ARIMA Y VOLATILIDAD: CASO EXXON
MARTÍNEZ SALINAS JULIO CÉSAR
20/01/2021
EMPRESA EXXON MOBIL CORPORATION
EXXON MOBIL CORPORATION es una empresa estadunidense fundada en 1870 y tiene su sede en Irving, Texas, y que se dedica a la exploración y producción de petróleo crudo y gas natural en los Estados Unidos, Canadá, Europa, África, Asia y Australia, y la cual Opera a través de los segmentos Upstream, Downstream y Chemical.
La empresa también participa en la fabricación, comercio, transporte y venta de petróleo crudo, productos derivados del petróleo y otros productos especiales; y fabrica y comercializa petroquímicos, incluidas olefinas, poliolefinas, aromáticos y varios otros petroquímicos.
Además, la empresa produce materias primas, como polipropileno y alcohol isopropílico para mascarillas médicas, batas y desinfectantes para manos.
Comportamiento del precio de cierre de Exxon: 01 de Enero de 2013 al 15 de Enero de 2021.
En el siguiente gráfico se presenta el comportamiento de la empresa Exxon a partir del 02 de Enero de 2013 al 15 de Enero de 2021.
En la cual podemos observar, primeramente, que la emisora tuvo cierres un tanto volatiles durante la primera mitad del año 2013, pero para los 4 meses siguientes tuvo una caida bastante significativa, pues en Octubre de ese año llego a cotizar a $85.16 dolares por accion, pero para los 2 meses siguientes Exxon tuvo una gran alza en sus precios, pues para finales del 2013 e inicios del 2014, sus precios llegaron a cotizar hastas los %101 dolares por accion.
Despues para el resto del 2014, Exxon tuvo diferentes tendencias en sus precios, pues como ya mencionamos empezo muy bien, pero para Febrero de ese año, tuvo una caida bastante significativa, la cual no duro mucho, pues hasta finales de Julio de ese año, Exxon tuvo una tendencia nuevamente a la alza, pero un poco mayor a la de 2013, pues llego a cotizar hasta los $104.37 dolares por accion. Pero lamentablemente para la empresa, en los siguientes meses tuvo otra caida bastante significativa, pues a finales del 2014 llego a cotizar a tan solo $86.41 dolares por acción, pero nuevamente durante los ultimos dias del 2014 volvio a tener un alza pero muy significativa. Pues en 2015 tuvo una tendencia bajista de Enero a Agosto de ese mismo año, pues llego a registrar un mínimo de $68.72 dólares por acción. Tendencia que duro muy poco pues los siguientes 3 meses tuvo un alza en sus acciones, aunque no como habia empezado el año, pero fue un alza bastante significativa. Pero lamentablemente para finales de ese año, las acciones de Exxon volvieron a caer.
Ahora bien, en 2016, fue el mejor año para la emisora, pues gracias al alza de los precios del petróleo en ese año, las acciones de Exxon crecieron más de lo que había empezado en 2015, llegando a registrar su precio máximo en Julio del 2016, con un precio de $95.12 dólares por acción, pero lamentablemente las acciones volvieron a bajar durante los siguientes meses de ese año, aunque tuvo una recuperación a finales de ese año.
En la gráfica tambien se puede observar cómo es que para los años 2017, 2018 y 2019, las acciones de Exxon fueron un poco volátiles, pues tuvo cierres tanto altos como bajos, y esto debido a diferentes factores, como: la amortización del valor de sus activos de gas natural, el descenso de los precios del crudo y sus derivados, así como tambien por los tipos de cambio favorables.
Figura 1. Precio de cierre de Exxon
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Comportamiento de los rendimientos de Exxon: 01 de Enero de 2013 al 15 de Enero de 2021.
En lo que refiere a los rendimientos, Exxon en promedio estuvo fluctuando entre 2% y 4% debido a que es un activo que estuvo presentando mucha dispersión en sus precios.
Sin embargo, en 2020 en donde como ya muchos sabemos, la crisis del Covid-19 en verdad afecto a varias empresas y como igual ya hemos visto a varios les afecto de diferente manera, ya que algunos no les afecto tanto como a otros, pero para el caso de Exxon no es la excepción, pues como vemos en la gráfica Exxon comenzó a presentar rendimientos de 0.12%, este presenta una concentración de volatilidad o clúster de volatilidad muy grande, debido a que los precios de Exxon bajaron muy drásticamente, caída más significativa que la de 2015, hasta podría decirse que es la peor caída que ha tenido Exxon en toda su vida, llegando en Marzo a un valor de $31,45 dólares la acción.
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Gráficos Q-Q e histograma de Exxon
Antes de analizar esta parte, tenemos que saber que son los gráficos Q-Q (q-q plots),o mejor dicho los gráficos Cuantil-Cuantil, y los histogramas.
Como primero tenemos a los gráficos Q-Q, los cuales se definen como la representación gráfica de la distribución de un conjunto de datos a alguna distribución ideal o a priori que se asume como dada, y esque la finalidad de estos gráficos es comparar la distribución teórica (la que suponemos o queremos como se comporte) contra la distribución empírica (la que realmente presenta la variable).
Es asi como el siguiente gráfico muestra el gráfico Q-Q de los precios de cierre de Exxon; señalando que los cuantiles teóricos o la distribución contra la que se está comparando los precios es contra una distribución normal; por lo que si la distribución empírica fuera así, entonces los puntos de dispersión deberían de distribuirse en torno a la recta, pero como como podemos observar en la gráfica, es que sí hay una parte de la distribución que se asocia a la línea recta, sin embargo, son más los datos, sobre todo en los extremos o en las colas, donde la distribución se “despega” de la normalidad.
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance
De igual forma pasa en el gráfico Q-Q de los rendimientos, sin embargo, en este caso, hay que notar que los datos, al menos en la parte central de la distribución, están un poco más pegados a la recta, y es que esto se debe a la propiedad que cumplen los rendimientos (media cero o constante que es uno de los supuestos que se debe de cumplir para la estacionariedad de las series), sin embargo, al analizar a Exxon podemos observar como este tuvo días que presentó rendimientos que rebasaron su media, provocando asi mayor dispersión en sus datos.
Pero con esta representación, no se puede garantizar la normalidad en los datos, por lo que en los instrumentos financieros, lo más normal es que no sean normales.
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Después tenemos a los histogramas, los cuales son gráficos que representan la frecuencia de un fenómeno o de una variable mediante una distribución de datos. En el caso de Exxon, a partir de los intervalos o marcas de clase que se hacen sobre él, se puede identificar el número de veces (frecuencia) que los precios caen en dicho intervalo.
En la siguiente grafica podemos observar el histograma a niveles de Exxon, donde el eje vertical representan las frecuencias y el eje horizontal los valores de las variables (puntos base y precios respectivamente).
Es así como el histograma de Exxon a niveles nos indica que (en el periodo de muestra), el índice tuvo un mayor número de repeticiones en 200 para el precio de 83 USD, sin embargo, algunos valores más extremos y con pocas repeticiones se sitúan en más de los 100 USD.
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Y en cuanto al histograma de los rendimientos, en promedio, los rendimientos presentan un proceso de reversión a la media (0), sin embargo, la distribución de los rendimientos Exxon oscila entre 2% , tal cual como se observó en la Figura 2 de los rendimientos de Exxon, es así como el siguiente grafico presenta el histograma de Exxon en rendimientos.
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Pruebas de Raíces Unitarias
Las pruebas de raíces unitarias permiten identificar si la serie es estacionaria o no, verificando si la serie tiene alguna estructura de dependencia con los datos anteriores.
Las pruebas que se utilizan para detectar raíces unitarias en este análisis son: Dickey Fuller Aumentada (DFA), Phillips Perron y la prueba Kwiatkowski - Phillips - Schmidt - Shin (KPSS). Es así como la siguiente tabla muestra los resultados de Exxon a niveles y rendimientos.
Tabla 1: Resultados Pruebas de raíces unitarias
| Variable | DFA/(Valor p) | Phillips-Perron/(Valor p) | KPSS/(Valor p) |
|---|---|---|---|
| Exxon (a niveles) | 0.3572 | 0.4022 | 0.01 |
| Exxon (a rendimientos) | 0.01 | 0.01 | 0.1 |
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance y con salida de R.
NOTA:
DFA/H0: La serie tiene raíz unitaria
Phillips-Perron/H0: La serie tiene raíz unitaria
KPSS/H0: la serie es estacionaria
Por lo tanto:
Si valor p mayor a 0.05 No rechazo (acepto) H0.
Si valor p menor a 0.05 Rechazo H0.
Es así que después de analizar la tabla, podemos decir que la serie, en primeras diferencias, no tiene raíz unitaria, puesto que solo depende del error y del intercepto, pero no de los valores pasados o registrados del precio, así que, por lo tanto, es estacionaria.
Al igual al analizar los resultados de las pruebas en rendimientos, indican que no hay presencia de raíces unitarias y confirman la estacionariedad de la variable, sin embargo, el gráfico de rendimientos muestra que las aglomeraciones de volatilidad de Exxon, a pesar de que tienen un proceso de reversión a la media, su varianza no es constante en el tiempo, por lo que modelar los rendimientos a través de modelos ARMA podría presentar resultados débiles a comparación de modelar la varianza con un modelo no lineal que permita capturar los clústeres.
Modelo ARIMA (EXXON)
Ahora, se va a calcular el primer modelo ARIMA para hacer los pronósticos, utilizando la metodología de Box & Jenkins.
Por lo que primero se tiene que obtener tanto la Función de Autocorrelación (MA) y la Función de Autocorrelación parcial (AR). Ambas series requieren ser integrada de orden I, en otras palabras, se les tiene que aplicar una primera diferencia, para que al menos puedan ser estacionarias en media, es así como la aplicación de una primera diferencia es congruente con los resultados de las pruebas unitarias, en donde es necesario que las series se transformen en rendimientos.
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance y con salida de R.
Al revisar el correlograma (a pesar de diferenciar una vez la serie), se identifican componentes de autocorrelación tanto en el procero Autorregresivo (PACF) y en el proceso de media móvil (ACF).
El primer ajuste que se hace para el pronóstico de Exxon es utilizando la función autoarima de R, que propone una combinación de ARIMA(0,1,0) para corregir los problemas de autocorrelación.
Resutados del ARIMA (0,1,0) para Exxon
Series: XOM
ARIMA(0,1,0)
sigma^2 estimated as 1.022: log likelihood=-2893.83
AIC=5789.67 AICc=5789.67 BIC=5795.28Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance y con salida de R.
Figura 8. Gráfica de los resutados del ARIMA (0,1,0) para Exxon
Series: XOM
ARIMA(0,1,0)
sigma^2 estimated as 1.022: log likelihood=-2893.83
AIC=5789.67 AICc=5789.67 BIC=5795.28
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(0,1,0)
Q* = 13.283, df = 10, p-value = 0.2083
Model df: 0. Total lags used: 10Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance y con salida de R.
Pero como vemos el resultado muestra que no se han terminado de corregir los problemas de autocorrelación. Aplicando la prueba de Ljung-Box, donde la H0 es: los datos se distribuyen de forma independiente o, dicho de otra forma, los residuales del ARIMA no están correlacionados. Para el ARIMA(0,1,0) la H0 se rechaza. Si bien se puede realizar un pronóstico con estos resultados, se cae el riesgo de obtener resultados sesgados (debido a los problemas de autocorrelación).
A continuación, se muestra la estabilidad del modelo a partir del gráfico de raíces unitarias, tanto en el proceso AR como en el de MA.
Figura 9. Gráfica de la prueba de raíces unitarias del ARIMA (0,1,0)-circulo unitario
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance y con salida de R.
Como este modelo es un ARIMA (0,1,0), esto quiere decir que solo se está haciendo una primera diferencia, por lo que no tiene estructura de rezagos en los componentes autorregresivos ni de media móvil, por lo que no mostrara algún punto en el grafico del círculo de unidad.
Propuesta de modelo ARIMA (32,1,1) para Exxon
Este modelo mejora significativamente los resultados propuestos por el ARIMA, se corrigen los problemas (en su mayoría) de autocorrelación en los residuales de acuerdo a los resultados de la prueba de Ljung-Box.
Resutados del ARIMA (32,1,1) para Exxon
Call:
arima(x = XOM, order = c(32, 1, 1))
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ar6 ar7 ar8 ar9
-0.2154 0.0258 -0.0263 -0.0395 0.0095 0.0101 0.0281 0.0053 0.0168
s.e. 0.2423 0.0234 0.0239 0.0239 0.0242 0.0231 0.0229 0.0238 0.0228
ar10 ar11 ar12 ar13 ar14 ar15 ar16 ar17
0.0362 0.0094 -0.0009 -0.0310 0.0028 -0.0133 0.0141 0.0054
s.e. 0.0232 0.0243 0.0228 0.0228 0.0240 0.0229 0.0231 0.0231
ar18 ar19 ar20 ar21 ar22 ar23 ar24 ar25
-0.0427 0.0064 0.0277 0.0478 -0.0284 -0.0061 -0.0023 -0.0319
s.e. 0.0227 0.0251 0.0231 0.0235 0.0250 0.0246 0.0228 0.0228
ar26 ar27 ar28 ar29 ar30 ar31 ar32 ma1
-0.0166 0.0059 0.0128 -0.0264 -0.0099 0.0027 -0.0510 0.1943
s.e. 0.0242 0.0230 0.0229 0.0230 0.0237 0.0228 0.0226 0.2420
sigma^2 estimated as 1.002: log likelihood = -2873.89, aic = 5815.78Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance y con salida de R.
Figura 10. Gráfica de los resutados del ARIMA (32,1,1) para Exxon
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(32,1,1)
Q* = 4.6713, df = 3, p-value = 0.1975
Model df: 33. Total lags used: 36Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance y con salida de R.
El modelo, a pesar de ser menos parsimonioso, sigue siendo estable.
Figura 11. Gráfica de la Prueba de raices unitaria del ARIMA (32,1,1)-circulo unitario
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance y con salida de R.
Pronóstico a 12 dias de Exxon con ARIMA (0,1,0)
Al observar el siguiente gráfico del pronóstico del mejor modelo según R, el ARIMA (0,1,0), podemos observar que los problemas de una mala especificación o el no corregir los problemas de autocorrelación del modelo, implica que no se obtengan resultados confiables.
Figura 12. Gráfico del pronóstico del modelo ARIMA (0,1,0)
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance y con salida de R.
Pero al observar el gráfico de la propuesta del ARIMA (32,1,1), podemos observar que mejora significativamente el pronóstico.
Figura 13. Gráfico del pronóstico del modelo ARIMA (32,1,1)
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance y con salida de R.
Comparación del pronóstico al Martes 19 de Enero es:
Tabla 2: Pronosticos ARIMA
| Fecha | Dato Real | Pronósticado ARIMA (0,1,0) | Diferencial | Pronósticado ARIMA (32,1,1) | Diferencial |
|---|---|---|---|---|---|
| 19-Ene-21 | $48.84 | $47.89 | 0.95 | $47.94 | 0.90 |
| Criterio de infromación | AIC | 5789.67 | - | 5815.78 | - |
| Ljung-Box | valor p | 0.2083 | - | 0.1975 | - |
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance y con salida de R.
Finalmente, al observar la tabla, podemos decir, que si bien el modelo ARIMA (32,1,1) presenta una mejor aproximación al precio real inmediato pronosticado (19 de Enero), este es por una diferencia de muy poco (decimas), que el del modelo ARIMA (0,1,0), pero al analizar el Criterio de Información de Akaike, el modelo ARIMA (0,1,0) muestra un mejor ajuste que el ARIMA (0,1,0). Pero al observar el modelo ARIMA (0,1,0) podemos recordar que este no corrige autocorrelación, es así como, aunque el modelo ARIMA (32,1,1,) tenga un mayor criterio de información, este si corrige autocorrelación, por lo que este modelo propuesto es el mejor puesto que además de pasar todas las pruebas, se acerca un poco más al precio real.
MODELOS DE VOLATILIDAD
PRUEBA ARCH
Los modelos Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (ARCH) sirven para modelar la volatilidad de una serie.
ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
data: XOMR
Chi-squared = 527.59, df = 12, p-value < 2.2e-16Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance y con salida de R.
NOTA:
H0 : Los residuos son homocedásticos (No tiene efectos ARCH)
Dado que la probabilidad de la prueba es menor al 5% se rechaza la hipótesis nula por lo que el modelo si tiene efectos ARCH por lo que la serie necesita una especificación de un modelo no lineal.
MODELO GARCH
Los modelos Generalizados Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (GARCH) son una extensión del modelo ARCH con la diferencia de que \(σ_{t}^{2}\) se vuelve recursivo.
RESULTADOS DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH
Para elegir el mejor modelo, se presentan los resultados de los parámetros obtenidos de todas las especificaciones ARCH y GARCH, así como el criterio de información de Akaike y el criterio bayesiano de Schwarz de estos.
Tabla 3: Resultados Modelos ARCH y GARCH
| Modelo | Omega | Alfa 1 | Alfa 2 | Beta 1 | Beta 2 | Akaike | Bayes |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ARCH (1) | 0.000126 | 0.625430 | - | - | - | -5.6804 | -5.6748 |
| ARCH (2) | 0.000089 | 0.391440 | 0.372782 | - | - | -5.7741 | -5.7657 |
| GARCH (1,1) | 0.000003 | 0.105380 | - | 0.885126 | - | -5.9693 | -5.9610 |
| GARCH (1,2) | 0.000003 | 0.129331 | - | 0.596052 | 0.263209 | -5.9685 | -5.9574 |
| GARCH (2,1) | 0.000003 | 0.105585 | 0.000000 | 0.884982 | - | -5.9678 | -5.9567 |
| GARCH (2,2) | 0.000005 | 0.123275 | 0.052784 | 0.132766 | 0.674624 | -5.9679 | -5.9540 |
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance y con salida de R.
Después de analizar la tabla, observamos que el mejor modelo es el GARCH (1,1), ya que además de que sus criterios de información son menores que el de todos los demás modelos, además este modelo tampoco presenta problemas puesto que sus parámetros son significativos.
Por lo que para el pronóstico se utilizara el modelo de GARCH (1,1).
MEJOR MODELO: GARCH (1,1)
\[σ^2= 0.000003 + 0.105380u_{t-1}^{2} + 0.885126u_{t-1}^{2}\]
Los coeficientes nos indican que la varianza condicional se explica en un 10.53% por la volatilidad de un día anterior y en un 88.51% por la varianza ajustada de un período Los coeficientes demuestran que el modelo está bien especificado y es estable debido a que:
[1] La suma de los coeficientes no son igual o mayor a 1.
[2] Todos los coeficientes son significativos.
[3] Los coeficientes son positivos.
La gráfica siguiente es el gráfico de varianza condicional, la cual se llama así debido a que los rendimientos están condicionados a la varianza rezagada , es decir , que dependen del tiempo. Los rendimientos son los que se observan de color gris y la parte que se muestra de color azul es la ecuación de la varianza definida con el modelo GARCH (1,1). Se observa que en general el modelo se ajusta bien a los momentos de volatilidad, además de que la ecuación de la varianza logra capturar los momentos de volatilidad de los rendimientos y esto se comprueba al observar los gráficos donde los “picos” grises coinciden con los azules.
Figura 14. Gráfico de varianza condicional
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance y con salida de R.
PRONÓSTICO DE LOS RENDIMIENTOS
Es asi como el rendimiento esperado para el Martes 19 de enero de las acciones de EXXON (XOM) es de 2.72%.
*------------------------------------*
* GARCH Model Forecast *
*------------------------------------*
Model: sGARCH
Horizon: 1
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0
0-roll forecast [T0=2021-01-15]:
Series Sigma
T+1 0 0.0272CONCLUSIÓN
Como conclusión tenemos que, en la primera parte del trabajo, el mejor modelo fue el ARIMA (32,1,1), pues su pronóstico tuvo un diferencial de solo $0.90 dólares con respecto al dato real y es que el mejor modelo según R también tenía un diferencial muy pequeño (0.95), pero como pudimos observar, ese modelo tenía problemas de autocorrelación y como ya sabemos problemas como ese hacen que el pronóstico no sea tan confiable.
Ahora bien, en la segunda parte del trabajo al aplicar un modelo de volatilidad, pudimos observar que el mejor modelo de volatilidad fue el GARCH (1,1), puesto que sus criterios de información eran los más bajos, a diferencia de los demás, aparte de que sus coeficientes son significativos y que la suma de estos no son igual o mayor a 1.
Como conclusión final, después de haber trabajado durante 2 semestres con el mismo activo financiero, se puede observar que la volatilidad si le afecta bastante a Exxon, puesto que como ya hemos visto en el trabajo, la serie ha sufrido tanto alzas como bajas en sus acciones y esto debido a muchos factores, como la amortización del valor de sus activos de gas natural, el descenso de los precios del crudo y sus derivados, así como también por los tipos de cambio favorables, además tras la llegada de la pandemia de Covid-19 pudimos observar cómo es que Exxon tuvo una caída drásticamente en el precio de sus acciones, y es que además durante todo el 2020, Exxon no ha podido recuperarse muy bien de esta caída, puesto que aunque en los últimos meses Exxon empezó a tener una tendencia a la alza, en los últimos días a estado teniendo rendimientos negativos, es por eso que mi postura en primer lugar seria que yo no compraría esta acción, puesto que sus precios no tendrán algún valor tan significativo durante algún tiempo, además de que no creo tener algún rendimiento con dicha acción: segundo, si yo tuviera alguna acción de Exxon, por supuesto que la vendería, sabiendo que tendría una perdida bastante significativa si la hubiera adquirido durante los años 2015 a 2019, y con el dinero que recibiría de esta acción, podría adquirir alguna otra acción que tal vez que me genere algún rendimiento, después de lo ocurrido por la pandemia; y por ultimo si tuviera la acción y pensara en sostenerla, mi respuesta sería no, puesto como ya lo mencione antes, en los últimos días ha tenido rendimientos negativos, por lo que mejor es venderla para recuperar algo de lo que ya perdí.
Referencias:
[1] https://finance.yahoo.com/quote/XOM/profile?p=XOM
[2] https://finance.yahoo.com/quote/XOM/history?p=XOM