Modelos ARIMA y de Volatilidad: caso General Motors
Maricruz Georgina Negrete Calzada
27/01/2021
–General Motors Company–
General Motors Company (GM) es una industria automotriz estadounidense que diseña, fabrica y vende automóviles en todo el mundo. La compañía opera a través de los segmentos GM North America, GM International, Cruise y GM Financial. Comercializa sus vehículos principalmente bajo las marcas Buick, Cadillac, Chevrolet, GMC, Holden, Baojun y Wuling. La compañía fue fundada en 1908 y tiene su sede en Detroit, Michigan [1].
Comportamiento del precio de cierre de General Motors
Comportamiento del precio de cierre de General Motors: 01 de enero de 2013 al 01 de enero de 2021
En la Figura 1 se muestra el comportamiento de la compañía General Motors a partir del 2 de enero de 2013 al 15 de enero de 2021 [2]. Dentro del periodo de estudio de la emisora se puede observar a primera vista que su tendencia no es alcista ni bajista, sino más bien lateral. Asimismo, cuenta con varios puntos de máximos y mínimos, y a lo largo de los años se puede observar que su precio máximo ha sido de $51.53 USD en enero, 2021. A pesar de tener una tendencia relativamente constante, se puede apreciar que sufrió una gran caída de precios en consecuencia de la contingencia sanitaria ocasiada por el COVID-19. Marcando con ello su precio mínimo de 16.8 USD en marzo del 2020.
Figura 1. Precio de cierre de General Motors: enero 2013 - enero 2021
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Comportamiento de los rendimientos de General Motors
Comportamiento de los rendimientos de General Motors: 01 de enero de 2013 al 15 de enero de 2021
En cuanto a la Figura 2, se pueden apreciar los rendimientos que ha tenido General Motors desde 2013. Como primer punto podemos obervar el proceso de reversion a la media que tiene la serie; asímismo, podemos obervar que la varianza de la serie no es constante, esto debido a que existen algunas concentraciones o clusters de volatilidad que hicieron una mayor dispersión de los datos. Un claro ejemplo a esto fue la gran caída de precios que se presentó en marzo de 2020 debido a la contingencia sanitaria producida por el coronavirus.
Por el otro lado, podemos obervar que los rendimientos que ofrece General Motors es de aproximadamente 4%. Esto sin mencionar el cluster de volatilidad presentado en marzo 2020, cuyo rendimiento sufrió un efecto de rebote, haciendo que los rendimientos oscilen entre 16% y 20%.
Figura 2. Rendimientos de GM enero 2013 - enero 2021
Fuente: elaboración propia con salida de R
Gráficos Q-Q e Histograma de General Motors
Los gráficos Cuantil-Cuantil (también referidos como Q-Q plots) son la representación gráfica de la distribución de un conjunto de datos a alguna distribución ideal o a priori que se asume como dada. La finalidad de estos gráficos es comparar la distribución teórica (la que suponemos o queremos como se comporte) contra la distribución empírica (la que realmente presenta la variable).
Gráficos Q-Q de General Motors
Gráfico Q-Q de General Motors: 01 de enero de 2013 al 15 de enero de 2021
En la Figura 3 se pueden apreciar los gráficos Q-Q a niveles General Motors, los caules muestran los cuantiles teóricos o la distribución contra la que se están comparando los precios contra una distribución normal; si la distribución empírica fuera así, entonces los puntos de dispersión deberían de distribuirse en torno a la recta.
Lo que se aprecia dentro de este es que en ciertos puntos pareciera que la serie se ajusta a la normal. Sin embargo, a simple vista conlcluimos que se desapega más a la distribución, lo que resulta complicado cumplir con una distribución normal.Figura 3. Q-Q a niveles de GM enero 2013 - enero 2021
Fuente: elaboración propia con salida de R
Asimismo, podemos apreciar los gráficos a rendimientos de General Motors que se observan en la Figura 4, los cuales muestran que a la mitad de la distribución sí se apega a la normal, lo que hace que se cumpla el supuesto de la media. Sin embargo, obervando las colas del gráfico, podemos ver que estas no se apegan a la normal, lo que muestra aquellos valores atípicos lejanos de la media.
Figura 4. Q-Q a rendimientos de GM: enero 2013 - enero 2021
Fuente: elaboración propia con salida de R
Histogramas de General Motors
Histograma de General Motors a niveles: 01 de enero de 2013 al 15 de enero de 2021
Los histogramas son gráficos que representan frecuencia de un fenómeno o de una variable mediante una distribución de los datos. En el caso de General Motors, a partir de sus intervalos que se hacen sobre este, se puede identificar el número de veces (frecuencia) que los precios caen en dicho intervalo.
En la figura 5 y 6 se presentan los histogramas a niveles y en rendimientos de General Motors.
Figura 5. Histograma a niveles de GM: enero 2013 - enero 2021
Fuente: elaboración propia con salida de R
En la figura 5 se presentan los histogramas a niveles de General Motors; el eje vertical representan las frecuencias y en el eje horizontal los valores de las variables (puntos base y precios respectivamente).
El histograma indica que la distribución que tiene la emisora es normal, mostrando su mayor concentración cerca de los 36 puntos. Asimismo, no se pueden apreciar puntos de concentraciones, lo que se reafirma la primera premisa de la oración.Por el otro lado, en términos de rendimientos se aprecia la Figura 6, la cual presenta un registro por los alrededores de 0, esto podría complementarse con la Figura 2 anteriormente mostrada. Asimismo, podemos observar pérdidas y ganancias encontradas en los valores extremos; esto muestra un problema para el histograma, ya que cerca de presentar una distribución normal, se da la presencia de una distribución leptocúrtica.
Figura 6. Histograma en rendimientos de GM: enero 2013 - enero 2021
Fuente: elaboración propia con salida de R
Estacionariedad y Pruebas de Raices Unitarias
El concepto de estacionariedad es importante para la estimación y para la elaboración de pronósticos, el no garantizar esta condición implicaría que las series no serían independientes e idénticamente distribuidas, ocasionado problemas de sesgo en las estimaciones, regresiones espurias o el mal cálculo de las bandas de confianza a partir de datos que se encuentran correlacionados.
Las pruebas de raíces unitarias permiten identificar si la serie es estacionaria o no, verificando si la serie tiene alguna estructura de dependencia con los datos anteriores. Al pronosticar series de tiempo, se asumen que estas son aleatorias.Pruebas de Raíces Unitarias
Las pruebas que se utilzaron para detectar raíces unitarias en este análisis son: Dickey Fuller Aumentada (DFA), Phillips Perron y la prueba Kwiatkowski - Phillips - Schmidt - Shin (KPSS). La tabla 1 muestra los resultados de General Motors a niveles y rendimientos:
Tabla 1. Pruebas de Raíces Unitarias (en valor p)
| Variable | DFA1 | Phillips-Perron2 | KPSS3 |
|---|---|---|---|
| GM a niveles | 0.17 | 0.3602 | 0.01 |
| GM a rendimientos | 0.01 | 0.01 | 0.1 |
- HO: La serie tiene raíz unitaria
- HO: La serie tiene raíz unitaria
- H0: La serie es estacionaria
Cabe destacar que:
Si p > 0.05 No rechazo (acepto) H0. Si p < 0.05 Rechazo H0.
Fuente: elaboración propia con salida de R
Modelos ARIMA
A continuación, para efectos de este análisis se calcularán dos modelos ARIMA (AUTOARIMA dado por R, y uno propuesto a parte), esto con el fin de realizar los pronósticos, con esto usando la metodología de Box & Jenkins.
Como parte fundamental se parte de obtener la Función de Autocorrelación (MA) y Función de Autocorrelación parcial (AR). Ambas series requieren ser integradas de orden I, es decir, se les tiene que aplicar una primera diferencia para que al menos puedan ser estacionarias en media. La aplicación de la primera diferencia es congruente con los resultados de las pruebas unitarias, en donde es necesario que las series se transformen en rendimientos.Figura 7. Componentes de Autocorrelacion ACF y PACF
Fuente: elaboración propia con salida de R
Al revisar el correlograma se identifican componentes de autocorrelación tanto en el proceso Autorregresivo (PACF) y en el proceso de media móvil (ACF). Dentro de la Figura 7 se puede apreciar que dentro de la Función de Autocorrelación se presentan varios problmeas de autocorrelación, lo mismo para el caso de la Función de Autocorrelación Parcial.
Tabla 2. Comparación del mejor modelo ARIMA
| Especificación del modelo | Prueba Ljung-Box (valor p) | Criterio AKAIKE | Dato Pronosticado (19 enero 2021) | Dato Real | Diferencia |
|---|---|---|---|---|---|
| AUTOARIMA (0,1,0) | 0.07136 | 3942.56 | 51.53 | 54.84 | 3.31 |
| ARIMA (7,1,7) | 0.08822 | 3940.19 | 51.55747 | 54.84 | 3.28253 |
Fuente: elaboración propia con salida de R
Partiendo de los datos obtenidos en la Tabla 2, podemos apreciar que si bien, ambos modelos presentan un bajo criterio AKAIKE, el Modelo ARIMA (7,1,7) es el mejor criterio que brinda, además de que su diferencial del dato pronosticado comparado con el dato real del 19 de enero de 2021 es menor comparado con el Modelo ARIMA (0,1,0) que brindó R.
Como conclusión, se ecoge el Modelo ARIMA (7,1,7), ya que se corrigen los problemas (en su mayoría) de autocorrelación en los residuales de acuerdo a los resultados de la prueba de Ljung-Box.
Tabla 3. Resultados del Modelo ARIMA (7,1,7)
Call:
arima(x = GM, order = c(7, 1, 7))
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ar6 ar7 ma1
-0.1279 0.3612 0.2652 0.1653 0.1158 -0.6053 -0.3195 0.1638
s.e. 0.1861 NaN 0.1058 NaN NaN 0.0498 0.1204 0.1791
ma2 ma3 ma4 ma5 ma6 ma7
-0.3627 -0.3011 -0.1851 -0.1175 0.6066 0.4147
s.e. NaN 0.0993 NaN NaN 0.0451 0.1095
sigma^2 estimated as 0.4045: log likelihood = -1955.09, aic = 3940.19
Fuente: elaboración propia con salida de R
A partir de los datos obtenidos, se presentan los residulaes que presenta el Modelo ARIMA (7,1,7), donde el resultado muestra sólo un problema de autocorrelación en el rezago 23 corrigiendo así la mayoría de los problemas de autocorrelación mostrados en la Figura 7.
Figura 8. Correlogramas ACF y PACF del modelo ARIMA
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(7,1,7)
Q* = 6.537, df = 3, p-value = 0.08822
Model df: 14. Total lags used: 17
Fuente: elaboración propia con salida de R
Aplicando la prueba de Ljung-Box, donde H0: los datos se distribuyen de forma independiente o dicho de otra forma, los residuales del ARIMA no están correlacionados. Para el ARIMA(7,1,7) la H0 no se rechaza. Lo que podemos concluir que los residuales se distribuyen normalmente
A continuación, se muestra la estabilidad del modelo a partir del gráfico de raíces uniarias, tanto en el proceso AR como en el de MA.Figura 9. Pruebas de raíces unitarias ARMA (7,1,7) - Círculo Unitario
Fuente: elaboración propia con salida de R
Con base a la prueba de raíz unitaria del Círculo-Unidad, podemos pobervar que si bien, aunque el modelo no es parsimonioso, es válido, ya que está dentro de los límites de la frontera del círculo-unidad. Además, cabe destacar que este Modelo pasa la prueba de normalidad, por lo que no podemos negar que el modelo no es estable. Si bien, aunque no se eliminan al 100% los problemas de autocorrelación, sí podemos afirmar que se corrigen en su mayoría, lo que ayuda al Modelo a corregir en mayor forma la distribución de los residuos.
Pronóstico al 19 enero 2021
Figura 10. Pronóstico a 12 días de General Motors
Fuente: elaboración propia con salida de R
Basándonos en la Tabla 2 y en la Figura 8, se puede concluir que si bien, aunque el precio real para el 19 de enero de 2021 fue de $54.84, el Modelo que más se acercó a este resultado fue el ARIMA (7,1,7), haciendo un dato pronósticado de $51.55, contando con una diferencia mínima de 3.28 puntos.
Modelos de Volatilidad ARCH-GARCH
A continuación, se hace uso de los modelos ARCH-GARCH para explicar y simular los rendimientos de General Motors. Retomando la figura 2, se puede ver que los rendimientos de la emisora presenta la aglomeración más importante de volatilidad suscitada en marzo de 2020 a raíz del coronavirus.
Para corregir este problema de volatilidad se presentan los modelos Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (ARCH) propuestos por Engle[3], los cuales sirven para modelar la volatilidad de una serie.
Cabe destacar que un modelo particularmente no lineal y que se utiliza ampliamente en las finanzas son los Modelos Autorregresivos Condicionalmente Heterocedásticos (ARCH).
Lo primero a analizar para llevar acabo estos modelos, es la autocorrelación que existe sobre los rendimientos al cuadrado de General Motors, esto permite ver los posibles efectos de memoria que puede tener la serie de tiempo.
Figura 11. Autocorrelacion de los rendimientos logarítmicos de General Motors
Fuente: elaboración propia con salida de R
A través de la Figura 11 podemos decir que, aunque se calculen los rendimientos al cuadrado, aún se puede apreciar que no se quita el problema de autocorrelación, lo cual podemos conlcuir que el usar los modelos ARCH y GARCH, este problema puede ser omitido.
Prueba de efectos ARCH
Para asegurarse de que un modelo de volatilidad es pertinente, se prueba si hay efectos ARCH. La prueba de efectos ARCH se basa en multiplicadores de Lagrange para descomponer la varianza de la serie e identificar si sus rezagos son significativos. Si esto es así, entonces la aplicación de modelos de volatilidad es apropiada y justificada. El resultado de la prueba se observa en la tabla 4.
Tabla 4. Pruebas de efectos ARCH
| Prueba | Valor p | H0 | Resultado |
|---|---|---|---|
| ARCH | 2.2e-16 | La serie NO tiene efectos ARCH | Rechazo H0 |
Fuente: elaboración propia con salida de R
Al rechazar la H0, se comprueban los efectos ARCH en los rendimientos de General Motors
Selección del mejor modelo
Para elegir el mejor modelo, se presentan los resultados de los parámetros obtenidos de todas las especificaciones ARCH y GARCH, así como el criterio de información de Akaike y el criterio bayesiano de Schwarz de los mismos. Mostrando así los resultados en la siguiente Tabla:
Tabla 5. Criterios AKAIKE y BAYES
| MODELO | ω | α1 | α2 | β1 | β2 | AKAIKE | BAYES |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ARCH(1) | 0.000259 | 0.43463 | -5.0953 | -5.0898 | |||
| ARCH(2) | 0.000208 | 0.205324 | 0.295031 | -5.1753 | -5.167 | ||
| GARCH(1,1) | 0.000011 | 0.065934 | 0.903388 | -5.2431 | -5.2347 | ||
| GARCH(1,2) | 0.000012 | 0.077266 | 0.692082 | 0.195974 | -5.2427 | -5.2316 | |
| GARCH(2,1) | 0.000011 | 0.06595 | 0 | 0.90346 | -5.2421 | -5.231 | |
| GARCH(2,2) | 0.000012 | 0.077318 | 0 | 0.692909 | 0.195048 | -5.2417 | -5.2279 |
Fuente: elaboración propia con salida de R
Se elige el Modelo GARCH(1,1) como el mejor modelo (de acuerdo a los criterios de información) de cada familia para simular los rendimientos de General Motors a partir de los parámetros obtenidos.
Interpretación del mejor modelo
A partir del modelo seleccionado GARCH(1,1) obtenemos que su implementación da como:
\[σ_t=ω+\underbrace{α_t^2u_{t-1}}_{ARCH(1)} +\underbrace{β_1σ_{t-1}^2}_{GARCH(1)}\]El resultado obtenido es:
\[σ_t=0.000011 +{0.065934 _t^2u_{t-1}} +{0.903388 _1σ_{t-1}^2}\]
La volatilidad de General Motors (aquí la vamos a nombrar como varianza condicional) se explica en un 6.59% por la volatilidad de un día anterior y en un 90.33% por la varianza ajustada de un periodo
¿Por qué varianza condicional? Porque la volatilidad o los rendimientos de la emisora dependen (están condicionados) de la varianza rezagada, es decir, depende del tiempo.
La caracterización de la varianza con el GARCH(1,1) se presenta en la figura 8:Figura 12. GARCH (1,1) vs Rendimientos
Fuente: elaboración propia con salida de R
Partiendo de la Figura 12 podemos observar la varianza condicional vs los rendimientos que genera General Motors. Con base a los resultados se puede decir que el modelo empieza a identificar los momentos exactos de volatilidad que tiene la serie.
Asimismo podemos apreciar que la varianza se va ajustando al comportamiento de la volatilidad, y así ir analizando cómo se van adecuando los picos más altos de rendimiento.
Rendimiento pronósticado al 19 enero 2021
*------------------------------------*
* GARCH Model Forecast *
*------------------------------------*
Model: sGARCH
Horizon: 1
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0
0-roll forecast [T0=2021-01-14]:
Series Sigma
T+1 0 0.02876Con base a los datos anteriormente mostrados, se concluye que para el 19 de enero de 2021, el rendimiento esperado es de 2.87%.
Conclusiones
Dentro de este análisis se vio el comportamiento de General Motors desde enero 2013 hasta enero 2021. Asimismo, se realizaron histogramas y gráficos Q-Q que permitieron visualizar la distribución que sigue las serie y la mayor parte de la concentración tanto en precios como en rendimientos.
Posteriormente, se realizaron pruebas de raíces unitarias para identificar la estacionariedad de la serie y se obtuvieron los correlogramas para identificar los procesos de autocorrelación de esta. Asimismo, se plantearon dos modelos, un ARIMA(0,1,0) propuesto por R y un ARIMA(7,1,7). El cual se escogio el segundo Modelo, ya que este muestra mejores resultados, corrige autocorrelación y mejora los pronósticos.
Por el otro lado, es importante recalcar que los modelos ARCH-GARCH permiten explicar la volatilidad de los activos financieros a partir de la varianza condicional, es decir, a partir de la varianza rezagada.
Se utilizó como ejemplo los rendimientos de General Motors y estimando diversas espeficicaiones, se concluye que los modelos que mejor caracterizan la volatilidad de la emisora son el GARCH(1,1).
Referencias