Introdução

Seja \(X\) uma variável normal assimétrica com “concentração” em \(\lambda\), escala \(\delta\) e “forma” \(\alpha\). Aqui iremos denotar \(X \sim SN(x;\lambda,\delta^2,\alpha)\) no caso da função densidade probabilidade ser dada por,

\[\begin{eqnarray*} f(x;\lambda,\delta^2,\alpha) = \frac{2}{\delta} \phi\left(\frac{x - \lambda}{\delta}\right) \Phi\left(\alpha\frac{x - \lambda}{\delta}\right) \end{eqnarray*}\]

onde \(x\in \mathbb{R}\) \((\alpha, \lambda \in \mathbb{R}, \delta \in \mathbb{R}^+)\), \(\phi\) representa a distribuição densidade probabilidade de uma normal padrão e \(\Phi\) a função acumulada de uma normal padrão.

Quando os parâmetros \(\lambda\) e \(\delta\) são 0 e 1, respectivamente, temos então uma distribuição normal padrão assimétrica denotada por \(SN(\alpha)\). O \(\alpha\) está relacionado com a assimetria da distribuição e para o caso de uma normal padrão, temos \(\alpha = 0\).

Normal assimétrica padrão

Considerando que \(X\) tem distribuição normal padrão assimétrica com função desidade probabilidade dada por

\[\begin{eqnarray*} f(x\text{;}0,1^2,\alpha) = \frac{2}{1} \phi\left(\frac{x - 0}{1}\right) \Phi\left(\alpha\frac{x - 0}{1}\right) \end{eqnarray*}\]

que pode ser resumida a

\[\begin{eqnarray*} f(x\text{;}\alpha) = 2\phi(x)\Phi(\alpha x). \end{eqnarray*}\]

É importante ressaltar também que se Y é uma variável aleatória com distribuição normal assimétrica, ou seja, \(Y \sim SN(\lambda, \delta^2, \alpha)\), então \(Z = \frac{Y - \lambda}{\delta} \sim SN(\alpha)\).

Algumas propriedades

Aqui será ilustrado o comportamento da distribuição normal padrão assimetrica para diferentes valores de \(\alpha \geq 0\). Para isso utilizaremos a biblioteca sn, que vem do termo em inglês skew normal, do software de programação estatístico R.

x <- seq(-4,4, 0.1)
y <- dsn(x, xi = 0, omega = 1, alpha = 0)
y1 <- dsn(x, xi = 0, omega = 1, alpha = 1)
y2 <- dsn(x, xi = 0, omega = 1, alpha = 3)
y3 <- dsn(x, xi = 0, omega = 1, alpha = 5)
y4 <- dsn(x, xi = 0, omega = 1, alpha = 100000)

plot(x, y4, type = "l", col = 7, lty = 6, lwd = 2, ylab = TeX("$f(x;\\alpha)$"))
lines(x, y3, col = 4, lty = 4, lwd = 2)
lines(x, y2, col = 3, lty = 3, lwd = 2)
lines(x, y1, col = 2, lty = 2, lwd = 2)
lines(x, y, col = 1, tly = 1, lwd = 2)
legend("topright", c(TeX("$\\alpha$ = 0"),TeX("$\\alpha$ = 1"), TeX("$\\alpha$ = 3"),TeX("$\\alpha$ = 5"),TeX("$\\alpha$ = $\\infty$")), col = c(1,2,3,4,7), lty = c(1,2,3,4,6), lwd = rep(2, 5))

Agora, será mostrado para \(\alpha \leq 0\):

x <- seq(-4,4, 0.1)
y <- dsn(x, xi = 0, omega = 1, alpha = 0)
y1 <- dsn(x, xi = 0, omega = 1, alpha = -1)
y2 <- dsn(x, xi = 0, omega = 1, alpha = -3)
y3 <- dsn(x, xi = 0, omega = 1, alpha = -5)
y4 <- dsn(x, xi = 0, omega = 1, alpha = -1000000)

plot(x, y4, type = "l", col = 7, lty = 6, lwd = 2, ylab = TeX("$f(x;\\alpha)$"))
lines(x, y3, col = 4, lty = 4, lwd = 2)
lines(x, y2, col = 3, lty = 3, lwd = 2)
lines(x, y1, col = 2, lty = 2, lwd = 2)
lines(x, y, col = 1, tly = 1, lwd = 2)
legend("topright", c(TeX("$\\alpha$ = 0"),TeX("$\\alpha$ = -1"), TeX("$\\alpha$ = -3"),TeX("$\\alpha$ = -5"),TeX("$\\alpha$ = $-\\infty$")), col = c(1,2,3,4,7), lty = c(1,2,3,4,6), lwd = rep(2, 5))

Algo que pode-se perceber olhando os gráficos gerados acima é primeiro a acentuação da assimetria quando o \(\alpha\) cresce ou decresce. Além disso, é perceptível que quando \(\alpha \to \pm \infty\) temos o formato de uma distribuição meia normal. Isso ocorre pelo seguinte motivo:

Assumindo que X é uma variável aleatória com distribuição normal padrão assimétrica. Quando \(\alpha \to \pm \infty\), \(\Phi(\alpha x)\) será igual a 1. Portanto, se \(\alpha \to \infty\) a função densidade probabilidade é dada por

\[\begin{eqnarray*} f(x\text{;}\alpha) = 2\phi(x), \mbox{ }x\geq 0. \end{eqnarray*}\]

Se \(\alpha \to - \infty\) a função densidade probabilidade é dada por

\[\begin{eqnarray*} f(x\text{;}\alpha) = 2\phi(x), \mbox{ }x\leq 0. \end{eqnarray*}\]