ &=F_U(F_X(x))\\ &=F_X(x). \end{align}\] ]

Consequentemente, \(F_{X}^{-1}(U)\) e \(X\) tem a mesma distribuição.

Com isso, para gerar uma observação da variável aleatória \(X\), determine a inversa \(F_{X}^{-1}(\cdot)\); gere uma observação \(u\) da distribuição Uniforme sobre \((0,1)\) e calcule \(x=F_{X}^{-1}(u)\).

\[ \begin{align} F_{X|Y}(x\;|\;y)&=\int\limits_{-\infty}^{x}f_{X|Y}(z|y)\;dz=\int\limits_{y}^{x}-\frac{1}{z\;ln(y)}\;dz\\ &=-\frac{1}{ln(y)}ln(z)\;\bigg|_{z\to y}^{z\to x}=1-\frac{ln(x)}{ln(y)}. \end{align} \]

A inversa de \(F_{X|Y}(\cdot\;|\;y)\) aplicada em \(t\) é

\[ F_{X|Y}^{-1}(t\;|\;y)=y^{1-t} \] Portanto, a observação \(x\) da distribuicao condicional é o valor \(y^{1-u}\).

Programação 1

set.seed(12345)
# Escolhendo um valor para y (fixando y)

y<-0.5

# Gerando uma amostra aleatória (u_1,u_2...,u_m) de tamanho m=1x10^6 da Uniforme(0,1)

u<-runif(1e6,min=0,max=1) 

# Gerando uma amostra aleatória (x_1,x_2,...,x_m) de tamanho m=1x10^6 da F_{X|Y=y}(.|y).

x<-y^(1-u) 

## valores Obtidos

Media_Amostral<-mean(x) #----------- Valor simulado (Convergencia garantida pela LGN)

Media_Pop<-(y-1)/log(y) #-- Valor Teorico encontrado

setNames(c(Media_Amostral,Media_Pop),
         c("Esp. Condicional Simulada "," Esp. Condicional Teórica"))
## Esp. Condicional Simulada    Esp. Condicional Teórica 
##                  0.7213661                  0.7213475

Programação 2

set.seed(12345) # fixando semente

simula<-function(y,m){
            
            if (y<=0 || y>=1) {stop("o valor de y deve maior que 0 (zero) e menor que 1 (um)")
              
                }else { 
                        u<-runif(m,min=0,max=1) 

                        x<-y^(1-u) 

                        Media_Amostral<-mean(x) ; Media_Pop<-(y-1)/log(y) 
                     }

 return(setNames(c(Media_Amostral,Media_Pop),
                 c("Esp. Condicional Simulada "," Esp. Condicional Teórica")))
}
# Exemplo 1 da funcao acima aplicada em (y=0.5 e m=1x10^6)
set.seed(12345)
simula(0.5,1e6)
## Esp. Condicional Simulada    Esp. Condicional Teórica 
##                  0.7213661                  0.7213475
# Exemplo 2 da funcao acima aplicada em (y=0.2, e m=1000)
simula(0.2,1000)
## Esp. Condicional Simulada    Esp. Condicional Teórica 
##                  0.5137751                  0.4970679