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Diario CODEE
Volumen 12 Vinculando ecuaciones diferenciales con lo social
Justicia y preocupaciones ambientales
Artículo 7
13-2-2019
Las matemáticas del chisme
Jessica Deters
Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia
Izabel P. Aguiar
Universidad Stanford
Jacquie Feuerborn
Siga este y otros trabajos adicionales en: https://scholarship.claremont.edu/codee
Parte de los campos comunes de matemáticas , ciencias y educación matemática, y el
Psicología social e interacción común
Este artículo se le ofrece de forma gratuita y de acceso abierto a través de Journals at Claremont en Scholarship @ Claremont. Ha sido aceptado para su inclusión en
CODEE Journal por un editor autorizado de Scholarship @ Claremont. Para obtener más información, comuníquese con Scholarship@cuc.claremont.edu .
Cita recomendada
Deters, Jessica; Aguiar, Izabel P .; y Feuerborn, Jacquie (2019) "Las matemáticas del chisme", CODEE Journal : Vol. 12, artículo 7.
Disponible en: https://scholarship.claremont.edu/codee/vol12/iss1/7
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Las matemáticas del chisme
Nota al pie de página de portada (opcional)
Todos los autores quisieran agradecer al Departamento de Matemáticas Aplicadas de la Escuela de Minas de Colorado y
Estadísticas para proporcionar un entorno alentador para esta investigación.
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Las matemáticas del chisme
Jessica Deters
Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia
Izabel Aguiar
Universidad Stanford
Jacquie Feuerborn
Palabras clave: noticias falsas, chismes, EDO, matemáticas humanísticas, aprendizaje basado en problemas,
aprendizaje activo
Manuscrito recibido el 27 de septiembre de 2018; publicado el 13 de febrero de 2019.
Resumen: ¿Cómo se difunde una mentira en una comunidad? El propósito de
este documento tiene dos partes: proporcionar una herramienta educativa para la enseñanza
Ecuaciones diferenciales (EDO) y análisis de sensibilidad a través de un
tema relevante (noticias falsas) y examinar las implicaciones de la justicia social
de desinformación. Bajo el supuesto de que las personas son susceptibles a,
puede infectarse y recuperarse de una mentira, modelamos la propagación de
información con el modelo clásico Susceptible-Infectado-Recuperado (SIR). Nosotros
Desarrollar un sistema de EDO con valores de parámetros dependientes de mentiras para examinar
la omnipresencia de una mentira en una comunidad.
El modelo presenta la oportunidad para la educación de las EDO en una clase.
ambiente de la habitación a través de una aplicación creativa. El modelo aporta un toque social y
tema culturalmente relevante en el aula, permitiendo a los estudiantes que no pueden
relacionar con ejemplos puramente técnicos para conectar con el material. Incluido-
ing diversas perspectivas en la discusión y el desarrollo de las matemáticas
y la ingeniería permitirá enfoques creativos y diferentes a los mundos
problemas.
1. Introducción
La instrucción actual de las EDO carece de ejemplos socialmente relevantes orientados a ayudar
los estudiantes comprenden las implicaciones sociales y las aplicaciones de su trabajo. Incluyendo
una mayor diversidad de ejemplos en cuestiones de actualidad en los campos técnicos, podremos
abordar los problemas sociales y culturales de manera más creativa e inclusiva.
El término "noticias falsas" se ha vuelto cada vez más relevante culturalmente a medida que la tecnología
y las redes sociales aumentan aún más la capacidad de las personas y los grupos de medios de
afirmaciones infundadas. Además, el fenómeno de las fake news ha invadido la sociedad como
desafío fundamentalmente epistémico. La capacidad de juzgar lo que es verdad y no alcanza
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más allá de la evidencia y en argumentos filosóficos. Sin embargo, la capacidad de distinguir
la verdad es fundamental para tomar decisiones informadas que inevitablemente impactan a la sociedad.
La difusión de información errónea en la sociedad se ha convertido en uno de los problemas más urgentes.
temas de nuestra generación. Para hacer frente a tal desafío epistémico, debemos prepararnos
nuestros futuros líderes, futuros desarrolladores, futuros matemáticos para pensar con esta mentalidad.
El propósito de este artículo es doble: proporcionar una herramienta educativa para la enseñanza
EDO y análisis de sensibilidad a través de un tema culturalmente relevante (noticias falsas), y
examinar las implicaciones de justicia social de la desinformación. Las intenciones detrás de estos
Los propósitos son involucrar a los estudiantes con un ejemplo culturalmente relevante y alentar
que los estudiantes piensen creativamente sobre cómo aplicar las herramientas matemáticas a los problemas sociales.
La organización del trabajo es la siguiente. En la Sección 2 detallamos los aspectos educativos
base detrás del aprendizaje basado en problemas. En la Sección 3 discutimos los antecedentes
del proyecto propuesto, desarrollar el modelo de chismes utilizado para comprender la propagación de un
rumor, y discutir el uso de análisis de sensibilidad antropomorfizado para examinar parámetros
dependencia. Sugerencias de implementación en el aula para la instrucción del Gossip
El modelo se discute en la Sección 4. Concluimos en la Sección 5 con discusión y sugerencias.
para trabajos futuros.
2 Base educativa: aprendizaje y estudios basados ​​en problemas
interés dentado
Se ha demostrado que los enfoques de aprendizaje activo aumentan la motivación y la
actuación. La motivación proviene, en parte, del interés [1]. En consecuencia, si los estudiantes
interesados ​​en el problema y la aplicación, estarán más motivados para aprender el concepto
a mano. Postulamos que muchos estudiantes están interesados ​​en la difusión de noticias falsas y más
aplicaciones centradas en el ser humano que las que se abordan actualmente en las aulas de matemáticas. Como un
Como resultado, al conectar las ODE con la difusión de noticias falsas, los estudiantes estarán más motivados
para aprender ODE, y más preparado para traducir creativamente los problemas sociales a matemáticas
problemas.
Ofrecemos dos sugerencias de implementación en el aula: una implementación simple
diseñado para un período de clase y una implementación de trabajo independiente diseñado para
múltiples períodos de clases.
Las dos implementaciones ofrecen varios niveles de aprendizaje activo basado en problemas.
pedagogía, lo que significa que los estudiantes aprenden trabajando para comprender o resolver un problema [3].
Los maestros facilitan el aprendizaje de los estudiantes al guiar a sus estudiantes a través del problema y
ofreciendo ayuda cuando sea necesario. Luego, los estudiantes trabajan en grupos pequeños para resolver el problema en
mano [3]. Se cree que esta experiencia ayuda a los estudiantes a desarrollar habilidades para la resolución de problemas.
y adquirir nueva información mediante la indagación autodirigida del problema.
Se proporciona una explicación más detallada de cómo implementar este proyecto en una clase.
en la Sección 4.
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Figura 1: Modelado de la difusión de chismes con las herramientas de modelado desarrolladas para comprender

enfermedades infecciosas.
3 El modelo del chisme
En esta sección discutimos los antecedentes, los supuestos y el desarrollo de Gossip
Modelo, un sistema de EDO que se utiliza para comprender la propagación de una mentira. El modelo Gossip propuesto
Aquí está lo que usamos para incitar a los estudiantes a cuestionar las implicaciones sociales de la
la difusión de una mentira, así como el papel de las matemáticas para abordar este problema.
3.1 Antecedentes y trabajo relacionado
El modelo SIR para modelar la biología poblacional de enfermedades infecciosas fue originalmente
desarrollado por Kermack y McKendrick en 1927 [2]. El modelo SIR describe la dinámica
de tres poblaciones: las susceptibles a (S), infectadas con (I) y recuperadas de (R)
la enfermedad infecciosa, y es común en la instrucción de las EDO. El sistema de EDO
describir la siguiente dinámica poblacional: S se infecta a una tasa de transmisión β
al interactuar con la población I. Me recupero (y me uno a la población R) a una tasa γ.
Cuando se habla del modelo SIR tradicional, el lenguaje utilizado (algo que se difunde,
personas infectadas y en recuperación) sugiere una aplicación más impulsada socialmente.
Este vocabulario compartido, la idea de la transmisión de algo a través de la interacción (ver
Figura 1), conduce a las siguientes secciones en las que desarrollamos y describimos el modelo de chismes.
3.2 Supuestos del modelo
Comenzamos a desarrollar nuestro modelo estableciendo nuestras suposiciones. Ante todo, asumimos que
el chisme que se difunde es falso. Similar al modelo SIR, asumimos que hay
tres poblaciones posibles: las susceptibles al chisme (S), infectadas con el chisme
(I), y se recuperó del chisme (R). La población S se compone de personas que no han
sin embargo escuché los chismes. La población I consiste en personas que han escuchado los chismes y
cree que es verdad. La población R consiste en personas que han escuchado los chismes y saben
es falso. Además, los chismes solo se propagan a través de la interacción directa con los infectados.
(no está en el aire), y hay una cantidad fija de personas en el sistema, N = S + I + R.
3.3 El modelo
Definimos cuatro parámetros dependientes de mentiras, ρ, β, γ y α. Asumimos que, al escuchar
el chisme por primera vez, (1 - ρ) proporción de la población sabrá inmediatamente
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Figura 2: El modelo SIR descrito por (3.1). Los parámetros β yγ describen las tasas a las que
la mentira se cree y se rechaza como falsa, respectivamente, ρ describe el porcentaje de
población inmune a la mentira, y α describe la tasa a la que la población recuperada
volver a infectarse con la mentira.
es falso: es decir, se moverán directamente de la población S a la R. Esta proporción de
personas describe a aquellos en la población que pueden tener conocimientos existentes que contrarrestan
los chismes, o que quizás sean personas naturalmente escépticas.
La tasa de transmisión, β, describe cuán “contagioso” es el chisme. Es el per-
tasa cápita por unidad de tiempo que la interacción entre poblaciones conducirá a la infección.
Este parámetro depende del entorno en el que se difunden los chismes (p. Ej.,
tal vez los chismes se propaguen más rápido en una escuela secundaria que en una oficina), la naturaleza de los chismes
(p. ej., tal vez la gente hable más de relaciones que de sabores de helado), y la
origen del chisme (por ejemplo, la confiabilidad de la fuente original).
La tasa de recuperación, γ describe lo fácil que es contrarrestar el chisme con otros
evidencia / rumores. Nuevamente, este parámetro depende del medio ambiente y la naturaleza.
del chisme.
El cuarto parámetro, α, describe cuán convincentes los creyentes del chisme (aquellos
en la población I) son. Esta tasa actúa a través de la interacción entre I y R
poblaciones, y da como resultado que la población R se vuelva a infectar con el chisme.
El sistema de ODE para el modelo SIR descrito anteriormente y mostrado en la Figura 2, es
Escrito como,
∂S
∂t
= −β · S · I
Yo
∂t
= ρ · β · S · I −γ · I + α · R
(3,1)
∂R
∂t
= γ · I - α · R + (1 - ρ) · β · S · I.
3.4 Un ejemplo
Para demostrar un ejemplo de cómo funciona el modelo, considere el chisme, "Jo hizo
con Jaimie anoche ", y suponga que esta declaración es un rumor falso iniciado por uno
amigo celoso. Las siguientes escenas describen el movimiento entre poblaciones sobre
escuchando el rumor. La escena también se muestra en el esquema que se muestra en la Figura 3..
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Figura 3: Esquema que muestra las tasas a las que los chismes se propagan y mueren. Más a la izquierda
muestra la tasa ρβ a la que las personas que no han escuchado el chisme lo escuchan y lo creen. Medio
muestra la tasa γ a la que aquellos que creen en el chisme dejan de creerlo. Programas de la derecha
la tasa α a la que los creyentes particularmente convincentes pueden volver a convencer a los no creyentes de la
chisme.
Escena: Susceptible interactuar con los infectados y recuperarse según (1 − ρ) β
E: ¿Escuchaste que Jo se besó con Jaimie anoche?
S (convirtiéndose en R): Um no, estuve con los dos toda la noche.
Yo: Cree lo que quieras.
Escena: Susceptible interactuar con infectado y convertirse en infectado en ρβ
E: ¿Escuchaste que Jo se besó con Jaimie anoche?
S (convirtiéndose en yo): Dios mío, sabía que estaban actuando de manera extraña.
Yo: lo sé bien.
Escena: Infectados recuperándose a velocidad γ
Yo (convirtiéndome en R): (pensando en voz alta) Realmente no tiene sentido que Jo se
Jaime ... Jo ha estado en casa enferma de gripe toda la semana.
(Escena: Recuperado interactuando con Infectados y volviéndome reinfectado a una tasa α)
E: ¿Escuchaste que Jo se besó con Jaimie anoche?
R: Sabes que es un rumor tonto, ¿verdad?
E: No, no lo es, los vi con mis propios ojos.
R (convirtiéndose en yo): ¿De verdad? Supongo que tiene sentido ...
3.5 Análisis de sensibilidad antropomorfizado
Como se discutió en la Sección 3.3, los parámetros ρ, β, γ y α dependen de muchas características del
escenario de chismes. Para resaltar estas diferencias y cómo impactan la dinámica de la
sistema, realizamos Análisis de Sensibilidad Antropomorfizado. Este enfoque permite a los estudiantes
para observar y practicar los propósitos de realizar análisis de sensibilidad, comprender el
significado contextual de los parámetros, y traducir creativa y humanísticamente
características de las matemáticas.
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Figura 4: La dinámica de un pequeño rumor difundido por Regina George. Vemos que al final
del segundo día después de que comenzaran los chismes, todos en la escuela han escuchado el rumor.
Sin embargo, al final de la semana, más del 80% de la escuela sabe que el rumor es
falso.
3.5.1 Regina George
Regina George es uno de los personajes principales de la película Mean Girls. Regina George es
bien conocida como miembro de su escuela secundaria, pero extremadamente popular. Nosotros
asumir que Regina George y sus chismes tienen un estatus de alta prioridad en la escuela secundaria,
y por tanto, la tasa de transmisión, β = 0,03, es extremadamente alta: cada persona infectada
difunde el chisme a otras 30 personas, por día. Asimismo, asumimos que la naturaleza
El chisme de Regina George es mezquino y, por lo tanto, relativamente fácil de refutar o contrarrestar.
Esta característica del rumor se presta a una alta tasa de recuperación y rechazo de las personas.
el rumor es falso (γ = 0,02, 20 personas por día). También asumimos que Regina George
es bien conocido por difundir chismes y, por lo tanto, es relativamente poco confiable. Esta falta de fiabilidad es
reflejado en que el 80% de las personas ((1 - ρ) = 0,8) que escuchan el chisme descuentan automáticamente
es falso: no se dejarán engañar por otro rumor de Regina George.
Ejecutamos esta simulación durante 7 días y analizamos la situación que ha surgido de Regina
El rumor de George (ver Figura 4 para análisis e interpretación).
3.5.2 Dr. Neverheardofher
La Dra. Neverheardofher es la máxima experta en su campo. Su campo, sin embargo, es extremadamente específico,
esotérico y pequeño (quizás estudia los ligamentos de la hormiga argentina). Considerar
la posibilidad de que el Dr. Neverheardofher quiera poner a prueba su comunidad científica y,
hacerlo, introduce una mentira en su publicación más reciente (quizás que la mujer argentina
hormiga es de doble articulación). La tasa de transmisión a 1 persona por diez días (β = 0,0001) de este
La mentira esotrica es considerablemente menos impresionante que la de Regina George (la gente no tiende a
charla sobre los ligamentos de las hormigas argentinas).
Además, la velocidad a la que las personas se recuperan de esta mentira (γ = 0,00001, una persona
cada cien días) es increíblemente pequeña: la mentira esotérica e inofensiva no
inspirar necesariamente contraargumentos independientes, y el Dr. Neverheardofher es el
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Figura 5: La difusión de una mentira esotérica iniciada por el Dr. Neverheardofher. Vemos eso
aunque le toma mucho más tiempo a su comunidad saturarse con la mentira
(alrededor de 100 días), al final del año, la mayoría de la comunidad todavía cree
mentira. Sin embargo, vemos que la población de infectados está disminuyendo muy lentamente.
experta en su campo: no hay ninguna otra evidencia que contrarreste su afirmación. Finalmente, porque el Dr.
Neverheardofher es una reconocida experta, tiene su doctorado y tiene fama de producir
ciencia de primer nivel, asumimos que solo el 1% de las personas que escuchan la mentira ((1 − ρ) = 0.01) rechazan
es falso. Este uno por ciento podría representar a personas que son naturalmente cínicas, personas
que tienen algún tipo de experiencia directa con la naturaleza de la mentira, o tienen otras razones
para no creerlo.
Ejecutamos el escenario durante un año para observar la dinámica (consulte la Figura 5 para el análisis).
3.5.3 La estafadora
La Conwoman es carismática. Su mentira, su visión, su movimiento, es uno de los que ella
es tan convincente que todos sus seguidores pueden volver a convencer a los no creyentes de la mentira.
Este carisma se refleja a través del parámetro, α = 0,009. Este parámetro representa
la capacidad de la población recuperada de volver a infectarse al interactuar con el
Población infectada (ver la imagen de la derecha en la Figura 3).
Suponemos que la tasa de infección de la estafadora y sus seguidores (β = 0,003, tres
personas por día) es más alta que la del Dr. Neverheardofher, pero más baja que la de Regina
George: es popular e influyente, pero no en la escala de Regina George. Nosotros también
Supongamos que es más fácil recuperarse de la mentira de la estafadora (γ = 0,001, una persona por día)
que la del Dr. Neverheardofher, aunque no tan fácil como la de Regina George. Además, nosotros
suponga que la estafadora es una figura bastante prominente sin reputación previa de mentir. Así
asumimos que solo el 30% de las personas ((1 - ρ) = 0.3) rechazan automáticamente el rumor como falso.
Consulte la Figura 6 para ver la dinámica y el análisis.
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Figura 6: La difusión de una mentira iniciada por la estafadora y perpetuada por su carismática
seguidores. Vemos que a finales de mes, casi el 80% de la población cree que ella
mentira. Además, contrariamente a la disminución de la infección que vimos en los otros dos casos,
ver que el número de personas en la población infectada está aumentando.
3.6 Cuaderno Jupyter para el aula
Un cuaderno jupyter con el código de los gráficos anteriores, las preguntas y el problema.
la discusión se puede encontrar en GitHub en
https://github.com/izabelaguiar/The-Mathematics-of-Gossip .
4 Implementación en el aula
Hay varios métodos mediante los cuales la instrucción de este modelo se puede implementar en un
aula, según el contenido del curso preexistente y el tiempo disponible. Para clases que
dedicar solo unos días a los modelos SIR, puede ser mejor comenzar con una explicación general
de modelos SIR y luego pasar otro día mirando específicamente esta aplicación con el
Implementación simple en el aula. Alternativamente, esto se puede utilizar como una introducción a
Modelos SIR, si el curso no planea profundizar en el tema.
Para cursos que planean dedicar más tiempo a buscar diferentes formas
del modelo SIR, puede resultar beneficioso utilizar este ejemplo como método de introducción
aprendizaje independiente de los estudiantes, en forma de asignación o incluso presentación. Xa
Esta profundidad de aprendizaje, la Implementación del Trabajo Independiente permite a los estudiantes obtener un
comprensión más profunda del modelo, crear nuevos personajes o escenarios de análisis de sensibilidad,
y ampliar el modelo más allá de los supuestos actuales.
4.1 Implementación simple en el aula
Para una implementación simple en el aula que se puede hacer con solo un período de clase, el
El profesor puede explicar y resolver el problema delante de la clase. los
El profesor puede comenzar explicando los antecedentes, recorriendo las fórmulas y
demostrando un ejemplo o dos. Es mejor demostrar la sensibilidad del parámetro
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con el cuaderno Jupyter proporcionado, al que los estudiantes también deberían tener acceso.
Esta explicación y demostración les dará a los estudiantes una comprensión del sistema de
ODE, del modelo y cómo los escenarios se traducen en valores de parámetros.
Luego, en grupos pequeños, los estudiantes pueden elegir sus propios escenarios para representar a través de
valores de los parámetros en el modelo. Las opciones deben reflejar el contexto de su elección
guión. Esto ayudará a los estudiantes a comprender el significado de los parámetros y
Analizar la sensibilidad del modelo al cambiar estos parámetros.
4.2 Implementación del trabajo independiente
Alternativamente, si el objetivo es que los estudiantes obtengan una comprensión más profunda del modelo
y sus complejidades, el modelo inicial se puede enseñar en una serie de períodos de clase. Primero,
el instructor puede revisar los antecedentes, las fórmulas y los ejemplos de la misma manera que
Implementación simple en el aula. Luego, los estudiantes se pueden colocar en grupos o trabajar
independientemente para averiguar cómo agregar el término alfa: el movimiento de los individuos
de la población recuperada a la población infectada, a las ecuaciones.
Este método funcionará mejor si los estudiantes ya han sido introducidos a varios
formas del modelo SIR en clases anteriores. Esto les permitirá conectar las ideas
de esas clases con este modelo de chismes y ayúdelos a comprender la complejidad
de modelar interacciones humanas. Para niveles más profundos de trabajo independiente, los estudiantes
puede introducir otros términos en el modelo. Los términos adicionales podrían incluir representar:
el crecimiento o la disminución de la población, la existencia de rumores de apoyo y cualquier otro factor
que los estudiantes idean. En general, este método de enseñanza permitirá a los estudiantes obtener un conocimiento más profundo
comprensión del modelo a medida que trabajan para ajustarlo y ampliarlo.
5 Conclusiones y trabajo futuro
El modelo desarrollado en este documento tiene potencial para ser alterado para incluir más complicados
escenarios. Hay muchos temas posibles para que los estudiantes amplíen este modelo. Primero,
Sería interesante considerar la capacidad de las mentiras para difundirse sin interacción directa.
con los infectados, lo que explica el impacto de las redes sociales. En segundo lugar, la incorporación de
una mentira / rumor independiente que contrarreste representaría un escenario más complicado. Piel-
Además, este tema podría estudiarse a través de un marco de ciencia de redes para comprender
cómo los datos reales pueden ayudar a analizar la propagación de una mentira.
En este artículo hemos desarrollado una herramienta educativa para ayudar en la instrucción de las EDO
a través de una aplicación socialmente relevante: la difusión de mentiras. Hemos proporcionado ejemplos para
la aplicación del modelo, sugerencias para la instrucción del modelo y un complemento
Cuaderno Jupyter para ayudar en la instrucción. Esta herramienta educativa permite a los estudiantes estudiar
el uso de EDO en el modelado, para comprender la importancia del análisis de sensibilidad y
dependencia de parámetros, y desarrollar las habilidades para traducir los problemas sociales a las matemáticas.
El modelo se centra en la dinámica social y los entornos humanos con la esperanza de
hacer las matemáticas más accesibles y emocionantes para un grupo diverso de estudiantes, preparados
y emocionado de usar las matemáticas para abordar los desafíos más urgentes del mundo.
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Referencias
[1] Brett D. Jones. Motivar a los estudiantes a participar en el aprendizaje: el modelo MUSIC de aca-
motivación demica. Revista Internacional de Enseñanza y Aprendizaje en Educación Superior,
21: 272–285, 2009.
[2] WO Kermack y AG McKendrick. Una contribución a la teoría matemática de
epidemias. 115 (772): 700–721, 1927. doi: 10.1098 / rspa.1927.0118.
[3] Karl Smith, Sheri Sheppard, David Johnson y Roger Johnson. Pedagogías de
compromiso: prácticas basadas en el aula. Revista de Educación en Ingeniería, 94, 2005.
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