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接下來我們來討論一個很重要的特例– \(Borel\) \(\sigma-algebra\)。

當 \(\Omega\) 選作 \(\mathbb{R}\) 的時候，習慣上會搭配 \(Borel\) \(\sigma-algebra\)，作為一個待測空間 \((\mathbb{R},\mathcal{B})\)

\(Borel\) \(\sigma-algebra\) 是由 " 收集 \(\mathbb{R}\) 上開區間的collection of set " \(\mathcal{O}:=\{open \ interval\ in\ \mathbb{R}\}\) 生成出來的。
簡寫為 \(\mathcal{B(\mathbb{R})} \ or \ \mathcal{B}\) 。
所以\(\mathcal{B}=\sigma(\mathcal{O})\) 。

\(Borel \ set\) 就是所謂 \(Borel\) \(\sigma-algebra\) 裡的元素。 \(B \in \mathcal{B}\)其中的 \(B\)就是 \(Borel \ set\)。
* 註: \(\mathcal{B}\) 是collection of set，裡面的元素 \(B\) 是一個集合

等價地，\(Borel\) \(\sigma-algebra\) 也可以用 \(\mathcal{I}:=\{(-\infty,x]:x\in \mathbb{R}\}\)生成 (這是可以證明的)，\(\mathcal{B}=\sigma(\mathcal{I})\)。從這個角度來看，利用\(\sigma-algebra\)的 “可屬集合運算封閉” 的性質，我們可以實際的看看到底有甚麼東西落在 \(\mathcal{B}\) 裡

• \((x,\infty)=(-\infty,x]^c \in \sigma(\mathcal{I})\) #\((x,\infty)\)可以表為\((-\infty,x]\)的補集，所以在\(\sigma(\mathcal{I})\)裡面
• \((-\infty,x)=\cup^\infty_{n=1}(-\infty,x-\frac{1}{n}] \in \sigma(\mathcal{I})\)
  
• \([x,\infty)=(-\infty,x)^c\in \sigma(\mathcal{I})\)

則所有的 “半線” 都在 \(\mathcal{B}\) 裡

• \((a,b]=(-\infty,b]\backslash(-\infty,a]\in \sigma(\mathcal{I})\)
• \(\{a\}=(-\infty,a]\backslash(-\infty,a)\in \sigma(\mathcal{I})\)
• \((a,b)=(a,b]\backslash\{b\}\in \sigma(\mathcal{I})\)
• \([a,b]=\{a\}\cup(a,b)\in \sigma(\mathcal{I})\)

則所有的 “區間” 跟“單點” 都在 \(\mathcal{B}\) 裡

• 單點的可數聯集 \(\in \sigma(\mathcal{I})\)
• 任意的開集合(open set)與閉集合(closed set) \(\in \sigma(\mathcal{I})\)

簡單證明一下最後一點:
假設 \(A\) 是一個在 \(\mathbb{R}\) 的開集合，則用開集合的定義，我們知道對於 \(A\) 裡的每一個點 \(x\)，\(x \in A\)，都能找到一個開區間蓋住 \(x\)，整個開區間都在 \(A\) 裡面， \(\exists (a_x,b_x)\subset A \quad s.t. \ x\in (a_x,b_x)\)。
再利用 \(\mathbb{Q}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上稠密的性質，對於剛剛的\((a_x,b_x)\)，可以再找到一個更小的有理數區間，也蓋住\(x\)，\(\exists (a'_x,b'_x)\subset (a_x,b_x) ,\ where \ a'_x,\ b'_x\in \mathbb{Q} \quad s.t. \ x\in (a'_x,b'_x)\)
然後 \(A=\cup_{x \in A}(a'_x,b'_x)\)，這是一個 “可數” 的聯集，所以 \(A \in \sigma(\mathcal{I})\)
假設 \(B\) 是閉集合，則 \(B^c\) 是開集合，那 \(B\) 可以表達為 \(\mathbb{R} \backslash B^c \in \sigma(\mathcal{I})\)