Modelos ARIMA y de Volatilidad: caso CEMEX

Modelos ARIMA y de Volatilidad: caso CEMEX

Cementos Mexicanos (CEMEX) Es una empresa que se dedica a producir, distribuir y comercializar: cemento, concreto premezclado, agregados y productos relacionados. Provee productos y soluciones líderes en la industria para satisfacer las necesidades de construcción de los clientes en México y el mundo. Fundada en Hidalgo, Nuevo León en 1906. [1] La empresa también ofrece varios productos de construcción complementarios, incluidos productos asfálticos; bloques de concreto; tejas; productos arquitectónicos; tuberías de hormigón para aplicaciones de alcantarillado pluvial y sanitario.

Comportamiento del precio de cierre de Cemex: 01 de enero de 2013 al 01 de enero de 2021

En la figura 1 se presenta el comportamiento de la empresa Cemex a partir del 01 de enero de 2013 al 15 de enero de 2021. Se observa que la tendencia de la emisora de 2015 a 2016 fue bajista. Sin embargo, en el 2016 mostró una tendencia alcista esto debido a las campañas electorales de Estados Unidos, donde el entonces candidato Donald Trump, advirtió sobre la construcción del muro fronterizo con México, puesto que los inversionistas apostaban que Cemex sería el principal proveedor de concreto para la obra. [2]

Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance

Aunque a principios de 2017 la tendencia (nuevamente) se comportó de manera bajista, debido a la alza del riesgo país que el muro ocasionó. También se le atribuye que en ese años hubo más impuestos, mayores costos y menores lucros operacionales. [3] Cabe mencionar que el 2020, ha sido bueno para esta emisora, debido al anuncio sobre su plan de incremento de 12% en su indicador financiero EBITDA (por sus siglas en ingles). [4] Finalmente, los inicios de 2021 se han visto de manera positiva, por el comportamiento alcista en sus precios, debido al optimismo mostrado por los inversionistas ya que la compañía resultaría beneficiada de la aprobación de más estímulos en Estados Unidos. Con ello, el presidente electo Joe Biden enviará un paquete de estímulo para fortalecer la competitividad de la economía estadounidense, incluyendo inversión en infraestructura. Y Estado Unidos es uno de los principales mercados de Cemex. [5]

Comportamiento de los rendimientos de Cemex: 01 de enero de 2013 al 15 de enero de 2021

En la figura 2 se presenta el comportamiento de los rendimientos de la empresa Cemex, se pueden observar 3 clústeres de volatilidad en la serie. El primero en enero de 2015, dónde Cemex alcanzó a registrar rendimientos de ±15%, esto debido a las transacciones realizadas con la empresa Holcim. [6] El segundo fue en febrero de 2016 donde alcanzó a registrar rendimientos de ±13%, se le puede atribuir la publicación de los resultados del cuarto trimestre de 2015, donde se veía favorecida la empresa. [7] Finalmente, en septiembre de 2019, donde alcanzó a registrar rendimientos de ±10%, por la construcción en Chase Center. [8]

Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance

HISTOGRAMAS Y GRÁFICOS Q-Q

Un histograma es un gráfico que muestra la distribución de frecuencia (o forma) de un conjunto de datos continuos. El histograma a niveles para el caso de Cemex, presentado en la figura 3, muestra el intervalo de precio con mayor cantidad de repeticiones fue el de 10 MXN a 16 MXN aproximadamente, con al rededor de 490 días cerrando dentro de este intervalo de precios. Cabe mencionar, que la mayor parte de la distribución se concentra dentro del mismo.

Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance

A continuación, se muestra en la figura 4 el histograma en rendimientos de Cemex, se observa que en promedio, los rendimientos se encuentran en la media (0). La distribución de los rendimientos se encuentran -1% y 1%, principalmente.

Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance

Los gráficos Cuantil-Cuantil o Q-Q Plots representa dos cuantiles: uno contra la otro. El propósito es averiguar si dos conjuntos de datos provienen de la misma distribución. O dicho de otra forma, comparar la distribución teórica (como se supone que se comporten los datos) contra la distribución real. En la figura 5, se muestra el gráfico Q-Q Plots de Cemex a niveles, donde podemos observar que la mayor parte de los datos, muestran una distribución que se aleja de la normalidad. Si bien, pocos datos están asociados cerca de la recta. Se puede decir que nuestra distribución de los precios contra la que se están comparando, es una distribución normal, si la distribución real fuera así, los puntos estarían más asociados de la recta.

Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance

En la figura 6, se muestra el Q-Q Plots en rendimientos, observamos que los datos se siguen alejando de la recta, principalmente en las colas. Sin embargo, existen más puntos asociados a la recta, en comparación con la gráfica a niveles.

Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance

PRUEBAS DE RAÍCES UNITARIAS Y ESTACIONARIEDAD

En el análisis, se utilizan las pruebas Dickey Fuller Aumentada (DFA), Phillips Perron (PP) y, la prueba Kwiatkowski - Phillips - Schimidt - Shin (KPPSS).

El concepto de estacionariedad es importante para la estimación y para la elaboración de pronósticos, el no garantizar esta condición implicaría que las series, no serían independientes e idénticamente distribuidas, ocasionado problemas de sesgo en las estimaciones, regresiones espurias o el mal cálculo de las bandas de confianza a partir de datos que se encuentran correlacionados.

En dónde: H0: Dickey Fuller - La serie tiene raíz unitaria H0: Phillips Perron - La serie tiene raíz unitaria H0: KPSS - La serie es estacionaria

Fuente: elaboración propia con salida de R

Considerando que:

Si valor p mayor a 0.05 - No rechazo (acepto) H0.

Si valor p menor a 0.05 - Rechazo H0.

Por lo tanto, en la *tabla 1** podemos decir que los resultados sobre la serie de Cemex a niveles, indican que la serie tiene raíz unitaria y no es estacionaria. Asimismo, con la serie de Cemex en rendimientos, los resultados indican que la serie no tiene raíz unitaria y es estacionaria.

MODELOS ARIMA

A continuación, se calcularán dos modelos ARIMA (AUTOARIMA, dado por R, y uno propuesto a parte) para hacer los pronósticos, utilizando la metodología de Box & Jenkins.

De inicio, se obtiene la Función de Autocorrelación (MA) y Función de Autocorrelación parcial (AR):

Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance

En la figura 7 al revisar el correlograma, se identifican componentes de autocorrelación, tanto en el proceso Autorregresivo (PACF) como en el proceso de media móvil (ACF).

Fuente: elaboración propia con salida de R

En la tabla 2 Se comparan los siguientes modelos: Un Auto ARIMA (2,1,2), obteniendo un pronóstico para el día 18 de enero de 2021 de 12.17, con un diferencial de 0.5. De igual manera, se propuso un modelo ARIMA (1,2,2) que cuenta con un criterio AIC mayor al del Auto ARIMA, pero con un diferencial menor respecto al dato real (0.48). Asimismo un modelo ARIMA (4,2,2) que cuenta con un criterio AIC mayor, pero de igual forma con un diferencial menor al dato real (0.48).

Como conclusión, se escoge el Modelo ARIMA (4,2,2), porque se corrigen los problemas (en su mayoría) de autocorrelación en los residuales de acuerdo a los resultados de la prueba de Ljung-Box. Y se obtiene un diferencial menor, respecto al dato real.

Call:
arima(x = PreciosCierre, order = c(4, 2, 2))

Coefficients:
          ar1     ar2      ar3      ar4      ma1      ma2
      -0.5966  0.0409  -0.0356  -0.0812  -0.3775  -0.6225
s.e.   0.1796  0.0263   0.0262   0.0223   0.1794   0.1794

sigma^2 estimated as 0.05402:  log likelihood = 77.22,  aic = -140.44

Fuente: elaboración propia con salida de R

A continuación se presentan los correlogramas ACF, PACF y la prueba de estabilidad de raíces inversas del ARIMA(4,2,2):

    Ljung-Box test

data:  Residuals from ARIMA(4,2,2)
Q* = 4.266, df = 4, p-value = 0.3712

Model df: 6.   Total lags used: 10

Fuente: elaboración propia con salida de R

Aplicando la prueba de Ljung-Box, donde:

H0: Los datos se distribuyen de forma independiente (No correlación)

H1: Los datos no se distribuyen de forma independiente (Correlación)

Para el ARIMA(2,2,2) la H0 no se rechaza. Lo que podemos concluir que los residuales se distribuyen de forma independiente, o sea, no existe correlación.

Fuente: elaboración propia con salida de R

Con base en la figura 9, podemos observar que, aunque el modelo no es parsimonioso, es válido, ya que está dentro de los límites de la frontera del círculo-unidad. Cabe decir, que este modelo pasa la prueba de normalidad, por lo que no podemos negar que el modelo no es estable.

Aunque, no se eliminan todos los problemas de autocorrelación, podemos afirmar que se corrigen en su mayoría, lo que ayuda al modelo a corregir en mayor forma la distribución de los residuos.

Pronóstico al 18 de enero de 2021

Fuente: elaboración propia con salida de R

En la figura 10, podemos observar los datos pronosticados , donde indica un precio para el 18 de enero de 2021 de 12.19 MXN y una tendencia lineal para los próximos días.

Comparando este dato con el real, vemos que existe una diferencia de 0.48 centavos, por lo cual, es el que más se aproxima.

     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
2018       12.19385 11.89591 12.49179 11.73819 12.64952
2019       12.20177 11.77481 12.62873 11.54879 12.85475
2020       12.18254 11.65281 12.71227 11.37239 12.99269
2021       12.13281 11.52457 12.74104 11.20259 13.06302
2022       12.16050 11.48935 12.83165 11.13406 13.18694
2023       12.14301 11.41129 12.87473 11.02394 13.26209
2024       12.15894 11.37317 12.94470 10.95722 13.36066
2025       12.15280 11.31463 12.99097 10.87094 13.43467
2026       12.15652 11.26976 13.04328 10.80034 13.51270
2027       12.15593 11.22270 13.08917 10.72867 13.58319
2028       12.15639 11.17901 13.13377 10.66161 13.65116
2029       12.15748 11.13782 13.17715 10.59804 13.71693

Fuente: elaboración propia con salida de R

En la figura 11 se muestran los precios pronósticados para los siguientes 12 días.

MODELOS DE VOLATILIDAD ARCH-GARCH

La volatilidad, medida por la desviación estándar o la varianza de los rendimientos, se utiliza como una medida de riesgo de los activos financieros. El modelo más simple para analizar la volatilidad es la estimación histórica.

La volatilidad histórica simplemente implica calcular la varianza (o desviación estándar) de los rendimientos de un determinado activo financiero en un período histórico, y esto se convierte en el pronóstico de volatilidad para todos los periodos futuros.

A continuación, se hace uso de los modelos ARCH-GARCH para explicar y simular los rendimientos de Cemex. Lo primero a analizar para llevar acabo estos modelos, es la autocorrelación que existe sobre los rendimientos al cuadrado de la empresa Cemex, esto permite ver los posibles efectos de memoria que puede tener la serie de tiempo.

Fuente: elaboración propia con salida de R

En la Figura 12, se observa que los correlogramas, tanto en el proceso Autorregresivo (PCFA) como, en el proceso de media móvil (ACF), las líneas verticales sobresalen de las bandas de confianza, es decir, se identifican problemas de autocorrelación sobre los rendimientos al cuadrado de Cemex.

PRUEBA DE EFECTOS ARCH

La prueba ARCH se realiza con el objetivo de saber, si los rendimientos de Cemex, tienen efectos de volatilidad.

Fuente: elaboración propia con salida de R

La tabla 4 nos indica que se rechaza H0, es decir, la serie tiene efectos ARCH.

Selección del mejor modelo

Para elegir el mejor modelo, se muestran los resultados obtenidos del conjunto de modelos realizados, tanto para los ARCH como los GARCH.

*No es significativo

Fuente: elaboración propia con salida de R

De acuerdo con los resultados de la tabla 5 se elige el GARCH (1,2) como el mejor modelo, considerando que, comple con el totalidad de los supuestos, es decir, los criterios de AKAIKE y BAYES son menores y, la suma de los parámetros son menores a 1.

INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS

A partir del modelo seleccionado GARCH(1,2) obtenemos que su implementación da como:

El resultado obtenido es:

\[{\sigma}_{t}^{2} = 0.000007+ 0.125755{\upsilon}_{t-1}^{2} + 0.25315{\sigma}_{t-1}^{2}\] La volatilidad de Cemex se explica en un 12.57% por la volatilidad de un día. También se explica en un 25.31% por la varianza ajustada a 1 periodo.

A continuación de presenta la caracterización de la varianza con el GARCH (1,2).

Fuente: elaboración propia con salida de R

En la figura 13 se observa la varianza condicional VS rendimientos que genera Cemex. Los resultados obtenidos muestran que la varianza se va ajustando al comportamiento de la volatilidad, y con ello, analizar como se van dando los picos altos de rendimiento.

*------------------------------------*
*       GARCH Model Forecast         *
*------------------------------------*
Model: sGARCH
Horizon: 1
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0

0-roll forecast [T0=2021-01-14]:
    Series   Sigma
T+1      0 0.03559

Fuente: elaboración propia con salida de R

Con base a los datos anteriormente mostrados, se concluye que para el 18 de enero de 2021, el rendimiento esperado es de 3.55%.