Anteriormente se realizĆ³ el anĆ”lisis de regresiĆ³n, el cual es una tĆ©cnica utilizada para evaluar la relaciĆ³n entre una variable de resultado y uno o mĆ”s factores de riesgo o variables de confusiĆ³n. Ahora, se desarrollarĆ” el anĆ”lisis de correlaciĆ³n. La correlaciĆ³n es otra forma de evaluar la relaciĆ³n entre variables. EspecĆ­ficamente, mide el alcance de la correspondencia entre el orden de dos variables aleatorias. De ahĆ­ que la regresiĆ³n y la correlaciĆ³n se asemejen mucho por sus mĆ©todos para interpretar la relaciĆ³n.

El Coeficiente de CorrelaciĆ³n

EstĆ” representado por el sĆ­mbolo \(p\). Mide la fuerza y el sentido de la relaciĆ³n lineal entre dos variables cuantitativas. \[ \rho = \frac{S_{xy}}{S_xS_y} \] Donde: \[ s_{xy}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \\ S_x=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2} \\ s_y=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^2} \] En palabras:

  • \(S_{xy}\) es la covarianza de x e y.
  • \(s_x\) es la desviaciĆ³n estĆ”ndar de la variable de x.
  • \(x_y\) es la desviaciĆ³n estĆ”ndar de la variable de y.

Otra forma de hallar la correlaciĆ³n es: \[ \rho=\frac{n\sum XY - \sum X \sum Y}{\sqrt{n \sum X^2 - (\sum X)^2}\sqrt{n \sum Y^2 - (\sum Y)^2}} \] ## Tipos de CorrelaciĆ³n

La correlaciĆ³n postivia perfecta es cuando \(\rho=1\). Tal como se aprecia en la siguiente imagen: CorrelaciĆ³n Positiva Perfecta

La correlaciĆ³n postivia perfecta es cuando \(0<\rho<1\) es 1. Tal como se aprecia en la siguiente imagen: CorrelaciĆ³n Positiva Perfecta

La correlaciĆ³n postivia perfecta es cuando \(\rho=0\). Tal como se aprecia en la siguiente imagen: CorrelaciĆ³n Positiva Perfecta

La correlaciĆ³n postivia perfecta es cuando \(-1<\rho<0\) es 1. Tal como se aprecia en la siguiente imagen: CorrelaciĆ³n Positiva Perfecta

La correlaciĆ³n postivia perfecta es cuando \(\rho=-1\) es 1. Tal como se aprecia en la siguiente imagen: CorrelaciĆ³n Positiva Perfecta

Ejemplo:

Calcular el coeficiente de correlaciĆ³n entre X e Y. Donde X son los gastos en publicidad de un producto e Y son las ventas conseguidas:

x y
1 10
2 17
3 30
4 28
5 29
6 47

SoluciĆ³n: \[ \overline{x}=3.5 \\ \overline{y}=28.5 \\ n = 6 \\ s_{xy}=\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{6} (x_i-3.5)(y_i-28.5)=24.9 \\ s_x=\sqrt{\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{6}(x_i-3.50)^2} = 1.8708 \\ s_y \sqrt{\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{6}(y_i-28.5)^2} = 13.6345 \\ \rho = \frac{s_{xy}}{s_xs_y} = \frac{24.9}{1.8708 * 13.6345} = 0.9762 \]

CorrelaciĆ³n en R

Para ello se usa la funciĆ³n \(corr\).

##   x  y
## 1 1 10
## 2 2 17
## 3 3 30
## 4 4 28
## 5 5 39
## 6 6 47
## [1] 0.9761704

Otra manera de resolver es dividiendo la covarianza entre el producto de la desviaciĆ³n estĆ”ndar de š‘„ y la desviaciĆ³n estĆ”ndar de š‘¦. Para calcular la covarianza en R, se usa la funciĆ³n cov.

## [1] 0.9761704

Comparando ello con un modelo de regresiĆ³n lineal:

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = Data)
## 
## Residuals:
##       1       2       3       4       5       6 
## -0.7143 -0.8286  5.0571 -4.0571 -0.1714  0.7143 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   3.6000     3.0796   1.169 0.307319    
## x             7.1143     0.7908   8.997 0.000845 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.308 on 4 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9529, Adjusted R-squared:  0.9411 
## F-statistic: 80.94 on 1 and 4 DF,  p-value: 0.000845

Viendo la grƔfica de Y vs X:

CorrelaciĆ³n MĆŗltiple

La siguiente tabla muestra una matriz de correlaciĆ³n: CorrelaciĆ³n MĆŗltiple Donde:

  • Ingresos y Analf. son variables independientes que representan el ingreso per capita y el porcentaje de analfabetos, respectivamente.
  • Grado es la variable dependiente que representa el porcentaje de graduados de secundaria.

Cada celda representa la correlaciĆ³n entre la variable de la fila y la variable de la columna. Por ejemplo, 0.6199323 representa la correlaciĆ³n de Grados con Ingresos, la cual es positiva.

La correlaciĆ³n de una variable consigo misma es 1. Por esto, en la diagonal se observa la unidad. AdemĆ”s, las celdas sobre la diagonal continenen los mismos valores que los de las celdas debajo de la diagonal principal. Por ello, solo es necesario completar la mitad de la matriz. Los coeficientes de correlaciĆ³n en esta matriz se combinan para producir un coeficiente de correlaciĆ³n mĆŗltiple. Este es un nĆŗmero que resume la relaciĆ³n entre la variable dependiente (Grado, en este ejemplo) y las dos variables independientes (Ingreso y Analf.).

NotaciĆ³n:

  • rGa: Coeficiente de correlaciĆ³n para Grado y Analf.
  • rGi: coeficiente de correlaciĆ³n para Grado e Ingreso.
  • rIA: Coeficiente de correlaciĆ³n para Ingreso y Analf.

FĆ³rmula: \[ R_{G.I.A}= \sqrt{\frac{r_{GI}^2+r_{GA}^2-2r_{GI}*r_{GA}*r_{IA}}{1-r_{IA}^2}} \] RG.IA es un coeficiente de correlaciĆ³n mĆŗltiple a diferencia de rGA, rGI y rIA, que indican una correlaciĆ³n entre dos variables. El subĆ­ndice G.IA significa que la correlaciĆ³n mĆŗltiple es entre G y la combinaciĆ³n de I y A. Aplicando la fĆ³rmula se obtiene: \[ R_{G.I.A}=\sqrt{\frac{0.61^2+(-0.65)^2-2.06-0.65-0.43}{1-(-0.43)^2}} \] El coeficiente de determinaciĆ³n mĆŗltiple es el cuadrado del coeficiente de correlaciĆ³n mĆŗltiple. Para este ejemplo, el resultado es: \[ R_{G.I.A}^2=(0.754)^2=0.5687 \] En R, ello serĆ­a de la siguiente manera: Primero se crea la tabla que exista en el mismo sistema R de EEUU, conocida como ā€œState.x77ā€, y solo tomarĆ” las columnas, 2 que es Ingreso, 3 que es Analfabetismo y 6 que es graduados de secundaria.

##            Ingreso Analf Grad
## Alabama       3624   2.1 41.3
## Alaska        6315   1.5 66.7
## Arizona       4530   1.8 58.1
## Arkansas      3378   1.9 39.9
## California    5114   1.1 62.6
## Colorado      4884   0.7 63.9

COn ello hallamos la correlaciĆ³n:

##            Ingreso      Analf       Grad
## Ingreso  1.0000000 -0.4370752  0.6199323
## Analf   -0.4370752  1.0000000 -0.6571886
## Grad     0.6199323 -0.6571886  1.0000000

Ello tambiƩn puede hallarse con el comando \(cor.test()\).

## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  DataEEUU$Grad and DataEEUU$Ingreso
## t = 5.4738, df = 48, p-value = 1.579e-06
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.4128194 0.7660866
## sample estimates:
##       cor 
## 0.6199323

Con la otra variable:

## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  DataEEUU$Grad and DataEEUU$Analf
## t = -6.0408, df = 48, p-value = 2.172e-07
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.7908657 -0.4636561
## sample estimates:
##        cor 
## -0.6571886

Y:

## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  DataEEUU$Ingreso and DataEEUU$Analf
## t = -3.3668, df = 48, p-value = 0.001505
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.6378257 -0.1807128
## sample estimates:
##        cor 
## -0.4370752

Anteriomente los resultados mostraron que \(R_{G(I,A)}=0.754\) y \(R_{G(I,A)}^2=0.568\). Usando la funciĆ³n \(lm()\) se comprobarĆ” que el modelo se encuenta explicado a un 56% y siendo las variables significativas.

## 
## Call:
## lm(formula = Grad ~ Ingreso + Analf, data = DataEEUU)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -8.6691 -3.9987 -0.9429  3.2392 13.1212 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 36.531013   7.130231   5.123 5.54e-06 ***
## Ingreso      0.005406   0.001400   3.861 0.000344 ***
## Analf       -6.326603   1.411300  -4.483 4.72e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 5.416 on 47 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5687, Adjusted R-squared:  0.5504 
## F-statistic: 30.99 on 2 and 47 DF,  p-value: 2.611e-09

Con el R y R cuadrado:

## [1] 0.5687181
## [1] 0.754134

FunciĆ³n CORRPLOT

Esta sirve para graficar la correlaciĆ³n, para ello hay que tener instalado el paquete \(corrplot\) de R y luego llamar a dicho paquete con library(corrplot).

Existen muchas maneras de graficar la correlaciĆ³n mĆŗltiple, por ejemplo, existe la manera predeterminada:

ParĆ”metros de DisposiciĆ³n (TYPE)

  • full: muestra la matriz de correlaciĆ³n completa.
  • upper: muestra una matriz triangular superior de la matriz de correlaciĆ³n completa.
  • lower: muestra la matriz triangular inferior de la matriz de correlaciĆ³n completa.

ParƔmetros de mƩtodo(METHOD)

  • circle: forma de cĆ­rculos.
  • square: forma de cuadrados.
  • ellipse: forma de elipses.
  • number: forma de nĆŗmeros.
  • color: forma de acuerdo al color.
  • pie: forma de sectores.

Las correlaciones positivas se muestran en azul y las correlaciones negativas en rojo. La intensidad el color y del tamaƱo del cĆ­rculo son proporcionales a los coeficientes de correlaciĆ³n. El mĆ©todo predeterminado es circle.

ParƔmetros de Orden(Order)

  • original: orden original.
  • AOE: orden angular de los vectores propios.
  • FPC: Orden primer componente principal.
  • hclust: Orden de agrupaciĆ³n jerĆ”rquica.
  • alphabet: Orden alfabĆ©tico.

FunciĆ³n corrlot.mixed():

Nos servirĆ” cuando queramos mostrar de manera grĆ”fica y numĆ©rica el resultado de la correlaciĆ³n:

Ejemplos

Ejemplo 1: Calculando el \(R^2\) usando la fĆ³rmula

Asumiendo que se tienen los siguientes datos del PBI de China desde el aƱo 2000 al 2015. Ejemplo 1

Hallar los valores de š‘… y š‘… cuadrado usando la fĆ³rmula. Donde X es el aƱo y Y los billones de dĆ³lares el PBI de China.

Ejemplo 1

Ejemplo 1

La fĆ³rmula es: \[ r=\frac{n \sum XY - \sum X \sum Y}{\sqrt{n(\sum X^2)-(\sum X)^2}\sqrt{n(\sum Y^2)-(\sum Y)^2}} \] Reemplazando los valores: \[ n = 16 \\ r=\frac{16*157855.223-32120-78.513}{\sqrt{16*64481240-(32120)^2}\sqrt{16*566.21-(78.513)^2}} \\ r = 0.969 \] Entonces el valor de R cuadrado es: \[ R^2=0.969^2 \\ R^2=0.939 \] ## Ejemplo 2: Calculando el \(R^2\) en R

Convertimos las variables a un Data.frame:

##           x         y
## x 1.0000000 0.9691218
## y 0.9691218 1.0000000

Se realiza el modelo de regresiĆ³n:

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = Data)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.05358 -0.75655 -0.07107  0.72451  1.58834 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -1.414e+03  9.651e+01  -14.65 6.92e-10 ***
## x            7.070e-01  4.808e-02   14.71 6.61e-10 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.8865 on 14 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9392, Adjusted R-squared:  0.9349 
## F-statistic: 216.3 on 1 and 14 DF,  p-value: 6.614e-10

El valor de \(R^2\) como se observa es: 0.9392. y el valor de R es:

## [1] 0.9691218

Con esto se comprueba que los resultados mediante la fĆ³rmula y el lenguaje R son muy aproximados.

Ejemplo 3: La funciĆ³n pair.panels

Usando los datos del PBI de china del ejemplo anterior, se harĆ” uso de la funciĆ³n pair.panels. Con ello se generarĆ” un dispersograma.

Desarrollo:

Los dispersogramas son grĆ”ficos elaborados a partir de las coordenadas cartesianas con el fin de mostrar los valores de los datos š‘‹ e š‘Œ de un mismo elemento suceso.Un diagrama de dispersiĆ³n puede indicar diferentes tipos de correlaciones:

  • CorrelaciĆ³n postitiva: indica un aumento.
  • CorrelaciĆ³n negativa: indica un descenso.
  • CorrelaciĆ³n nula: no hay relaciĆ³n entre las variables.

En R cargamos el paquete ā€œpsychā€ y luego ejecutamos la siguiente funciĆ³n:

Sin embargo, pairs.panels no solo grafica usando dos variables. Por ejemplo, se puede graficar DataEEUU creada anteriormente: