Volatilidad y pronostico de precio de acciones (ARIMA): British Petroleum
Azeneth Martinez
27/1/2021
Empresa British Petroleum
British Petroleum BP es una empresa de energía del Reino Unido, una de las más importantes del mundo. Inició actividades en 1909 como la Anglo-Persian Oil Company. Desde 1914 hasta la década de los 80, el gobierno británico fue su principal accionista y, desde entonces, BP ha adquirido la Standard Oil Company en 1987, se fusionó con la empresa estadounidense Amocco en 1998 y adquirió las compañías Atlantic Richfield y Burmah Castroland en 2000. En abril de 2010 BP fue la protagonista del derrame petrolífero en Macondo, en el Golfo de México, el desastre petrolero más grande ocurrido en EEUU.[1].
Comportamiento del precio de cierre de British Petroleum: 01 de enero de 2013 al 15 de enero de 2021
En la figura 1 se presenta el comportamiento de la empresa British Petroleum a partir del 01 de enero de 2013 al 15 de enero de 2021, podemos ver un incremento estable y conruino a lo largo de los años.
Figura 1. Precio de cierre de British Petroleum
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Sin embargo, como se puede apreciar, esta sufrio un decremento significativo para el año 2020 debido a la crisis del petroleo ocasionada principalmente por el conflicto entre Rusia y Arbia Saudí donde el precio de acción comenzó a disminuir drasticamente, llegando de valores por encima de los 46 dolares, a valores de tan solo 16 dolares. Como ya lo dijimos, la caida, entre otras razones, se le atribuye al condlficto entre Rusia y Arabia saudí. Como razones tenemos que, en primer lugar encontramos un fuerte retroceso en el precio del barril de petroleo que se produce en medio de la crisis global provocada por el coronavirus, que ha hundido la demanda de crudo en el mundo y ha causado fuertes caídas en las principales bolsas del mundo.
Los países de la OPEP acordaron la propuesta de Arabia Saudí de introducir un recorte adicional de su producción en otros 1,5 millones de barriles diarios como respuesta a la caída de la demanda por el coronavirus. El acuerdo estaba condicionado a que Rusia aceptara sumarse a los recortes. Pero ni las presiones de todos los países de la OPEP hicieron cambiar de opinión al Gobierno de Moscú, razón por la cual Arabia Saudí, elevó el pulso frente a Rusia al anunciar que rebajará sus precios de venta y que, lejos de adoptar los recortes adicionales pactados el jueves, aumentará su producción para no seguir perdiendo cuota de mercado frente a Rusia, y frente a EEUU. Generando así un derrumbe de 25% en el mercado de Nueva York.[2]
Figura 2. Gradico de rendimientos British Petroleum
Fuente: Elaboración propia con datos de yahoo finance
En términos de rendimientos para las acciones de BP con media cero, pero no con una varianza constante debido a la formación de diversos clusters se puede denotar que el más pronunciado es el correspondiente a marzo del 2020, mes en el que Arabia Saudita desato una guerra de precios sobre el barril de petróleo y un aumento de su producción, esto en respuesta al desacuerdo de Rusia para sumarse a los recortes de la OPEP. Este hecho aunado a la caída estrepitosa de la demanda de crudo alrededor del mundo particularmente para la empresa BP provoco un derrumbe en la cotización equivalente a un 19.48%, siendo esta una de las más afectadas junto con Shell, Total y Galp. (primera cita) En promedio las acciones de BP pagan entre ±2 y ±5 por ciento, sin embargo en marzo se presento una mayor volatilidad dando como resultado una pérdida de más del 15 por ciento casi 20 y con un rebote de hasta el 20 por ciento[4].
Histogramas
El histograma es un grafico que es utilizado para representar la frecuencia de una variable a través de la distribución de los datos. De tal modo que a través de las marcas asignadas a continuación se podrá identificar con que frecuencia los precios se encuentran en alguno de los intervalos.
El histograma realizado para los precios de cierre de la emisora en cuestión nos arroja que estos no se distribuyen de una forma normal pues existen dos concentraciones (una más importante que otra) tratándose entonces de una concentración binomial en donde la mayor parte de los datos se encuentran entre 30 y 50 dólares en su mayoría en los 42 dólares, aunque también existe una segunda aglomeración pequeña en los 24 a 25 dólares. A su vez podemos ver que el precio de dichas acciones llego a estar debajo de los 20 dólares y el mayor en 54 dólares. 
Para los rendimientos observamos un gráfico leptocúrtico puesto que los rendimientos se concentran muchísimo en al centro de 0.0 por su regresión a la media, a su vez se encuentran datos atípicos en las orillas (o colas) de la campana, a esto se le suele denominar: colas pesadas. Finalmente podemos notar que los valores para rendimiento van de -0.19 a 0.20.
QQ plots
En cuestión de los cuantiles teóricos se puede apreciar que la distribución presentada si es similar a la de una normal sin embargo comienza a despegarse un poco y ya no se ajusta a un comportamiento del precio normal. Al final y al inicio de la recta se observa el problema antes mencionado de ‘colas pesadas’ presente en los datos, el desapego de los datos a la recta de 45 grados se presenta al inicio (punto 0) a diferencia del termino de la recta donde se aprecia un menor desapego. 
A diferencia de la grafica Q-Q a niveles, los rendimientos en su mayoría se encuentran apegados con bastante precisión a la recta de una forma uniforme, esto debido a su regresión a la media (característica con la que cuentan dichos valores). Sin embargo, los valores de las colas no se apegan a una distribución normal tanto para los valores negativos como para los positivos, todo lo contrario, se encuentran muy dispersos. Más a detalle encontramos que los valores atípicos se encuentran casi en igual magnitud en los rendimientos negativos como positivos por lo que podríamos decir que es igual de probable que en momentos de volatilidad las acciones te den perdidas o te den rendimientos más allá de su media, en este caso del 20% para ambos casos (tanto en términos de perdida como de ganancias extraordinarias).
Pruebas de Raíces Unitarias y Estacionariedad
La estacionariedad es una condición que sirve para evaluar que la serie que se esta trabajando es independiente y este idénticamente distribuida. Al no cumplirse esta condición podría traer consigo problemas de sesgo, regresiones espurias y correlación entre los datos. Para evitar que esto se presente se utilizan las pruebas de raíces unitarias, las cuales permiten identificar si existe estacionariedad en la serie causada por alguna dependencia con los datos del pasado. Una serie que sea débilmente estacionaria debe contar cumplir con ciertos criterios: Que tenga una varianza constante y media cero. Para cuestiones de series financieras el supuesto de varianza constante rara vez se cumple, por lo cual es importante que la serie no tenga problemas de raíces unitarias, así se podrá cumplir con el supuesto media cero.
Pruebas de raíces unitarias a contemplar en este modelo.
Para la detección de raíces unitarias para el análisis de la empresa BP se utilizarán únicamente:Dickey Fuller Aumentada (DFA)
Con hipótesis:
H0 : La serie tiene raíz unitaria.
H1: La serie es estacionaira.
Phillips Perron (PP)
Con hipótesis:
H0 : La serie tiene raíz unitaria.
H1: La serie es estacionaira.
Kwiatkowski - Phillips - Schmidt - Shin (KPSS).
Con hipótesis:
H0 : La serie es estacionaria.
H1: La serie no es estacionaria.
Esta ultima prueba es considerada de mayor potencia y más robusta en comparación con las dos anteriores.Se utilizará la regla de oro, la cual nos indica que:
(P>0.05) No rechazo H0.
(P<0.05) Rechazo H0.
| A niveles | ||||
|---|---|---|---|---|
| Criterio | DFA | PP | KPSS | |
| Valor-p | 0.6302 | 0.5492 | 0.01 |
Entonces de acuerdo con la regla antes mencionada comenzamos evaluando el resultado obtenido en la prueba DFA a niveles, el valor p es 0.6063 (P>0.05), por lo tanto, no rechazamos H0, la serie tiene raíz unitaria a niveles, lo mismo sucede con la prueba PP, el valor P es 0.53 (P>0.05), no rechazamos H0, la serie tiene raíz unitaria a niveles. Por otro lado, para la prueba KPSS obtuvimos un resultado en P menor a 0.01 (P<0.05) , rechazamos H0, la serie no es estacionaria a niveles
| A rendimientos | ||||
|---|---|---|---|---|
| Criterio | DFA | PP | KPSS | |
| Valor-p | 0.01 | 0.01 | 0.1 |
Para los rendimientos obtenemos en la prueba DFA y PP un valor p de 0.01 (P<0.05), rechazamos H0, por lo tanto, la serie es estacionaria en rendimientos. Para la prueba KPSS en rendimientos, el valor p es 0.1 por lo cual P>0.05, no rechazamos H0, la serie es estacionaria en rendimientos
La estacionariedad en los rendimientos.
Que los rendimientos sean estacionarios quiere decir que la serie de estos valores en primeras diferencias no tiene problemas de raíz unitaria, su comportamiento solo depende de su termino de error y su intercepto no se los valores pasados del precio de BP. Al comportamiento observado en la gráfica de rendimientos (figura 2) también se le conoce como ruido blanco.
Pronostico y modelo ARIMA
Ahora continuaremos a realizar el modelo ARIMA para poder pronosticar. Esto se obtiene a partir de la Función de Autocorrelación (MA) y la Función de Autocorrelación Parcial (AR), estas van acompañadas de una integrada de orden (I), la cual representa la primera diferencia que se le aplicara al modelo con la intención de que la serie sea estacionaria.
El conjunto de gráficos anteriores tiene por nombre correlogramas. Los de mayor importancia son las dos últimas, la primera representa los resultados de la función de autocorrelación (ACF) correspondientes al proceso de media móvil, estos nos indican cuales son los rezagos que se encuentran correlacionados en el proceso antes mencionado de media móvil. La función de autocorrelación parcial (PACF) nos indica cuales son los componentes que están correlacionados en el componente autorregresivo. Específicamente las gráficas nos indican que cuando una de las líneas o barras que representan los rezagos sobrepasa las bandas punteadas esa línea tiene un efecto de memoria sobre su serie original. Para el caso de la serie de precios de British Petroleum encontramos únicamente esta memoria en dos momentos.
AUTOARIMA (2,1,2) para BP
La función de AUTOARIMA del programa R nos propone que para corregir los problemas de autocorrelación presentes en el modelo se trabaje con un ARIMA (2,1,2).
Series: BP
ARIMA(2,1,2)
Coefficients:
ar1 ar2 ma1 ma2
0.0671 -0.8722 -0.0609 0.9020
s.e. 0.0805 0.1147 0.0727 0.1008
sigma^2 estimated as 0.3425: log likelihood=-1785.73
AIC=3581.46 AICc=3581.49 BIC=3609.53
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(2,1,2)
Q* = 9.9589, df = 6, p-value = 0.1264
Model df: 4. Total lags used: 10
Series: BP
ARIMA(2,1,2)
Coefficients:
ar1 ar2 ma1 ma2
0.0671 -0.8722 -0.0609 0.9020
s.e. 0.0805 0.1147 0.0727 0.1008
sigma^2 estimated as 0.3425: log likelihood=-1785.73
AIC=3581.46 AICc=3581.49 BIC=3609.53
Training set error measures:
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
Training set -0.008777244 0.5845482 0.4073725 -0.0446581 1.181903 1.000269
ACF1
Training set 0.001123745Fuente: elaboración propia desde la consola de R
Para corroborar que este modelo propuesto resuelve el problema de autocorrelación, se logro capturar los efectos de memoria en la serie y además los residuales se distribuyen de forma normal se realizara otro correlograma y se evaluaran
| ARIMA | Ljung-Box | AIC | Pronostico | Dato real | Diferencia | RMSE |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ARIMA(2,1,2) | 0.1286 | 3576.65 | $24.42 | $24.62 | $0.80 | 0.5841 |
| ARIMA(3,1,3) | 0.03501 | 3580.25 | $25.44 | $24.62 | $0.82 | 0.584 |
| ARIMA(2,1,3) | 0.07591 | 3578.63 | $25.43 | $24.62 | $0.81 | 0.5841 |
Después de realizar diversas propuestas de ARIMA para poder corregir la serie se llego a la conclusión de que el mejor modelo si es el AUTOARIMA de R pues de primera instancia podemos observar que el valor AIC comparado con los otros modelos propuestos el del ARIMA (2,1,2) es el menor por lo que se afirma que tiene una menor varianza en el residual, el valor p de la prueba Ljung-Box es de 0.12 (P>0.05) por lo cual los residuales se distribuyen de manera normal. Además, cuenta con la menor diferencial entre el dato real y el pronosticado para el 19 de enero de 2021. Finalmente con respecto a su valor Error Cuadrático Medio (RMSE) en comparación es igual que la ultima propuesta, pero con una diferencia menor con el ARIMA(3,1,3).
Propuesta para BP: ARIMA (2,1,2)
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(2,1,2)
Q* = 9.9589, df = 6, p-value = 0.1264
Model df: 4. Total lags used: 10Grafico de pronostico de 12 días ARIMA(2,1,2) para BP
Point Forecast Lo 80 Hi 80 Lo 95 Hi 95
2026 24.23646 23.48715 24.98577 23.09049 25.38244
2027 24.23889 23.17590 25.30188 22.61319 25.86459
2028 24.25958 22.94316 25.57601 22.24629 26.27288
2029 24.25885 22.73175 25.78596 21.92335 26.59436
2030 24.24075 22.53759 25.94392 21.63599 26.84552
2031 24.24018 22.37716 26.10319 21.39093 27.08942
2032 24.25592 22.23913 26.27272 21.17150 27.34035
2033 24.25749 22.09770 26.41728 20.95437 27.56060
2034 24.24385 21.95502 26.53269 20.74339 27.74432
2035 24.24158 21.83103 26.65213 20.55496 27.92819
2036 24.25331 21.72295 26.78368 20.38345 28.12318
2037 24.25609 21.61072 26.90145 20.21035 28.30182Prueba de estabilidad (raíces inversas) ARIMA (2,1,2) para BP
Análisis de rendimientos (volatilidad) de British Petroleum
Call:
arima(x = BP, order = c(2, 1, 2))
Coefficients:
ar1 ar2 ma1 ma2
0.0671 -0.8722 -0.0609 0.9020
s.e. 0.0805 0.1147 0.0727 0.1008
sigma^2 estimated as 0.3419: log likelihood = -1785.73, aic = 3581.46
Training set error measures:
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
Training set -0.008777244 0.5845482 0.4073725 -0.0446581 1.181903 1.000269
ACF1
Training set 0.001123745Al final resulto ser mejor el ARIMA propuesto por el mismo programa R como ya se había comentado antes. Lo ideal o recomendable seria vender pues el precio de la acción va a la baja por lo ya visto con anterioridad en las gráficas.
Modelos ARCH Y GARCH
Modelos Autorregresivos Condicionalmente Heterocedásticos (ARCH) asumen que la varianza no es constante y la serie o los valores estarán condicionados por sus valores o sus rezagos pasados. A su vez estos modelos permiten modelar la aglomeración o clúster de volatilidad que se presentan en los rendimientos de los activos financieros. En los modelos ARCH,la autocorrelación en la volatilidad es modelada permitiendo que la varianza condicional del término de error , dependa del valor anterior del error al cuadrado.
Mientras que los Modelos Generalizados Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (GARCH) son una extensión del modelo ARCH con la diferencia de que σ2t se vuelve recursivo. El modelo GARCH se desarrolló, en trabajos independientes, por Tim Bollerslev (1986) y Stephen Taylor (1986). El modelo GARCH permite que la varianza condicional sea dependiente de sus propios rezagos.
Aplicación de Modelos ARCH-GARCH para BP
Utilizaremos los rendimientos de British Petroleum para la explicar y pronosticar los rendimientos de British Petroleum. Recordemos que en nuestra serie solo existe una aglomeración de volatilidad importante: marzo del 2020 donde la volatilidad se encontraba en un rango de ±20 según los registros.Pruebas Efecto ARCH
Esta prueba se basa en multiplicadores de Lagrange para descomponer la varianza de la serie e identificar si sus rezagos son significativos. Si esto es así, entonces la aplicación de modelos de volatilidad es apropiada y justificada.
ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
data: BP_R
Chi-squared = 459.26, df = 12, p-value < 2.2e-16Basándonos en: H0: No efectos ARCH o los residuos son homocedásticos. Ha: Si efectos ARCH o los residuos son heterocedásticos. Obtuvimos un resultado de dicha prueba con valor p de 2.2e-16 lo que quiere decir que los residuales son heterocedásticos, y si existen los efectos ARCH, la varianza no es constante en el tiempo para el caso de los rendimientos de British Petroleum.
A continuación, se presenta la tabla resumen de los modelos aplicados de ARCH y GARCH
| Modelo | omega | alfa 1 | alfa 2 | beta 1 | beta 2 | AKAIKE | BAYES |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ARCH 1 | 0.000203 | 0.531355 | -5.3017 | -5.2961 | |||
| ARCH 2 | 0.000132 | 0.388597 | 0.360738 | -5.4324 | -5.424 | ||
| GARCH (1,1) | 0.000004 | 0.076685 | 0.913807 | -5.5941 | -5.5858 | ||
| GARCH (1,2) | 0.000005 | 0.114904 | 0.222281 | 0.648937 | -5.5963 | -5.5853 | |
| GARCH (2,1) | 0.000004 | 0.076727 | 0 | 0.913949 | -5.5932 | -5.5821 |
De acuerdo a los criterios de información serán descartados: GARCH (1,2), GARCH(2,1) y GARCH (2,2) porque: Para GARCH(1,2): Beta1 (varianza ajustada de un día) no es significativo, el incorporar un GARCH (2) al modelo, no aporta información adicional para explicar cómo afecta la volatilidad al rendimiento de las acciones de BP, por lo que es necesario descartarlo. Para GARCH(2,1) el componente ARCH (2) no es significativo, no brinda una mayor explicación sobre como la volatilidad afecta al rendimiento de BP, por lo que se descarta. Para GARCH (2,2) simplemente el modelo no converge
Se opta por elegir el modelo GARCH (1,1) puesto que este presenta el menor criterio de Akaike y de Bayes, sus valores son estadísticamente significativos y brindan una mejor explicación. Dado el resultado consistente, el GARCH (1,1) resulta ser el mejor modelo para explicar cómo la volatilidad afecta al rendimiento de British Petroleum. Para llegar a esta conclusión se corroboro que todos los parámetros en GARCH (1,1) fueron significativos pues la sumatoria de los parámetros es menor a 1, son positivos y son estadísticamente significativos. Los GARCH (1,1) son los mejores modelos para analizar la volatilidad o bien como la volatilidad afecta al activo financiero.
GARCH(1,1) el mejor modelo
Interpretación: Los rendimientos de British Petroleum se explican en un 7.66% por la volatilidad de hace 1 día y en un 74.01% por la varianza ajustada de hace 1 día.
Conclusión
Tanto para ARIMA como para Volatilidad, los criterios fueron favorables. En ARIMA el mejor modelo fue el de ARIMA(2,1,2) el AUTOARIMA que hace R, sin embargo el precio pronosticado varia relativamente poco con el real. En Volatilidad, GARCH (1,1) es nuestro mejor modelo para explicar cómo la volatilidad afecta al rendimiento de BP, denotando que los rendimientos de nuestra British Petroleum se explican en un 7.6% por la volatilidad de hace 1 día y en un 74.01% por la varianza ajustada de hace 1 día, también se deben considerar diversos aspectos coyunturales que pueden afectar de forma abrupta o constate el movimiento de precios y por ende el de los rendimientos.Bibliografía
[1] https://www.bp.com/en/global/corporate/who-we-are.html
[2] https://elpais.com/economia/2017/09/11/actualidad/1505154853_121222.html
[3] https://expansion.mx/economia/2020/03/11/arabia-saudita-intensifica-su-guerra-petrolera-con-rusia