iShares 20+ Year Treasury Bond (TLT) Modelos ARCH-GARCH
Ramos Rodríguez Alan Raúl
27/01/2021
ETF iShares 20+ Year Treasury Bond
Comportamiento del precio de cierre del ETF TLT: enero de 2013 a enero del 2021
Figura 1. Precio de cierre de TLT
Fuente: elaboración propia con salida de R.
En la figura 1 se presenta el comportamiento del ETF de los bonos del tesoro desde enero de 2013 a enero de 2021, de manera general se observa como un activo con muchos picos, con un total de 4 máximos en la serie, los cuales son: el 30 de enero de 2015 con un precio de cierre de 138.28 USD, el 8 de julio de 2016 con un precio de 143.6 USD, el 28 de agosto de 2019 con 147.8 dólares y finalmente el 4 de agosto de 2020.
Contrario a muchos activos distintos, este activo presenta un alza considerable en sus precios a partir de enero de 2020, por el comportamiento derivado de la situación de emergencia sanitaria mundial por el COVID-19, los bonos del tesoro son activos muy seguros a pesar de que ofrecen un bajo rendimiento, por ello los inversionistas decidieron comprar los bonos y a su vez este ETF, ya que les proporciona seguridad, sin embargo, con la recuperación de la economía mundial y la aparición de una nueva vacuna frente al SARS-CoV-2 se ve una baja en el precio de este etf a partir de agosto del 2020, esto, como un efecto inverso de lo mencionado anteriormente: al tener una recuperación económica se busca un mayor rendimiento, el cual no es posible obtener mediante bonos de deuda.
Comportamiento de los rendimientos del ETF TLT: enero de 2013 a enero del 2021
Figura 2. Rendimientos de TLT
Fuente: elaboración propia con salida de R.
En la figura 2 pueden observarse los clusters de volatilidad de los rendimientos de TLT, así como la manera en la que ésta se agudiza con respecto al tiempo en un periodo que va de enero del 2013 a enero del 2021. Podemos definir 4 fechas con un alto nivel de volatilidad relativa, siendo estas el 5 de julio del 2013 con una baja de 3 puntos base debido a que el mundo recibía fuertes incertidumbres con la proyección del crecimiento Fondo Monetario Internacional que pasó del 3,6% al 2,9% y en especial Estados Unidos creció con altibajos, posteriormente tenemos las fechas al rededor de mayo del 2015 con un periodo de volatilidad mayor sinónimo de un estancamiento mundial en el crecimiento aunado a un recorte de pronóstico de la misma variable para el caso del G7, China, Rusia y el BRIC, posteriormente el 9 de noviembre del 2016 recordando que los mercados se tiñeron en rojo por la ventaja de Donald Trump sobre Hillary Clinton en las elecciones presidenciales del 2016 de los Estados Unidos, finalemnte tenemos una volatilidad sin precedentes el 17 de marzo del 2020 rondando enntre los -7 y 8 puntos base causado por la crisis sanitaria del COVID-19. Todos los acontecimientos que propiciaron un aumento de volatilidad en el activo de TLT con sinónimo de situaciones emergentes en los mercados financieros, y se muestra en la figura 1 en nuestra gráfica del precio cierre que dichas crisis que generan volatilidad, al mismo tiempo hacen crecer los precios de los bonos del tesoro.
Modelo ARIMA
Figura 3. Histograma de cierre de TLT
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Por cada 0.7 datos se calcula la frecuencia de la cantidad de datos que caen en el intervalo que va del minimo de 101 puntos base a un máximo que va hasta 171 puntos base. Es decir, se presenta la distribución que tienen los índices bursátiles del TLT. Podemos observar en la figura 3 que existe una mayor concentración al rededor de los 120 puntos base, aunque también existe otro pequeño volumen de concentraciones al rededor de los 165 puntos base.
Figura 4. Histograma de los rendimientos de TLT
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Podemos observar en la figura 4 la distribución de los rendimientos de TLT, y estos mismos presentan un exceso de consentración en la media, por lo que presenta leptocurtuosis con un alto volumen de concentración en rendimientos.
Gráficos Cuantil-Cuantil
Figura 5. Gráfico Cuantil-Cuantil a niveles
Fuente: elaboración propia con salida de R.
En la Figura 5 observamos que el modelo se ajusta a la normal en muy pocas ocasiones, se desapega en su mayoría a la distribución normal.
Figura 6. Gráfico Cuantil-Cuantil a rendimientos
Fuente: elaboración propia con salida de R.
En la figura 6 se puede observar que en la media, nuestra distribución de los rendimientos se apega a la distribución normal, sin embargo en las colas de la distribución presentan valores atipicos que nos alejan de la distribución normal.
Esto nos indica que en los momentos de mayor volatilidad de TLT existe una mayor probabilidad de pérdida y al mismo tiempo, de ganancia.
Pruebas de raíces unitarias
Prueba Dickey-Fuller y Phillips-Perron a niveles
Augmented Dickey-Fuller Test
data: TLT
Dickey-Fuller = -2.1229, Lag order = 12, p-value = 0.5263
alternative hypothesis: stationary
Phillips-Perron Unit Root Test
data: TLT
Dickey-Fuller = -2.2864, Truncation lag parameter = 8, p-value = 0.4571De acuerdo a los valores p presentados en la prueba Dickey-Fuller a rendimientos podemos decir que no se rechaza la hipótesis nula, por lo que la prueba nos dice que no se rechaza que la serie tiene raíz unitaria. Para el caso de la prueba Phillips-Perron a rendimientos no se rechaza la hipótesis nula, por lo que concluímos que en este caso no se rechaza que la serie tiene raíz unitaria.
Prueba Dickey-Fuller y Phillips-Perron en rendimientos
Augmented Dickey-Fuller Test
data: TLT_R
Dickey-Fuller = -12.859, Lag order = 12, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary
Phillips-Perron Unit Root Test
data: TLT_R
Dickey-Fuller = -46.046, Truncation lag parameter = 8, p-value = 0.01De acuerdo a los valores p presentados en la prueba Dickey-Fuller a rendimientos podemos decir que se rechaza la hipótesis nula, por lo que la prueba nos dice que se rechaza que la serie tiene raíz unitaria. Para el caso de la prueba Phillips-Perron a rendimientos se rechaza la hipótesis nula, por lo que concluímos que en este caso se rechaza que la serie tiene raíz unitaria.
Prueba KPSS a niveles y en rendimientos
KPSS Test for Level Stationarity
data: TLT
KPSS Level = 11.513, Truncation lag parameter = 8, p-value = 0.01
KPSS Test for Level Stationarity
data: TLT_R
KPSS Level = 0.099268, Truncation lag parameter = 8, p-value = 0.1De acuerdo a los valores p presentados en la prueba KPSS a niveles podemos decir que se rechaza la hipótesis nula, por lo que la prueba nos dice que se rechaza que la serie sea estacionaria. Para el caso de la misma prueba a rendimientos, no se rechaza la hipótesis nula, por lo que concluímos que en este caso no se rechaza que la serie sea estacionaria.
Modelo ARIMA
Prueba Ljung-Box, criterio de información de AIC, puntos base reales, pronosticados y su diferencial
Figura 7. Propuestas para los modelos ARIMA
Fuente: elaboración propia con salida de Excel.
ARIMA(4,1,2)
Este modelo fue realizado con el autoarima como la propuesta más adecuada según R, con un componente autorregresivo de 4 resagos, una diferencia en el orden de integración de la serie, y finalmente dos resagos en el componente de media móvil. El modelo presenta un criterio de información de AIC de 6306.71, mientras que la prueba Ljung-Box nos arroja que el valor p<0.05 y por lo que rechazamos la hipótesis nula, por lo tanto rechazamos que los residuales se distribuyan normalmente. Tenemos que el dato pronosticado para el día viernes 15 de enero del 2021 segun el modelo del autoarima es de 151.2907 puntos base siendo que el dato real de dicha fecha es de 151.820007, logrando una diferencia de 0.529307 como resultado de la resta de los últimos dos parámetros mencionados.
ARIMA(1,1,31)
Con el nuevo modelo de ARIMA que nos ocupa se tiene un pronóstico con una mejoría en todos los aspectos, con un componente autorregresivo de un resago, una diferencia en el orden de integración de la serie, y finalmente 31 resagos en el componente de media móvil. Para el modelo se tiene el criterio de información de AIC de 6278.63 (menor al propuesto por el autoarima), así mismo la prueba de Ljung-Box arroja un valor p>0.05, por lo que no se rechaza la hipótesis nula y por lo tanto no rechazamos que los residuales se distribuyan normalmente. Tenemos que el dato pronosticado para el día viernes 15 de enero del 2021 segun el modelo presente propuesto es de 151.7699 puntos base, logrando una diferencia de 0.050107 como resultado de la resta entrel el valor real y el valor pronosticado, siendo este último un modelo más certero para la estimación de los precios futuros.
Correlogramas del modelo ARIMA (1,1,31)
Figura 8. ACF del modelo ARIMA(1,1,31)
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(1,1,31)
Q* = 4.8155, df = 3, p-value = 0.1858
Model df: 32. Total lags used: 35Fuente: elaboración propia con salida de R.
A diferecia del modelo propuesto por autoarima, esta nueva propuesta se logran capturar los efectos de autocorrelación de la serie y el orden de integración contiene una diferencia por lo que no existirán problemas de raíces unitarias.
Figura 9. pronóstico del modelo ARIMA(1,1,31)
Point Forecast Lo 80 Hi 80 Lo 95 Hi 95
2025 151.7699 150.3304 153.2095 149.5683 153.9716
2026 152.2897 150.2617 154.3177 149.1881 155.3913
2027 152.0417 149.6207 154.4628 148.3391 155.7444
2028 152.3164 149.6066 155.0262 148.1721 156.4607
2029 152.5080 149.5449 155.4712 147.9762 157.0398
2030 152.0322 148.7939 155.2704 147.0796 156.9847
2031 152.0448 148.5302 155.5594 146.6698 157.4199
2032 152.0682 148.3537 155.7827 146.3874 157.7490
2033 152.1211 148.2603 155.9820 146.2165 158.0258
2034 151.8042 147.7786 155.8298 145.6475 157.9609
2035 151.7665 147.5608 155.9721 145.3345 158.1984
2036 151.3866 147.0021 155.7710 144.6811 158.0920Fuente: elaboración propia con salida de R.
En la figura 9 podemos vislumbrar el pronóstico arrojado por el ARIMA(1,1,31) con los últimos 200 datos del modelo, dicho pronóstico presenta una pequeña cresta con una leve tendencia a la baja, siendo el lumbral azul, las posibles formas que pueden tomar los rendimientos del TLT durante el mismo periodo del pronóstico. Podemos decir que con respecto al dato real del día 15 de enero del 2021, el pronostico se acerca de manera eficiente, con una diferencia de 0.050107 puntos base.
Prueba de estabilidad (1,1,31)
Figura 10. pronóstico del modelo ARIMA(1,1,31)
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Para el caso del gráfico circulo unidad nos podemos dar cuenta de que a pesar de la cantidad de resagos expuestos del componente de media móvil a el límite de nuestra prueba de raíces inversas se denota que ningúno de los mismos sale del gráfico circulo unidad, por lo tanto ningúno de los resagos presenta un problema de raíz unitaria y es considerado un modelo estable.
Modelos de volatilidad (1,1,31)
ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
data: TLT_R
Chi-squared = 733.46, df = 12, p-value < 2.2e-16Se rechaza H0, por lo tanto se rechaza que los residuos son homocedasticos.
ARCH(1)
ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
data: TLT_R
Chi-squared = 733.46, df = 12, p-value < 2.2e-16Rechazo la H0, por lo tanto se rechaza que los residuos son homocedasticos.
Criterios de información de los modelos ARCH y GARCH
Figura 11. Tabla del valor de los coeficientes de los modelos ARCH y GARCH
Fuente: elaboración propia con salida de Excel.
En la figura 11 tenemos una serie de modelos ARCH y GARCH con el fin de hacer una comparativa de los criterios de información. Además se presentan en color rojo todos los datos que no sean significativos. De acuerdo con los criterios de información AKAIKE y BAYES, los que reportan el menor criterio es el GARCH(1,1), por lo tanto es este mismo modelo el que mejor explica la incidencia de la volatilidad al rendimiento de TLT.
GARCH(1,1)
Se hace el ajuste con un GARCH(1,1): \(σ^2_t=ω+α_1u^2_{t−1}+β_1σ^2_{t−1}\)
El resultado obtenido es: \(σ^2_t=0.000003+0.071456u^2_{t−1}+0.887724σ^2_{t−1}\)
La volatilidad de TLT se explica en un 7.1456% por la volatilidad de un día anterior y en un 88.7724% por la varianza ajustada en un periodo.
Se cumple con todas las características de un modelo estable y especificado, ya que presenta un menor valor de los criterios de información AKAIKE y BAYES, además a pesar de que el intercepto de la ecuación no sea significativo se estima a algo muy crecano a cero, por lo que no representa ruido en la serie.
La caracterización de la varianza con el GARCH(1,1) se presenta en la figura 12.
Figura 12. GARCH(1,1) vs rendimientos
Fuente: elaboración propia con salida de R.
En la figura 12 podemos denotar con un color gris los rendimientos del TLT y en azul es el resultado del modelo. Dicho gráfico nos muestra como a partir de la varianza la especificacón explica los rendimientos de TLT; captura los momentos de volatilidad de la serie y se ajusta a la varianza de esta especificación. Esta presente gráfica explica que la volatilidad incide levemente en los rendimientos de TLT.
El rendimiento de TLT pronosticado para el lunes 15 de enero del presente año es de 0.007949
Conclusiones
Podemos concluir que de acuerdo a los criterios generados, así como los resultados en los criterios de AKAIKE y BAYES además del gráfico de la varianza condicional que la volatilidad contiene una incidencia leve en el comportamientode los rendimientos de TLT, por lo que es importante tener un grado de consideración pequeño de la volatilidad para explicar la incidencia y los movimientos que puede presentar el TLT.
Referencias
[1] https://www.blackrock.com/mx/intermediarios/productos/239454/ishares-20-year-treasury-bond-etf