Modelos ARIMA, ARCH y GARCH, caso Cuervo (CUERVO.MX)
Castillo Vargas Karla Monserrat
27/01/2021
José Cuervo
**EMPRESA CUERVO** José Cuervo, una de las empresas mexicanas más tradicionales, debutó en la Bolsa Mexicana de Valores luego de más de 250 años de existencia. La empresa es dirigida por Juan Beckmann Vidal y actualmente es la mayor productora de tequila en el mundo. Pese a que ha recibido ofertas de compra, José Cuervo sigue siendo una empresa 100 por ciento mexicana.[1].
Comportamiento del precio de cierre dela epresa Cuervo: 09 de febrero de 2017 al 15 de enero de 2021
El productor de bebidas espirituosas informó que sus ventas netas se incrementaron 48.3%, a 10,413 millones de pesos, en el tercer trimestre del año comparado con igual lapso del 2019, derivado un crecimiento de volumen de 26%, a 6.6 millones de cajas de nueve litros.
Los incrementos en el periodo señalado también se reflejaron en el flujo operativo (EBITDA) con un +150.1%, a 3,249 millones de pesos y la utilidad neta consolidada se disparó 186.4% a 2,084 millones de pesos.
En Estados Unidos y Canadá, regiones que representan más del 70% de las ventas, Cuervo colocó más de 51% de productos.
En tanto las ventas netas en México disminuyeron 3.9%, explicado principalmente por caídas de volumen parcialmente compensadas por la mezcla y por los aumentos de precio año tras año.[2]. En la figura 1 se presenta el comportamiento de la empresa Cuervo a partir del 02 de septiembre de 2017 al 05 de diciembre de 2020. La tendencia que presenta la emisora de mediados de noviembre 2018 a febrero 2019 es bajista llegando a registrar un maximo de $27.00 MXN por accionn. Sin embargo, 2020 se convirte en un constante incremento para “Cuervo”, llegando a registrar su precio mÃiximo el 18 de noviembre de 2020, con un precio de $49.24 MXN.
Figura 1. Precio de cierre de la empresa Cuervo
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Así este comportamiento se le atribuye principalmente al confinamiento que marcó una nueva tendencia en el consumo de bebidas alcohólicas listas para beber en Estados Unidos y Canadá, países que representan dos terceras partes de su mercado, por lo que resultó positivo que no hubo restricciones en la venta de estos producto. La mayor sorpresa fue el aumento de 69.3% en el flujo operativo, que llegó a 2,355 millones de pesos en el periodo de referencia, de acuerdo con el reporte financiero que la empresa presentó ante la Bolsa Mexicana de Valores (BMV).[3]
Comportamiento del rendimiento de la empresa Cuervo: 09 de febrero de 2017 al 10 de noviembre de 2020
Visualizando la figura 2, nos encontramos con rendimientos volátiles dada la naturaleza. Se aprecia que durante el año 2019 un split muy marcado, con posibilidad de que la pandemia sea un factor que influyo en el comportamiento podemos observar que en el año 2020 muetra comportamientos en split , no tan fuertes pero si notables.
El aumento año con año reflejó un incremento de 51.2% en los Estados Unidos y Canadá, impulsado por fuertes tendencias de consumo y desplazamientos, y un fuerte desempeño continuo de la categoría de Tequila y de los productos listos para beber (RTD); un 5.3% de disminución en México debido a un entorno macroeconómico desafiante y por tendencias de consumo, mostrando una mejora secuencial trimestre tras trimestre principalmente como resultado de la reducción en las restricciones de ventas en varios canales de la región; y un 3.3% de disminución en la región del Resto del Mundo (RoW) derivado principalmente del impacto de COVID-19 a través de dicha región.[4]
Figura 2. Rendimientos febrero 2017 - enero 2021 de la empresa Cuervo.
Fuente: elaboración propia con código R
Histogramas y gráficos Q-Q
Los histogramas permiten ver la frecuencia con la que los precios ocurren en la serie, para este activo, se analizaran los histogramas a niveles y rendimiento. Para la gráfica Q-Q nos muestra la normalidad con la que se distribuye nuestro activo, con el fin de identificar que tan sezgada se encuentra, se espera que en el histograma y gráfica Q-Q de los rendimientos, se muestren mejor distribuidos.
Figura 3. Histograma en niveles de la Empresa Cuervo
Fuente: elaboración propia con código R
Por la tendencia general a la baja de toda la serie, el histograma presenta este comportamiento, pues los precios que más se repiten oscilan entre los 28 PESOS y los 32 PESOS, con frecuencias entre 300 y 350 veces.
Figura 4. Gráfica Q-Q en niveles
Fuente: elaboración propia con código R
En cuanto a la gráfica Q-Q en niveles la distribución empírica no se acerca de manera significativa a la distribución teórica, es decir, no tienen una distribución normal.
Figura 5. Histograma en rendimientos CUERVO.MX
Fuente: elaboración propia con código R
Gracias a la obtención de los rendimientos mediante las diferencias entre los niveles, s obtienen buenas distribuciones, sin embargo, este histograma presenta leptocurtosis por lo que la mayoría de los rendimientos se concentran entre el -10% y el 10%
Figura 6. Gráfica Q-Q en rendimientos
Fuente: elaboración propia con código R
De esta forma se puede observar que, derivado de los rendimientos, estos se presentan junto a la distribución teórica de mejor manera, aunque aún se aprecian datos sezgados en las colas de la distribución empírica. Y eso puede provocar correlación en los residuos.
Pruebas de Raíces Unitarias
Mediante estas pruebas, podemos corroborar la existencia de estacionariedad en la serie, es decir, media y varianza constantes. Si no hay presencia de estacionariedad, el análisis futuro sobre el activo se puede ver afectado con resultados erroneos que provocarían malos pronósticos. [5]
Las pruebas que se utilzan para detectar raíces unitarias en este análisis son: Dickey Fuller Aumentada (ADF), Phillips Perron (PP) y la prueba Kwiatkowski - Phillips - Schmidt - Shin (KPSS). [6]
Tabla 1. Prueba de Raíz Unitaria utilizando el estadistico t
| Activo | Prueba ADF | Prueba PP | Prueba KPSS |
|---|---|---|---|
| CUERVO.MX (niveles) | $0.768 | \(0.762\) | \(0.1\) |
| CUERVO.MX (rendimientos) | \(0.01\) | \(0.03\) | \(0.1\) |
Donde:
Para la prueba ADF y PP:
- H0: la serie tiene raíz unitaria
Para la prueba KPSS:
- H0: la serie es estacionaria
Recordar que si \(p < 0.05\) rechazo la \(H0\)
Basados en la tabla, y en las \(H0\), podemos observar que la serie presenta un comportamiento de ser estacionaria, esto porque en primeras diferencias, no existe raíz unitaria. La serie solo depende del error, pero no de su pasado. Dado eso lo que es independiente e identicamente distribuida y los valores considerando la forma que presentaba la serie eran de cierta manera los esperados,acorde a lo antes revisado
El siguiente proceso explica la forma en la que las primeras diferencias hacen estacionaria la serie: Suponga la siguiente ecuación donde \(\beta=1\) :
\(Y_{t}=\alpha +\beta Y_{t-1} +e_{t}\)
Aplicando la primera diferencia queda:
\(Y_{t} -Y_{t-1}=\alpha +\beta Y_{t-1} -Y_{t-1} +e_{t}\)
Simplificando
\(\Delta Y=\alpha +Y_{t-1}(\beta -1) +e_{t}\)
Sustituyendo \(\beta\)
\(\Delta Y=\alpha +e_{t}\)
También se conoce como ruido blanco
Modelos ARIMA para CUERVO.MX
En estadística y econometría, en particular en series temporales, un modelo autorregresivo integrado de promedio móvil o ARIMA (acrónimo del inglés autoregressive integrated moving average) es un modelo estadístico que utiliza variaciones y regresiones de datos estadísticos con el fin de encontrar patrones para una predicción hacia el futuro. Se trata de un modelo dinámico de series temporales, es decir, las estimaciones futuras vienen explicadas por los datos del pasado y no por variables independientes.
Fue desarrollado a finales de los sesenta del siglo XX. Box y Jenkins (1976) lo sistematizaron. [7]
Para determinar el modelo ARIMA óptimo, primero necesitamos visualizar y obtener los correlogramas ACF(MA) y PACF(AR)
Figura 7. Correlograma ACF(MA) y PACF(AR)
Fuente: elaboración propia con código R
La figura 7 muestra que existe una gran correlación en ambos procesos, por lo que se requiere de un ARIMA con resagos en ambos procesos y al menos una diferencia.
AutoARIMA (0,1,1)
El autoARIMA nos arroja un modelo (0,1,1) el cual, sorpresivamente, no tiene ningun orden de proceso MA. A continuación se ve la gráfica de pronostico para dicho modelo.
Como era de esperar, el pronóstico para 12 días arroja una gráfica líneal, o con tendencia “lateral”, por la cual deducimos que este modelo no es efectivo, los correlogramas y los criterios de información lo confimarán, así como un posible precio pronosticado alejado de la realidad.
ARIMA propuesto (1,1,12)
Este ARIMA propuesto, aunque no es tan parsimonioso, permite que el pronóstico (al menos gráficamente) se vea con una tendencia más clara, aunque por los ultimos precios del activo no hay grandes cambios en el pronóstico. De igual manera que con el modelo ARIMA anterior, los criterios de información y los correlogramas confirmarán una mayor eficacia del modelo.
Figura 9. Pronóstico ARIMA (1,1,12)
Fuente: elaboración propia con código R
Tabla 2. Pronósticos y criterios de información
| Dato Real | PronosticomARIMA (0,1,0) | PronosticomARIMA (1,1,12) | |
|---|---|---|---|
| Fecha 18-ENE-21 | \(50.190\) | \(49.22\) | \(49.28416\) |
| Diferencial | — | \(0.97\) | \(0.90584\) |
| ARIMA (0,1,0) | ARIMA (1,1,12) | ||
| Ljung-Box | 14.272 1.35056 | ||
| AIC | 17628.77 | 1726.045 |
Valor P 0.1609 0.7172 Para la prueba Ljung-Box:
- H0: los datos se distribuyen de forma independiente
Analisis del mejor modelo ARIMA (1, 1, 12)
- El pronóstico mejora con el (1,1,12) Con estos resultados se confirma que el ARIMA (1,1,12) es mejor modelo que el ARIMA (0,1,0).
- La prueba Ljung-Box arroja que no es posible rechazar la H0, por lo que ya no existe correlación en los residuos
- El AIC mejora de igual manera, siendo menor en el ARIMA propuesto que en el autoARIMA
Figura 10. Correlogramas (ACF y PACF) ARIMA (1,1,12)
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(1,1,12)
Q* = 1.3505, df = 3, p-value = 0.7172
Model df: 13. Total lags used: 16Fuente: elaboración propia con código R
El modelo mejora sustancialmente y apenas si existen sesgos en el correlograma
Figura 11. Prueba de estabilidad ARIMA (1,1,12)
Fuente: elaboración propia con código R
Visualizando la figura 11, se confirma un modelo estable a tráves del tiempo
Conclusión La prueba de Ljung-Box (llamada así por Greta M. Ljung y George Edward Pelham Box) es un tipo de prueba estadística de si un grupo cualquiera de autocorrelaciones de una serie de tiempo son diferentes de cero. En lugar de probar la aleatoriedad en cada retardo distinto, esta prueba la aleatoriedad “en general” basado en un número de retardos, y por lo tanto es una Prueba Portmanteau. El autoARIMA normalmente arroja modelos parsimoniosos (lo mas sencillo posible), sin embargo, “se sacrifica” este principio para conseguir un modelo más estable, sin correlación y pronósticos más cercanos al dato real del 18 de Enero del 2021. Cabe resaltar que pueden existir diferentes modelos que cumplan con las mismas características para que sea estable.[8]
Los pronosticos muestran que el ARIMA (1,1,12), en conjunto de las pruebas realizada como son la LJung-Box fueron determinantes para establecer de manera adecuada por lo que la propuesta se ve aprovada satisfactoriaente.
Análisis de la volatilidad (rendimientos) de CUERVO/p>
Modelos ARCH y GARCH
La volatilidad es una característica inherente a las series de tiempo financieras. En general, no es constante y en consecuencia los modelos de series de tiempo tradicionales que suponen varianza homocedástica, no son adecuados para modelar series de tiempo financieras. Engle (1982) introduce una nueva clase de procesos estocásticos llamados modelos ARCH, en los cuales la varianza condicionada a la información pasada no es constante, y depende del cuadrado de las innovaciones pasadas. [9]
Bollerslev (1986) generaliza los modelos ARCH al proponer los modelos GARCH en los cuales la varianza condicional depende no solo de los cuadrados de las perturbaciones, como en Engle, sino además, de las varianzas condicionales de períodos anteriores.
Para comprobar la existencia de efectos ARCH en nuestros rendimientos se realizará la prueba ARCH.
Figura 12. Autocorrelación de los rendimientos al cuadrado
Fuente: elaboración propia con código R
Tabla 3. Prueba de Efectos ARCH
| Prueba | Valor p | H0 | Resultado |
|---|---|---|---|
| ARCH Test | $ 0.2787$ | La serie No tiene efectos ARCH | no rechazo h0 |
Fuente: elaboración propia con código R
Modelos ARCH
ARCH
Los modelos de ARCH se emplean comúnmente en el modelado de series de tiempo financieras que presentan agrupaciones de volatilidad variables en el tiempo, es decir, períodos de oscilaciones entremezclados con períodos de relativa calma. Como nos podemos dar cuenta la serie bajo estas caracteristicas no requiere del modelo ARCH ya que este presenta un valor mayor a 0.05 , siendo de 0.2787 con lo que nos arroja que no rechazamos la nula y por ende, se acepta.
[1]ps://www.eleconomista.com.mx/mercados/Acciones-de-Jose-Cuervo-se-disparan-en-la-BMV-por-buen-reporte-trimestral-20201023-0033.html [2]hps://www.eleconomista.com.mx/mercados/Acciones-de-Jose-Cuervo-se-disparan-en-la-BMV-por-buen-reporte-trimestral-20201023-0033.html [3]https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-41459/Series%20temporales.pdf [4] https://es.finance.yahoo.com/noticias/becle-s-b-c-v-011300005.html [5]https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_unitaria [6]https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-41459/Series%20temporales.pdf [8]https://masteres.ugr.es/moea/pages/curso201617/tfm1617/paguayortizjorgeandres_tfm/! (7)https://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_de_Ljung-Box